Come si esprimono i risultati di una misura

didattica attiva
APPROFONDIMENTO
Come si esprimono
i risultati di una misura
«Io affermo che quando voi potete misurare ed esprimere in numeri ciò di cui state parlando, solo allora sapete effettivamente qualcosa; ma quando non vi è possibile esprimere numericamente l’oggetto della vostra indagine, insoddisfacente ne è la vostra conoscenza e scarso il progresso dal punto di vista scientifico».
Lord Kelvin
La chimica è una scienza sperimentale e i risultati dei suoi esperimenti forniscono
dei dati che rappresentano la misura di una grandezza. Tutte le misure si compongono di due parti: un valore numerico e la relativa unità di misura.
Le misurazione di grandezze vengono effettuate tramite strumenti, le cui caratteristiche influenzano notevolmente i dati ottenuti. Le principali caratteristiche di uno
strumento sono la portata e la sensibilità (figura 1):
• La portata è la variazione massima del valore della grandezza da misurare che
può essere determinato dallo strumento.
• La sensibilità di uno strumento è la più piccola variazione del valore della grandezza da misurare che può essere messa in evidenza dalla scala dello strumento.
Ogni misurazione è sempre accompagnata da errori, per cui il dato ottenuto sarà
affetto da una certa incertezza. Gli errori associati ad una misura vengono classificati in errori sistematici ed errori casuali:
• Gli errori sistematici sono dovuti: alla negligenza dello sperimentatore, all’imperfetta taratura degli strumenti o a loro difetti.
• Gli errori casuali derivano dal’inevitabile imperfezione degli strumenti di misura
o dei sensi dello sperimentatore e non possono essere controllati.
M figura 1 Ogni strumento è caratterizzato da una portata e da
una sensibilità. Queste due caratteristiche sono generalmente
riportate sugli strumenti di misura.
Gli errori sistematici possono essere limitati, ma difficilmente eliminati, ponendo
attenzione al modo con cui vengono effettuate le misure o utilizzando strumenti di
misura idonei.
Gli errori casuali possono essere ridotti effettuando misure ripetute della stessa
grandezza, utilizzando lo stesso strumento sempre nelle medesime condizioni, in
quanto, essendo dovuti al caso, influiranno sulla misura ora in un senso ora nell’altro, annullandosi a vicenda. Il valore più attendibile della grandezza misurata è quindi il valore medio delle singole misure. Il valore medio si ricava dividendo il valore
ottenuto dalla somma dei valori di tutte le misurazioni per il numero delle misure
effettuate (N):
x=
x 1 + x 2 + ... x n
N
L’incertezza del valore più attendibile è determinata calcolando l’errore assoluto
(ea), che si determina dividendo per due la differenza tra il valore più alto e più basso
ottenuti. L’intervallo di incertezza della misura è infine espresso nel seguente modo:
intervallo di incertezza = x ± ea
Per esprimere l’effettiva incertezza di una misura è più utile calcolare l’errore relativo (er), che si ricava dividendo l’errore assoluto per la media dei valori numerici
ottenuti:
er =
ea
x
L’errore relativo è spesso espresso in termini di errore percentuale (e%):
e % = e r · 100
La chimica di Rippa - primo biennio - © Italo Bovolenta editore
1
didattica attiva
APPROFONDIMENTO
Immaginiamo che una serie di misure ripetute della massa di un corpo abbia fornito i seguenti valori:
30,0 g; 30,2 g, 29,9 g; 30,4 g; 30,0 g
Per esprimere l’intervallo di incertezza della misura è necessario per prima cosa
calcolare la media dei valori ottenuti:
x=
(30,0 + 30,2 + 29,9 + 30,4 + 30,0) g
= 30,1 g
5
Occorre poi calcolare l’errore assoluto:
ea =
(30,3 – 29,9) g
= 0,2 g
2
L’intervallo di incertezza si esprime quindi nel seguente modo:
x ± ea = (30,1 ± 0,2) g
A
L’errore relativo percentuale risulta:
e% =
0,2 g
30,1 g
· 100 = 0,7%
Due proprietà delle misurazioni che ne esprimono l’incertezza sono la precisione
e l’accuratezza:
• La precisione esprime la riproducibilità di una misura.
• L’accuratezza esprime la vicinanza al valore vero.
Una misura è quindi precisa quando i valori ripetuti sono tra loro concordanti. La
precisione della misura risulta legata agli errori casuali. Quanto più piccoli sono gli
errori casuali tanto più la misura è precisa. L’accuratezza è invece influenzata agli errori sistematici; quanto più sono piccoli tanto più la misura è accurata. Una misura
accurata è molto vicina al valore vero della grandezza.
In genere gli strumenti di misura sono molto precisi, per cui non è necessario effettuare misure ripetute della stessa grandezza e l’incertezza corrisponde alla sensibilità dello strumento. La sensibilità di uno strumento ne indica quindi la qualità, in
quanto esprimono la misura con un numero di cifre maggiore (figura 2).
L’incertezza connessa con una misura si ottiene riportando tutte le cifre fornite
dallo strumento. Tutte le cifre fornite sono certe, tranne l’ultima, che è frutto di una
stima. Tutte le cifre di una misura, certe e incerte, sono dette cifre significative, perché caratterizzano la precisione della misura. Per esempio se il risultato della misura
di una massa è 29,7 g. le prime due cifre (in rosso) sono certe, mentre la terza è stimata. La misura è comunque formata da tre cifre significative.
Per determinare il numero di cifre significative del valore numerico di una misura
occorre seguire le seguenti regole:
B
 figura 2 Gli strumenti con sensibilità maggiore forniscono
misure con una minore incertezza della grandezza misurata.
L’intervallo di incertezza della misura riportata in A, ottenuto
con una bilancia con sensibilità di 1 g, è 30 ± 1 g, mentre per la
misura riportata in B, ottenuta con una bilancia con sensibilità
0,1 g, è 29,7 ± 0,1 g.
1. Tutti i numeri diversi da zero sono sempre significativi
2. Tutti gli zeri all’interno del numero sono significativi
3. Tutti gli zero terminali sono significativi
4. Tutti gli zeri iniziali non sono significativi
Le regole 2, 3, e 4 sopra elencate possono essere riassunte nel seguente modo:
sono significativi tutti gli zeri che seguono la prima cifra del numero diversa da
zero.
In tabella 1 sono riportati esempi esplicativi della determinazione del numero di
cifre significative di una misura.
Spesso i dati ottenuti da misurazioni vengono utilizzati in operazioni matematiche. Il risultato dei calcoli deve riflettere la precisione dei dati, per cui nell’approssimare i risultati occorre considerare le seguenti regole:
• Il risultato di una moltiplicazione o di una divisione tra dati sperimentali deve essere espresso con un numero di cifre significative pari al dato che ne ha meno.
• Il risultato di un’addizione o di una sottrazione tra dati sperimentali deve essere
espresso con un numero di cifre decimali pari al dato che ne ha di meno.
La chimica di Rippa - primo biennio - © Italo Bovolenta editore
VALORE
NUMERICO
NUMERO DI CIFRE
SIGNIFICATIVE
12,3
3
12,30
4
1203
4
0,1203
4
0,01230
4
2
APPROFONDIMENTO
didattica attiva
Spesso i dati ottenuti da misurazioni vengono utilizzati in operazioni matematiche. Il risultato dei calcoli deve riflettere la precisione dei dati, per cui nell’approssimare i risultati occorre considerare le seguenti regole:
• Il risultato di una moltiplicazione o di una divisione tra dati sperimentali deve essere espresso con un numero di cifre significative pari al dato che ne ha meno.
• Il risultato di un’addizione o di una sottrazione tra dati sperimentali deve essere
espresso con un numero di cifre decimali pari al dato che ne ha di meno.
Nell’approssimazione del risultato al numero giusto di cifre significative si procede nel seguente modo:
• Se la cifra da eliminare è minore di 5, la cifra precedente rimane invariata
• Se la cifra da eliminare è uguale o maggiore di 5, la cifra precedente viene aumentata di 1.
Per esempio, immaginiamo di dover sommare le seguenti misure: 1,2 m; 5,71 m;
3,55 m.
1,2 m + 5,71 m + 3,55 m = 10,46 m = 10,5 m
Il risultato dell’addizione è stato approssimato a una cifra decimale in quanto il
dato che ne ha meno ha una cifra decimale (1,2). Inoltre l’approssimazione è stata
fatta per eccesso in quanto la cifra da eliminare era maggiore di 4 (precisamente 6).
Nel caso di una moltiplicazione, utilizzando gli stessi dati di prima, si ottiene:
1,2 m ∙ 5,71 m ∙ 3,55 m = 24,3245 m3 = 24 m3
Il risultato è stato approssimato a due cifre significative in quanto il dato che ne
ha meno ne ha due (1,2). Inoltre l’approssimazione è stata fatta per difetto in quanto
la prima cifra da eliminare era minore di 5 (precisamente 3).
La chimica di Rippa - primo biennio - © Italo Bovolenta editore
3