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Dinamica dell`impatto - Gruppo Italiano Frattura
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO FACOLTÀ DI INGEGNERIA TESI DI DOTTORATO IN INGEGNERIA CIVILE E MECCANICA DINAMICA DELL’IMPATTO: INTERPRETAZIONE, MODELLAZIONE E SIMULAZIONE NUMERICA DEL COMPORTAMENTO MECCANICO DEI METALLI Andrew Ruggiero Università Degli Studi di Cassino Facoltà di Ingegneria Andrew Ruggiero Dinamica dell’impatto: interpretazione, modellazione e simulazione numerica del comportamento meccanico dei metalli Tesi di Dottorato in Ingegneria Civile e Meccanica XVIII ciclo Coordinatore del corso: Relatore: Prof. Elio Sacco Prof. Nicola Bonora Indice Generale SOMMARIO .............................................................................................................................................. 4 BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................................... 9 INDICE DELLE FIGURE...................................................................................................................... 10 INDICE DELLE TABELLE................................................................................................................... 14 1 INTRODUZIONE .......................................................................................................................... 15 2 ONDE DI SOLLECITAZIONE NEI SOLIDI............................................................................. 16 2.1 INTRODUZIONE ........................................................................................................................ 16 2.2 EQUAZIONE DELLE ONDE ......................................................................................................... 17 2.2.1 Tensione generata dall’impatto ......................................................................................... 18 2.2.2 Riflessione di onde elastiche alle interfacce ...................................................................... 19 2.2.3 Riflessione e trasmissione di onde elastiche in una discontinuità meccanica.................... 23 2.2.4 Tensione uniassiale............................................................................................................ 24 2.2.5 Deformazione uniassiale.................................................................................................... 27 BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 33 3 MODELLAZIONE COSTITUTIVA............................................................................................ 34 3.1 INTRODUZIONE ........................................................................................................................ 34 3.2 MODELLI STRAIN RATE SENSITIVE ........................................................................................... 34 3.2.1 Modelli di resistenza formulati su basi fisiche................................................................... 36 3.2.2 Modelli di resistenza fenomenologici................................................................................. 38 3.2.3 Modello di resistenza di Johnson e Cook........................................................................... 38 3.3 3.3.1 MODELLI DI DANNEGGIAMENTO DUTTILE NEI METALLI .......................................................... 39 Modello di danno duttile non lineare................................................................................. 43 BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 46 4 STRUMENTI DI SIMULAZIONE NUMERICA PER L’ANALISI DEI FENOMENI DINAMICI ............................................................................................................................................... 48 4.1 INTRODUZIONE ........................................................................................................................ 48 4.2 ANALISI DINAMICA IN MSC.MARC ......................................................................................... 49 4.2.2 Houbolt Operator............................................................................................................... 52 4.2.3 Central Difference Operator.............................................................................................. 52 4.2.4 Damping............................................................................................................................. 53 4.3 ANALISI DINAMICA IN AUTODYN............................................................................................. 54 4.3.1 Metodo d’integrazione esplicito......................................................................................... 55 4.3.2 Viscosità artificiale ............................................................................................................ 56 2 4.4 IMPLEMENTAZIONE NUMERICA DEL MODELLO DI DANNO NON LINEARE .................................. 57 BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 59 5 TAYLOR TEST ............................................................................................................................. 60 5.1 ANALISI TEORICA DEL TEST DI TAYLOR ................................................................................... 60 5.2 SIMULAZIONE NUMERICA DEL TAYLOR TEST ........................................................................... 62 5.3 ANALISI CRITICA DEI MECCANISMI DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE DURANTE IL TEST DI TAYLOR. ................................................................................................................................................ 69 5.4 5.4.1 ANALISI NUMERICA DEI MECCANISMI DI DANNEGGIAMENTO ................................................... 72 Effetto della dimensione del grano .................................................................................... 75 BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 78 6 HOPKINSON BAR ........................................................................................................................ 80 6.1 PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO ................................................................................................ 80 6.2 SIMULAZIONE NUMERICA DELLA HOPKINSON BAR .................................................................. 83 6.2.1 Prova di compressione....................................................................................................... 83 6.2.2 Prova di trazione................................................................................................................ 90 6.3 CONCLUSIONI ........................................................................................................................ 104 BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................................... 105 7 FLYER PLATE IMPACT TEST................................................................................................ 106 7.1 SIMULAZIONE NUMERICA DEL FLYER PLATE IMPACT TEST ................................................... 109 7.2 ANALISI DELLO “SPALL SIGNAL” .......................................................................................... 113 7.2.1 Modello numerico ............................................................................................................ 115 7.3 EFFETTI GEOMETRICI SUL PROCESSO DI FRATTURA PER SPALLING ......................................... 117 7.4 RE-SHOCK EXPERIMENT......................................................................................................... 123 7.4.1 Fenomenologia del re-shock............................................................................................ 125 BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................................... 132 8 CONCLUSIONI ........................................................................................................................... 133 3 Sommario Nel presente lavoro di tesi si è analizzata la risposta meccanica dei metalli in condizioni d’impatto veloce. A tale scopo, si sono utilizzati gli strumenti della simulazione numerica per analizzare tre configurazioni sperimentali largamente diffuse per la caratterizzazione della risposta meccanica dei materiali in regime dinamico: il Taylor Test, la Hopkinson Bar e il Flyer Plate Impact Test. Ad oggi, il limite maggiore nell’utilizzo dei codici numerici come strumenti di previsione del comportamento dei componenti meccanici in condizione d’impatto veloce è dato dalla scarsa disponibilità di modelli costitutivi in grado di descrivere il comportamento dei materiali in regime dinamico. Tali modelli devono essere in grado di tenere in conto gli effetti, sulla resistenza del materiale, della deformazione, della velocità di deformazione, della temperatura, del danneggiamento e, per impatti iperveloci, della pressione idrostatica. Nel presente lavoro si sono utilizzati due modelli indipendenti per trattare in modo disaccoppiato gli effetti dovuti ai parametri citati. Gli effetti della deformazione, della velocità di deformazione e della temperatura sulla resistenza del materiale sono stati descritti con il modello fenomenologico di Johnson e Cook, [1], mentre gli effetti del danneggiamento sono stati descritti con un modello di danno non lineare per rottura duttile nei metalli, [2]. Il modello costitutivo così composto è stato implementato nei codici commerciali, MSC.Marc e Autodyn, utilizzati per le simulazioni numeriche. Il Taylor Test, [3], consiste nel far impattare, a velocità nota, un provino di forma cilindrica contro una parete rigida. Il valore della tensione di snervamento in regime dinamico è correlato, attraverso una semplice analisi monodimensionale, alla velocità d’impatto e alla deformata del provino. Nel corso degli anni molti lavori hanno avuto come obiettivo quello di superare alcune delle limitazioni date dalle ipotesi, di seguito elencate, alla base della teoria di Taylor: la propagazione delle onde all’interno del cilindro sia monodimensionale; il materiale abbia un comportamento rigido perfettamente plastico ed indipendente dalla velocità di deformazione, σ=σ(ε); il flusso plastico sia incompressibile; 4 la deformazione elastica sia trascurabile. Nel 1954, Lee e Tupper, [4], presentarono una modifica alla formulazione di Taylor per tenere includere nell’analisi la deformazione elastica. Raftopoulos e Davis, [5], inclusero la deformazione elastica e l’incrudimento. Jones et al. [6], proposero una nuova equazione del moto per la parte indeformata del provino. Nel 1981, Erlich et al. [7], proposero una tecnica alternativa, denominata “Rod on Rod” (ROR), in cui l’impatto avviene tra due cilindri di medesimo materiale e uguale diametro, in modo da eliminare le incertezze derivanti dalla mancata conoscenza delle condizioni di attrito delle superfici a contatto. Il punto più critico di tale approccio, comunque, sta nel fatto che la condizione di unidimensionalità dello stato di sforzo non è verificata. È infatti notorio che le onde di rilascio, che dal bordo della superficie d’impatto propagano radialmente, si sovrappongono in prossimità dell’asse di simmetria, dando luogo ad un’onda di tensione. L’analisi del test, per mezzo degli strumenti della simulazione numerica e del modello costitutivo implementato, ha portato all’individuazione di due diversi modi in cui i meccanismi di danneggiamento duttile possono aver luogo. Per valori elevati della deformazione di soglia il danno è causato da grandi deformazioni plastiche, in stato di bassa triassialità dello stato di sforzo, che avvengono in prossimità della zona di contatto, tardi nel processo di deformazione. Per valori della soglia di deformazione relativamente basse il danno, al contrario, si sviluppa con un basso livello di deformazione plastica, ad elevata triassialità dello stato di sforzo, nelle prime fasi del processo di deformazione Si è inoltre individuata una relazione tra il valore della deformazione di soglia, che è uno dei parametri del modello di danno, e la dimensione media del grano. La Hopkinson Bar è, ad oggi, la tecnica sperimentale più utilizzata per la caratterizzazione della risposta meccanica del materiale in regimi di velocità di deformazione che vanno da 102 a 104 s-1. Anche per questa tecnica l’ipotesi fondamentale è che lo stato di sforzo possa essere assunto uniassiale. Nel presente lavoro si è verificato che tale ipotesi può essere considerata vera sia per la classica configurazione a compressione della Split Hopkinson Pressure bar, sia per una 5 configurazione alternativa, proposta da Staab e Gilat, che permette di effettuare la prova direttamente in trazione. Si è verificato, inoltre, che con un’attenta progettazione della prova, ovvero della determinazione della geometria del provino in relazione alla geometria delle barre e alle impedenze meccaniche dei materiali utilizzati, la deformazione e la velocità di deformazione possono essere ritenute, con buona approssimazione, uniformi all’interno del provino. Questo è di importanza rilevante, in quanto, permette di accettare i risultati ottenuti con questa tecnica sperimentale come identificativi del comportamento meccanico del materiale in regime dinamico. Si è verificato inoltre che i limiti maggiori in tale tecnica sperimentale sono dati dalla difficoltà di mantenere costante, durante l’intera durata della prova, la velocità di deformazione. In particolare si è osservato come nella prova di compressione la velocità di deformazione decresce a causa dell’aumento di sezione per effetto Poisson. Nella prova a trazione, al contrario, è proprio l’effetto di strizione a consentire il mantenimento di un’elevata velocità di deformazione ad un valore pressoché costante. A valle di tali verifiche si è provveduto alla progettazione e realizzazione di una barra di Hopkinson a trazione in grado di caratterizzare il comportamento meccanico in regime dinamico di materiali metallici quali il rame, gli acciai, alcune leghe di nichel, quali il waspaloy etc. La terza configurazione analizzata è quella del Flyer Plate Impact Test, che è l’unica tecnica sperimentale che permette la caratterizzazione meccanica dei materiali per velocità di deformazione superiori a 104 s-1. La tecnica consiste nel realizzare un impatto planare, a velocità nota, tra due dischi sottili. Un rapporto elevato tra il diametro dei dischi e il loro spessore (D/h>10) garantisce uno stato di deformazione uniassiale in prossimità dell’asse di simmetria dei dischi. È importante sottolineare che, diversamente dalle configurazioni precedentemente illustrate nelle quali si cercava, con maggiore o minore successo, di realizzare uno stato sforzo che potesse essere assunto con buona approssimazione unidimensionale, nel Flyer Plate Impact Test si verifica, a tutti gli effetti, uno stato di deformazione unidimensionale. Per tale tecnica, quindi, è disponibile, in forma esatta, una trattazione teorica che può essere utilizzata per la verifica ed il confronto con i risultati numerici. 6 Tale test è largamente utilizzato anche per il particolare tipo di rottura che è in grado di produrre nel disco bersaglio. La rottura, denominata spalling, avviene per una trazione localizzata provocata dalla sovrapposizione dell’onda riflessa dalla superficie libera del target e della sopraggiungente onda di rilascio. Nell’esperimento, la misura avviene mediante la rilevazione, ad esempio attraverso tecniche d’interferometria laser, del profilo di velocità di un punto situato sulla superficie posteriore del disco bersaglio. La lettura del profilo permette di ricavare tutte le informazioni necessarie ad identificare il comportamento meccanico del materiale. Nel presente lavoro si è, dapprima, verificato che il modello numerico realizzato riuscisse a riprodurre tutte le caratteristiche chiave dell’esperimento quali: i tempi di arrivo del precursore elastico e dell’onda plastica sulla superficie libera del bersaglio; l’intensità e la durata del plateau di massima velocità; i tempi di arrivo delle onde di rilascio, elastica e plastica; l’arrivo dell’onda generata dalla creazione della superficie libera dovuta alla rottura per spall. Si è poi passati all’analisi e all’interpretazione dei fenomeni di deformazione e rottura del processo d’impatto che ha permesso di raggiungere i seguenti risultati. Si è identificato un processo di dissipazione nel meccanismo di separazione delle superfici di rottura che porta ad una discordanza tra lo “spall signal” calcolato e quello misurato sperimentalmente. Si è effettuato uno studio parametrico degli effetti geometrici associati al processo di rottura per spall, in impatti planari. Tale studio ha permesso di individuare un criterio geometrico per la valutazione delle condizioni di spalling e per la determinazione della posizione di primo innesco. Si è infine analizzata una configurazione sperimentale che consiste nel posizionare sulla parte posteriore del disco proiettile, un disco di maggiore impedenza meccanica. In tale modo, al posto dell’onda di rilascio, si genera un’onda di compressione che sovrapponendosi all’onda di compressione generata dall’impatto, porta al fenomeno del re-shock. Secondo la teoria delle onde di sforzo, la risposta di un materiale elasto-plastico, al reshock dovrebbe essere interamente plastica, poiché lo stato del materiale si dovrebbe trovare sulla superficie di snervamento. Dagli esperimenti si osserva invece la presenza 7 di un gradino che precede l’arrivo del ricaricamento plastico, comunemente riconosciuto come un inaspettato precursore plastico. Le interpretazioni del fenomeno presentate in letteratura sono tutte basate sull’ipotesi che meccanismi fisici, che hanno luogo alla micro o meso scala, portano lo stato del materiale all’interno della superficie di snervamento. In questo lavoro si è data un’interpretazione alternativa del fenomeno, basata su considerazioni alla macroscala, capace di giustificare la presenza del gradino e di dimostrare che non è un precursore elastico. Tale interpretazione, inoltre, chiarisce anche la ragione per cui la ricompressione ed il corrispondente rilascio non debbano essere, come dimostrato dagli esperimenti, sincroni. 8 Bibliografia [1] Johnson, G. R. and Cook, W. H., A constitutive model and data for metals subjected to large strains, high strain rates and high temperatures, Proc. 7° Int. Symp. On Ballistics, pp. 541-547, Netherlands, 1983. [2] Bonora, N., (1997), Int. J. of Fracture, 88, 359-371. [3] Taylor, G. I., “The use of flat ended projectiles for determining dynamic yield stress: 1. Theoretical considerations” in Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., vol 194, pp. 289-300, 1948. [4] Lee, E., and Tupper, J. Appl. Mech., 63-70 (1954). [5] Raftopoulos, D., and Davids, N., AIAA J. 5, 2254 (1967). [6] Jones, S. E., Gillis, P. P., and Foster, J. C., Jr., J. of Appl. Phys. 61, 499-502 (1987). [7] Erlich, D. C., Shockey, D. A., and Seaman, L., “Symmetric Rod Impact Technique for Dynamic Yield Determination”, in Shock Waves in Condensed Matter-1981, AIP Conference Proceedings 78, Menlo Park, CA, 1981, pp. 402406. 9 Indice delle Figure FIGURA 2.1 - FORZE AGENTI SULL’ELEMENTO DI MASSA, [5]...................................................................... 17 FIGURA 2.2 – SCHEMA DI UN CORPO RIGIDO CHE IMPATTA UN CILINDRO A VELOCITÀ v0 , [5]. ................... 19 FIGURA 2.3 – RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE LIBERA. .............................. 20 FIGURA 2.4 – RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE LIBERA ORTOGONALE ALLA DIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA, [1].................................................................................. 20 FIGURA 2.5 – RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE FISSA ORTOGONALE ALLA DIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA, [1].................................................................................. 22 FIGURA 2.6 – RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DI UN’ONDA AD UNA DISCONTINUITÀ MECCANICA. ............... 23 FIGURA 2.7 – CURVA TENSIONE DEFORMAZIONE E PROFILI D’ONDA PER UN MATERIALE BILINEARE. ......... 25 FIGURA 2.8 – CURVA TENSIONE DEFORMAZIONE E PROFILO D’ONDA PER UN MATERIALE ELASTO-PLASTICO, SECONDO LA “RATE INDEPENDENT THEORY”. ................................................................................... 26 FIGURA 2.9 – CURVA SFORZO-DEFORMAZIONE PER I MATERIALI ELASTICO PERFETTAMENTE PLASTICO ED ELASTICO CON INCRUDIMENTO LINEARE, IN CASO DI STATO DI SFORZO UNIASSIALE OVVERO DI DEFORMAZIONE UNIASSIALE, [1]....................................................................................................... 29 FIGURA 2.10 – CURVA SFORZO-DEFORMAZIONE IN STATO DI DEFORMAZIONE UNIASSIALE, PER VALORI DELLA PRESSIONE ESTREMAMENTE ELEVATI, [5]. ............................................................................. 31 FIGURA 3.1 – EFFETTO DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE SULL’ALLUMINIO COMMERCIALE CARICATO A TAGLIO.............................................................................................................................................. 35 FIGURA 3.2 - EFFETTO DELLA TEMPERATURA SUL TITANIO α. .................................................................... 35 FIGURA 3.3 - VARIAZIONE DEL VALORE DELLO SNERVAMENTO DI UN ACCIAIO BASSO LEGATO CON LA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE E LA TEMPERATURA............................................................................ 37 FIGURA 3.4 - RIDUZIONE DELLA DUTTILITÀ AL CRESCERE DELLA TRIASSIALITÀ DELLO STATO DI SFORZO PER L'ACIAIO SA537, [14]. ................................................................................................................ 41 FIGURA 3.5 - EVOLUZIONE DEL DANNO, NORMALIZZATO RISPETTO AL DANNO CRITICO, IN FUNZIONE DELLA DEFORMAZIONE PLASTICA, PER DIVERSI TIPI DI METALLI. ................................................................. 44 FIGURA 4.1 – DISTORSIONE DI UNA MESH LAGRANGIANA, [3]. ................................................................... 55 FIGURA 4.2 – TIPICA PROCEDURA DI “REZONING”, [3]................................................................................ 55 FIGURA 4.3 - SCHEMA LOGICO PER IL CALCOLO NUMERICO DELLA VARIABILE DI DANNO. LA PROCEDURA INIZIA ALLA FINE DI OGNI INCREMENTO, QUANDO SONO GIÀ STATE CALCOLATE TUTTE LE VARIABILI GLOBALI E ED È RIPETUTA PER OGNI PUNTO DI GAUSS DI OGNI ELEMENTO ATTIVO............................ 58 FIGURA 5.1 - SCHEMATIZZAZIONE DEL CILINDRO DI TAYLOR: (A) DURANTE LA DEFORMAZIONE; (B) AL TERMINE DELLA DEFORMAZIONE. ..................................................................................................... 60 FIGURA 5.2 - DETTAGLIO DELLA MESH NELLA ZONA D'IMPATTO, PER IL RAME OFHC. .............................. 63 FIGURA 5.3 - ELEMENTO SEMINFINITO USATO NELLA MODELLAZIONE DELL'INCUDINE. ............................. 64 FIGURA 5.4 - PROFILO DELA DEFORMATA PER IL RAME OFHC (L0=25,4MM; V0=190M/S) OTTENUTA ASSUMENDO σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) . .............................................................................. 66 10 FIGURA 5.5- PROFILO DELLA DEFORMATA PER IL FERRO ARMCO (L0=12,6MM; V0=279M/S) OTTENUTA ASSUMENDO σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) . .............................................................................. 66 FIGURA 5.6 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER L’ACCIAIO (L0=8,1MM; V0=343M/S) OTTENUTA ASSUMENDO σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) . ................................................................................................... 67 FIGURA 5.7 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER IL RAME OFHC (L0=25,4MM; V0=190M/S) OTTENUTA ASSUMENDO σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) . ............................................................. 67 FIGURA 5.8 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER IL FERRO ARMCO (L0=12,6MM; V0=279M/S) OTTENUTA ASSUMENDO σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) . ............................................................. 68 FIGURA 5.9 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER L’ACCIAIO (L0=8,1MM; V0=343M/S) OTTENUTA ASSUMENDO σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) . .................................................................................. 68 FIGURE 5.10 A, B, C E D - GENERAZIONE, PROPAGAZIONE E SOVRAPPOSIZIONE DELLE ONDE DI PRESSIONE IN UN ROR TEST A DIVERSI ISTANTI DI TEMPO DURANTE IL PROCESSO DI DEFORMAZIONE. ................... 71 FIGURA 5.11 - MAPPA DI DANNO PER IL RAME OFHC (L0=25,4MM; V0=190M/S) OTTENUTA ASSUMENDO σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) . ................................................................................................... 73 FIGURA 5.12 - DIAGRAMMI TENSIONE DEFORMAZIONE, AL VARIARE DELLA LEGGE COSTITUTIVA, PER UN PUNTO APPARTENENTE ALLA SUPERFICIE DI CONTATTO PER L’IMPATTO DI UN CILINDRO DI FERRO ARMCO. .......................................................................................................................................... 73 FIGURA 5.13 - MAPPA DI DANNO PER IL RAME OFHC (L0=25,4MM; V0=190M/S) OTTENUTA ASSUMENDO σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) . .................................................................................. 74 FIGURA 5.14 - DEFORMAZIONE DI SOGLIA IN FUNZIONE DELLA DIMENSIONE MEDIA DEL GRANO. .............. 76 FIGURA 5.15 - DEFORMATE E MAPPE DI DANNO CALCOLATE A CONFRONTO CON I RISULTATI SPERIMENTALI. .......................................................................................................................................................... 77 FIGURA 6.1 - SCHEMATIZZAZIONE DELL'APPARATO E DELLA STRUMENTAZIONE DI UNA CONFIGURAZIONE CLASSICA DELLA HOPKINSON IN COMPRESSIONE, [1]........................................................................ 80 FIGURA 6.2 - SCHEMATIZZAZIONE DEGLI IMPULSI DI DEFORMAZIONE ALLE INTERFACCE BARRE PROVINO [1]. .................................................................................................................................................... 81 FIGURA 6.3 - SCHEMA DEL SISTEMA DI PROVA DELLA BARRA DI HOPKINSON A COMPRESSIONE SIMULATO AGLI ELEMENTI FINITI. ...................................................................................................................... 83 FIGURA 6.4 - PARTICOLARE DELL'INTERFACCIA TRA BARRE E PROVINO NELLA CONFIGURAZIONE NON DEFORMATA INIZIALE. ...................................................................................................................... 84 FIGURA 6.5 - ANDAMENTI DELLE TENSIONI DURANTE LA PROVA DI COMPRESSIONE................................... 85 FIGURA 6.6 - ANDAMENTI TEMPORALI DEGLI STRAIN RATES PER DIVERSE VELOCITÀ D’IMPATTO. ............. 87 FIGURA 6.7 - DIAGRAMMI TENSIONE-DEFORMAZIONE PER LE DIVERSE VELOCITÀ DI CARICO..................... 87 FIGURA 6.8 - DISTRIBUZIONE DELLE TENSIONI SULL’ASSE DI SIMMETRIA DELLE BARRE DI PRESSIONE A 10 µ s DALL’ISTANTE IN CUI È AVVENUTO L’IMPATTO...................................................................... 88 11 FIGURA 6.9 –ONDE DI DEFORMAZIONE INCIDENTE E RIFLESSA REGISTRATE SUGLI ESTENSIMETRI DOPO CIRCA 320 ΜS DALL’IMPATTO. .......................................................................................................... 89 FIGURA 6.10 – CONFRONTO TRA UN PROVINO CILINDRICO NON DEFORMATO (A) ED I PROFILI FINALI DEFORMATI CON BARRELING (B) E SENZA (C).................................................................................... 90 FIGURA 6.11 - SCHEMA FUNZIONALE DL DISPOSITIVO DI STAAB E GILAT................................................... 90 FIGURA 6.12 – PARTICOLARE DELLA MESH ADOTTATA PER LA DISCRETIZZAZIONE DEL PROVINO DI RAME PURO. ................................................................................................................................................ 92 FIGURA 6.13 - ANDAMENTI DELLE ONDE DI TENSIONE REGISTRATE DURANTE LE PROVE............................ 93 FIGURA 6.14 - ANDAMENTI TEMPORALI DELLE VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE RAGGIUNTE......................... 94 FIGURA 6.15 - CURVE TENSIONE-DEFORMAZIONE OTTENUTE PER DIVERSE VELOCITÀ DI CARICO............... 95 FIGURA 6.16 - MISURE DEGLI STRAIN RATES EFFETTUATE CON ESTENSIMETRI DI LUNGHEZZA VARIABILE. 96 FIGURA 6.17 – DISTRIBUZIONE DEL DANNO SULLA DEFORMATA FINALE DEL PROVINO DOPO LA ROTTURA.96 FIGURA 6.18 - SEQUENZA FOTOGRAFICA PER UNA PROVA DI TRAZIONE. .................................................... 98 FIGURA 6.19 - MESH ADOTTATA NELLE PROVE CON ARMCO-IRON........................................................... 99 FIGURA 6.20 – CONFRONTO TRA IL PROFILO TEORICO E QUELLI NUMERICI DELL’ONDA DI TRAZIONE. ....... 99 FIGURA 6.21 - CONFRONTO TRA DATI NUMERICI E SPERIMENTALI DELLA STRIZIONE. .............................. 100 FIGURA 6.22 - DEFORMATA FINALE DEL PROVINO DI ARMCO IRON UN ISTANTE DOPO LA ROTTURA......... 101 FIGURA 6.23 - CONFRONTO TRA VALORI NUMERICI E SPERIMENTALI DEGLI STRAIN RATES. ..................... 101 FIGURA 6.24 - VARIAZIONE DELLA TEMPERATURA NEL PUNTO PIÙ SOLLECITATO DEL PROVINO. ............. 103 FIGURA 6.25 - DISTRIBUZIONI DELLA TEMPERATURA DOPO LA ROTTURA DEL PROVINO........................... 103 FIGURA 7.1 – A) DIAGRAMMA LAGRANGIANO CARATTERISTICO DI UN IMPATTO PLANARE SIMMETRICO; B) TIPICO PROFILO DI VELOCITÀ RILEVATO IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST.................................... 107 FIGURA 7.2 - ONDA DI STRESS GENERATA IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST A VELOCITÀ MODERATA. ... 107 FIGURA 7.3 - PROFILO DI UN'ONDA D'URTO............................................................................................... 108 FIGURA 7.4 – EFFETTO DELLO SMORZAMENTO NUMERICO SUI RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE. ........................................................................................................................................................ 110 FIGURA 7.5 - CONFRONTO TRA IL PROFILO DI VELOCITÀ OTTENUTO NUMERICAMENTE ED I DATI SPERIMENTALI................................................................................................................................. 110 FIGURA 7.6 – EVOLUZIONE NEL TEMPO DELLA DISTRIBUZIONE DELLA TRIASSIALITÀ DELLO STATO DI SFORZO, LUNGO LO SPESSORE DEL PROVINO. .................................................................................. 111 FIGURA 7.7 - EVOLUZIONE NEL TEMPO DEL DANNO LUNGO O SPESSORE DEL DISCO BERSAGLIO............... 111 FIGURA 7.8 – DISTRIBUZIONE DELLA POROSITÀ NEL RAME PER IMPATTI A DIVERSE PRESSIONI, [2].......... 112 FIGURA 7.9 - CONFRONTO TRA GLI SPALL SIGNALS CALCOLATO E MISURATO PER IL RAME OFHC. ......... 113 FIGURA 7.10 – DIFFERENTI MECCANISMI DI COALESCENZA DEI MICROVUOTI NELLA ROTTURA DUTTILE.. 114 FIGURA 7.11 - EFFETTO DEL COEFFICIENTE DI FORMA α SULLA RISPOSTA DEL SISTEMA DI MOLLE NON LINEARE. ......................................................................................................................................... 116 FIGURA 7.12 - PROFILO DI VELOCITÀ CALCOLATO CON L’IMPIEGO DEL SISTEMA DI MOLLE NON LINEARE A CONFRONTO CON I RISULTATI SPERIMENTALI. ................................................................................. 116 FIGURA 7.13 - SCHEMA RIASSUNTIVO DELLE CONFIGURAZIONI GEOMETRICHE ESAMINATE. .................... 118 12 FIGURA 7.14 - PROFILI DI VELOCITÀ CALCOLATI NUMERICAMENTE PER LE DIVERSE CONFIGURAZIONI GEOMETRICHE E CON VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S: A) D/H=16; B) D/H=8; C) D/H=4; D) D/H=2. ........................................................................................................................................................ 118 FIGURA 7.15 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=16; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARC PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=16. ............................................................................. 119 FIGURA 7.16 - IMPULSO DI COMPRESSIONE IN DUE DIFFERENTI POSIZIONI LUNGO IL RAGGIO DEL DISCO BERSAGLIO: SULL’ASSE DI SIMMETRIA IN BLU E IN CORRISPONDENZA DEL BORDO LIBERO DEL PROIETTILE IN NERO. ....................................................................................................................... 120 FIGURA 7.17 - SCHEMA GEOMETRICO DELLA LOCALIZZAZIONE DELL’INNESCO DEL PROCESSO DI SPALL. 121 FIGURA 7.18 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=8; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARC PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=8. ............................................................................... 122 FIGURA 7.19 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=4; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARC PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=4. ............................................................................... 122 FIGURA 7.20 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=2; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARC PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=2. ............................................................................... 122 FIGURA 7.21 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=1; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARC PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=1. ............................................................................... 123 FIGURA 7.22 – SCHEMA DELLA CONFIGURAZIONE DEL RE-SHOCK EXPERIMENT. ...................................... 124 FIGURA 7.23 - PROFILO DI VELOCITÀ MISURATO IN UN RE-SHOCK EXPERIMENT, [3]................................. 124 FIGURA 7.24 - DISTRIBUZIONE DELLA DEFORMAZIONE PLASTICA LUNGO LO SPESSORE DEL DISCO BERSAGLIO, A SEGUITO DELL’ONDA DI COMPRESSIONE, IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST. ........... 126 FIGURA 7.25 - PROFILI DI SFORZO, CALCOLATI NUMERICAMENTE, A DIVERSE POSIZIONI LUNGO LO SPESSORE DEL DISCO BERSAGLIO, IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST STANDARD............................................ 126 FIGURA 7.26 - PROFILI DI SFORZO, CALCOLATI NUMERICAMENTE, A DIVERSE POSIZIONI LUNGO LO SPESSORE DEL DISCO BERSAGLIO, IN UN RE-SHOCK EXPERIMENT. ................................................................... 127 FIGURA 7.27 - RAPPRESENTAZIONE DELLO STATO DI SFORZO DEL PUNTO MATERIALE CHE A SUBITO UNO SHOCK, A DIFFERENTI POSIZIONI LUNGO LO SPESSORE DEL DISCO BERSAGLIO, NEL PIANO DEI DEVIATORI π . ................................................................................................................................ 128 FIGURA 7.28 - CONFRONTO TRA IL PROFILO DI VELOCITÀ SPERIMENTALE, [3], E QUELLO CALCOLATO NUMERICAMENTE CON MSC.MARC. ............................................................................................... 129 FIGURA 7.29 - CONFRONTO TRA IL PROFILO DI VELOCITÀ SPERIMENTALE, [3], E QUELLO CALCOLATO NUMERICAMENTE CON AUTODYN. .................................................................................................. 130 FIGURA 7.30 - RITARDO DEL GRADINO ANOMALO RISPETTO ALLA CORRISPONDENTE ONDA DI RILASCIO IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST STANDARD, [4]. ............................................................................. 131 13 Indice delle Tabelle TABELLA 5.1 - PROPIETÀ MECCANICHE DEI MATERIALI INVESTIGATI E RELATIVI PARAMETRI PER IL MODELLO DI JOHNSON E COOK, [1]. .................................................................................................. 63 TABELLA 5.2 - CONFRONTO TRA GLI ACCORCIAMENTI CALCOLATI, CON DIVERSI MODELLI DI RESISTENZA, E I DATI SPERIMENTALI. ....................................................................................................................... 65 TABELLA 5.3 - CONFRONTO TRA I DIAMETRI CALCOLATI DELLE SUPERFICI D'IMPATTO E QUELLI MISURATI. .......................................................................................................................................................... 69 TABELLA 5.4 - PARAMETRI DI DANNO PER IL RAME OFHC......................................................................... 73 14 1 Introduzione La complessità dei meccanismi correlati alla dinamica dell’impatto limita l’impiego dei modelli analitici al solo scopo di sviluppare una percezione immediata dei fenomeni investigati. Nei casi reali, infatti, anche per le configurazioni più semplici, è molto facile violare le ipotesi su cui è basata l’analisi teorica, la quale molto difficilmente può essere utilizzata per effettuare previsioni. Per la soluzione di problemi d’impatto è indispensabile ricorre agli strumenti della simulazione numerica. Il suo impiego, ad oggi, per quanto riguarda la gestione dei transitori e la risoluzione del moto di propagazione delle onde, è largamente diffuso e saldamente consolidato. Ciò, comunque, non deve far pensare ad una sorta d’infallibilità dei codici numerici, con il pericolo di compiere gravi errori di valutazione. La bontà dei risultati delle simulazioni è direttamente legata alla qualità del modello numerico realizzato. Qualità che, a sua volta, non può prescindere da una completa e corretta conoscenza dei meccanismi che si desidera modellare. In questo lavoro, gli strumenti della simulazione numerica sono stati adoperati per analizzare tre configurazioni sperimentali classiche per la caratterizzazione della risposta meccanica dei materiali in regime dinamico: il Taylor Test, la Hopkinson Bar e il Flyer Plate Impact Test. L’obiettivo è stato quello di andare a studiare, nelle tre configurazioni, già largamente investigate nel corso degli anni, i punti di maggiore criticità: si sono indagati i limiti di modelli proposti in letteratura e le condizioni in cui gli stessi falliscono, cercando di comprenderne il motivo e, ove possibile, di superarli. In quest’ottica, i codici numerici, oltre che come strumenti di previsione, sono stati impiegati come veri e propri strumenti d’investigazione. Questo modo di operare ha permesso di risolvere alcune apparenti incongruenze derivanti dai risultati sperimentali e di fornire nuove interpretazioni di fenomeni dinamici che non erano stati pienamente compresi. Inoltre, si è fornita una dimostrazione dell’enorme potenzialità degli strumenti numerici in un campo, quale quello della dinamica dell’impatto, in cui anche le misure sperimentali sono assai difficoltose e richiedono sempre una notevole capacità interpretativa. 15 2 Onde di sollecitazione nei solidi 2.1 Introduzione Una perturbazione, esercitata su una qualche grandezza fisica in una regione limitata dello spazio, si propaga nello spazio circostante con modalità che dipendono di norma dal tipo di perturbazione e dalle caratteristiche del mezzo che riempie lo spazio. E’ bene puntualizzare che la propagazione, la quale avviene tramite un’onda, è del disturbo e non della grandezza in esame e che tale propagazione ondosa comporta uno scambio di energia. A causa di questi scambi, parte dell’energia meccanica viene convertita in calore attraverso diversi meccanismi indicati, in genere, come attriti interni. Questi introducono una tale complessità nei modelli matematici che descrivono il moto ondoso, da renderli intrattabili. E’ questo il motivo per cui tali effetti vengono trascurati nella maggior parte delle trattazioni senza tuttavia inficiare la loro validità, [1]. Nella teoria elasto-plastica dei corpi solidi, è stata diffusamente trattata, Kolsky [2], Johnson [3], Achenbach [4], la propagazione di due tipi di onde: 1 le onde longitudinali in cui il moto delle particelle del mezzo si sviluppa parallelamente alla direzione di propagazione; 2 le onde trasversali in cui il moto delle particelle del mezzo si sviluppa in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione. Bisogna però ricordare che, in generale, quando un corpo è soggetto a carichi impulsivi, si sviluppano in esso diverse tipologie di onde, quali quelle di torsione o quelle di flessione; se il disturbo si propaga lungo una superficie del corpo, questa avviene per mezzo di onde superficiali quali: 1 le onde di Rayleigh la cui intensità decade in modo esponenziale con la distanza dalla superficie; 2 le onde di Love, onde di taglio che si formano in materiali composti da strati con diverse caratteristiche fisiche. Nel presente capitolo sono esposti alcuni cenni di teoria della propagazione delle onde nei solidi, in riferimento al caso di onde longitudinali. Sono trattati la derivazione 16 dell’equazione delle onde elasto-plastiche e l’applicazione ai due casi di riferimento di tensione ovvero deformazione uniassiale. La teoria delle onde nei solidi è trattata con gli strumenti della “Rate Independent Theory”, per cui la risposta costitutiva del materiale è descritta da una curva sforzo deformazione. Questo semplifica enormemente l’analisi senza, per altro, compromettere la trattazione, in quanto il problema di propagazione delle onde è piuttosto insensibile alla forma dell’equazione costitutiva. 2.2 Equazione delle onde Per rendere la formulazione dell’equazione delle onde concettualmente chiara e maggiormente intuitiva è necessario, almeno inizialmente, limitare la discussione al caso di propagazione ondosa monodimensionale. Si consideri il problema di un disturbo che viaggia nella direzione x rispetto ad un sistema di riferimento fisso e si esaminino, come mostrato in figura 2.1, le forze che agiscono su un elemento di massa dm = ρ * dx * A . Si ipotizzi di limitare l’analisi al caso di piccole deformazioni e piccoli spostamenti. Figura 2.1 - Forze agenti sull’elemento di massa, [5]. Sia σ = F la tensione, definita positiva se in trazione, per il teorema della quantità di A moto si può scrivere: ∂σ ∂v =ρ ∂x ∂t (2.1) avendo indicato con v la velocità della particella, ovvero la derivata rispetto al tempo 17 dello spostamento nella direzione x: v = ∂u . ∂t Considerando che la deformazione è definita come: ε = ∂u ne deriva che: ∂x ∂ε ∂ v = ∂t ∂ x (2.2) Assumendo la tensione come funzione biunivoca della deformazione: σ = σ (ε ) si ricava l’equazione dell’onda per moto monodimensionale: ∂ 2 u 1 ∂ 2u = ∂ x2 c2 ∂ t 2 (2.3) in cui c è la velocità di propagazione del fronte d’onda: 1 dσ ρ dε c(ε ) = (2.4) E’ immediato riconoscere questa equazione come il caso particolare, di propagazione monodimensionale, della più generale equazione delle onde in forma indiciale: ∂U 1 ∂ 2ψ = 2 ∂ xi∂ xi c ∂ t 2 (2.5) 2.2.1 Tensione generata dall’impatto Per derivare l’intensità dello sforzo generato in un impatto, si può far riferimento all’evento, rappresentato in Figura 2.2, di un muro rigido che, al tempo t = 0 , impatta, a velocità v = v0 , una barra o un disco in stato di quiete. Nell’intervallo di tempo dt la barra si deformerà fino al piano B che dista v0 ⋅ dt dalla propria estremità originaria. Il disturbo, che porta la velocità delle particelle a v0 , viaggerà, nello stesso intervallo di tempo, fino al piano A, per una distanza pari a c ⋅ dt , in cui c indica la velocità dell’onda. Se si indica con σ lo sforzo di compressione che si genera tra l’impattatore e la barra di sezione A0 , l’impulso generato dell’intervallo di tempo dt è pari a σ A0 dt . La quantità di moto della barra, inizialmente ferma, è pari a ρ A0 cdt ⋅ v0 , al prodotto, cioè, della velocità per la massa delle particelle comprese dall’estremità iniziale della 18 barra ed il fronte d’onda A. Uguagliando l’impulso alla variazione della quantità di moto, si ottiene: σ = ρ cv0 (2.6) Se lo stato iniziale di sforzo e velocità è non nullo, le quantità σ e v0 devono essere sostituite dalle loro corrispettive variazioni ∆σ e ∆v , che portano all’espressione più generale: ∆σ = ρ c∆v (2.7) v 0 dt B v0 A v = v0 v=0 cdt Figura 2.2 – Schema di un corpo rigido che impatta un cilindro a velocità v0 , [5]. 2.2.2 Riflessione di onde elastiche alle interfacce Se, come schematicamente illustrato in Figura 2.3, un’onda longitudinale raggiunge una superficie libera con un generico angolo d’incidenza α, dalla sua riflessione saranno generate due onde distinte. La prima, anch’essa longitudinale, sarà riflessa con un angolo pari a quello d’incidenza, la seconda, di tipo distorsionale, sarà riflessa con un angolo più piccolo tale che: sin β 2 cD = sin α1 cL (2.8) In cui cL e cD indicano rispettivamente le velocità di propagazione dell’onda longitudinale e distorsionale. 19 onda incidente α1 α2 β2 distorsionale onde riflesse longitudinale Figura 2.3 – Riflessione di un’onda longitudinale su una superficie libera. u, v +σ cL cL ghost -σ u, v σnet Figura 2.4 – Riflessione di un’onda longitudinale su una superficie libera ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda, [1]. Allo stesso modo, se un’onda distorsionale raggiungesse una superficie libera si genererebbero due onde, quella trasversale avrebbe un angolo di riflessione pari a quello d’incidenza, quella longitudinale sarebbe riflessa con un angolo che rispetterebbe la relazione precedente (2.8). In Figura 2.4, è schematicamente illustrato il caso particolare di un’onda longitudinale che impatta normalmente una superficie libera. Poiché lo sforzo di tensione perpendicolare alla superficie deve essere nullo, l’impulso riflesso dovrà essere di segno inverso a quello incidente. In altre parole 20 un impulso di compressione sarà riflesso come un impulso di trazione e viceversa. Sia u I = f ( x − ct ) lo spostamento, lungo l’asse positivo delle ascisse, dovuto all’impulso incidente. La riflessione sulla superficie libera genera un’onda, che si muove lungo l’asse negativo delle ascisse, che porta ad uno spostamento u I = g ( x + ct ) . Alla superficie libera, per x = l , poiché lo sforzo netto deve essere nullo, si ha che: σ NET = σ I + σ R = 0 (2.9) Se si esprime lo sforzo in campo elastico come σ = Eε = E ( ∂u ∂x ) , si ottiene: σ NET = E ⎡⎣ f ′ ( l − ct ) + g ′ ( l + ct ) ⎤⎦ = 0 o, (2.10) f ′ ( l − ct ) = − g ′ ( l + ct ) in cui l’apice indica la derivazione rispetto a x . Dall’equazione (2.10) si evince che gli impulsi incidente e riflesso hanno la stessa forma, ma segno opposto. Anche la velocità della particella sulla superficie libera può essere ottenuta per sovrapposizione: ∂uI ∂uR + ∂t ∂t (2.11) vNET = c ( − f ′ + g ′ ) = 2cg ′ (2.12) vNET = vI + vR = che, sulla superficie libera, x = l , porta a: in cui, in questo caso, gli apici esprimono la derivazione rispetto al tempo. L’equazione. (2.12) attesta che nella regione in cui gli impulsi incidente e riflesso si sovrappongono, la velocità delle particelle e, quindi, anche lo spostamento, sono il doppio di quelli sviluppati dagli impulsi singoli. La tecnica, utilizzata in Figura 2.4 per visualizzare il comportamento degli impulsi di sforzo all’interfaccia, sfrutta la linearità dell’equazione dell’onda elastica per ottenere la soluzione come sovrapposizione di due impulsi: il primo impulso, in rosso, è costituito dall’onda incidente “reale”, il secondo è un immaginario impulso fantasma (ghost), di medesima forma, ma di segno opposto, che si trova inizialmente all’esterno del materiale e viaggia nel verso contrario. Quando raggiungono l’interfaccia, il primo 21 impulso esce dal materiale, mentre il secondo, entrando, diviene progressivamente reale. All’interno del materiale, laddove i due impulsi si sovrappongono, l’impulso netto è nullo. Quando l’impulso incidente esce completamente dal materiale, quello che originariamente era stato indicato come impulso fantasma dà luogo all’impulso, di forma quadra, disegno contrario a quello d cui è stato generato. Su una superficie fissa, invece, come illustrato in Figura 2.5, la velocità e lo spostamento devono essere nulli. Per cui, seguendo lo stesso procedimento, si può scrivere: vNET = −cf ′ ( l − ct ) + cg ′ ( l + ct ) = 0 o, (2.13) f ′ ( l − ct ) = g ′ ( l + ct ) e per lo sforzo: ⎛ ∂u ∂u ⎞ σ NET = E ⎜ I + R ⎟ = E ⎡⎣ f ′ ( l − ct ) + g ′ ( l + ct ) ⎤⎦ = 2 Ef ′ ( l − ct ) ∂x ⎠ ⎝ ∂x (2.14) Per cui, lo sforzo, sulla superficie vincolata è il doppio, mentre la velocità e lo spostamento sono nulli. u, v u, v +σ cL cL ghost +σ u,v = 0 Figura 2.5 – Riflessione di un’onda longitudinale su una superficie fissa ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda, [1]. 22 2.2.3 Riflessione e trasmissione di onde elastiche in una discontinuità meccanica Si consideri una bara con una discontinuità meccanica dovuta ad una differenza di materiale o ad una variazione di sezione, Figura 2.6. Sia σ I un impulso elastico di compressione che viaggia nella barra verso destra. Alla discontinuità questo sarà in parte riflesso, σ R , e in parte trasmesso σ T , in modo che siano verificate le seguenti condizioni: all’interfaccia, la forza nelle due barre deve essere la medesima, A1 (σ I + σ R ) = A2 (σ T ) (2.15) in cui A1 e A2 sono le rispettive sezioni delle barre all’interfaccia; le velocità delle particelle all’interfaccia devono essere continue, vI + vR = vT (2.16) σI σ σ − R = T ρ1c1 ρ1c1 ρ 2 c2 (2.17) Ricordando che σ = ρ cv0 , si ottiene: e risolvendo in funzione di σ I : A1, ρ1, c1 σT = 2 A1 ρ 2 c2 σI A1 ρ1c1 + A2 ρ 2 c2 (2.18) σR = A2 ρ 2 c2 − A1 ρ1c1 σI A1 ρ1c1 + A2 ρ 2 c2 (2.19) σI σR σT A2 , ρ2 , c2 Figura 2.6 – Riflessione e trasmissione di un’onda ad una discontinuità meccanica. Le equazioni (2.18) e (2.19) permettono di fare alcune considerazioni che possono 23 rivelarsi utili nell’analisi delle configurazioni sperimentali che saranno esaminate nel prosieguo della presente trattazione. Se i materiali che costituiscono le due barre sono identici si ha che ρ1 = ρ 2 e c1 = c2 , per cui: σT = 2 A1 σI A1 + A2 (2.20) σR = A2 − A1 σI A1 + A2 (2.21) σ T e σ R avranno lo stesso segno se A2 > A1 . Se, invece A2 < A1 , σ T e σ R avranno segno opposto. Se A2 A1 → 0 , si tende alla condizione di superficie libera e quindi σ R → −σ I . Se, al contrario, A2 A1 → ∞ , si tende alla condizione di superficie fissa, per cui σ R → σ I . e σ T → 0 . Non si verificano riflessioni dell’onda incidente, σ R = 0 , quando le impedenze meccaniche delle due barre sono tra di loro uguali, A1 ρ1c1 = A2 ρ 2 c2 , da cui di ricava: σT = σ I E2 ρ 2 E1 ρ1 (2.22) Nell’equazione (2.18), il coefficiente di σ I , non può mai essere negativo; questo significa che un impulso incidente di tensione sarà sempre trasmesso come un impulso di tensione e che un impulso incidente di compressione sarà sempre trasmesso come un impulso di compressione. Nell’equazione (2.19), il coefficiente di σ I , può essere positivo o negativo a seconda che si abbia A1 ρ1c1 < A2 ρ 2 c2 o A1 ρ1c1 > A2 ρ 2 c2 rispettivamente. Se il coefficiente è negativo, A1 ρ1c1 > A2 ρ 2 c2 , un impulso incidente di compressione sarà riflesso come un impulso di trazione e vice versa. Se il coefficiente è positivo, A1 ρ1c1 < A2 ρ 2 c2 , gli impulsi incidente e riflesso avranno lo stesso segno. 2.2.4 Tensione uniassiale Adottare configurazioni che garantiscano la possibilità di effettuare alcune semplificazioni permette di rendere matematicamente trattabili i modelli che descrivono 24 il moto delle onde. Se si studia la propagazione di un impulso di tensione in una barra sottile, che abbia cioè una lunghezza pari o maggiore di dieci volte il suo diametro, è possibile trascurare gli effetti dell’inerzia trasversale. Si può dunque assumere lo stato di tensione monoassiale. Nel caso in cui lo sforzo sia inferiore alla tensione di snervamento del materiale, lo stesso si comporterà elasticamente e, per quanto ricavato precedentemente, nel corpo si propagherà una perturbazione longitudinale il cui moto è descritto dall’equazione: ∂ 2 u 1 ∂ 2u = ∂ x2 c2 ∂ t 2 (2.23) e la cui velocità è pari a: E c= (2.24) ρ dove si è indicato con E il modulo di Young. Si consideri ora il caso di un materiale, il cui modello costitutivo sia descritto, secondo le ipotesi della “Rate Independent Theory”, da una legge tensione-deformazione bilineare, come in Figura 2.7 a, sottoposto ad un impulso di valore superiore alla sua tensione di snervamento. Nella barra considerata si propagheranno due distinti fronti d’onda, come illustrato nella Figura 2.7 b. Ogni fronte d’onda avrà una propria velocità di propagazione che dipenderà dai rispettivi moduli di elasticità E ed E1. σ σ E1 σy σy ε ce σy E ⋅t ρ E (a) σ E1 ⋅t ρ (b) x cp ce cp (c) x Figura 2.7 – Curva tensione deformazione e profili d’onda per un materiale bilineare. Se l’impulso è di breve durata, nel solido si genereranno le onde di rilascio elastica e plastica che, viaggiando alle velocità che le competono, porteranno alla formazione del profilo d’onda illustrato in Figura 2.7 c. 25 Poiché la velocità di propagazione delle onde elastiche può essere anche dieci volte maggiore della velocità delle onde plastiche, l’onda di rilascio elastica potrebbe raggiungere l’onda plastica e scaricarla. A questo punto un’altra onda, generata dalla riflessione sulla discontinuità rappresentata dall’onda plastica, si dirigerebbe verso la superficie libera della barra. Si innescherebbe così un meccanismo di continue riflessioni delle onde, tra la superficie libera e la posizione del fronte dell’onda plastica, che porterebbe, se fossero disponibili tempi sufficientemente lunghi, al progressivo scarico dell’onda incidente iniziale. ε σ ε1 σy ε1 εe ε c1 (a) c0 ξ (b) Figura 2.8 – Curva tensione deformazione e profilo d’onda per un materiale elasto-plastico, secondo la “rate independent theory”. Nel caso in cui la curva sforzo-deformazioni possa essere rappresentata, ancora sotto le ipotesi di “Rate Independent Theory”, dalla curva, riportata in Figura 2.8 a, con variazione continua della pendenza della parte plastica, ne risulterà il profilo di velocità di Figura 2.8 b, in cui si è definito ξ = x . Questo è il tipico profilo d’onda che si t sviluppa in un materiale elasto-plastico, quale ad esempio un metallo, in condizione di sforzo uniassiale. Dall’equazione (2.4), infatti, si deduce che ogni livello di tensione o deformazione propaga con una propria velocità caratteristica, che è funzione della tangente locale alla curva sforzo-deformazione. Poiché la curva in Figura 2.8 a, assunta come rappresentativa del comportamento del materiale in condizione di sollecitazione uniassiale, presenta la concavità verso l’asse delle ascisse, disturbi di tensione o deformazione più elevati sono caratterizzati da una più bassa velocità di propagazione. L’onda, quindi, è costituita da un precursore elastico seguito da un più lento fronte d’onda plastico disperso, a sua volta seguito da una regione a deformazione plastica ( ε1 ) costante. 26 2.2.5 Deformazione uniassiale Un’altra importante configurazione è quella che prevede che la deformazione possa avvenire in una sola direzione. Uno stato di deformazione monoassiale è definito come: ε1 ≠ 0 ε 2 = ε 3 = γ 12 = γ 13 = γ 23 = 0 (2.25) Nel derivare le equazioni per stato di deformazione monoassiale, si assume che la deformazione totale si possa scomporre in una parte elastica ed una plastica: ε1 = ε1e + ε1p ε 2 = ε 2e + ε 2p (2.26) ε 3 = ε 3e + ε 3p Per la seconda delle (2.25), si ha che: ε 2p = −ε 2e (2.27) ε = −ε p 3 e 3 Per l’incompressibilità del flusso plastico si può scrivere che: ε1p + ε 2p + ε 3p = 0 (2.28) che, sfruttando la simmetria, ε 2p = ε 3p ,porta a: ε1p = −ε 2p − ε 3p = −2ε 2p (2.29) Utilizzando l’equazione (2.27) si ottiene: ε1p = 2ε 2e (2.30) in modo da poter scrivere la deformazione totale in termini di sola deformazione elastica: ε1p = ε1e + ε1p = ε1e + 2ε 2e (2.31) Le deformazioni elastiche possono essere espresse, in termini di sforzi, dalle seguenti relazioni: 27 ε1e = ε 2e = ε 3e = σ1 ν E σ2 E − − E ν E σ3 ν E − E (σ 2 + σ 3 ) = σ1 − E 2ν σ2 E (σ 1 + σ 3 ) = (1 −ν ) σ 2 − (σ 1 + σ 2 ) = (1 −ν ) σ 3 − E E ν E ν E σ1 (2.32) σ1 avendo posto σ 2 = σ 3 . La combinazione delle equazioni (2.32) e (2.31) permette di ottenere: ε1e = σ 1 (1 − 2ν ) 2σ 2 (1 − 2ν ) E + E (2.33) Imponendo come criterio di snervamento quello di von Mises o quello di Tresca, cioè: σ 1 − σ 2 = Y0 (2.34) in cui Yo indica la tensione di snervamento, si ottiene: σ1 = E 2 2 ε1 + Y0 = K ε1 + Y0 3 (1 − 2ν ) 3 3 (2.35) in cui il “bulk modulus”, K , è definito come: K= E 3 (1 − 2ν ) (2.36) Nel caso particolare di deformazione elastica unidimensionale: ε1 = ε1e ε 2 = ε 2e = ε 3 = ε 3e = 0 (2.37) ε1p = ε 2p = ε 3p = 0 per cui, ε 2e = 0 = 1 −ν ν σ 2 − σ1 E E 28 (2.38) ovvero, σ2 = ν (1 −ν ) σ1 che porta alla scrittura; ε1 = σ1 E − 2ν 2σ 1 E (1 −ν ) o, σ1 = 1 −ν Eε (1 − 2ν )(1 +ν ) 1 (2.39) L’ equazione (2.39) dimostra che, in caso di stato di deformazione unidimensionale, la pendenza del tratto elastico della curva sforzo-deformazione del materiale, è, rispetto al caso di stato di sforzo unidimensionale, più elevato di un coefficiente pari a 1 −ν . (1 − 2ν )(1 +ν ) Questo è chiaramente illustrato nella Figura 2.10, in cui nella parte di sinistra sono schematicamente illustrate le curve sforzo-deformazione, per uno stato di sforzo unidimensionale, dei due materiali elastico perfettamente plastico e elastico con incrudimento lineare, mentre nella parte destra, sono riportate le corrispettive curve che si ottengono, per i medesimi materiali, in caso di deformazione unidimensionale. Figura 2.9 – Curva sforzo-deformazione per i materiali elastico perfettamente plastico ed elastico con incrudimento lineare, in caso di stato di sforzo uniassiale ovvero di deformazione uniassiale, [1]. 29 Un altro risultato interessante è l’innalzamento del valore della σ 1 per il quale si ha il superamento del limite elastico, dal valore dello snervamento del materiale, Y0 , per il caso di sforzo uniassiale, allo “Hugoniot Elastic Limit”, σ HEL , per il caso di deformazione uniassiale. Per quanto riguarda la parte plastica, l’equazione (2.35) dimostra che lo stress, indipendentemente dall’incrudimento, continua a crescere con la deformazione, in modo proporzionale al “bulk modulus”, e che lo scostamento dalla parte idrostatica della curva è pari a un valore costante 2 Y0 . La curva indicata in 3 Figura 2.9 come “Hydrostat” rappresenta, quindi, il comportamento del medesimo materiale, ma privo di capacità di resistenza a taglio, soggetto ad uno stato di deformazione uniassiale. Per valori estremamente elevati della pressione, lo scostamento tra le due curve diviene trascurabile e il materiale, senza compiere errori significativi, può essere trattato come un fluido e rappresentato dalla sola parte idrostatica. Se al materiale elastico perfettamente plastico rappresentato in Figura 2.9 si applica uno sforzo che supera il limite elastico di Hugoniot, si sviluppano le due onde, elastica e plastica, che secondo le equazioni (2.4), (2.35) e (2.39) propagano, rispettivamente, con velocità: ce = E (1 −ν ) ρ0 (1 − 2ν )(1 +ν ) (2.40) e cp = K ρ0 (2.41) Contrariamente a quanto avviene in stato di sforzo uniassiale, le velocità di propagazione delle due onde non sono significativamente differenti. Per un tipico acciaio legato, ad esempio, l’onda elastica è più veloce di quella plastica di circa il 25%, mentre, nel caso di sforzo uniassiale, si arriva ad un fattore pari a 10. Per valori della pressione estremamente elevati, lo sforzo idrostatico perde il rapporto di proporzionalità lineare con la compressione volumetrica, per salire più rapidamente, come schematicamente illustrato in Figura 2.10. La curva, contrariamente a quanto si 30 verifica in uno stato di sforzo uniassiale, presenta la concavità rivolta verso l’asse delle ordinate, con fortissime implicazioni sullo sviluppo e la propagazione delle onde di sollecitazione nel materiale. Figura 2.10 – Curva sforzo-deformazione in stato di deformazione uniassiale, per valori della pressione estremamente elevati, [5]. Il punto A corrisponde al limite elastico di Hugoniot e, quindi, il precursore elastico viaggerà ancora alla velocità governata dalla pendenza OA. Se il disturbo è tale da portare lo stato del materiale oltre il valore dell’HEL, si ricade nel tratto di curva con concavità verso l’alto, per cui, secondo la relazione (2.4), agli sforzi plastici più severi compete una velocità di propagazione più elevata rispetto a quella degli sforzi plastici più deboli. Questo comporta che se, per esempio, la sollecitazione porta lo stato del materiale fino al punto B di Figura 2.10, nello stesso si genereranno un precursore elastico, che viaggerà alla velocità definita dall’equazione (2.40), e un’onda d’urto plastica, che viaggerà alla velocità dettata dalla pendenza del tratto AB. Se il livello di sforzo raggiunge il punto C, che si trova sul prolungamento del tratto OA, il precursore elastico e l’onda d’urto plastica viaggeranno alla stessa velocità. Infine, per pressioni ancora più elevate, fino al punto D, si svilupperà una singola onda d’urto, la cui velocità, maggiore di quella che competerebbe al precursore elastico, è determinata dalla pendenza del tratto OD. Un’implicazione fondamentale che deriva da quanto detto è che la curva di Figura 2.10, generalmente indicata col termine Hugoniot, rappresenta il luogo dei punti degli stati di 31 equilibrio, ma, diversamente da quanto accade per la curva sforzo deformazione in stadi sollecitazione uniassiale, non viene percorsa durante il processo di carico. 32 Bibliografia [1] Zukas, J. A, Nicholas, T., Swift, H. F., Greszczuc, L. B. and Curran, D. R., Impact Dynamic, John Wiley & Sons, New York, 1992. [2] Kolsky, H., Stress Waves in Solids, Dover, New York, 1963. [3] Johnson, W., Impact Strength of Materials, Crane, Russak, New York, 1972. [4] Achenbach, J.D., Wave Propagation in Elastic Solids, American Elsevier, 1975. [5] Zukas, J. A., High Velocity Impact Dynamics, John Wiley & Sons, New York, 1990. 33 3 Modellazione costitutiva 3.1 Introduzione Lo studio dei processi associati ai fenomeni impulsivi, quali quelli conseguenti l’impatto tra corpi, richiede necessariamente la conoscenza e la descrizione accurata del comportamento meccanico del materiale in regime dinamico. Tali modelli devono essere in grado di tenere in conto gli effetti, sulla resistenza del materiale, della deformazione, della velocità di deformazione, della temperatura, del danneggiamento e, per impatti iperveloci, della pressione idrostatica. Un approccio consolidato, e largamente utilizzato, è quello di utilizzare un modello costitutivo composto da più sottomodelli disaccoppiati, in grado di tenere in conto gli effetti combinati di tutte le variabili in gioco. Tradizionalmente si descrivono gli effetti della deformazione, della velocità di deformazione e della temperatura con un modello di resistenza, gli effetti del danneggiamento con un modello di rottura e l’effetto della compressione volumetrica con un’equazione di stato. Tale modo di operare semplifica enormemente la descrizione del comportamento del materiale e, soprattutto, permette la caratterizzazione dello stesso con un numero limitato di prove meccaniche, relativamente semplici. Anche se a rigore si dovrebbe ricorrere ad una formulazione costitutiva che incorpori questi effetti in maniera accoppiata, esistono numerose osservazioni sperimentali che giustificano tale modo di operare, 0. Nei paragrafi seguenti sono presentati i modelli di resistenza ed i modelli di danneggiamento più importanti, con riferimento particolare ai modelli utilizzati per l’analisi delle configurazioni sperimentali investigate. 3.2 Modelli strain rate sensitive I metalli, generalmente, mostrano una notevole sensibilità alla velocità di deformazione e alla temperatura. Nella maggior parte dei casi, la velocità di deformazione ha l’effetto più rilevante sull’incremento della resistenza del materiale. In Figura 3.1 sono riportati gli andamenti sforzo-deformazione di taglio, per un alluminio commerciale, in un intervallo di velocità di deformazione che va da 600 a 2800 s-1, a confronto con la curva di riferimento quasistatica ottenuta a 2,0 103 s-1. 34 Figura 3.1 – Effetto della velocità di deformazione sull’alluminio commerciale caricato a taglio. Figura 3.2 - Effetto della temperatura sul titanio α. La temperature, al contrario, addolcisce il materiale, come mostrato per il titanio-α in Figura 3.2, in cui sono riportate le curve sforzo deformazione ottenute, a parità di velocità di deformazione, in un intervallo di temperature che va dai 77 ai 288K. È noto che la sensibilità del materiale alla velocità di deformazione e alla temperature è legata alla struttura atomica. In particolare, i metalli con una struttura cubica a corpo centrale 35 (CCC), quali il ferro α, gli acciai ferritici, il niobio, il tantalio, etc., mostrano una forte variazione del valore della tensione di snervamento con la temperatura, T, e la velocità di deformazione, ε . Al contrario, i metalli con struttura cubica a facce centrate (CFC), quali gli acciai austenitici, il nichel, l’alluminio, il rame e l’argento, non mostrano la stessa sensibilità in modo particolare rispetto alla temperatura. I metalli a struttura esagonale compatta (EC), infine, quali il titanio e lo zinco, esibiscono un comportamento intermedio tra quello dei CCC e quello dei CFC. Da tali osservazioni risulta essere evidente la necessità di superare le ipotesi semplificative, utilizzate nel capitolo precedente, della “Rate Independent Theory”e di utilizzare modelli basati sulla “Rate Dependent Theory”. Esiste un elevato numero di modelli proposti in letteratura sviluppati facendo riferimento a due approcci differenti: quelli sviluppati su base fisica, come ad esempio l’energia di attivazione o la meccanica delle dislocazioni, o, alternativamente, gli approcci empirici. Mentre i primi descrivono in modo più attento l’insieme dei meccanismi intimamente legati all’evoluzione della microstruttura del materiale, i secondi sono più semplici da utilizzare in virtù d’una maggiore maneggevolezza. 3.2.1 Modelli di resistenza formulati su basi fisiche Descrivere la risposta inelastica di tutti i metalli con una legge generalizzata che derivi da una teoria unificata è estremamente difficile. Nel passato sono stati compiuti diversi tentativi con l’obiettivo di ricavare una relazione che leghi la tensione di snervamento, σy, alla velocità di deformazione a alla temperatura: σy = f (ε, ε,T ) (3.1) Un gran numero di equazioni sono state proposte da autori diversi, ampie descrizioni sono riportate nei testi di Zukas, [2], e Zukas et al., [3]. Anche se molto differenti e, a volte, tra di loro inconsistenti, una caratteristica fondamentale, riconoscibile in tutti i modelli, è quella che vede una dipendenza esponenziale della tensione di snervamento dalla temperatura e un’equivalenza di effetti tra temperatura e velocità di deformazione. Tali caratteristiche trovano conferma nei risultati sperimentali quali quelli riportati in Figura 3.3, in cui, per un acciaio basso legato, è riportata la variazione del valore dello snervamento con la temperatura e la velocità di deformazione. Qui è illustrato 36 chiaramente come, in un diagramma logaritmico, lo snervamento cresce linearmente con la velocità di deformazione fino a ε pari a 104 s-1. Figura 3.3 - Variazione del valore dello snervamento di un acciaio basso legato con la velocità di deformazione e la temperatura. Tale aspetto è evidente nella relazione di Zener e Hollomon, [4]: σy = f (ε ⋅ eQ / RT ) (3.2) in cui Q è l’energia di attivazione e R la costante universale dei gas. Il modello di Zerilli-Armstrong, [5], è, invece, basato sul moto delle dislocazioni termicamente attivato, con particolare attenzione alla differente risposta dei metalli CCC da quelli CFC. Il modello ha un’ottima capacità di descrivere i risultati sperimentali ed è espresso dalle seguenti relazioni: BCC : σy = C 1 exp ( −C 3T + C 4T ln ε ) (3.3) FCC : σ flow = C 2 ε1/ 2 exp ( −C 3T + C 4T ln ε ) Nel 1984 Hartley e Duffy, [6], proposero un modello, basato sulla dinamica delle dislocazioni, che spiegasse il comportamento d’un materiale che manifesti una sensibilità sia alla temperatura che alla velocità di deformazione. La legge, ricavata 37 facendo riferimento alla teoria dei meccanismi di attivazione termica, ha la forma: 1 1 p ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎛ γ0 ⎞ q ⎪ ⎪ k * T *ln ⎜ ⎟ ⎥ ⎪⎪ ⎢ ⎝ γ ⎠ ⎥ ⎪⎪ τ = τ µ + (τ 0 − τ µ ) ⎨1 − ⎢ ⎬ ⎥ ⎪ F0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎦ ⎪ ⎩⎪ ⎭ (3.4) dove T indica la temperatura assoluta, F0 l’energia libera totale da superare, τ0 la tensione di snervamento allo zero assoluto, τµ la componente atermica della tensione di snervamento e p e q descrivono la forma degli ostacoli da superare. 3.2.2 Modelli di resistenza fenomenologici Si hanno relazioni ancora più complesse se si tenta di descrivere la sensibilità del materiale alla storia delle velocità di deformazione. Nel 1977, Campbell et al., [7], propose un modello fenomenologico nella forma: τ = f1 ( γ ) + f 2 ( γ , γ2 ) + f 2 ( γ − α , γ1 ) − f 2 ( γ − α , γ2 ) (3.5) dove f1 ed f2 sono le due funzioni: f1 ( γ ) = A * γ n (3.6) ⎛ γ ⎞ f 2 ( γ , γ ) = m * A * γ n *ln ⎜ 1 + ⎟ ⎝ B⎠ (3.7) 3.2.3 Modello di resistenza di Johnson e Cook Il modello fenomenologico utilizzato nel presente lavoro è stato presentato da Johnson e Cook nel 1983, [8], nella forma: σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) in cui ε è la deformazione plastica equivalente, ε* = (3.8) ε è la velocità di deformazione ε0 plastica adimensionalizzata per ε0 = 1.0s −1 e T* è la temperatura omologa: T* = T − Tro om Tmelt − Tro om 38 (3.9) dove T indica la temperatura assoluta, Troom la temperatura ambiente e Tmelt la temperatura di fusione. Le costanti A, B, n, C ed m sono costanti dipendenti dal materiale. L’espressione nel primo gruppo di parentesi esprime il valore della tensione in funzione della deformazione, quindi la legge d’incrudimento, che si ha per una velocità di deformazione pari a quella di riferimento ed un valore della temperatura omologa nulla. Le espressioni nel secondo e nel terzo gruppo di parentesi esprimono, rispettivamente, l’effetto della velocità di deformazione e quello della temperatura sulla risposta meccanica dei materiali. Il punto di forza di tale modello è dato dalla possibilità di trattare in modo disaccoppiato gli effetti dovuti alle tre variabili di deformazione, velocità di deformazione e temperatura. Ciò, oltre a rendere molto semplice l’implementazione del modello in qualunque codice numerico in commercio, permette la caratterizzazione del materiale con un numero limitato di prove meccaniche. Bisogna comunque sottolineare che la proporzionalità, espressa dall’equazione (3.8), della tensione di snervamento con il logaritmo della velocità di deformazione non permette, come illustrato in Figura 3.3, una corretta descrizione della risposta meccanica del materiale in regimi di velocità di deformazione superiori a 104 s-1. 3.3 Modelli di Danneggiamento duttile nei metalli La rottura duttile, se pur limitata all’ambito dei metalli, è un fenomeno estremamente ampio e complesso. Per decenni, si è pensato alla rottura come ad un fenomeno indipendente dalla storia dei processi di sforzo e deformazione che hanno luogo nel materiale. Il comportamento di questo, cioè, non subiva modificazioni di sorta fino all’improvvisa incapacità di sostenere i carichi. Le teorie di rottura, ad esempio, sono il tentativo d’identificare il valore del carico massimo ammissibile senza interessarsi ai meccanismi specifici di rottura. Anche se la rottura fragile ha ricevuto grande attenzione dall’inizio del ventesimo secolo, la rottura duttile è stata studiata in dettaglio solo a partire dagli anni sessanta. McClintock, [9], e Rice e Tracy, [10], sono stati i primi ad identificare nel processo di nucleazione e crescita dei microvuoti, correlate all’aumento del livello di deformazione, il micromeccanismo responsabile della rottura duttile. Da allora, sono stati proposti un gran numero di modelli di rottura, che, classicamente, sono suddivisi in “abrupt criteria” e modelli “nucleation and growth (NAG)”. 39 Per i primi, a rottura improvvisa, questa avviene istantaneamente quando una variabile interna ovvero una variabile di stato, raggiunge, in un punto, il valore critico. In tali modelli il danno, anche se è accumulato durante la storia delle deformazioni, non è accoppiato alle altre variabili costitutive. Questo è un modello tipico per la rottura dei materiali fragili, per cui si ha rottura quando si raggiunge il valore critico dello sforzo ovvero dell’intensità del campo di sforzo. Per i modelli NAG, invece, l’attivazione dei danneggiamento è causa di una modificazione delle proprietà meccaniche del materiale. La rottura è vista come il risultato di un progressivo deterioramento del materiale e della sua capacità di sostenere i carichi. La variabile, accoppiata alle altre variabili interne, che tiene in conto tale deterioramento è comunemente indicata come danno e richiede la definizione di una legge di evoluzione cinetica. Gli “abrupt criteria” sono, di solito, facilmente implementabili nei codici numerici, ma, di contro, risentono di una scarsa trasferibilità dimensionale e geometrica. Nella dinamica dell’impatto, tali criteri sono stati largamente utilizzati con la giustificazione del fatto che i fenomeni dinamici avvengono tanto rapidamente da confinare gli effetti associati in volumi limitati e che, quindi, gli eventuali accoppiamenti del danno alle altre variabili interne potessero essere trascurati. Tali modelli, però, poiché sono spesso di natura fenomenologica, richiedono una caratterizzazione dei parametri a posteriori che riduce fortemente l’effettiva capacità di previsione della rottura. In questo contesto, ad esempio, il valore critico della pressione in tensione è comunemente utilizzato per prevedere la rottura per spall in un Flyer Plate Impact Test. La determinazione del valore critico, caratteristico del materiale che si sta investigando, richiede l’effettuazione di un certo numero di prove a differenti velocità. L’identificazione avviene comparando lo spall signal del profilo di velocità risultante, con quello calcolato. Tale modo di operare non tiene in nessuna considerazione l’effetto della triassialità dello stato di sforzo sul processo di rottura duttile. Hancock e Mackenzie, [11], e Hancock e Brown, [12], evidenziarono che la triassialità dello stato di sforzo (Triaxiality Factor, TF) ha un ruolo considerevole nel ridurre la capacità di deformarsi del materiale. Proposero, allora, un modello per cui si ha rottura quando in un punto del materiale si raggiunge un valore critico di deformazione, che 40 dipende dalla multiassialità dello stato di sforzo secondo la relazione: ⎛ 3σ εf = α exp ⎜⎜ − m ⎜⎝ 2 σeq ⎞⎟ ⎟ ⎠⎟ (3.10) in cui σm indica la pressione idrostatica, σeq la tensione equivalente di Mises, e α è una costante dipendente dal materiale il cui valore può essere identificato in una prova a sforzo uniassiale (TF= σm/ σeq=1/3). Ad un’espressione simile è giunto, in modo indipendente, Manjoine, [13], interpolando dati sperimentali per un certo numero di acciai: εf = εuniaxial 2( f 1−3 σm σeq ) (3.11) In Figura 3.4 sono messe a confronto le due relazioni, che prevedono una riduzione della duttilità al crescere della triassialità dello stato di sforzo, insieme ai dati sperimentali relativi all’acciaio SA537 testato a differenti velocità di carico, [14]. Figura 3.4 - Riduzione della duttilità al crescere della triassialità dello stato di sforzo per l'aciaio SA537, [14]. Johnson e Cook, [15],proposero un modello basato sul valore critico della deformazione, in grado di considerare gli effetti della triassialità dello stato di sforzo, 41 della velocità di deformazione e della temperatura, secondo la seguente relazione: ⎛ σ εf = ⎜⎜ D1 + D2 exp D3 m ⎜⎝ σeq ⎞⎟ ⎛ ε ⎞⎛ T − T0 ⎞⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 1 + D4 ln ⎟⎟⎟ ⎜⎜ 1 + D5 ⎟ ε0 ⎠⎝ Tmelt − T0 ⎠⎟ ⎠⎝ (3.12) Al fine di tenere in conto la storia delle deformazioni, proposero un criterio cumulativo per cui si ha rottura quando la deformazione normalizzata, definita nell’equazione (3.13), raggiunge il valore unitario: D= ∑ ∆εi εif (3.13) Tali criteri, in genere, non sono, almeno in forma diretta, dipendenti dal tempo. Tuler e Butcher, [16], osservando che lo sforzo in grado di causare una rottura con un impulso di lunga durata è più basso di quello necessario con uno di breve durata, proposero la seguente espressione: tf ∫0 ( σ − σ0 )λ dt ≥ Kc (3.14) in cui σ0 è il valore di soglia oltre il quale è attivato il criterio e tf è il tempo totale a rottura. Si ha rottura quando, in un punto, l’integrale dato nell’equazione (3.14) supera il valore di riferimento Kc. Tale modello è in grado di prevedere con buona approssimazione la rottura per spall causata da un impulso triangolare, ma ha dei limiti evidenti nell’incapacità di considerare gli effetti volumetrici e quelli legati alla triassialità dello stato di sforzo. I modelli NAG sono basati sull’assunzione che fenomeni irreversibili, che hanno luogo durante il processo di deformazione, modificano la risposta del materiale e la sua capacità di sostenere i carichi. Per un modello basato su questo approccio, è necessario ridefinire le equazioni costitutive del materiale. Nel passato sono stati seguite, prevalentemente, due strade differenti: quella dei “Porosity-based Models” e quella dei “Contnuum Damage Models” (CDM). Nei modelli basati sul concetto di porosità, questa è espressa con l’introduzione di una variabile di porosità fittizia, correlata alla formazione di microvuoti nel materiale con la deformazione plastica, che abbassa lo snervamento del materiale. Le equazioni costitutive del materiale alla macro scala sono le equazioni elasto-plastiche standard del materiale, ma il criterio di snervamento è modificato dalla porosità del materiale in 42 modo tale che quando questa raggiunge il valore critico, la funzione di snervamento implode in un punto a sforzo nullo. Tale approccio è stato inizialmente formulato da Gurson, [17],e, successivamente, è stato modificato da Tvergaard e Needleman, [18], per tenere in conto l’effetto d’interazione tra i diversi vuoti. Needleman e Rice, [19], modificarono il modello per la nucleazione di nuove famiglie di vuoti in fasi successive del processo di deformazione. Anche se tale modello è largamente utilizzato in un gran numero di applicazioni ed è disponibile nella maggior parte dei codici numerici commerciali, è fortemente limitato da due fattori: richiede la conoscenza di un numero eccessivo di parametri dipendenti dal materiale (fino a 9); non è trasferibile a differenti condizioni geometriche e di vincolo, [20] e [21]. Curran et al. [22], facendo riferimento allo stesso approccio, proposero una legge di evoluzione della porosità differente, assumendo una distribuzione esponenziale dei vuoti rispetto alla loro dimensione. Seaman et al. [23], proposero una funzione di distribuzione della nucleazione legata alla pressione tensile. Nella CDM si definisce, in modo alternativo ai modelli basati sul concetto di porosità, un set di equazioni costitutive per il materiale danneggiato. In questo approccio, il danno è una delle variabili di stato. Assumendo l’esistenza di un potenziale di dissipazione di danno, si può ricavare la legge cinetica di evoluzione del danno. Lemaitre, [24], ha per primo definito il contesto costitutivo per il danno duttile nei materiali. Successivamente, [25], sono state presentate altre forme del potenziale di dissipazione del danno che portano a diverse leggi di evoluzione del danno con la deformazione plastica. Nel prossimo paragrafo è presentato il modello proposto da Bonora nel 1997, [2], che sarà utilizzato nel prosieguo della presente trattazione. 3.3.1 Modello di danno duttile non lineare Il modello di danno utilizzato nel presente lavoro è stato sviluppato da Bonora, [2], nel contesto della CDM, inizialmente proposta da Lemaitre, [24]. Le caratteristiche principali del modello possono essere brevemente riassunte nei seguenti punti: 9 Il modello è derivato sotto le ipotesi dell’esistenza di un potenziale di dissipazione del danno e dell’equivalenza delle deformazioni, che portano alla definizione di tensione effettiva e all’accoppiamento tra danno e deformazione plastica; 43 9 Il modello richiede un numero limitato di parametri dipendenti dal materiale, soltanto quattro, tutti con un preciso significato fisico; 9 L’identificazione degli stessi può essere facilmente ottenuta con semplici prove di tensione uniassiale su provini di geometria appropriata (clessidra, round notched e prova di pura torsione); 9 I parametri sono caratterizzati da trasferibilità geometrica; 9 La formulazione del modello di danno è indipendente dal materiale, differenti evoluzioni del danno con la deformazione plastica possono essere accuratamente descritte con il medesimo potenziale di danno, utilizzando in modo appropriato il set di parametri, Figura 3.5; 9 La formulazione proposta non presenta i problemi di localizzazioni tipici delle formulazioni con softening. 1.0 Al2024-T3 0.9 Cu99.9% 0.8 AISI1045 0.7 Bonora's model 0.6 cr D/D 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 ( ε- εth )/( εcr - εth ) Figura 3.5 - Evoluzione del danno, normalizzato rispetto al danno critico, in funzione della deformazione plastica, per diversi tipi di metalli. Di seguito è riportato il set base di equazioni costitutive: Decomposizione delle deformazioni totali, εTij = εije + εijp 44 (3.15) Velocità delle deformazioni elastiche, εije = 1 + ν σij ν σkk − δ E 1 − D E 1 − D ij (3.16) Legge evolutiva delle deformazioni plastiche, ∂ fp 3 sij εijp = λ = λ ∂σij 2 σeq (3.17) Definizione del moltiplicatore plastico ∂ fp r = −λ = λ = p ∂R (3.18) in cui le equazioni (3.17) e (3.18) sono quelle della plasticità standard, mentre la legge cinetica di evoluzione del danno è data da: 1 α −1 p ⎛σ ⎞ ( D − D0 )α ∂f D = −λ D = α ⋅ cr ⋅ f ⎜⎜ H ⎟⎟⎟ ⋅ ( Dcr − D ) α ⋅ ⎜⎝ σeq ⎠ p ln(εf / εth ) ∂Y (3.19) dove f ⎛ Ρ ⎜⎜ ⎜⎝ σeq ⎞⎟ 2 ⎛ Ρ ⎟⎟ = ( 1 + ν ) + 3 ⋅ ( 1 − 2ν ) ⋅ ⎜⎜⎜ ⎠ 3 ⎝ σeq ⎞⎟2 ⎟ ⎠⎟ (3.20) esprime l’effetto della triassialità degli sforzi. I parametri di danno richiesti sono: εth , la soglia di deformazione alla quale i processi di danneggiamento hanno inizio; εf , la deformazione teorica a rottura uniassiale; Dcr , il danno critico al quale si ha la rottura e α , l’esponente di danno che determina la forma della curva dell’evoluzione del danno con la deformazione plastica. 45 Bibliografia [1] Pirondi A. e Bonora N., Modeling Ductile Damage Under Fully Reversed Cycling, Computational Solids Mechanics, 2002. [2] Zukas, J. A., High Velocity Impact Dynamics, John Wiley & Sons, New York, 1990. [3] Zukas, J. A, Nicholas, T., Swift, H. F., Greszczuc, L. B. and Curran, D. R., Impact Dynamic, John Wiley & Sons, New York, 1992. [4] Zener C., e Hollomon J.H., J. Appl. Ph., 15, pp. 22-32, 1944. [5] Zerilli, F.J. e Armstrong, R.W., Dislocation-Mechanics-Based Constitutive Relations for Material Dynamics Calculations, J. Appl. Ph., 61, pp. 1816-1825, 1987. 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Il loro utilizzo, ad oggi, ha il limite maggiore nella carenza di modelli costitutivi in grado di descrivere correttamente il comportamento meccanico dei materiali in regime dinamico, nondimeno tali strumenti sono fortemente consolidati, permettono di calcolare correttamente i fenomeni di propagazione ondosa tipici dei fenomeni transitori di geometrie comunque complesse, di risolvere problemi accoppiati meccanici, termici, elettromagnetici etc., [3]. Il loro utilizzo non può, però, prescindere dall’esperienza dell’operatore e da una profonda conoscenza sia delle problematiche che si stanno analizzando, sia degli strumenti che si stanno adoperando. In commercio esiste un gran numero di codi numerici per trattare i processi d’impatto, con caratteristiche diverse: codici lagrangiani, euleriani, SPH, etc. A volte lo stesso codice integra, per garantire una maggiore flessibilità, diversi approcci, come nel caso dei codi che permettono l’interazione, nella medesima analisi, di griglie lagrangiane ed euleriane. Solo con un’adeguata conoscenza di tutte queste caratteristiche si può scegliere correttamente e in modo consapevole lo strumento più adeguato alle proprie esigenze. Una distinzione netta, in merito al metodo di risoluzione delle equazioni differenziali, esiste tra i codici impliciti e quelli espliciti. I primi, più tradizionali, nati per la risoluzione di analisi quasistatiche, richiedono l’inversione della matrice di rigidezza, questo garantisce una maggiore affidabilità dei risultati ottenuti a discapito di una maggiore difficoltà nel raggiungere la convergenza e di una più bassa velocità di 48 calcolo. I codici espliciti sono i codici più diffusi per le analisi dinamiche, sono dedicati alla risoluzione delle problematiche d’impatto. Sono molto “robusti” in relazione alla loro capacità di raggiungere la convergenza e permettono di effettuare analisi, anche molto complesse, tridimensionali, con numerosi corpi a contatto, in un tempo relativamente contenuto. Tale facilità di convergenza, però, impone, all’operatore, una maggiore attenzione nel controllo dei risultati ottenuti, perché l’accumulo di errori nel processo di integrazione può portare a stime, quantitative e qualitative, del tutto sbagliate. Di seguito sono presentati i due codici commerciali utilizzati per le analisi delle configurazioni sperimentali investigate: il codice implicito, agli elementi finiti MSC.Marc e il codice esplicito Autodyn. 4.2 Analisi dinamica in MSC.Marc Il codice agli elementi finite MSC.Marc permette di effettuare analisi dinamiche di diverso tipo, [2]: Analisi agli autovalori; Analisi transiente; Risposta armonica; Risposta spettrale. Il programma utilizza due metodi per l’estrazione degli autovalori e tre operatori per integrazione temporale. Possono essere trattate non linearità, dovute al materiale, alla geometria e alle condizioni al contorno. I problemi lineari possono essere risolti con una sovrapposizione modale ovvero con un’integrazione diretta. I problemi non lineari, invece, possono essere risolti esclusivamente con i metodi d’integrazione diretta. Oltre alle masse distribuite è possibile utilizzare masse concentrate associate ad ognuno dei gradi di libertà del sistema. Lo smorzamento numerico può essere utilizzato sia per le analisi modali sia per quelle transienti. Si possono applicare condizioni iniziali non uniformi di spostamento o velocità, così come forze o spostamenti dipendenti dal tempo. 49 4.2.1.1 Integrazione Diretta L’integrazione diretta è un metodo numerico per risolvere le equazioni del moto di un sistema dinamico, che può essere utilizzato sia per problemi lineari sia per quelli non lineari. Per le analisi transienti, MSC:MARC offre i tre operatori d’integrazione diretta di seguito riportati: Newmark-β Operator; Houbolt Operator; Central Difference Operators. Tutte le tecniche d’integrazione diretta sono imprecise e presentano almeno uno dei seguenti inconvenienti: conditional stability; artificial damping; phase errors. Newmark-β Operator Tale operatore è, probabilmente, il metodo d’integrazione diretta più popolare e utilizzato per le analisi agli elementi finiti. Per i problemi lineari è incondizionatamente stabile e non presenta smorzamenti numerici. In problemi non lineari possono nascere delle instabilità che possono essere superate con uno smorzamento adeguato o riducendo l’intervallo del tempo d’integrazione. La procedura supporta, infatti, la possibilità di variazione di tale intervallo e l’utilizzo di un controllo adattativi dello stesso. Si considerino le equazioni del moto di un sistema strutturale scritte in forma matriciale: Ma + Cv + K u + F = 0 (4.1) in cui M, C, e K indicano, rispettivamente, le matrici di massa, di smorzamento e di rigidezza, e a, v, u, e F sono i vettori di accelerazione, velocità, spostamento e forza. La forma generalizzata del Newmark-β operator è data da: u n +1 = u n + ∆ t ⋅ v n + v n +1 n ( 21 − β ) ∆t n 2 ⋅ a n + β ⋅ ∆t 2 ⋅ a n +1 = v + ( 1 − γ ) ∆t ⋅ a + γ ⋅ ∆t ⋅ a 50 n +1 (4.2) in cui l’apice n indica l’intervallo temporale ennesimo. Le equazioni della dinamica che corrispondono alla particolare forma della legge trapezoidale, γ = 1 2 β = 1 4 (4.3) risultano in: ( ∆4t 2 M + ) ( ) 2 4 n C + K ∆u = F n + 1 − R n + M a n + v + Cv n ∆t ∆t (4.4) in cui R è la forza interna data da: R= ∫V βT σdV (4.5) L’equazione (4.4) permette di ottenere la soluzione implicita del problema nella forma: u n +1 = u n + ∆u (4.6) È bene sottolineare che la matrice dell’operatore include il termine la matrice di rigidezza tangente, K, per cui, ogni non linearità comporta una riformulazione della matrice dell’operatore. Questa, inoltre, dipende dall’intervallo d’integrazione e deve essere, di conseguenza, ricalcolata per ogni variazione dello stesso. Nell’equazione (4.2) , γ è un parametro che, se settato ad un valore diverso da 1 2 , introduce uno smorzamento nella risposta. Questo può permettere, ad un operatore molto esperto, di introdurre una viscosità artificiale che può essere necessaria, ad esempio, nella simulazione di un fenomeno caratterizzato dalla propagazione di onde d’urto. Invece β è il parametro caratteristico della formulazione di Newmark. Al variare del suo valore infatti, tale metodo diviene equivalente a formulazioni di volta in volta differenti, ad esempio: β= 1 - accelerazione costante nell’incremento temporale 4 β= 1 - accelerazione lineare 6 β= 1 - variazione a gradino dell’accelerazione 8 β = 0 - formulazione esplicita del secondo ordine. 51 4.2.2 Houbolt Operator Tale operatore possiede la medesima stabilità incondizionata per I problemi lineari del Newmark-β operator. Inoltre è caratterizzato da un elevato smorzamento numerico che lo rende molto stabile anche per i problemi non lineari. La stabilità, infatti, cresce all’aumentare del dell’intervallo d’integrazione. Di contro, però, l’elevato smorzamento può portare, per intervalli d’integrazione molto lunghi, a soluzioni non accurate. L’Houbolt operator è basato sull’utilizzo di un’interpolazione cubica per i valori a quattro tempi differenti, tre determinati in precedenza e il corrente incognito. Ciò risulta nelle equazioni: v n +1 = ( 116 u n +1 ) (4.7) 1 ∆t 2 (4.8) 3 1 1 − 3u n + u n −1 − u n −2 ⋅ 2 3 ∆t e a n +1 = ( 2u n +1 − 5u n + 4u n −1 − u n −2 ) Sostituendo le equazioni (4.7) e (4.8) nell’equazione del moto, si ottiene: ( ∆2t ) 11 C + K ∆u = 6∆t (4.9) n n −1 n −2 u − u + u M 3 4 ( ) C 7 3 1 = F n +1 − R n + + u n − u n −1 + u n −2 ∆t 6 2 3 ∆t 2 2 M + ( ) che fornisce uno schema di soluzione “implicito” per l’equazione (4.1), dalla quale si ottengono vn+1 e an+1. 4.2.3 Central Difference Operator Tale operatore esplicito è stabile solo in modo condizionale e il programma calcola, automaticamente, il massimo intervallo ammissibile del tempo d’integrazione. Tale metodo non è applicabile a strutture di tipo guscio o trave, perché le elevate frequenze risultano in un limite di stabilità estremamente piccolo, è invece molto utile per l’analisi dei fenomeni di shock. Il Central Difference Operator assume una legge di variazione dello spostamento rispetto al tempo, di tipo quadratico: ( an = v n + 12 −v n − 12 52 ) ( ∆t ) (4.10) ( ) ( ∆t ) (4.11) a n = ( ∆u n +1 − ∆u n ) ( ∆t 2 ) (4.12) ∆u n = u n − u n −1 (4.13) vn = u n + 12 −u n − 12 in modo che: in cui: Nella forma più generale la soluzione è data da: M M n − 12 n +1 n = F n − Rn + 2 ∆u 2 ∆u − Cv ∆t ∆t (4.14) 4.2.4 Damping Il damping, o smorzamento numerico, riproduce, in un’analisi dinamica transiente, la dissipazione di energia all’interno del sistema. In Marc sono previste, per tale analisi, due tipologie di smorzamento: il modal damping, per il metodo delle sovrapposizioni modali, e il Rayleigh damping, per l’integrazione diretta Ad ogni incremento di tempo, il programma associa, ad ogni modo, la frazione di damping corrispondente. L’integrazione è basata sull’assunzione che la matrice di smorzamento numerico del sistema è costituita da una combinazione lineare delle matrici di massa e di rigidezza, e che quindi non modifica i modi del sistema. Il damping è utilizzato per smorzare le eccessive oscillazioni del sistema alle alte frequenze. Poiché, al diminuire dell’intervallo d’integrazione, la matrice di damping può causare uno smorzamento eccessivo, è opportuno utilizzare l’opzione che vede la matrice di damping essere dipendente dall’intervallo d’integrazione, in modo che, anche per intervalli molto piccoli, le frequenze più elevate possano essere correttamente rappresentate. La matrice di damping è data dalla seguente relazione: ∑ { αiM i + ( βi + γi n C = i =1 In cui: C è la matrice di damping; Mi è la matrice di massa dell’i-esimo elemento; Ki è la matrice di rigidezza dell’i-esimo elemento; 53 ) } ∆t Ki π (4.15) αi è il coefficiente smorzamento di massa sull’i-esimo elemento; βi è il coefficiente smorzamento di rigidezza sull’i-esimo elemento; γi è il coefficiente che rende lo smorzamento numerico proporzionale a ∆t; ∆t è l’intervallo del tempo d’integrazione; Se, per l’intera struttura, sono usati gli stessi valori per I coefficienti di smorzamento, l’equazione (4.15) risulta in una formulazione del damping equivalente a quella di Rayleigh. 4.3 Analisi dinamica in Autodyn Il codice numerico Autodyn, della Century Dynamics, utilizza tecniche alle differenze finite, ai volumi finiti e agli elementi finiti per risolvere una grande varietà di problemi non lineari nella dinamica sia dei solidi sia dei fluidi; i codici di tale categoria vengono spesso indicati col termine “Hydrocode”. Essi possono essere utilizzati per studiare fenomeni fortemente dipendenti dal tempo e con non linearità dovute alla geometria (grandi spostamenti e grandi deformazioni) e al materiale (plasticità, incrudimento, softening, danneggiamento, equazioni di stato, etc.). Autodyn incorpora diversi processori numerici ognuno dei quali è ottimizzato per risolvere il problema in determinati domini: strutture, fluidi, gas, etc. L’accoppiamento, nello spazio e nel tempo, dei diversi domini permette di raggiungere la soluzione ottimale al problema. I processori numerici inclusi in Autodyn sono i seguenti, [3]: processore lagrangiano, per la modellazione dei solidi continui e delle strutture; processore euleriano, per la modellazione dei fluidi e delle grandissime distorsioni; Arbitrary Lagrange Euler (ALE), specifico per la modellazione dei flussi; processore shell, per la modellazione di elementi strutturali sottili; Smooth Particle Hydrodynamics (SPH). Tutti i processori elencati utilizzano un metodo di integrazione nel tempo di tipo esplicito. In tutte le simulazioni relative al presente lavoro di tesi si è utilizzato un processore di tipo lagrangiano, il cui schema è stato derivato dal metodo utilizzato da 54 Wilkins, , nel codice HEMP. Rispetto ad un approccio euleriano, una formulazione lagrangiana è, dal punto di vista computazionale, più veloce, non dovendo risolvere il calcolo del trasporto di materiale attraverso la mesh. Permette, inoltre, di trattare più facilmente le interfacce tra i materiali, le superfici libere e l’effetto della storia sul comportamento del materiale. Un esempio del modo di operare di una formulazione lagrangiana è riportato in Figura 4.1. Figura 4.1 – Distorsione di una mesh lagrangiana, [3]. Lo svantaggio maggiore è dovuto alla perdita di accuratezza che, inevitabilmente si accompagna ad un’eccessiva distorsione della mesh. Per superare tale problema, Autodyn permette di effettuare il “Rezoning” della mesh in modo da attenuare le distorsioni, Figura 4.2. Laddove ciò non sia sufficiente, come ad esempio in alcuni fenomeni di penetrazione, la tecnica dell’erosione permette ad un operatore esperto di ottenere una soluzione sufficientemente accurata. Figura 4.2 – Tipica procedura di “rezoning”, [3]. 4.3.1 Metodo d’integrazione esplicito Il metodo per l’integrazione delle equazioni discretizzate è detto esplicito se gli 55 spostamenti al tempo t + ∆t , nel ciclo di calcolo, sono indipendenti dalle accelerazioni allo stesso tempo. L’algoritmo alle differenze centrali del secondo ordine è uno degli schemi d’integrazione più utilizzati. Sia data l’equazione del moto nella forma: Mu + Ku = F ( t, u ) (4.16) in cui M è la matrice delle masse, K è la matrice di rigidezza, u il vettore spostamento, u l’accelerazione e F il vettore delle forze che include i carichi meccanici, termici e le pseudoforze dovute alle non linearità geometriche e del materiale. Le velocità e gli spostamenti possono essere espressi, in funzione del tempo, nella forma: ( u t + ) ∆t 1 [ u ( t + ∆t ) − u ( t ) ] = 2 ∆t u ( t ) = 1 ∆t ( ) ( ) ∆t ∆t ⎤ ⎡ − u t − ⎢ u t + ⎥ 2 2 ⎦⎥ ⎣⎢ (4.17) (4.18) Combinando le equazioni (4.16), (4.17) e (4.18) si ricava la relazione: Mu ( t + ∆t ) = ( ∆t )2 F ( t ) + ⎡⎣ 2M − ( ∆t )2 K ⎤⎦ u ( t ) − Mu ( t − ∆t ) (4.19) Ad ogni intervallo di tempo sono noti le velocità e gli spostamenti, da cui possono essere derivate le velocità di deformazione e le deformazioni stesse. Si ripete quindi la procedura per determinare le accelerazioni e le velocità all’intervallo di tempo successivo. La risposta può diventare instabile se l’intervallo di tempo scelto non è sufficientemente piccolo. Per i problemi non lineari non esiste un criterio di stabilità rigoroso, ma l’esperienza ha dimostratati che si ottiene un buon risultato se: ∆t = kl c (4.20) in cui l è la dimensione minima degli elementi della mesh, c è la velocità del suono nel mezzo, k è un coefficiente, minore di uno, generalmente compreso tra 6,0 e 9,0. 4.3.2 Viscosità artificiale Al fine di limitare le discontinuità correlate alla comparsa di onde d’urto, si introduce nella soluzione un termine viscoso artificiale. Von Neumann e Richtmeyer, [4], introdussero un termine, quadratico nella velocità di deformazione, da sommare al 56 valore della pressione idrostatica, nei bilanci di energia e quantità di moto. Nel 1980, Wilkins, [5], propose un ulteriore termine, lineare nella velocità di deformazione, per smorzare le piccole oscillazioni ad alta frequenza che si hanno a valle dello shock. Tale formulazione è utilizzata in gran parte dei codici espliciti in commercio, compreso Autodyn, nella forma: ⎡⎛ ⎛V ⎞ ⎛V ⎞⎞⎤ q = ρ ⎢ ⎜⎜CQd ⎜⎜ ⎟⎟ − C Lc ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎥ ⎜⎝V ⎠⎟ ⎟⎟ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎝⎜V ⎠⎠ per q =0 per V <0 V (4.21) V <0 V in cui CQ e C L sono costanti, ρ è la densità, d è una lunghezza caratteristica, c è la velocità del suono nel mezzo e V è la variazione volumetrica. V 4.4 Implementazione numerica del modello di danno non lineare L’implementazione numerica del modello di danno è stata effettuata su entrambi i codi di calcolo utilizzati in questo studio: MSC.Marc e Autodyn. La stessa è avvenuta attraverso l’utilizzo di “user subroutines” direttamente collegate al programma principale. La formulazione del modello permette una facile implementazione per via del fatto che i potenziali di plasticità e di dissipazione del danno sono disaccoppiati. Le equazioni della plasticità, di conseguenza, sono le equazioni standard già implementate nel programma principale. Poiché la legge di evoluzione del danno, in accordo con l’equazione (3.19), è funzione dell’ammontare di danno accumulato, della deformazione plastica accumulata e della triassialità dello stato di sforzo, essa deve essere integrata per l’incremento di deformazione plastica corrente. A tale scopo si utilizza lo schema d’integrazione numerico Runge-Kutta. Il danno è calcolato ad ogni intervallo temporale, per ogni punto di gauss. Quando, per tutti i punti di gauss di un elemento, si raggiunge il valore del danno critico, questo viene rimosso e sforzi e deformazioni vengono rilasciati. Tale procedura può essere causa di instabilità numeriche, che possono però essere facilmente superate ricorrendo ad un intervallo del tempo d’integrazione relativamente piccolo, in modo che per ogni intervallo non venga rimosso più di un elemento. Questo permette al sistema di ristabilire gli equilibri e di evitare una 57 propagazione degli errori. Lo schema logico seguito è riportato nel diagramma di flusso di Figura 4.3. INPUT EXIT σ ij( t ) ε ijp ( t ) YES (t) ∆σ ij( t ) , ∆ε ijp ( t ) , σ H( t ) ,σ eq ε ijp + ( t ) = ε ijp + ( t −1 ) + ∆ε ijp ( t ) Integrate ∆D+ Runge-Kutta D+(t)= D+(t-1)+ ∆D+ ε ijp + ( t ) = ε ijp + ( t −1 ) + ∆ε ijp ( t ) IF NO ε eqp + ( t ) = ε eqp + ( t −1 ) TF≤ 0 2 p(t ) p(t ) ∆ε ij ∆ε ij 3 IF ⎛σ ⎞ 2 ⎛σ ⎞ f ⎜⎜ H ⎟⎟ = (1 + ν ) + 3 ⋅ (1 − 2ν ) ⋅ ⎜⎜ H ⎟⎟ ⎝ σ eq ⎠ 3 ⎝ σ eq ⎠ 2 YES ε p+ eq ≥ εth and Dflag( m ) = 0 NO EXIT Remove element. IF D+(t)≥ Dcr YES Dflag(m)=1 SET σ = 0 ,εijT (t) = 0 (t) ij NO Update variables Update stiffness matrix ~ E = E ⋅(1 − D ) Figura 4.3 - Schema logico per il calcolo numerico della variabile di danno. La procedura inizia alla fine di ogni incremento, quando sono già state calcolate tutte le variabili globali e ed è ripetuta per ogni punto di gauss di ogni elemento attivo. 58 Bibliografia [1] Zukas, J. A, Nicholas, T., Swift, H. F., Greszczuc, L. B. and Curran, D. 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Taylor ha proposto [1], nel 1948, un’analisi semplificata del fenomeno, assumendo che: il materiale abbia un comportamento rigido perfettamente plastico ed indipendente dalla velocità di deformazione, σ=σ(ε); la propagazione delle onde all’interno del cilindro sia monodimensionale; il flusso plastico sia incompressibile e la deformazione elastica sia trascurabile. Figura 5.1 - Schematizzazione del cilindro di Taylor: (a) durante la deformazione; (b) al termine della deformazione. La Figura 5.1a mostra una schematizzazione del cilindro ad un certo punto durante la prova. La regione deformata cresce con velocità pari alla velocità di propagazione dell’onda plastica cp, mentre la porzione indeformata del cilindro, la cui lunghezza istantanea è h, viaggia alla velocità decrescente v. Indicando con A0 l’area della sezione iniziale del cilindro e con σy la tensione di snervamento, si possono scrivere: l’equazione di conservazione della massa, c p A = ( v + c p ) A0 60 (5.1) l’equazione della conservazione della quantità di moto, ρ (v + cp ) v = σ − σ y (5.2) e l’equazione del moto per la parte indeformata, ρh dv = −σ y dt (5.3) Assumendo, ancora, che la velocità di propagazione dell’onda plastica sia costante e che la superficie libera del cilindro venga decelerata uniformemente, si può derivare la formula di Taylor: σy (l − H ) = 0 2 ρ v0 2 ( l0 − l1 ) 1 ⎛l ⎞ ln ⎜ 0 ⎟ ⎝H⎠ (5.4) in cui l0 è la lunghezza iniziale del cilindro, l1 ed H sono, come mostrato in Figura 5.1b, rispettivamente le lunghezze, rilevate al termine della prova, dell’intero cilindro e della sua porzione indeformata. Taylor ha introdotto un fattore correttivo nell’analisi in virtù del fatto che la decelerazione del cilindro, in realtà, non avviene in maniera costante. Se si indica con σ y il valore corretto di σ y determinato con la relazione precedente, si può scrivere: ⎛l ⎞ ln ⎜ 0 ⎟ σ y l0 − l1 ⎝H⎠ − = 2 σ y l0 − H ⎛ cp ⎞ ⎜K − ⎟ a⎠ ⎝ (5.5) con: a2 = K= 2σ y ρ v0 + c p a (5.6) (5.7) Nel corso degli anni numerosi ricercatori hanno cercato di superare alcune delle ipotesi semplificative, introdotte nella formulazione di Taylor, per ottenere una sua validità più generale. Nel 1954, Lee e Tupper, [4], hanno presentato un modello che tiene in 61 considerazione la deformazione elastica. Raftopoulos e Davis [5], hanno generalizzato il comportamento del materiale, includendo la deformazione elastica e il lavoro d’incrudimento. Jones et al. [6], hanno proposto una nuova equazione del moto per la parte indeformata del provino. Erlich et al. [7], nel 1981, hanno presentato una tecnica alternative che prevede l’impatto simmetrico tra due cilindri, così da eliminare le incertezze dovute all’indeterminatezza dovuta all’attrito sulla superficie d’impatto. 5.2 Simulazione numerica del Taylor test Nella presentazione del test di Taylor si è visto come una delle assunzioni principali, su cui è ricavata la relazione che permette di ricavare il valore della tensione di snervamento del materiale in regime dinamico, è l’unidimensionalità dello stato di sforzo. In realtà, proprio tale assunzione è stata in passato largamente contestata. Wilkins e Guinam [8], evidenziarono la necessità di ricorrere ad un’analisi bidimensionale per simulare correttamente il test in oggetto. Nel presente studio, è stata effettuata un’estesa campagna numerica per verificare la possibilità di riprodurre le caratteristiche salienti dell’esperimento e di stimare il ruolo dei diversi parametri che caratterizzano il modello di resistenza del materiale in regime dinamico. I risultati ottenuti sono stati sempre, per quanto possibile, messi a confronto con risultati sperimentali disponibili in letteratura. La modellazione agli elementi finite del Taylor Cylinder Impact Test, pur dando l’impressione di essere estremamente semplice, nasconde, in realtà, una serie di aspetti critici quali, il contatto tra cilindro e incudine, l’attrito tra le superfici d’impatto, le dimensioni degli elementi, l’aspect ratio”, che rendono l’analisi molto delicata. Per queste prime simulazioni numeriche, si è utilizzato il codice MSC.Marc facendo ricorso alla schema di risoluzione diretto Newmark-β. Si è effettuata un’analisi parametrica degli effetti associati al modello di resistenza utilizzato, nello specifico quello di Johnson e Cook, [1]. Una notevole attenzione è stata dedicata alla corretta simulazione dell’incudine, la cui influenza sulla bontà dei risultati non è, in letteratura, opportunamente evidenziata. Le analisi hanno riguardato l’impatto di cilindri, a diverse velocità, di rame OFHC, ferro ARMCO e acciaio AISI, le cui proprietà meccaniche sono riportate in Tabella 5.1. 62 Tabella 5.1 - Propietà meccaniche dei materiali investigati e relativi parametri per il modello di Johnson e Cook, [1]. Costanti per il modello di Johnson e Cook Proprietà Meccaniche Materiale Densità [kg/m3] Calore specifico [J/kg K] Temperatur a di fusione (°K) A (MPa) B (MPa) n C m Acciaio AISI 4340 7830 477 1793 792 510 .26 .014 1.03 Ferro ARMCO 7890 452 1811 175 380 .32 .060 0.55 Rame OFHC 8960 383 1356 90 292 .31 .025 1.09 L’analisi è stata effettuata in configurazione assialsimmetrica. Poiché gli elementi della zona di contatto sono soggetti ad elevate deformazioni, la mesh iniziale è stata realizzata con un aspect ratio rettangolare, in modo da prevenire schiacciamenti eccessivi degli elementi della zona di contatto. Questa strategia consente di superare i problemi derivanti da un’eccessiva distorsione degli elementi che possono risultare in uno Jacobiano negativo e, quindi, all’interruzione della simulazione. In Figura 5.2 è riportato un esempio della mesh utilizzata, con dimensioni dell’elemento di 0,5x0,25 mm2. Figura 5.2 - Dettaglio della mesh nella zona d'impatto, per il rame OFHC. 63 Uno studio preliminare è stato effettuato modellando l’incudine come infinitamente rigido, una strategia largamente utilizzata in letteratura, [1]. Tale assunzione si è, però, rivelata essere inadeguata, perché porta alla generazione di disturbi ad altissima frequenza all’interfaccia tra provino ed incudine che provocano chattering al contatto ed altri problemi di natura numerica. Per superare tali inconvenienti, l’incudine è stato modellato, più simile al caso reale, come corpo deformabile a snervamento molto elevato. La mesh dell’incudine è, nella zona del contatto, uniforme e formata da elementi quadrati, mentre nella parte rimanente, dove è richiesta una minore accuratezza, gli elementi hanno forma rettangolare e dimensioni via via crescenti. Per chiudere la mesh alle estremità ed evitare che onde di riflessione possano interferire con il provino, sono stati utilizzati elementi semi-infiniti a sei nodi e sei punti d’integrazione; l’elemento mostrato in Figura 5.3, è formulato in modo tale da estendersi virtualmente all’infinito e da considerare, lì, nulli gli spostamenti. Figura 5.3 - Elemento semi-infinito usato nella modellazione dell'incudine. Come sottolineato più volte, il fattore più critico nella simulazione dei processi dinamici è dato dalla difficoltà di caratterizzare il materiale in modo adeguato. Per questo motivo si sono analizzati, sfruttando la formulazione del modello Johnson e Cook, [1], gli effetti che i diversi parametri, deformazione, velocità di deformazione e temperatura, hanno sui risultati della simulazione numerica. Il primo gruppo di simulazioni è stato effettuato senza tenere in considerazione il danneggiamento del materiale ed utilizzando la legge costitutiva nella forma: 64 σ = A + Bε n (5.8) Si sono, in altre parole, trascurati gli effetti dovuti alla velocità di deformazione ed alla temperatura. Le prove sono state effettuate per il rame OFHC (l0=25,4mm) a 190m/s, per il ferro ARMCO (l0=12,6mm) a 279m/s e per l’acciaio AISI (l0=8,1mm) a 343m/s. Le simulazioni numeriche forniscono, per tutte le configurazioni, deformazioni del proiettile molto superiori a quelle rilevate sperimentalmente. La verifica può essere effettuata confrontando gli accorciamenti, espressi come il rapporto tra la lunghezza del cilindro al termine della prova e la lunghezza iniziale, per le diverse configurazioni. Per il ferro il rapporto calcolato è pari a 0,58 contro lo 0,70 rilevato dalle sperimentazioni, mentre per l’acciaio si ha uno 0,73 calcolato contro lo 0,8 misurato. Per il rame, inoltre, l’eccessiva deformazione provoca l’interruzione del calcolo dopo un tempo di appena 0,2µs, a fronte di un tempo necessario alla conclusione del processo di circa 80µs, Tabella 5.2. Tabella 5.2 - Confronto tra gli accorciamenti calcolati, con diversi modelli di resistenza, e i dati sperimentali. Dati sperimentali Risultati numerici σ = f (ε ) σ = f ( ε , ε ) σ = f ( ε , ε, T ) Rame OFHC 0.68 - 0.65 0.66 Ferro ARMCO 0.70 0.58 0.70 0.66 Acciaio AISI 0.73 0.80 0.77 0.61 Per il secondo gruppo di simulazioni, si è introdotto il modello di danno e si è utilizzata la legge costitutiva nella forma: σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) (5.9) in modo da tenere in conto gli effetti dovuti alla velocità di deformazione ma non ancora quelli legati alla temperatura. Le configurazioni per le simulazioni sono le stesse utilizzate in precedenza ma i risultati ottenuti sono decisamente differenti. Un tipo di legge di questo tipo è sicuramente più adeguata alla descrizione del comportamento meccanico del materiale e ciò è confermato dal confronto tra gli accorciamenti calcolati per i diversi provini e quelli misurati nelle sperimentazioni. Per il ferro ARMCO 65 l’accorciamento calcolato numericamente è di 0,7, pari a quello misurato; per l’acciaio AISI è di 0,77, contro lo 0,8 misurato; per il rame OFHC, il rapporto calcolato è pari a 0,65 contro lo 0,68 misurato. Nelle Figura 5.4, Figura 5.5 e Figura 5.6 si può osservare come i profili di deformazione per il rame e per l’acciaio corrispondano con ottima approssimazione a quelli rilevati sperimentalmente. Questa è un’evidente conferma del fatto che il materiale ha un comportamento meccanico differente a seconda che venga Distanza dall'asse di simmetria [mm] sollecitato staticamente ovvero in modo dinamico. 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Posizione [mm] Figura 5.4 - Profilo dela deformata per il rame OFHC (l0=25,4mm; V0=190m/s) ottenuta assumendo σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) . Distanza dall'asse di simmetria [mm] 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 1 Posizione [mm] Figura 5.5- Profilo della deformata per il ferro ARMCO (l0=12,6mm; V0=279m/s) ottenuta assumendo σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) . 66 Distanza dall'asse di simmetria [mm] 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 1 Posizione [mm] Figura 5.6 - Profilo della deformata per l’acciaio (l0=8,1mm; V0=343m/s) ottenuta assumendo σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) . Per l’ultimo gruppo di simulazioni si è provveduto a completare l’equazione costitutiva aggiungendo il termine che tiene in conto gli effetti della temperatura, la relazione, dunque, si presenta nella forma: Distanza dall'asse di simmetria [mm] σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) (5.10) 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Posizione [mm] Figura 5.7 - Profilo della deformata per il rame OFHC (l0=25,4mm; V0=190m/s) ottenuta assumendo σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) . 67 Distanza dall'asse di simmetria [mm] 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 1 Posizione [mm] Figura 5.8 - Profilo della deformata per il ferro ARMCO (l0=12,6mm; V0=279m/s) ottenuta assumendo σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) . Distanza dall'asse di simmetria [mm] 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 1 Posizione [mm] Figura 5.9 - Profilo della deformata per l’acciaio (l0=8,1mm; V0=343m/s) ottenuta assumendo σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) . I risultati, per quanto riguarda i profili delle deformate, per il rame e l’acciaio rimangono sostanzialmente gli stessi, per il ferro invece, la deformata ottenuta utilizzando l’ultima relazione costitutiva proposta è decisamente diversa e molto più simile a quella misurata. 68 Un tale risultato è in accordo perfetto con i dati sperimentali, reperibili in letteratura, che hanno dimostrato, per mezzo di prove effettuate alla barra di Hopkinson, un’elevata sensibilità del ferro alle variazioni di temperatura. 5.3 Analisi critica dei meccanismi di propagazione delle onde durante il test di Taylor. Come detto in precedenza nel test di Taylor, l’unidimensionalità dello stato di sforzo non è verificata. Questo si può intuire, ad esempio, osservando la forma della deformata del cilindro nella parte impattata, che non può essere giustificata a meno di ammettere la presenza di deformazioni radiali. Gli strumenti numerici sono stati allora utilizzati per investigare i meccanismi di propagazione delle onde che si vengono a verificare durante il test. Le interpretazioni date nel presente paragrafo derivano dalle osservazioni delle analisi numeriche già presentate e da altre effettuate per la configurazione del RoR. In particolare si è fatto riferimento alla configurazione adottata da Mayes et al., [10], dell’impatto simmetrico di cilindri, di calibro 7,62 mm, di rame OFE, con due diverse dimensioni medie del grano. Il materiale con grano medio maggiore, 75µm, è stato impattato a 300m/s e 392m/s, mentre il material con grano medio più fine, 40µm, è stato impattato a 233m/s. Le simulazioni sono state effettuate col codice esplicito Autodyn, il modello è stato realizzando due griglie, una per cilindro, in configurazione assialsimmetrica. In Tabella 5.3, i diametri finali delle superfici impattate sono confrontati con le misure sperimentali, per tutte le velocità e le microstrutture, dimostrando, almeno per le velocità più basse, un ottimo accordo. Tabella 5.3 - Confronto tra i diametri calcolati delle superfici d'impatto e quelli misurati. Grano grande 300m/s Grano fine 392m/s Grano fine 233m/s Diametro calcolato 12.2mm 15.0mm 10.6mm Risultati sperimentali, [10] 12.4mm 12.5mm 10.9mm Nelle Figure 5.10 a, b, c e d, viene illustrato, in configurazione assialsimmetrica, il processo di generazione, propagazione e sovrapposizione delle onde di pressione che si 69 viene a verificare nei primi 2µs del processo d’impatto. Al momento dell’impatto si generano, all’interfaccia, nei due cilindri, onde di compressione che, secondo la convenzione utilizzata nella dinamica dell’impatto, hanno segno positivo e sono indicate in rosso nella prima delle Figure 5.10. a) b) 70 c) d) Figure 5.10 a, b, c e d - Generazione, propagazione e sovrapposizione delle onde di pressione in un RoR test a diversi istanti di tempo durante il processo di deformazione. Dopo appena 1µs, sono facilmente distinguibili le onde di rilascio che dal bordo esterno propagano verso il centro del provino. Queste, sovrapponendosi nella regione prossima all’asse di simmetria, dando luogo, negli istanti successivi, ad uno stato di sforzo tensile. Tale stato di sforzo porta al distacco, per un breve intervallo di tempo, della 71 parte centrale della superficie d’impatto, appena distinguibile nella Figure 5.10 d. Successivamente si ripristina uno stato compressivo generalizzato, che ha come effetto il ristabilirsi del contatto, tra cilindro e incudine, lungo l’intera superficie d’impatto. Solo dopo questa prima fase, quindi, lo stato di sforzo si avvicina molto allo stato di unidimensionalità ipotizzato da Taylor. La conseguenza di tale meccanica è che durante il test, la deformazione e la velocità di deformazione nel cilindro non sono uniformi e, in ogni punto, non sono costanti, ma variano col tempo. Questo implica che da tale test non è possibile, in nessun modo, estrapolare il valore dello snervamento del materiale, come era stato inizialmente proposto. Ad oggi il test è ancora largamente utilizzato perché, con un sistema relativamente semplice, permette di raggiungere velocità di deformazione dell’ordine di 104 ÷ 105 s-1, fornendo dati che possono essere utilizzati per verificare le potenzialità degli strumenti numerici di previsione e di nuovi modelli costitutivi. 5.4 Analisi numerica dei meccanismi di danneggiamento In questo paragrafo viene ripresa l’analisi del test di Taylor con particolare attenzione ai processi di danneggiamento. In modo simile a quanto proposto nei paragrafi precedenti, attraverso un’analisi numerica delle medesime configurazioni, si sono investigati gli effetti che, in modo indipendente, velocità di deformazione e temperatura, hanno sui processi di danneggiamento. In Figura 5.11 è riportata la mappa di danno ottenuta per il rame OFHC, assumendo la legge sforzo deformazione (5.9) ed utilizzando il modello di danno non lineare presentato, con i parametri riportati in Tabella 5.4. Si può osservare come un certo numero di elementi, tra i quindici ed i venti, a seconda della configurazione esaminata, sia eliminato una volta che questi abbiano raggiunto il valore di danno critico. Le regioni maggiormente danneggiate corrispondo a quelle che risultano essere, dall’osservazione delle foto dei cilindri impattati, maggiormente degradate e questo conferma, qualitativamente, la validità del modello di rottura utilizzato. La legge di Johnson e Cook nella formulazione completa, Eqn. (5.10), è stata utilizzata per analizzare l’effetto della temperatura sul danneggiamento. 72 Tabella 5.4 - Parametri di danno per il rame OFHC. εth εf 0.1 3.2 α Dcr 0.85 0.63 Figura 5.11 - Mappa di danno per il rame OFHC (l0=25,4mm; V0=190m/s) ottenuta assumendo σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) . Tensione equivalente di von Mises [MPa] 1000 σ = A + Bε n σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* ) σ =( A+ Bεn )(1+ C*lnε*)(1−T*m) 800 600 400 200 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Deformazione plastica equivalente Figura 5.12 - Diagrammi tensione deformazione, al variare della legge costitutiva, per un punto appartenente alla superficie di contatto per l’impatto di un cilindro di ferro ARMCO. 73 La Figura 5.12 esprime gli andamenti, ricavati dalle simulazioni degli impatti per il ferro ARMCO, della tensione in funzione della deformazione per le tre diverse relazioni costitutive utilizzate. E’ evidente il salto del valore della tensione di snervamento causato dall’introduzione del termine legato alla velocità di deformazione, ma è altresì interessante notare come l’aumento della temperatura, dovuto alla deformazione plastica, abbassi, all’aumentare di quest’ultima, il livello dello sforzo. Questo comporta una maggiore duttilità del materiale, che si manifesta in una riduzione del danneggiamento dello stesso. Tale riduzione è messa in luce dal fatto che, per nessuna configurazione, si ha l’eliminazione degli elementi per il raggiungimento del valore di danno critico. La Figura 5.13 rappresenta la mappa di danno, per il rame OFHC, rilevata dalla simulazione numerica che si è effettuata tenendo in considerazione, nel legame costitutivo gli effetti dovuti sia alla velocità di deformazione sia alla temperatura. E’ importante sottolineare come, per il rame e l’acciaio, la valutazione del profilo delle deformate possa portare a ritenere ininfluente l’effetto della temperatura, mentre, un’analisi del livello di danno raggiunto ne manifesta tutta la sua importanza. Figura 5.13 - Mappa di danno per il rame OFHC (l0=25,4mm; V0=190m/s) ottenuta assumendo σ = ( A + Bε n )(1 + C *ln ε* )(1 − T *m ) . 74 5.4.1 Effetto della dimensione del grano I risultati sperimentali in [10] mostrano una particolarità che opportuno investigare in modo approfondito. In accordo con la teoria, si osserva, per il materiale a più grande grano medio, un aumento del danno con la velocità d’impatto. Il materiale a grana fine, invece, manifesta, sorprendentemente, rispetto a quello a grana grande, un maggiore ammontare del danno, a più bassa velocità d’impatto, Figura 5.15. Tale risultato mostra chiaramente che, per quanto riguarda il danneggiamento, le due diverse microstrutture hanno caratteristiche di danneggiamento differenti. La dimensione del grano, come noto, influenza la resistenza del materiale. A grani più piccoli corrispondono valori più elevati della tensione di snervamento come descritto dalla relazione di Hall-Petch: σ y = σ 0 + Kd −0,5 (5.11) in cui σ 0 e K sono costanti che dipendono dal materiale e d è la dimensione media del grano. Ad un aumento della tensione di snervamento, al diminuire delle dimensioni del grano, corrisponde una riduzione della duttilità. Per quanto concerne il danneggiamento, esso inizia con la nucleazione di microvuoti in prossimità delle inclusioni ovvero, per i metalli puri come il rame in oggetto, ai bordi grano. In quest’ultimo caso, il danno è dato dall’impossibilità di accomodare, alla mesoscala, le deformazioni imposte alla macroscala. Di conseguenza, nelle microstrutture a grana fine, per le quali il moto delle dislocazioni è fortemente vincolato, il danneggiamento duttile dovrebbe iniziare ad un livello di deformazione plastica più basso rispetto al caso di grana più grossolana. Quindi, per un dato livello di deformazione, ci si aspetta un ammontare di danno più elevato. Si è pensato che un tale andamento possa essere governato dal valore della deformazione di soglia e che, quindi, questa debba, in qualche modo, essere influenzata dalla dimensione del grano. Sono stati raccolti i valori della deformazione di soglia per diversi materiali metallici e riportati, in funzione della dimensione media del grano, in Figura 5.14, che evidenzia una chiara dipendenza tra εth e la dimensione media del grano, indipendentemente dal materiale. Si è trovato, inoltre, che i dati rappresentati in Figura 5.14 sono molto bene interpolati da una curva del tipo: 75 ε th = A ( d − d 0 ) 0,5 (5.12) in cui A è una costante e d 0 sembra indicare un limite inferiore di dimensione del grano, al di sotto del quale i processi di danneggiamento dovrebbero essere inibiti a causa della perdita di duttilità. Questo è in accordo con recenti osservazioni sperimentali che indicano una variazione del tipo di rottura, da duttile a fragile, per dimensioni del grano estremamente piccole. 0.24 0.22 Low carbon Damage threshold strain 0.20 0.18 0.16 0.14 ARMCO 0.12 OFHC Cu 0.10 0.08 A533B 0.06 OFHC Cu 0.04 AISI4340 Al2024 W90 0.02 0.00 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 Figura 5.14 - Deformazione di soglia in funzione della dimensione media del grano. Per quanto è stato illustrato, nelle simulazioni numeriche si sono utilizzati, per le due diverse dimensioni medie del grano, i valori di deformazione di soglia ricavati dalla relazione (5.12): ε th = 0,1 per d = 0, 75µ m e ε th = 0, 04 per d = 40 µ m . La mappa di distribuzione del danno è stata analizzata e confrontata, in Figura 5.15, con i risultati derivati dalle micrografie dei cilindri sezionati, il risultato trovato è in ottimo accordo con i dati sperimentali disponibili, sia per la deformata finale sia per la mappa di distribuzione del danno. Per il materiale con grano medio maggiore, è correttamente previsto un aumento del danno con la velocità d’impatto. Si evince, inoltre, che il danno è causato da grandi deformazioni plastiche, che avvengono in prossimità della zona di contatto, tardi nel processo di deformazione. Per il materiale a grana fine, caratterizzato da un valore più 76 basso della deformazione di soglia, il danno sembra essere dovuto dall’intenso impulso di tensione che si genera nelle prime fasi del processo di deformazione, secondo il meccanismo descritto al paragrafo 5.3. Tale processo è caratterizzato da un basso livello di deformazione plastica e da elevata triassialità dello stato di sforzo, mostrando forti similarità alla rottura per spall che si ha, ad esempio, nel Flyer Plate Impact Test. Figura 5.15 - Deformate e mappe di danno calcolate a confronto con i risultati sperimentali. 77 Bibliografia [1] Zukas, J. A, Nicholas, T., Swift, H. F., Greszczuc, L. B. and Curran, D. R., Impact Dynamic, John Wiley & Sons, New York, 1992. [2] Zukas, J. A., High Velocity Impact Dynamics, John Wiley & Sons, New York, 1990. [3] Taylor, G. I., “The use of flat ended projectiles for determining dynamic yield stress: 1. Theoretical considerations” in Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., vol 194, pp. 289-300, 1948. [4] Lee, E., and Tupper, J. Appl. Mech., 63-70 (1954). [5] Raftopoulos, D., and Davids, N., AIAA J. 5, 2254 (1967). [6] Jones, S. E., Gillis, P. P., and Foster, J. C., Jr., J. of Appl. Phys. 61, 499-502 (1987). [7] Erlich, D. C., Shockey, D. 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Una terza barra (proiettile o striker bar), accelerata per mezzo dell’energia trasmessagli da una molla o da una pistola a gas, colpisce la barra incidente provocando un impulso che viaggerà in essa fino a raggiungere il provino. All’interfaccia col provino, parte dell’impulso sarà trasmesso e parte riflesso in rapporto alle impedenze meccaniche della barra e del provino. L’impulso trasmesso, dopo aver attraversato il provino, all’interfaccia con la barra trasmittente, sarà in parte riflesso e in parte trasmesso alla barra stessa. Se la lunghezza dell’impulso è sufficientemente più lunga della lunghezza del provino, le 80 ripetute riflessioni che si realizzano garantiscono, nel provino stesso, che la deformazione e la velocità di deformazione possano ritenersi uniformi. La lunghezza dell’impulso è pari al doppio della lunghezza della striker bar. Le barre incidente e trasmittente devono essere sufficientemente snelle da garantire l’instaurarsi di uno stato di sforzo quanto più prossimo a quello uniassiale. La sezione delle barre è scelta in modo tale che, data l’intensità dell’impulso generato, esse abbiano, durante la prova, un comportamento elastico, mentre il provino, di sezione minore, si deforma plasticamente. Figura 6.2 - Schematizzazione degli impulsi di deformazione alle interfacce barre provino 0. Lo stato di sforzo e deformazione che si realizza nel provino durante la prova può essere ricavato dalla conoscenza dei segnali di deformazione elastica sulle barre incidente e trasmittente. Nella rappresentazione schematica del provino e delle barre di Figura 6.2, sono riportati gli impulsi incidente, ε i , riflesso, ε r , e trasmesso, ε t . Indicando con i pedici 1 e 2 le due estremità del provino, i loro spostamenti possono essere scritti come: t u1 = ∫ c0ε1dt 0 (6.1) t u2 = ∫ c0ε 2 dt 0 in cui c0 è la velocità dell’onda elastica nelle barre di Hopkinson. Se si scrivono le equazioni (6.1) in termini di impulsi incidente, riflesso e trasmesso, si ottiene: t u1 = c0 ∫ ( ε i − ε r ) dt 0 (6.2) t u2 = c0 ∫ ε t dt 0 81 con la usuale convenzione, nella dinamica dell’impatto, di assumere positivi gli sforzi e le deformazioni di compressione. La deformazione media nel provino è: εs = u1 − u2 L (6.3) o, in termini d’impulso di deformazione: εs = c0 L t ∫ (ε i − ε r − ε t ) dt (6.4) 0 in cui L è la lunghezza del provino. Le forze alle estremità del provino possono essere scritte come: P1 = EA ( ε i + ε r ) (6.5) P2 = EAε t in cui E e A indicano rispettivamente il modulo di Young e la sezione delle barre di Hopkinson. La forza media è pari a: Pav = EA (ε i + ε r + ε t ) 2 (6.6) Se si assume, per l’equilibrio, P1 = P2 ,si ha: (ε i + ε r ) = ε t (6.7) e, quindi, dall’equazioni (6.4): εs = c0 L t ∫ (ε t − ε r − ε r − ε t ) dt (6.8) 0 Per un provino si sezione As , si ottengono la deformazione, lo sforzo e la velocità di deformazione, come: t −2c0 εs = ε r dt L ∫0 σs = E A εt As 82 (6.9) (6.10) εs = −2c0 εr L (6.11) 6.2 Simulazione numerica della Hopkinson bar L’assunzione fondamentale della teoria alla base del principio di funzionamento della barra di Hopkinson è che lo stato di sforzo possa essere assunto uniassiale. Nel presente lavoro si è verificato che tale ipotesi può essere considerata vera sia per la classica configurazione a compressione della Split Hopkinson Pressure Bar, sia per una configurazione alternativa, che permette di effettuare la prova direttamente in trazione. 6.2.1 Prova di compressione Nelle simulazioni delle prove di compressione un provino di forma cilindrica con diametro d = 8 mm e lunghezza l = 4 mm è stato sottoposto all’impulso generato da una striker bar lunga 250 mm . Il diametro, D , delle barre di Hopkinson è di 10 mm e la loro lunghezza è L = 1100 mm . Il materiale di cui è formato il provino è rame OFHC le cui proprietà meccaniche sono riportate in Tabella 5.1. Le due barre di pressione e lo striker sono costituite, invece, di un acciaio maraging per cui si è adottato un modello elasto-plastico perfetto con carico di snervamento Y pari a 1764 MPa. Uno schema del sistema di prova è riportato in Figura 6.3. Figura 6.3 - Schema del sistema di prova della barra di Hopkinson a compressione simulato agli elementi finiti. 83 Il rapporto l / d = 0.5 del provino ed il coefficiente d’attrito nullo tra le interfacce con le due barre di pressione che lo trattengono, sono stati scelti allo scopo di riprodurre le condizioni più favorevoli per minimizzare l’effetto delle inerzie e dei fenomeni d’attrito. La simulazione numerica è stata effettuata con il codice implicito MSC.Marc: la mesh che discretizza il campione è formata da elementi, in configurazione assialsimmetrica, di forma rettangolare di dimensioni pari a 0.5 × 0.25 mm 2 ; l’intervallo di tempo d’integrazione è stato scelto di ∆t = 10 −7 s che si rivela il giusto compromesso tra la precisione richiesta e i tempi di calcolo reclamati dal fenomeno, la cui durata è dell’ordine dei 500 µs . Per la discretizzazione delle barre di pressione sono stati impiegati elementi rettangolari di dimensioni maggiori, 2 × 1mm 2 . In Figura 6.4 è riportato il particolare del modello che interessa le interfacce barre provino. Figura 6.4 - Particolare dell'interfaccia tra barre e provino nella configurazione non deformata iniziale. Per modellare il contatto tra i corpi si è fatto ricorso a quattro mesh indipendenti, ciascuna associata ad un singolo corpo deformabile (il provino, lo striker, e le due barre di pressione) avendo cura di assegnare una maggiore risoluzione alla mesh che rappresenta il provino con un duplice scopo: seguire con precisione il moto di scorrimento sulle barre di pressione e 84 l’eventuale compenetrazione dei corpi a contatto; monitorare l’evoluzione dei gradienti di tensione indotti. Le storie temporali delle deformazioni acquisite sulle mezzerie delle barre di Hopkinson hanno permesso di confrontare i risultati ottenuti numericamente con quanto previsto dalla teoria. In Figura 6.5 si riportano gli andamenti delle onde di tensione registrate durante la prova. Figura 6.5 - Andamenti delle tensioni durante la prova di compressione. Sono indicate in blu ed in rosso le storie di carico che registrano rispettivamente il nodo disposto sulla barra incidente (che rileva l’impulso incidente e in seguito quello riflesso) e quello presente sulla barra trasmittente o d’output (che registra solo l’impulso trasmesso), per una prova in cui lo striker viaggia inizialmente ad una velocità di 15m / s . L’onda di compressione σ i generata dall’urto con lo striker, propaga lungo la barra fino a raggiungere l’interfaccia con il provino, dove, è parzialmente riflessa come onda di trazione σ r e parzialmente trasmessa σ t nella barra d’output. L’impulso di compressione σ i rilevato dal nodo che funge da estensimetro sulla barra incidente, ha una forma pressoché rettangolare; tuttavia si distinguono in modo nitido sul suo fronte, le tipiche oscillazioni di Pochhammer-Chree imputabili agli effetti d’inerzia radiale e 85 che si attenuano molto velocemente per via dell’elevato rapporto di snellezza l / d = 110 scelto per le barre. La durata temporale e l’intensità dell’onda di tensione generata dall’urto rispettano egregiamente le previsioni teoriche secondo cui, per uno stato di sforzo elastico, unidimensionale si dovrebbe avere: 1 2 1 2 σ = ρ C0V0 = ρ E ρ ⋅ V0 ≅ 292.5MPa (6.12) t= 2l = C0 2l ≅ 102.6 µ s E ρ Anche la contemporaneità con cui le due onde riflessa e trasmessa giungono sui due estensimetri opposti è più che buona. Altrettanto soddisfacente è l’accordo con le previsioni teoriche per quel che riguarda l’equilibrio delle tensioni nel provino, sebbene le due onde non abbiano una forma simile a quella rettangolare, è facile verificare che per ogni istante di tempo risulta vero, con buona approssimazione, che la somma degli impulsi riflesso e trasmesso uguaglia quello incidente: σ r (t ) + σ t (t ) = σ i (t ) (6.13) Proprio la forma dell’onda riflessa contraddistingue in modo univoco la prova di compressione: se si fa riferimento alla formula (6.11), si evince che gli strain rates applicati al provino non sono perfettamente costanti, ma che i valori spesso citati nelle prove sperimentali non sono altro che un valore "mediato" dei corrispettivi andamenti temporali. A conferma di quanto detto, nella Figura 6.6 sono riprodotti alcuni andamenti temporali delle velocità di deformazione subite dal provino, per diverse velocità d’impatto. I diagrammi sono stati ottenuti effettuando una campagna di prove con velocità d’impatto crescenti della barra proiettile generando onde di sollecitazione la cui ampiezza sia sempre inferiore al limite elastico del materiale costituente le barre di Hopkinson, imponendo che: σ max = 1 ρC 0V0 ≤ Y 2 86 (6.14) Figura 6.6 - Andamenti temporali degli strain rates per diverse velocità d’impatto. Figura 6.7 - Diagrammi tensione-deformazione per le diverse velocità di carico. Sono due le cause concomitanti che provocano gli andamenti decrescenti delle velocità di deformazione: il progressivo incrudimento del materiale; 87 l’aumento della sezione resistente opposta dal campione a causa dell’espansione radiale per effetto Poisson. Questo spiega gli andamenti temporali decrescenti e le pendenze maggiori per i casi in cui si genera nel provino un’onda plastica più intensa. La conferma è fornita dagli andamenti dei diagrammi tensione-deformazione, riportati in Figura 6.7, ottenuti secondo la teoria, dall’analisi delle onde di deformazione riflessa e trasmessa registrate dai trasduttori, attraverso le equazioni (6.9) e (6.10). In seguito sono state eseguite due prove con la medesima geometria per mettere a confronto il metodo d’integrazione Newmark β con il single step Houbolt. I risultati ottenuti hanno dimostrato la sostanziale conformità dei due algoritmi di calcolo, ma a favore del secondo metodo sembra deporre una maggiore stabilità dimostrata da una distribuzione delle tensioni più regolare nei primi istanti di tempo dell’analisi. Ad esempio in Figura 6.8 si è riportato l’andamento delle tensioni all’interno delle barre di pressione (proiettile ed incidente) dopo un tempo ∆t = 10µs , ottenuto con i due metodi per la stessa velocità d’impatto V = 25 m / s . Figura 6.8 - Distribuzione delle tensioni sull’asse di simmetria delle barre di pressione a 10 µ s dall’istante in cui è avvenuto l’impatto. 88 La distribuzione generata dal metodo di Houbolt modificato è certamente più regolare e dotata di una perfetta simmetria rispetto all’asse d’impatto delle barre, contrariamente a quanto fatto dal metodo di Newmark β che è sporcato da un rumore "di fondo" incomprensibile. Come anticipato dagli sviluppatori del codice il primo metodo si conferma più indicato per le analisi dinamiche che coinvolgono corpi a contatto ed in cui è necessario attenuare l’effetto dei disturbi d’alta frequenza eccitati dall’urto. Aldilà delle sottili divergenze iniziali però, i risultati delle analisi numeriche sul medio e lungo termine si rivelano del tutto equivalenti, come confermato dagli andamenti delle onde di deformazione riflessa e trasmessa misurate sugli estensimetri mostrate nella Figura 6.9. Figura 6.9 –Onde di deformazione incidente e riflessa registrate sugli estensimetri dopo circa 320 µs dall’impatto. La condizione d’equivalenza dei due metodi d’integrazione numerica sul lungo periodo è confermata anche dall’uguaglianza delle deformate finali del provino, che in ambo i casi non hanno presentato, a causa dell’attrito nullo sulle interfacce con le barre, il tipico profilo curvo a forma di botte. Il "barreling" è, infatti, un fenomeno molto comune nelle prove di compressione dinamiche in cui la lubrificazione non si dimostra del tutto efficace come mostrato nei dettagli della Figura 6.10. 89 Figura 6.10 – Confronto tra un provino cilindrico non deformato (a) ed i profili finali deformati con barreling (b) e senza (c). 6.2.2 Prova di trazione Per riuscire ad ottenere l’intera curva sforzo deformazioni, fino a rottura, è necessario effettuare la prova alla barra di Hopkinson in trazione. Nel corso degli anni sono stati concepiti numerosi dispositivi, alcuni dei quali assai ingegnosi, in grado di trasformare l’impulso compressivo, generato dall’impatto, in un impulso tensile, [2]. Una configurazione molto interessante è quella proposta da Staab e Gilat, perché è in grado di generare direttamente un’onda di trazione, senza ricorrere dell’azione della barra proiettile. Questo obiettivo si raggiunge accumulando nella parte posteriore della barra incidente un precarico di deformazione, e lasciandolo in seguito libero di propagare lungo la barra fino ad investire il provino, Figura 6.11. Figura 6.11 - Schema funzionale dl dispositivo di Staab e Gilat. 90 Per realizzare un simile sistema di carico, si rendono necessari però, un servosistema idraulico per porre in trazione la parte della barra preposta a tal fine, ed una morsa capace di fissarne una sezione di lunghezza prefissata L . Forse è proprio la morsa a rilascio istantaneo, l’elemento essenziale dell’impianto, e perciò la corretta progettazione di questo assemblato ha ricadute immediate sulla qualità dell’impulso di trazione prodotto. Un semplice schema funzionale della morsa, riprodotto nel particolare di Figura 6.11, prevede l’azione concomitante di due bracci meccanici (con le estremità fissate sulla loro parte inferiore) a serrare i lati della barra incidente sotto l’azione di un bullone intagliato. Per far partire l’impulso di trazione, il bullone sopraindicato è stretto finché non cede di schianto lasciando la barra libera di spostarsi in senso assiale. In quel preciso istante un impulso di trazione, d’ampiezza pari alla metà della deformazione elastica accumulata fino a quel momento, inizia a diffondere nella barra d’input verso il provino. Contemporaneamente, in modo perfettamente analogo, un’onda di rilascio d’uguale ampiezza inizia a muoversi dalla morsa verso l’estremità opposta della barra che è vincolata al sistema servo-idraulico di trazione. A causa dell’impedimento esercitato da questo dispositivo, quando l’onda di rilascio è riflessa dall’estremità posteriore della barra, si annulla bruscamente l’ampiezza dell’impulso che va generandosi. Il risultato del transitorio descritto è perciò un impulso di trazione la cui durata è pari a: t = 2 L C 0 (tempo che esso impiegherebbe per coprire il doppio della distanza esistente tra la morsa ed il sistema di trazione) che si muove lungo la barra di pressione in direzione del provino. E’ l’intensità dell’impulso che si desidera generare a suggerire il tipo di materiale da impiegare per il bullone e la profondità del relativo intaglio. Comunemente, però, i materiali utilizzati a tale scopo sono le leghe d’alluminio Al 6061-T6 o Al 2024-T6, perché dotate di una duttilità minima ma non di un eccessivo livello di fragilità che potrebbe persino impedire di raggiungere il livello di deformazione richiesto durante il precarico. Questo tipo d’impianto, che ultimamente sembra essersi confermato il più compatto ed affidabile in assoluto, ha tratto ampia ispirazione dalle tecniche sperimentali già ampiamente collaudate per altre tipologie di prove, basti pensare a come tecniche analoghe siano state per lungo tempo un cardine delle prove dinamiche a torsione. La prova a trazione con il dispositivo della barra di Hopkinson su provini di rame, è stata simulata facendo ricorso ad un’unica mesh, formata dall’unione delle barre di 91 pressione e del provino interposto. La continuità del reticolo di calcolo si è resa necessaria per schematizzare il comportamento del campione che, nella realtà, è assicurato alle barre per via delle estremità filettate di cui dispone. Il provino ha la caratteristica forma ad "osso di cane" come per le normali prove di trazione, ma dimensioni più contenute, con un diametro d = 4 mm , lunghezza utile l = 8 mm , e raggio di raccordo r = 1 mm ; mentre le barre hanno un diametro D = 9 mm ed una lunghezza L = 1100 mm . Per rappresentare il comportamento del sistema di carico della barra incidente, nel modello numerico, si è fatto uso di una speciale condizione di vincolo denominata "tying". Ai nodi disposti sull’estremità remota della barra incidente è stato imposto uno spostamento ∆x prefissato mentre i nodi della barra disposti su una sezione radiale ad una distanza L = 450 mm dall’estremità, sono stati bloccati per simulare il sistema di tenuta della morsa. In seguito è stato istantaneamente rimosso il vincolo così imposto e si è lasciato il sistema libero di evolvere. Così facendo si genera nella barra incidente un’onda di trazione di durata t = 2 L C e di ampiezza pari alla metà della deformazione accumulata sulla parte "in tiro" della barra fino a qualche istante prima. Il passo adottato per l’integrazione diretta del transitorio generato, ha dimensioni variabili ed è pari a ∆t = 2 ⋅ 10 −7 s finché l’onda di trazione non giunge sul bordo della barra incidente, ma diventa pari a ∆t = 4.5 ⋅ 10 −8 s per i successivi 190 µs quando l’onda elasto-plastica investe in pieno il provino. Figura 6.12 – Particolare della mesh adottata per la discretizzazione del provino di rame puro. 92 La necessità di un time step variabile è dettata dalla durata temporale dell’intero processo e dalla mesh di dimensioni variabili adottata per la geometria in esame. Le dimensioni minime degli elementi approssimanti il provino sono di 0.20 × 0.25mm 2 per quelli disposti sulla sua parte rettilinea come mostrato nella Figura 6.12. Diversamente dalle prove di compressione, in tutte quelle di trazione realizzate, si è avuto cura di implementare nel codice di calcolo il modello di danneggiamento non lineare presentato. Le peculiarità salienti della prova di trazione si sono confermate: 9 gli andamenti degli strain rates sono più regolari rispetto alla prova di compressione; 9 le problematiche connesse alle "oscillazioni" presenti nelle curve tensione- deformazione, tipiche di buona parte delle prove di trazione ad elevate velocità di deformazione, costituiscono un punto critico; 9 la rottura avviene a seguito del fenomeno di strizione. Figura 6.13 - Andamenti delle onde di tensione registrate durante le prove. 93 Figura 6.14 - Andamenti temporali delle velocità di deformazione raggiunte. Nelle prove simulate al calcolatore si è proceduto lasciando inalterata la geometria del sistema ed inviando sul campione onde di sollecitazione d’ampiezza crescente. Dai profili di deformazione registrati sugli estensimetri è emerso un andamento più regolare di quanto non risulti nelle prove di compressione. La tipica forma delle onde di trazione e di compressione registrate sulle barre di pressione è mostrata in Figura 6.13, in cui appaiono ben visibili gli impulsi di trazione incidenti e gli impulsi di compressione riflessi e, più deboli, quelli trasmessi. La forma molto regolare degli impulsi riflessi è un buon indice degli andamenti temporali delle velocità di deformazione imposte al provino. Facendo ricorso alla relazione (6.11) si ottengono gli andamenti mostrati in Figura 6.14, contraddistinti da forme molto simili agli andamenti ideali "a gradino" che sarebbero indicativi di una prova con velocità di deformazione perfettamente costante. Ciononostante, anche la prova di trazione presenta alcuni limiti intrinseci. Innanzi tutto, rimane confermato dall’analisi agli elementi finiti che come suggerito da diversi ricercatori, 0, è molto difficile ottenere informazioni attendibili sul comportamento del materiale ad elevati strain rates nel campo elastico. Sono sostanzialmente due le cause di tale difficoltà: 94 i fenomeni delle oscillazioni della risposta, che crescono con la velocità di deformazione della prova; la mancata uniformità dello stato di deformazione interno del campione e degli strain rates imposti nei primi istanti del test. Ad aggravare la disomogeneità del campo di deformazione contribuiscono anche le forme e le dimensioni del provino adottato nella prova di trazione. Tali problematiche fanno in modo che il modulo di Young del materiale misurato in condizioni dinamiche si riveli per diversi materiali, minore di quello ottenuto con prove di trazione quasistatiche. A conferma di quanto appena detto, in Figura 6.15, sono riportati gli andamenti dei diagrammi σ − ε ottenuti con diverse velocità di carico per lo stesso materiale. Figura 6.15 - Curve tensione-deformazione ottenute per diverse velocità di carico. Nella realtà esiste per le prove realizzate attraverso il dispositivo della barra di Hopkinson, anche un limite superiore d’applicabilità, determinato dalle deformazioni plastiche accumulate. La condizione di monodimensionalità dello stato tensionale, infatti, cessa di esistere non appena il provino inizia a subire una localizzazione del flusso plastico a causa del fenomeno del necking. Come per gli altri test di trazione uniassiale, quando il processo di strizione localizza sul provino, non è più possibile convertire attraverso la semplice teoria proposta, gli spostamenti delle barre di pressione nella curva dello strain rate subito dal 95 materiale in prova. Durate il processo di necking la velocità di deformazione cresce localmente ben oltre i valori che si registrano nelle condizioni di deformazione uniforme. Nella Figura 6.16 sono riportati gli andamenti delle velocità di deformazione registrate per una prova in cui il provino è stato deformato fin quasi a rottura ( D ≅ 0.6 ). Come si può facilmente constatare, le misure effettuate "localmente" con degli estensimetri virtuali di lunghezza decrescente, confermano che la velocità di deformazione cresce notevolmente a causa del necking Figura 6.16 - Misure degli strain rates effettuate con estensimetri di lunghezza variabile. Figura 6.17 – Distribuzione del danno sulla deformata finale del provino dopo la rottura. 96 Quando l’effetto combinato della triassialità dello sforzo, della temperatura crescente (causata dal riscaldamento adiabatico del provino) e del danno accumulato con la deformazione plastica, sono spinte all’eccesso si provoca il cedimento del provino che presenta la rottura coppa-cono tipica dei materiali duttili mostrata nella Figura 6.17. 6.2.2.1 Prove di trazione con ARMCO-iron Il campo d’applicazione del dispositivo di Kolsky per le prove di trazione può essere esteso ben oltre l’inizio del necking facendo ricorso alle capacità della fotografia ad alta velocità. Sono attualmente disponibili, infatti, cineprese a tamburo rotante capaci di acquisire fino a 200000 frames in un secondo con tempi d’esposizione inferiori ai 4 µs . Di questa tendenza affermatasi negli ultimi anni, ci si è avvalsi di recente, per effettuare un confronto approfondito tra dati sperimentali e risultati di natura numerica. Nella Figura 6.18 ad esempio è riportata una tipica sequenza fotografica realizzata durante una prova di trazione con la barra di Hopkinson ad intervalli di 10 µs . Per esaminare la validità dei modelli costitutivi adottati nelle simulazioni assistite da calcolatore si può effettuare un confronto tra le deformate reali e numeriche accumulate durante alcuni test come il cilindro di Taylor o i proiettili forgiati tramite esplosivi. Di recente Noble et al., [3], hanno evidenziato che per le prove di trazione, la riduzione dell’area nella zona di strizione e gli incrementi di temperatura ivi registrati, sono due parametri di confronto assai più sensibili. Soprattutto le previsioni riguardanti la temperatura, sono molto importanti quando si fa ricorso a modelli costitutivi avanzati che implementano una dipendenza esplicita da questo parametro. Dal momento che il legame costitutivo del materiale e la legge d’evoluzione del danno, integrate nel calcolo, sono contraddistinti da una forma spiccatamente non lineare, si è cercata una conferma dei parametri numerici utilizzati nelle simulazioni attraverso un confronto con alcune prove sperimentali rinvenute in letteratura. Sono così state svolte, prove di trazione su provini di ARMCO-iron con diametro d = 3 mm e lunghezza utile l = 8 mm lasciando inalterata la geometria dell’intero impianto, ed utilizzando per gli elementi formanti la mesh dimensioni minime di 0.25 × 0.25 mm 2 (come visualizzato in Figura 6.19) con tempi inferiori d’integrazione pari a ∆t = 4 ⋅ 10 −8 s . 97 Figura 6.18 - Sequenza fotografica per una prova di trazione. Le costanti adottate per il legame costitutivo di Johnson e Cook e per il modello di danno di Bonora, per il materiale in esame, sono elencate rispettivamente nelle Tabella 5.1 e Tabella 5.4. La prima serie di prove ha puntato a verificare la fondatezza del valore dello smorzamento numerico γ i scelto per le analisi numeriche effettuate. Sono stati confrontati, a tal fine, i profili teorici e numerici assunti dall’onda di trazione che propaga nella barra incidente. Le prove numeriche sono state svolte adottando nei tre 98 casi valori di γ i pari rispettivamente a: 0.4, 0.8 ed 1.2 come visualizzato nella Figura 6.20. Figura 6.19 - Mesh adottata nelle prove con ARMCO-iron. Figura 6.20 – Confronto tra il profilo teorico e quelli numerici dell’onda di trazione. Gli andamenti dell’impulso incidente risultano in ogni caso abbastanza vicini all’impulso ideale a gradino che dovrebbe assumere un’ampiezza ε inc = 3.75 ⋅10 −3 ed una durata ∆t = 185 µs . Ciò nonostante il giusto compromesso, tanto per le oscillazioni dovute alle inerzie radiali, quanto per il livello di deformazione raggiunto, è garantito 99 dal valore di γ i = 0.8 . In seguito si è proceduto con un confronto tra risultati numerici e valori sperimentali registrati in tre prove distinte su provini dalla geometria identica. Sono stati così confrontati gli andamenti temporali della riduzione percentuale dell’area del provino causata inizialmente dalla deformazione uniforme e dopo dal necking. Com’è evidente il trend della simulazione segue in modo soddisfacente gli andamenti delle misurazioni sperimentali per le quali sono diagrammati il valore minimo, medio e massimo delle tre prove, Figura 6.21. Figura 6.21 - Confronto tra dati numerici e sperimentali della strizione. D’altronde uno scostamento del 3 o 4% sui valori massimi della strizione è oggettivamente una soddisfacente conferma della validità del modello di danno non lineare anche per le situazioni (come quella in esame) che coinvolgono evoluzioni temporali dello stato di triassialità dello sforzo. Non bisogna trascurare che prima di giungere alla rottura del provino lo stato tensionale interno per questo ultimo, muta notevolmente, passando da una sollecitazione pressoché monoassiale ad una marcatamente triassiale. La deformata finale del provino, un istante dopo la rottura, è riportata in Figura 6.22, da essa sono stati rimossi gli elementi della mesh che hanno raggiunto il limite critico del parametro di danno. Come si nota chiaramente 100 l’asimmetria di carico, imposta nella prova, causa la rottura del campione non in corrispondenza della sua linea di simmetria ma su una sezione radiale disposta ad una distanza dalla prima di circa 1 mm Figura 6.22 - Deformata finale del provino di Armco iron un istante dopo la rottura. Figura 6.23 - Confronto tra valori numerici e sperimentali degli strain rates. 101 Questo particolare conferma il buon esito del calcolo, riproducendo l’essenza del fenomeno reale, così come fatto anche dagli andamenti delle velocità di deformazione sperimentate dal campione e riportate in Figura 6.23. In essa sono stati confrontati gli andamenti sperimentali ottenuti tenendo sotto controllo due punti del provino per mezzo della fotografia ad alta velocità, e gli analoghi andamenti temporali registrati nella simulazione numerica. L’altro parametro d’interesse per le simulazioni termo-meccaniche eseguite è la temperatura. È già stato precisato che il lavoro plastico di deformazione compiuto sui materiali di natura metallica è dissipato sotto forma di calore. Per i carichi dinamici molto veloci s’instaurano, molto spesso, le condizioni di adiabaticità del fenomeno perché il calore è dissipato con una velocità notevolmente inferiore a quella con cui è generato localmente. In questi casi un’analisi semplificata, suggerisce di imporre che un’aliquota costante k del lavoro di deformazione è convertita in calore causando l’innalzamento della temperatura del materiale. Utilizzando un coefficiente di conversione k = 0.95 , avvalorato dagli studi effettuati in tale ambito negli ultimi anni, si è monitorata l’evoluzione temporale della temperatura nel punto più deformato del campione. Come confermato dalla simulazione numerica e dalla Figura 6.24, il provino subisce un notevole aumento della temperatura fino oltre i 250°C ma, soprattutto, la velocità di crescita di questa ultima cambia repentinamente quando localmente si instaura il fenomeno del necking, aumentando di circa ∆T = 180°C in meno di ∆t = 85µs . Il notevole incremento della temperatura è stato confermato nelle prove sperimentali per mezzo di una camera di scansione termica ad infrarossi. Con l’ausilio di questo dispositivo si è riusciti ad ottenere, durante le prove sperimentali, la distribuzione della temperatura sulla superficie del provino qualche istante dopo la rottura. Il confronto tra valori sperimentali e numerici è presentato in Figura 6.25 e non deve colpire l’apparente disuniformità dei dati, causata in realtà dai limiti del dispositivo di misura della temperatura, incapace di acquisire immagini in un intervallo di tempo ∆t < 400µs . La realtà è che la mappatura della temperatura sperimentale è stata eseguita circa 2 ms dopo l’avvenuta rottura del provino, un intervallo di tempo cospicuo se si confronta con i tempi di rottura di circa 180 µs . Questo ritardo può aver causato la ridistribuzione della temperatura nelle immediate vicinanze della zona di frattura, che per la 102 simulazione numerica è risultata la più sollecitata come ampiamente anticipato dalla teoria. Figura 6.24 - Variazione della temperatura nel punto più sollecitato del provino. Figura 6.25 - Distribuzioni della temperatura dopo la rottura del provino. 103 6.3 Conclusioni Le simulazioni numeriche effettuate hanno permesso di verificare che nella prova alla barra di Hopkinson, lo stato di sforzo che viene a realizzarsi sia effettivamente molto prossimo ad uno stato unidimensionale. Si è verificato, inoltre, che con un’attenta progettazione della prova, nello specifico geometria del provino in relazione alla geometria delle barre e alle impedenze meccaniche dei materiali utilizzati, la deformazione e la velocità di deformazione possono essere ritenute, con buona approssimazione, uniformi all’interno del provino. Questo è di importanza rilevante, in quanto, permette di accettare i risultati ottenuti con questa tecnica sperimentale come identificativi del comportamento meccanico del materiale in regime dinamico. Si è riscontrato che i limiti maggiori in tale tecnica sperimentale sono dati dalla difficoltà di mantenere costante, durante l’intera durata della prova, la velocità di deformazione. In particolare si è osservato come nella prova di compressione la velocità di deformazione decresce a causa dell’aumento di sezione per effetto poisson. Nella prova a trazione, al contrario, è proprio l’effetto di strizione a consentire il mantenimento di un’elevata velocità di deformazione ad un valore pressoché costante. Dall’esperienza acquisita con le analisi numeriche effettuate si è partiti per la progettazione e di una barra di Hopkinson a trazione in fase di realizzazione. Le barre sono state dimensionate in modo da permettere la caratterizzazione del comportamento meccanico in regime dinamico di materiali metallici quali il rame, gli acciai, alcune leghe di nichel, come il waspaloy etc. Particolare attenzione ha richiesto la progettazione del sistema di afferraggio. Al buon funzionamento di tale sistema, infatti, è condizionata la limpidezza dell’impulso di trazione generato e, quindi, la pulizia della prova effettuata. 104 Bibliografia [1] Zukas, J. A, Nicholas, T., Swift, H. F., Greszczuc, L. B. and Curran, D. R., Impact Dynamic, John Wiley & Sons, New York, 1992. [2] Zukas, J. A., High Velocity Impact Dynamics, John Wiley & Sons, New York, 1990. [3] Noble, J.P., Goldthorpe, B.D., Church, P. e Harding, J., "The use of the Hopkinson bar to validate constitutive relations at high rates of strain", Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 47, pp. 1187-1206, 1999. 105 7 Flyer Plate Impact Test L’esperimento del Flyer Plate Impact Test consiste nel realizzare un impatto planare, a velocità nota, tra due dischi sottili. Un rapporto diametro su spessore elevato (D/h>10) garantisce uno stato di deformazione uniassiale in prossimità dell’asse di simmetria dei dischi. Questa configurazione sperimentale rappresenta una delle poche configurazioni geometriche per le quali la trattazione teorica, come descritta al paragrafo 2.2.5, è disponibile in forma esatta e può essere utilizzata per la verifica ed il confronto con i risultati numerici. Come è già stato introdotto, è possibile, anche per impatti iperveloci, generare un’onda di shock, perciò il Flyer Plate Impact Test è generalmente utilizzato per determinare la curva di Hugoniot del materiale. Si ricorda che tale curva non è percorsa durante il processo di caricamento, ma rappresenta il luogo dei punti di equilibrio raggiunti per diverse condizioni della pressione d’impatto; in altre parole, ogni esperimento permette di determinare un solo punto sulla curva. Questo test è largamente utilizzato anche per il particolare tipo di rottura che è in grado di produrre nel disco bersaglio. Tale rottura, denominata spalling, avviene per una trazione localizzata provocata dalla sovrapposizione dell’onda di compressione, riflessa sulla superficie libera del target, e della sopraggiungente onda di rilascio. Nell’esperimento, la misura è effettuata mediante la rilevazione, ad esempio attraverso tecniche d’interferometria laser, del profilo di velocità di un punto situato sulla superficie posteriore del disco bersaglio, Figura 7.1 b. La lettura del profilo permette di ricavare tutte le informazioni necessarie ad identificare il comportamento meccanico del materiale. La comprensione dei tratti caratteristici del profilo di velocità, può essere agevolata dal diagramma lagrangiano di Figura 7.1 a, in cui sull’asse delle ascisse è riporta la distanza lungo gli spessori dei due dischi e sulle ordinate il tempo. Tale diagramma permette di visualizzare, con tratti di retta, i fenomeni di propagazione e riflessione delle onde durante il processo d’impatto; la pendenza del tratto di retta che rappresenta una data onda ne indica la sua velocità di propagazione. Al momento dell’impatto, t = 0 , le onde elastiche, generate alla superficie di contatto, iniziano a propagare in direzione delle superfici posteriori dei due dischi. Se il materiale che costituisce i due dischi è lo stesso, l’impatto è denominato simmetrico: allora, le onde propagheranno alla stessa velocità e saranno rappresentate da tratti di retta 106 simmetrici rispetto alla superficie d’impatto. Nel caso in cui il limite elastico di Hugoniot sia superato, saranno generate due onde plastiche, che propagheranno alla velocità determinata dall’equazione (2.4), con gli stessi meccanismi descritti per le onde elastiche. Figura 7.1 – a) Diagramma lagrangiano caratteristico di un impatto planare simmetrico; b) Tipico profilo di velocità rilevato in un Flyer Plate Impact Test. Lp σx Ce Cp Cp Ce Distanza lo spessore Distance lungo from impact plane Figura 7.2 - Onda di stress generata in un Flyer Plate Impact Test a velocità moderata. Le due onde, elastica e plastica, che viaggiano nel proiettile raggiungono la sua superficie libera e vengono quindi riflesse come onde di trazione. Quando queste raggiungono la superficie d’impatto, t = tc , entrano nel disco proiettile come onde di rilascio e i due dischi, che fino a questo momento viaggiavano uniti, si separano. A questo punto nel disco impattato si sta propagando il caratteristico impulso a gradino, schematizzato in Figura 7.2, la cui forma è dovuta alla differenza di velocità di 107 propagazione degli impulsi elastici e plastici. La lunghezza dell’impulso, L p , è pari al doppio dello spessore del disco proiettile. Quando l’impulso raggiunge la superficie posteriore del disco bersaglio, questa viene accelerata e il fenomeno può essere seguito dalla lettura del profilo di velocità. Con l’arrivo delle onde di compressione, elastica e plastica, la velocità della particella sale, dapprima, fino al valore che compete al limite elastico di Hugoniot, punto “A”, e poi al valore massimo del plateau orizzontale. L’arrivo dell’onda elastica di rilascio abbassa la velocità fino al valore corrispondente al punto “D”, mentre il processo di scaricamento è completato dall’arrivo dell’onda di rilascio plastica, curva tratteggiata in Figura 7.1. L’onda riflessa dalla superficie posteriore del disco bersaglio si sovrappone alla sopraggiungente onda di rilascio, su un piano che ritrova ad una distanza, dalla superficie libera, pari allo spessore del disco proiettile. Tale sovrapposizione genera un impulso di trazione che, se sufficientemente elevato, provoca la rottura per spalling. In tal caso, l’onda generata dalla separazione delle superfici di rottura, una volta raggiunta la superficie libera, provoca la risalita della velocità e il caratteristico segnale denominato “spall signal”.Nel caso in cui la velocità d’impatto sia tale da generare un’onda d’urto, il suo profilo potrebbe essere schematicamente descritto dalla Figura 7.3, e sul profilo di velocità non sarà più presente lo scalino dovuto al precursore elastico. σx C Distance from impact plane Figura 7.3 - Profilo di un'onda d'urto. 108 7.1 Simulazione numerica del Flyer Plate Impact Test La configurazione del Flyer Plate Impact Test, come detto in precedenza, permette di realizzare uno stato di deformazione uniassiale in prossimità dell’asse di simmetria dei dischi. Tale condizione rende superflua, in questa prima fase del lavoro, la discretizzazione dei due dischi nella loro interezza e, quindi, la geometria da modellare può essere ridotta ad una semplice striscia di elementi in deformazione piana, in cui gli spostamenti verticali siano impediti. Tale modello è indicato col termine “single strip model”. Le dimensioni di ciascun elemento, scelte coerentemente all’RVE legato al modello di danno utilizzato, sono di 0,1× 0,1mm 2 . L’uso del modello di danno permette, attraverso la tecnica dell’element removal, la creazione della superficie di rottura una volta realizzate le condizioni di spall. In condizioni d’impatto planare, l’evoluzione del danno con la deformazione plastica è estremamente limitata, a causa della riduzione duttilità, a valori prossimi alla deformazione di soglia, per l’elevata triassialità dello stato di sforzo. In questo caso, il modello CDM è simile ad un criterio di rottura improvvisa, ma la rottura è il risultato dell’accoppiamento geometria e materiale e non richiede procedure di calibrazione post test. La prima simulazione volta alla verifica delle capacità di previsione del modello numerico realizzato, ha riguardato l’impatto simmetrico di due dischi di rame OFHC secondo la configurazione riportata in [1], per la quale sono a disposizione i risultati sperimentali. Le proprietà meccaniche del materiale sono riportate in Tabella 5.1, lo spessore del disco proiettile è di 2mm , quello del disco bersaglio di 9mm , la velocità d’impatto è di 185 m s . Nonostante i parametri di danno per il rame siano sufficientemente noti, Tabella 5.4, il valore della deformazione di soglia è stato calibrato sul tempo di risalita dello spall signal, ε th = 0, 01 . La discordanza potrebbe essere imputata al fatto che il primo impulso di compressione, sebbene non possa generare danno in senso stretto, in virtù del fatto che lo stato di sforzo è compressivo, potrebbe causare delle modificazioni microstrutturali, quali, ad esempio la rottura delle inclusioni, in grado di abbattere il valore della deformazione di soglia. Tale speculazione andrebbe verificata con una campagna sperimentale ad hoc. Le analisi sono state effettuate con entrambi i codici di calcolo: MSC:Marc e Autodyn. Attenzione particolare è stata dedicata agli effetti dello smorzamento numerico sui 109 risultati delle simulazioni. Per il codice in formulazione implicita, a seguito di un’analisi parametrica si sono scelti per i valori dei coefficienti dell’equazione (4.15), α = 0, 0 , β = 0, 0 e γ = 0, 4 . Nelle simulazioni effettuate con il codice esplicito si è trovato che i valori suggeriti dei coefficienti lineare e quadratico dell’equazione (4.21), sono troppo elevati. In Figura 7.4 sono riportati a confronto i profili di velocità calcolati, con entrambi i codici, con i coefficienti di smorzamento numerico scelti e con i coefficienti consigliati per Autodyn. Figura 7.4 – Effetto dello smorzamento numerico sui risultati delle simulazioni numeriche. Figura 7.5 - Confronto tra il profilo di velocità ottenuto numericamente ed i dati sperimentali. 110 Infine, il confronto tra il profilo di velocità calcolato e i dati sperimentali, Figura 7.5, permette di verificare la capacità del modello di riprodurre tutte le caratteristiche chiave dell’esperimento quali: i tempi di arrivo del precursore elastico e dell’onda plastica sulla superficie libera del bersaglio; l’intensità e la durata del plateau di massima velocità; i tempi di arrivo delle onde di rilascio, elastica e plastica. Figura 7.6 – Evoluzione nel tempo della distribuzione della triassialità dello stato di sforzo, lungo lo spessore del provino. Spessore del piano di spall 150 µm Figura 7.7 - Evoluzione nel tempo del danno lungo o spessore del disco bersaglio. In Figura 7.6, è riportata la distribuzione della triassialità dello stato di sforzo a cavallo 111 della superficie di spalling, per diversi istanti di tempo durante il processo di frattura. Nonostante si abbiano alti valori della triassialità per un tratto considerevole dello spessore del disco, la rottura si ha solo per la porzione di materiale interessata dal valore di picco della stessa. In Figura 7.7, la corrispondente evoluzione del danno è data dall’innesco del danneggiamento all’avvenuta rottura. L’ area tratteggiata rappresenta la distribuzione del danno al termine del processo di rimozione degli elementi. Una conferma dell’entità delle dimensioni della regione danneggiata è data dai risultati sperimentali riportati da Christy et al., [2], in Figura 7.8. Figura 7.8 – Distribuzione della porosità nel rame per impatti a diverse pressioni, [2]. 112 7.2 Analisi dello “Spall Signal” Lo spall signal, come definito in Figura 7.1 b, è la parte del profilo di velocità, che ha inizio quando l’onda di spall raggiunge la superficie di libera del disco bersaglio. Nelle simulazioni numeriche effettuate e in quelle riportate in letteratura, per le quali sono stati utilizzati modelli di danno differenti, si trova che il secondo picco di velocità e la pendenza iniziale dello spall signal sono sempre superiori a quelli rilevati sperimentalmente. Figura 7.9 - Confronto tra gli Spall Signals calcolato e misurato per il rame OFHC. In Figura 7.9 è riportato il particolare del confronto tra gli spall signals, per la configurazione già analizzata in Figura 7.5. Si prende come tempo di riferimento iniziale, il momento in cui la prima onda di spall arriva sulla superficie libera e inverte l’andamento del profilo di velocità. Poiché, in questo diagramma, la pendenza della curva è una misura dell’accelerazione del punto materiale, la minore pendenza della curva sperimentale indica una perdita di quantità di moto che, per forza di cose, deve essere imputata a fenomeni irreversibili. Tali fenomeni devono aver luogo in una fase successiva al processo di rottura e deve essere legato al meccanismo di separazione delle superfici di spall. Da un punto di vista fisico, tale separazione deve essere dipendente dalla microstruttura del materiale e dal proprio modo caratteristico di frattura. Ad esempio, sebbene sia nel 113 rame sia nell’alluminio, il danno si sviluppa, con la deformazione plastica, con la nucleazione e la crescita di microvuoti, il processo di coalescenza può essere, nei due materiali, considerevolmente diverso. Come schematicamente illustrato in Figura 7.10, per l’alluminio puro, la completa separazione è dovuta alla coalescenza per “voids sheeting” che, essendo un meccanismo sostanzialmente fragile, richiede una bassa energia di deformazione;. per il rame, la coalescenza avviene per necking dei legamenti tra i vuoti, attraverso un meccanismo duttile che richiede un notevole ammontare di energia. Ductile failure with “ductile” (high Rottura duttile dei legamenti strain energy) intervoid ligament tra i vuoti - elevata energia di rupture deformazione Ductile withdei “brittle” (low Rotturafailure fragile legamenti strain energy) intervoid ligament tra i vuoti - bassa energia di rupture deformazione Figura 7.10 – Differenti meccanismi di coalescenza dei microvuoti nella rottura duttile. Poiché il processo di formazione dei piani di spall è analogo al processo di formazione di una cricca duttile, utilizzando gli strumenti della meccanica della frattura, è possibile quantificare il lavoro necessario alla generazione delle due superfici libere. L’energia necessaria alla generazione di due superfici libere è pari a: G = 2Γ (7.1) in cui Γ è l’energia libera di superficie che comprende i contributi elastico e plastico, mentre G è il rateo di rilascio di energia di deformazione che può essere correlata al valore della tenacità del materiale, K IC . Anche se questo è un concetto puramente lineare elastico, può ancora essere considerato un valore di riferimento per il caso in 114 esame, in quanto la deformazione plastica lungo il piano di spall è estremamente contenuta. Di conseguenza: Γ= 2 1 K Ic α 2 E (7.2) Assumendo la tenacità a frattura del rame pari 60MPa m , ricordando che per uno stato di deformazione piana è α = ( 1 − ν 2 ) , si ottiene Γ 2000 J m 2 . Poiché, nella simulazione numerica, non è stato tenuto in conto il meccanismo di separazione descritto, l’energia dissipata, per unità di superficie, può essere ricavata dalla differenza tra il segnale di spall calcolato e quello misurato, attraverso la relazione: Lp ⎞ ⎛ 1 ∆W J 2 Lp ⎜⎜ 1 − ⎟⎟⎟ = 3842 2 = ρ∆veff ⎝ 2 Lb ⎠ ∆S m (7.3) in cui è la densità del materiale, Lp e Lb sono gli spessori rispettivamente del disco proiettile e di quello bersaglio e ∆veff = 1 T T ∫0 2 [ v fem (t ) − vexp (t ) ] dt (7.4) Dividendo il risultato dell’equazione (7.3), per le due superfici, si ottiene Γ 1921J m 2 , che è in ottimo accordo con il valore stimato con gli strumenti della meccanica della frattura. 7.2.1 Modello numerico La verifica, che il meccanismo di dissipazione descritto possa, potenzialmente, essere responsabile della differenza tra gli spall signals calcolato e misurato, è stata effettuata implementando, nella simulazione agli elementi finiti, un sistema costituito da molle non lineari a cavallo del piano di spall. La rigidezza del sistema di molle è diminuita progressivamente all’aumentare della distanza di separazione. Al raggiungimento di un’apertura critica u0 , la forza fittizia viene annullata. La legge forza-spostamento scelta è di forma simile a quella che descrive il legame dei piani cristallini: ⎛ ⎛ u ⎞α ⎞ f = K sin ⎜⎜⎜ π ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎝ ⎝ u0 ⎠ ⎠ 115 (7.5) in cui K è l’ampiezza, u0 l’apertura critica, α un esponente di forma, il cui effetto è illustrato in Figura 7.11. I valori di K e u0 sono stati scelti imponendo che l’area sotto la curva nel diagramma forza spostamento sia uguale al lavoro dissipato durante il processo di separazione. Figura 7.11 - Effetto del coefficiente di forma α sulla risposta del sistema di molle non lineare. Figura 7.12 - Profilo di velocità calcolato con l’impiego del sistema di molle non lineare a confronto con i risultati sperimentali. La Figura 7.12 riporta il profilo calcolato con il modello numerico descritto a confronto 116 con il risultato sperimentale, è importante sottolineare come l’azione delle molle non lineari nella prima fase del processo di separazione influenzi l’evoluzione dell’intero segnale di spall. 7.3 Effetti geometrici sul processo di frattura per spalling La condizione necessaria affinché durante l’impatto si realizzi uno stato di deformazione uniassiale, come precisato in precedenza, è che nella regione d’interesse, per l’intera durata del processo, non si senta l’influenza degli effetti di bordo. Anche nel caso di dischi sottili, la condizione di deformazione uniassiale si realizza esclusivamente in prossimità dell’asse di assialsimmetria in quanto l’onda di deformazione radiale, che si genera al bordo libero, necessita, per raggiungere l’asse, di un tempo maggiore a quello richiesto dall’intero fenomeno. Al diminuire del rapporto diametro/spessore gli effetti di deformazione radiale possono intervenire direttamente sulle modalità e localizzazione del processo di rottura per spall. A questo proposito sono state analizzate diverse configurazioni di Flyer Plate Impact in cui il diametro del flyer è stato progressivamente ridotto mantenendo inalterate le altre dimensioni e la velocità di impatto. Le simulazioni numeriche sono state effettuate utilizzando entrambi i codici numerici presentati con lo scopo di valutare eventuali effetti dovuti alle diverse formulazioni. Per uno spessore del flyer di 2mm sono stati esaminati i casi con un diametro di 32 , 16 , 8 , 4 , e 2mm rispettivamente, come illustrato in Figura 7.13. Nelle analisi agli elementi finiti è stato utilizzato un elemento a quattro nodi in formulazione assialsimmetrica con altrettanti punti di gauss cercando di mantenere, per quanto possibile, costante il livello di discretizzazione del modello al fine di evitare possibili effetti di mesh. Entrambi i corpi sono considerati deformabili nel contatto. Il criterio di rottura utilizzato nella simulazione con MSC/MARC fa riferimento al modello di danno non lineare precedentemente descritto. Nelle simulazioni effettuate con il codice lagrangiano AUTODYN si è adottato un criterio di rottura basato sulla pressione massima il cui valore è stato stimato dalle prove effettuate, utilizzando il modello di danno non lineare, con il codice implicito. 117 D/h=16 D/h=8 D/h=4 D/h=2 D/h=1 V=185 m/s t=9 mm Figura 7.13 - Schema riassuntivo delle configurazioni geometriche esaminate. a) b) c) d) Figura 7.14 - Profili di velocità calcolati numericamente per le diverse configurazioni geometriche e con velocità d’impatto di 185m/s: a) D/h=16; b) D/h=8; c) D/h=4; d) D/h=2. 118 In Figura 7.14 a-d sono riportati i profili di velocità rilevati sulla superficie posteriore del target per le diverse configurazioni. Un valore del rapporto D/h pari a 16 è ancora in grado di garantire che lo stato di deformazione sia, per lo meno sull’asse di simmetria, unidimensionale. Per valori più piccoli del rapporto D/h, Figura 7.14 b, si verifica ancora una rottura per spall, come si può rilevare dalla risalita del segnale di velocità, anche se gli effetti associati alla deformazione radiale iniziano ad influenzare il processo di propagazione delle onde lungo l’asse di simmetria riducendo la durata del plateau di velocità. Per un’ulteriore diminuzione del rapporto D/h la propagazione dell’onda di sforzo diviene, a causa dell’influenza degli effetti di bordo, sempre più complessa. Nei profili di velocità riportati in Figura 7.14 c e d, hanno ormai perso ogni attinenza con le soluzioni di riferimento precedentemente illustrate. L’unica caratteristica ancora evidente è la discontinuità a cui corrisponde il limite elastico di Hugoniot. In queste condizioni non è più possibile stabilire sulla base della sola analisi del segnale di velocità la presenza o meno di cedimento per spall. a) b) Figura 7.15 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=16; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=16. Nelle Figura 7.15 a e b vengono riportate le deformate e le mappe di danno ottenute rispettivamente con AUTODYN e con MSC/MARC per due configurazioni simili, caratterizzate da un elevato rapporto D/h. Per entrambe le simulazioni si ritrova il 119 cedimento per spall caratteristico di un impatto planare. Le distribuzioni di danneggiamento ottenute con i due criteri adottati confermano la stretta correlazione esistente tra variabile di danno e pressione idrostatica nelle condizioni di stato di deformazione uniassiale. Al diminuire del rapporto D/h la rottura interessa superfici del bersaglio sempre più piccole. Si è osservato che l’innesco dei processi di rottura per spalling, nel caso di configurazioni di diverso diametro del target e del flyer, non avviene mai in corrispondenza dell’asse di simmetria dove invece è atteso dalla teoria. La rottura ha luogo ad una distanza da tale asse che risulta essere in stretta correlazione con le dimensioni del diametro del flyer, cosi come la localizzazione del piano di spall è legata allo spessore dello stesso. Il motivo per cui la frattura per spalling inizia fuori dall’asse di simmetria può essere trovato nella differente forma dell’onda di compressione in corrispondenza del bordo libero del disco proiettile, rispetto a quella sull’asse di simmetria, Figura 7.16. Figura 7.16 - Impulso di compressione in due differenti posizioni lungo il raggio del disco bersaglio: sull’asse di simmetria in blu e in corrispondenza del bordo libero del proiettile in nero. Il bordo libero del proiettile è la superficie su cui l’onda di compressione, generata nell’impatto, è immediatamente riflessa come onda di trazione. Questa, entrando come onda di rilascio nel disco bersaglio, scarica parzialmente l’onda di compressione modificandone il profilo. Tale profilo, di forma triangolare, riflesso dalla superficie 120 libera raggiunge più rapidamente, rispetto all’onda quadra, la condizione di massimo sforzo di trazione. Se sufficientemente severo, l’impulso tensile porta alla rottura per spalling il materiale prima di quanto non faccia la corrispondente onda sull’asse di simmetria. Una volta innescato, il processo di rottura si propaga radialmente fino ad interessare l’asse di simmetria. Questo fenomeno stabilisce le condizioni per la massima estensione radiale della superficie interessata dal processo di rottura. Dal punto di vista quantitativo, si è osservato che la localizzazione del primo innesco dei processi di rottura può essere stimato attraverso la pendenza di una retta ideale, tracciata a partire dallo spigolo del flyer ed incidente il piano di spall, Figura 7.17. Dalle simulazioni effettuate si è verificato la costanza del valore di questo angolo per tutte le configurazioni esaminate. Boundary-effect line Spall plane θ First spall symmetry axis Figura 7.17 - Schema geometrico della localizzazione dell’innesco del processo di spall. Inoltre, sempre sulla base di questo criterio, si è osservato che lo spall è impedito per quelle configurazioni geometriche in cui l’intersezione della retta indicata, con il termine di boudary-effect line, con la retta del piano di spall avvenga al disotto del piano di simmetria assiale, come nel caso delle configurazioni riportate dalla Figura 7.19 alla Figura 7.21. 121 a) b) Figura 7.18 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=8; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=8. a) b) Figura 7.19 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=4; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=4. a) b) Figura 7.20 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=2; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=2. 122 a) b) Figura 7.21 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=1; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=1. Gli effetti di bordo libero provocano un abbassamento del valore della triassialità dello stato di sforzo ed un conseguente aumento del valore della deformazione a rottura. La perdita di idrostaticità dello stato di sforzo limita la possibilità di prevedere in maniera accurata i processi di cedimento utilizzando un criterio di massima pressione ed evidenzia tutti i vantaggi di previsione garantiti dall’avere a disposizione il criterio di danno non lineare presentato. Una conferma ulteriore dell’avvenuta variazione dello stato di sforzo può essere ottenuta dall’analisi delle deformate dei flyers di più piccolo diametro, figure 11a-b, 12a-b. Queste tendono ad assumere un profilo molto simile a quelli ottenuti in un test di Taylor in cui si assume uno stato di sforzo unidimensionale. 7.4 Re-shock experiment L’ultima configurazione analizzata è quella del re-shock experiment, che viene realizzata posizionando, come illustrato in Figura 7.22, sulla parte posteriore del disco proiettile, un disco di maggiore impedenza meccanica. Quando l’onda di compressione generata dall’impatto raggiunge l’interfaccia con il backing, in accordo con le equazioni (2.18) e (2.19), parte dell’impulso viene trasmesso e parte viene riflesso come impulso di compressione. Tale impulso sovrapponendosi all’onda di compressione generata dall’impatto causa, una ricompressione dello stato del materiale. Se la velocità 123 d’impatto è sufficientemente elevata da provocare un’onda d’urto, la ricompressione è causa del fenomeno noto in letteratura col termine “re-shock”. BACKING PROIETTILE BERSAGLIO Figura 7.22 – Schema della configurazione del re-shock experiment. PRECURSORE ELASTICO Figura 7.23 - Profilo di velocità misurato in un re-shock experiment, [3]. Tale configurazione è estremamente affascinante per la possibilità che offre di investigare la risposta meccanica dei solidi in regime dinamico di shock ripetuto. Secondo la teoria delle onde di sforzo, la risposta di un materiale elasto-plastico, al reshock dovrebbe essere interamente plastica, poiché lo stato del materiale si dovrebbe trovare sulla superficie di snervamento. Dagli esperimenti si osserva invece la presenza 124 di un gradino, comunemente riconosciuto come un inaspettato precursore plastico, che precede l’arrivo del ricaricamento plastico, Figura 7.23. I tentativi proposti in letteratura per cercare di giustificare la presenza del gradino anomalo fanno tutti riferimento a simili meccanismi fisici, che hanno luogo alla meso-scala, che dovrebbero portare lo stato del materiale all’interno della superficie di snervamento. Lipkin e Asay, [4], ritengono che le differenti orientazioni dei sistemi di scorrimento di grani contigui sono causa di una deformazione, alla meso-scala, non uniforme. Essi proposero un modello, una distribuzione dello stato di snervamento del materiale precompresso, in grado di duplicare le caratteristiche chiave del profilo di velocità rilevato in un re-shock experiment. Swegle e Grady, [5], credono che il gradino anomalo sia dovuto a fenomeni di localizzazione delle deformazioni, causati da elevati gradienti termici, giustificati dalla natura dinamica degli eventi, che si realizzano alla meso-scala. Tali fenomeni, a loro volta, sarebbero responsabili di un comportamento dello stato di snervamento del materiale dipendente dal tempo. Nel presente lavoro di tesi si presenta una nuova interpretazione del fenomeno basata su considerazioni alla macro-scala. In accordo con tale interpretazione, la giustificazione della presenza del gradino anomalo va ricercata nella distribuzione non uniforme della deformazione plastica, lungo lo spessore del disco bersaglio, dovuta a processi dissipativi che hanno luogo durante il passaggio della prima onda di compressione. 7.4.1 Fenomenologia del re-shock In un Flyer Plate Impact Test, il profilo di velocità della particella situata sulla superficie libera presenta un andamento ondoso, più o meno pronunciato, all’inizio del plateau a velocità costante. In termini di sforzo, per un punto prossimo alla superficie libera, il profilo d’onda non è perfettamente quadrato, ma mostra un picco, più alto in valore del susseguente plateau di sforzo. Ciò si traduce nel fatto che, quando lo stato di sforzo in un punto raggiunge il plateau, questo non si trova esattamente sulla superficie di snervamento. Comunque, in base a tali considerazioni, per un punto prossimo alla superficie libera, il divario non è grande abbastanza da giustificare la presenza del gradino anomalo, all’arrivo della seconda onda di shock. Un’onda di sforzo che viaggia nel disco bersaglio e soggetta a processi dissipativi, che 125 ne riducono l’intensità. Di conseguenza, la distribuzione di deformazione plastica, lungo lo spessore, non dovrebbe essere uniforme, ma dovrebbe mostrare un massimo alla superficie d’impatto ed un minimo alla superficie posteriore. Tale congettura può essere verificata dall’analisi numerica di un Flyer Plate Impact Test standard. Un esempio del risultato trovato è riportato in . Figura 7.24 - Distribuzione della deformazione plastica lungo lo spessore del disco bersaglio, a seguito dell’onda di compressione, in un Flyer Plate Impact Test. Figura 7.25 - Profili di sforzo, calcolati numericamente, a diverse posizioni lungo lo spessore del disco bersaglio, in un Flyer Plate Impact Test standard. 126 Figura 7.26 - Profili di sforzo, calcolati numericamente, a diverse posizioni lungo lo spessore del disco bersaglio, in un re-shock experiment. I profili di sforzo, a diverse posizioni lungo lo spessore del disco bersaglio, riportati in Figura 7.25, mostrano come, durante la propagazione, essi si riducano progressivamente nell’intensità del picco, mentre il plateau sembrano rimanere costanti. In prossimità della superficie libera, la differenza in sforzo tra il picco ed il plateau, è molto piccola, risultando nelle piccolissime oscillazione osservate sperimentalmente con le tracce VISAR. Come illustrato in Figura 7.26, in un re-shock test, la differenza in sforzo tra il picco e il plateau, in prossimità della superficie libera, non è sufficiente da giustificare l’ampiezza del gradino anomalo osservato negli esperimenti, mentre questa è consistente con la differenza in sforzo calcolata in prossimità della superficie d’impatto. In Figura 7.27, è riportata la rappresentazione dello stato di sforzo, al plateau, del punto materiale, nel piano dei deviatori π , al fine di fornire una spiegazione del processo che porta alla generazione del gradino anomalo. Il cerchio interno a tratto grigio continuo rappresenta lo stato di sforzo corrente, che si trova in campo elastico per via del fatto che il plateau è, rispetto al picco, ad un livello di sforzo inferiore; il cerchio a tratto continuo nero indica la superficie di snervamento corrente; il cerchio più grande, tratteggiato, rappresenta l’espansione della superficie di snervamento per l’arrivo dell’onda di re-shock; il percorso di carico, in stato di deformazine uniassiale, è rappresentato da vettore nero. 127 Distance from impact Figura 7.27 - Rappresentazione dello stato di sforzo del punto materiale che a subito uno shock, a differenti posizioni lungo lo spessore del disco bersaglio, nel piano dei deviatori π . È importante sottolineare che, poiché il valore dello sforzo al plateau, può essere considerato costante per tutti i punti, lo stato di sforzo iniziale, rappresentato dai cerchi grigi, è lo stesso per tutti i punti lungo lo spessore del disco bersaglio. All’arrivo dell’onda di re-shock, lo stato di sforzo, di un punto matriale prossimo alla superficie d’impatto, dove la differenza in sforzo è più elevata, cresce dall’intervallo elastico fino alla prima superficie di snervamento e poi cresce con essa: di conseguenza, a questo punto, saranno generati un precursore elastico e un’onda plastica più lenta. Viaggiando verso la superficie posteriore del bersaglio, l’onda di reshock tova punti in cui la superficie di snervamento corrente è più piccola. Questo fa sì che il precursore elastico generato in un punto precedentemente è forte abbastanza da snervare il materiale a monte producendo un’onda plastica. La continua generazione, in accordo al meccanismo descritto, di onde plastiche di diversa intensità porta alla creazione di un profilo d’onda a “scalini” che, anche se può, in qualche modo, ricordare la caratteristica struttura del precursore elastico e onda plastica, è quasi interamente plastico. Sulla superficie libera, la struttura a scalino dell’onda di sforzo causa, nel profilo di velocità, la comparsa del gradino anomalo che, a questo punto, dovrebbe essere indicato, più 128 propriamente, “precursore plastico”. jump for “plastic precursor” Figura 7.28 - Confronto tra il profilo di velocità sperimentale, [3], e quello calcolato numericamente con MSC.Marc. In Figura 7.28, il profilo di velocità calcolato numericamente, per il re-shock experiment è messo a confronto con i risultati sperimentali riportati da Vogler e Asay, [3]. La configurazione si riferisce ad un impatto simmetrico di due dischi di alluminio 6061-T6, a 1, 715 km s ; il backing è costituito da un disco di rame e, per permettere l’utilizzo dell’interferometria laser, è stata adottata una finestra di PMMA, secondo quanto descritto in Asay e Chhabildas, [6]. La simulazione è stata effettuata con il codice agli elemeti fini MSC.Marc per mezzo del metodo di Humbolt d’integrazione diretta. Si è assunto che la pressione idrostatica è linearmente proporzionale alla compressione volumetrica, poiché con tale codice numerico non è possibile utlizzare equazioni di stato differenti. Tutte le caratteristiche principali della curva calcolata sono consistenti con gli esperimenti: velocità massima della prima onda, durata e intensità del plateau, salto di velocità all’arrivo del precursore plastico. Il ritardo della prima onda plastica, la presenza del precursore elastico e la più lenta risalita del segnale delle onde plastiche, per il profilo di velocità calcolato, sono dovuti alla formulazione dell’equazione di stato. 129 In Figura 7.29, è presentato il confronto tra i dati sperimentali e la curva calcolata con l’hydrocode Autodyn. In questo caso, per riuscire a catturare le caratteristiche di del segnale risultante da un impatto a 1, 7 km s , si è utilizzata l’equazione di stato MieGrunaisen. Si è osservato che lo smorzamento numerico suggerito dal codice è troppo severo e non permette di catturare le caratteristiche fondamentali del profilo di velocità: di conseguenza è stato appropriatamente modificato. L’abbassamento dello smorzamento numerico è causa di una risposta che presenta oscillazioni ad alta frequenza non realistiche. Il profilo calcolato, ancora una volta è molto simile a quello misurato, ma le caratteristiche chiave del precursore elastico rischiano di essere nascoste dalle forti oscillazioni. Figura 7.29 - Confronto tra il profilo di velocità sperimentale, [3], e quello calcolato numericamente con Autodyn. Infine, l’interpretazione del fenomeno proposta permette di giustificare il ritardo del gradino anomalo rispetto alla corrispondente onda di rilascio in un Flyer Plate Impact Test standard, che si osserva sperimentalmente, Figura 7.30. Per il test standard, il primo abbassamento della velocità al termine del plateau è dovuto all’arrivo della prima onda di rilascio, che è puramente elastica e viaggia alla velocità che le compete. Nel reshock experiment, secondo l’interpretazione data, l’onda di ricompressione porta alla formazione dell’onda plastica a scalini, il cui fronte, inizialmente, viaggia alla velocità 130 dell’onda elastica e, successivamente, rallenta alla velocità dell’onda plastica, con l’effetto provocato del ritardo dell’arrivo, sulla superficie libera, del precursore plastico. Figura 7.30 - Ritardo del gradino anomalo rispetto alla corrispondente onda di rilascio in un Flyer Plate Impact Test standard, [4]. 131 Bibliografia [1] Rajendran, A.M., (1988), in Dynamic Constitutive/Failure Models (ed. A.M. Rajendran,and T. Nicholas), AFWAL-TR-85-4009, Wright Patterson Afb, OH [2] Christy, S., Pak, H., e Mayers, M.A., in “Metallurgical Applications of Shock Waves and High Strain Rate Phenomena” (eds., Murr et al.), Marcel Dekker, New York, 1986. [3] Vogler, T.J. e Asay, J.R., “A distributional model for elastic-plastic behavior of shock-loaded materials”, in Shock Compression of Condensed Matter, (M.D Furnish, Y.M. Gupta, J.W. Forbes, eds.), part I, pp. 617-620, 2003. [4] Lipkin, J. e Asay, J.R., “Reshock and release of shock-compressed 6061-T6 aluminum”, J. of Applied Physics 48, 182, 1977. [5] Swegle, J. W. e Grady, D. E., “Calculation of thermal trapping in shear bands”, Metallurgical application of shock wave and high-strain-rate phenomena”, edited by L. E. Murr et al., New York, 1986. [6] Asay, J.R. e Chhabildas, L.C. “Determination of the shear strength of shock compressed 6061-T6 aluminum”, in Shock Waves and High-Strain-Rate Phenomena in Metals (M.A Mayers and L.E. Murr, eds.), pp. 417-431, Plenum, New York, 1981. 132 8 Conclusioni Nel presente lavoro di tesi, gli strumenti della simulazione numerica sono stati utilizzati per l’analisi di tre configurazioni classiche per la caratterizzazione meccanica dei materiali in regime dinamico: il Taylor Test, la Hopkinson Bar e il Flyer Plate Impact Test. Gli sforzi non sono stati indirizzati alla semplice riproduzione delle caratteristiche osservate negli esperimenti, ma con un’analisi critica si è, di volta in volta, cercato di interpretare i processi di deformazione e rottura che si verificano in dinamica dell’impatto, al fine di giungere ad una loro corretta modellazione. Il contributo innovativo del presente lavoro può essere sintetizzato nei seguenti punti: è stata dimostrata la capacità di previsione di un modello di danno duttile non lineare in regime di elevata velocità di deformazione; sono stati individuati, per il cilindro di Taylor, due diversi modi di rottura che si realizzano a tempi diversi, durante il processo di deformazione, e per stati della triassialità dello stato di sforzo differenti; è stata individuata una correlazione tra la deformazione di soglia, uno dei coefficienti del modello di danno non lineare, e la dimensione media del grano; è stato individuato e quantificato, con gli strumenti della meccanica della frattura, un processo di dissipazione nel meccanismo di separazione delle superfici di rottura per spalling; è stata fornita una nuova interpretazione della presenza gradino anomalo che si osserva nel re-shock experiment, identificato in letteratura come un inaspettato “precursore elastico”; è stato dimostrato che, in realtà tale gradino è plastico; l’interpretazione proposta ha permesso di giustificare il ritardo del gradino anomalo, rispetto alla corrispondente onda di rilascio in un Flyer Plate Impact Test standard, che si osserva sperimentalmente. 133