Longevity risk: identificazione e misurazione

Longevity risk:
identificazione e misurazione
Susanna Levantesi
Facoltà di Ingegneria
dell’informazione, Informatica e Statistica
Università Sapienza
[email protected]
Roma, 24 marzo 2015
Agenda
►
Trend demografici
►
Il longevity risk
►
Identificazione e classificazione del longevity risk
►
Misurazione del rischio tramite modelli di proiezione della mortalità
Modelli deterministici
Modelli stocastici
Slide 2
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Trend demografici e longevity risk
• Cambiamento strutturale della popolazione
Trend
Demografici
Invecchiamento
della
popolazione
Longevity risk
Slide 3
• Aumento del peso degli anziani sulla popolazione
• Aumento speranza di vita
• Diminuzione natalità
• Aumento progressivo della speranza di vita
• Incremento del numero degli esposti al rischio di
sopravvivenza
• Incertezza
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Piramidi delle età
Fonte: ISTAT
90-94
Maschi
Femmine
90-94
80-84
80-84
70-74
70-74
60-64
60-64
50-54
50-54
40-44
40-44
30-34
30-34
20-24
20-24
10-14
2010
0-4
3000000 2000000 1000000
90-94
0
Maschi
1000000 2000000 3000000
Femmine
3000000 2000000 1000000
90-94
70-74
70-74
60-64
60-64
50-54
50-54
40-44
40-44
30-34
30-34
20-24
20-24
0-4
3000000 2000000 1000000
Slide 4
0
1000000 2000000 3000000
2020
0-4
80-84
2030
Femmine
10-14
80-84
10-14
Maschi
0
Maschi
Femmine
10-14
2050
0-4
3000000 2000000 1000000
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
1000000 2000000 3000000
0
1000000 2000000 3000000
Piramidi delle età
►
La piramide delle età (o della popolazione) fornisce una
rappresentazione grafica che descrive la distribuzione per età
di una popolazione
►
Dall’evoluzione temporale delle piramidi per età si evidenzia:
Una riduzione della base della piramide a causa di un forte
decremento del tasso di natalità;
Uno spostamento verso l’alto del peso delle classi di età
centrali;
Un allargamento del vertice della piramide, attribuibile ad un
significativo allungamento della speranza di vita alla nascita.
Slide 5
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
L’evoluzione delle classi di età della
popolazione
Maschi
80+
90+
80+
90 +
Fonte: ISTAT
Femmine
Fonte:
ISTAT
80+
90 +
Slide 6
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
L’esperienza di mortalità nell’ultimo secolo
►
Negli ultimi decenni l’evoluzione della mortalità ha comportato
una consistente diminuzione dei decessi alle età adulte ed
anziane aumento della vita media
►
Conseguente impatto sulla forma della curva dei sopravviventi
Rettangolarizzazione della curva dovuta ad una concentrazione
dei decessi intorno alla moda ad età avanzate
Curva dei decessi: spostamento del punto di Lexis (moda)
verso le età estreme espansione della funzione di
sopravvivenza
Slide 7
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
L’esperienza di mortalità nell’ultimo secolo
Rettangolarizzazione
►
Espansione
Utilizzo di un approccio dinamico allo studio della mortalità:
mortalità come funzione sia dell’età che dell’anno di calendario
Slide 8
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Evoluzione della curva di sopravvivenza
Sopravviventi alle varie età, anni 1931-2006, maschi
100000
Tavole SIM
90000
1931
80000
1951
1961
sopravviventi
70000
1971
60000
1981
1992
50000
1996
40000
1999
2000
30000
2002
20000
2004
2006
10000
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110
età
Fonte: ISTAT
Slide 9
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Evoluzione della curva dei decessi
Decessi alle varie età, anni 1931-2006, maschi
5000
4500
1931
4000
1951
1961
3500
1971
decessi
3000
1981
1992
2500
1996
2000
1999
2000
1500
2002
1000
2004
2006
500
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100105 110
età
Fonte: ISTAT
Slide 10
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Speranza di vita a 65 anni
Previsioni popolazione, ISTAT 2010-2050 (scenario basso, centrale, alto)
29
27,9
28
27,4
26,9
27
26,4
25,8
26
Femmine
23,9
24
23
22
23,4
22,4
22,1
21,7
22,0
22,3
Sc. centrale
23,6
23,3
22,7
22,6
22,9
18,6
18,3
17,9
Sc. centrale
22,2
21,8
21,4
21,0
20,5
20,4
19,9
18
19,4
18,8
18,1
18,4
Sc. basso
23,1
21,1
19,5
Sc. alto
24,1
22,5
Maschi
24,1
23,6
21
19
23,8
23,2
21,9
20
Sc. basso
24,8
24,4
24,3
26,0
25,3
25,1
25
25,7
19,4
18,7
19,7
20,0
20,2
19,0
17
Slide 11
2050
2045
2040
2035
2030
2025
2020
2015
2010
16
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Sc. alto
Longevity risk: definizione
►
Il longevity risk è un rischio caratteristico di enti (compagnie di
assicurazione / enti di previdenza) che erogano prestazioni in
caso di vita (ed in particolare rendite) ad un soggetto assicurato
/ iscritto
►
Può essere definito a livello individuale o aggregato (cfr.
Stallard, 2006)
►
Longevity risk (aggregato): rischio che i percettori di rendita vivano
in media più a lungo di quanto previsto nelle basi tecniche
►
Si manifesta laddove la mortalità osservata è sistematicamente
inferiore a quella osservata
►
E’ la conseguenza dell’incertezza insita nel fenomeno della mortalità
e della sua rappresentazione tramite un modello di proiezione
Slide 12
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Longevity risk: definizione e caratteristiche
►
Rischio sistematico derivante dall’incertezza presente nella
rappresentazione del fenomeno attraverso una determinata
proiezione
►
Rischio “non pooling” (non diversificabile) interviene nella
stessa direzione per tutta la collettività assicurata
Slide 13
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Identificazione del rischio:
rischio individuale e aggregato
►
►
Il longevity risk aggregato ha carattere di rischio sistematico
Il longevity risk individuale è un rischio di fluttuazioni casuali:
deriva dagli scostamenti aleatori tra i tassi di mortalità attesi e
quelli osservati che non derivano da scostamenti sistematici, ma
sono insiti nella natura stocastica della mortalità;
Si può ridurre aumentando la dimensione del portafoglio: al crescere
dei rischi esposti frequenze teoriche e osservate convergono.
Fluttuazioni casuali
Slide 14
Deviazioni sistematiche
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Longevity risk: conseguenze
►
Influenza fortemente enti previdenziali, casse di previdenza,
fondi pensione e prodotti assicurativi di rendita
Estensione del periodo di pagamento della rendita e conseguente
incremento della passività attuariali
E’ presente nella fase di accumulo nei fondi a prestazione definita
E’ presente nella fase di decumulo (erogazione della rendita) nei fondi a
contribuzione definita
►
In passato le proiezioni della mortalità hanno sottostimato la
tendenza all’aumento della longevità della popolazione
►
Necessità di adottare tavole proiettate di mortalità per il
calcolo dei valori attuariali delle rendite
Da tavole di mortalità statiche basate su un solo anno di calendario a
tavole dinamiche che incorporano la proiezione della mortalità
Slide 15
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Impatto del longevity risk sul valore delle
rendite
►
Principali conseguenze sui soggetti erogatori di rendita:
Estensione del periodo di pagamento della rendita
Incremento della passività attuariali per effetto della diminuzione delle
probabilità di morte
Valore attuariale rendita vitalizia a 65 anni Maschi
16,5
Valore attuariale rendita vitalizia a 65 anni Femmine
19,5
+ 5.0%
+ 3.4%
16,0
19,0
15,5
18,5
15,0
- 5.0%
18,0
14,5
17,5
14,0
17,0
13,5
- 3.6%
16,5
Scenario
Q(0.5%)
Alto
Scenario
Mediana
Centrale
Scenario
Q(99.5%)
Basso
Scenario
Q(0.5%)
Alto
Elaborazione dell’autore
Slide 16
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Scenario
Mediana
Centrale
Scenario
Q(99.5%)
Basso
Impatto del longevity risk sul valore della
riserva
►
Tasso atteso di riserva in t = [1,40]
Generazione nata nel 1942 (65 anni nel 2007)
Probabilità di sopravvivenza calcolate con il modello Lee-Carter
Maschi
Femmine
18,0
Scenario
Alto
Scenario
Centrale
Scenario
Basso
16,0
14,0
12,0
20,0
Scenario
Alto
Scenario
Centrale
Scenario
Basso
18,0
16,0
14,0
12,0
10,0
10,0
8,0
8,0
6,0
6,0
4,0
4,0
2,0
2,0
0,0
0,0
1
5
9
13
17
21
25
Tempo t
29
33
37
1
6
11
16
21
Tempo t
Elaborazione dell’autore
Slide 17
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
26
31
36
Rappresentare il longevity risk
►
Trend decrescenti della mortalità impongono l’adozione di
tavole proiettate di mortalità per calcolare i valori attuariali
delle rendite
►
Utilizzo di proiezioni stocastiche per quantificare esplicitamente
l’incertezza della mortalità proiettata
►
Necessità di formulare differenti ipotesi sull’evoluzione della
mortalità scelta di un insieme di significativi scenari di
mortalità (tavole di mortalità)
►
Due diversi approcci nella costruzione di scenari futuri:
deterministico (singolo scenario)
stocastico (multi - scenario)
Slide 18
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
La tavola di mortalità
►
: numero atteso di individui viventi all’età x in una data
popolazione (inizialmente costituita da individui di età 0)
►
Tavola di mortalità: sequenza decrescente di
►
►
►
Se i dati derivano da osservazioni longitudinali del numero di
individui viventi alle età 1,2,…, ω, si ha una tavola di generazione
(o coorte): richiede l’osservazione di ω+1 anni
Se i dati forniscono i tassi di mortalità alle varie età osservate su
un anno specifico, si ha una tavola di periodo (basata su una
coorte fittizia o sintetica):
Per
si ha la sequenza:
Numero atteso di decessi tra le età x e x+1:
►
Slide 19
Deve valere la condizione:
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Tavole di mortalità e probabilità di morte
►
Dalla tavola di mortalità sono direttamente ricavabili le
probabilità di morte/sopravvivenza:
Probabilità di morte annuali:
Probabilità di sopravvivenza annuali:
Probabilità di sopravvivenza pluriennali:
Mortality odds:
Probabilità di morte in funzione degli odds:
Slide 20
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Tavole di mortalità proiettate
►
Una tavola di mortalità proiettata è ottenuta sulla base di
procedure statistiche di stima dei tassi di mortalità osservati
età
Passato
Anno base
proiezione
anno di
calendario
P
e
r
i
o
d
o
Profilo della
mortalità
Slide 21
Futuro
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Approccio deterministico
►
Consente ai soggetti che erogano le rendite di valutare
esclusivamente il rischio di fluttuazioni casuali della
mortalità intorno ai valori attesi
►
Scelta di scenari “medi” (riduzione media della mortalità) e di
scenari “estremi” (riduzione molto elevata o molto bassa della
mortalità)
►
Scenario testing: analisi di sensitività delle principali variabili
attuariali in funzione dei trend futuri di mortalità
Slide 22
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Approccio stocastico
►
Assegnazione di una distribuzione di probabilità sull’insieme
di scenari ritenuti possibili
►
Consente ai soggetti che erogano le rendite di valutare sia le
fluttuazioni casuali che le deviazioni sistematiche della
mortalità
Insieme discreto di scenari
Slide 23
Insieme continuo di scenari
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Longevity risk during the decumulation phase and strategies to manage it
Approccio stocastico
►
Per modellizzare e misurare il longevity risk necessario un
modello stocastico di proiezione della mortalità
quantifica esplicitamente l’incertezza della proiezione
►
Risultati della proiezione con un modello stocastico:
stime puntuali dei tassi futuri di mortalità
intervalli di confidenza
Slide 24
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Misurazione del longevity risk
I modelli di proiezione della mortalità
►
Modelli deterministici basati su leggi di mortalità
Permettono di ben rappresentare le principali caratteristiche di uno
scenario di mortalità
Ad esempio: Gompertz, Makeham, Weibull, Heligman-Pollard
►
Modelli estrapolativi
Deterministici
Stocastici
Slide 25
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Modelli estrapolativi
Modelli estrapolativi deterministici
• Interpolazione dei trend di mortalità
osservati in passato
• Ipotesi: i trend osservati si ripeteranno in
futuro estrapolazione dei trend
• La natura stocastica della mortalità non
viene considerata
Un database con molti anni di
calendario può presentare trend di
mortalità più o meno forti in base al
periodo che si considera attenzione
alla scelta del periodo di riferimento
per la proiezione
Fonte: Pitacco - Denuit - Haberman - Olivieri A. (2009) “Modelling Longevity Dynamics for Pensions and Annuity Business”.
Slide 26
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Modelli estrapolativi
Modelli estrapolativi stocastici
• I tassi di mortalità osservati sono estrazioni di variabili casuali che
rappresentano la mortalità passata
• I tassi di mortalità proiettati sono stime di variabili casuali che rappresentano
la mortalità futura
• Si definiscono un insieme di ipotesi circa la mortalità e un legame tra
osservazioni e proiezioni
Slide 27
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Il modello Lee–Carter (1992)
►
I tassi centrali di mortalità hanno una forma log-bilineare:
Decessi
Esposti al
rischio
dove:
descrive il comportamento della mortalità al variare dell’età
descrive per ogni età come la mortalità reagisce al variare di
indice della variazione della mortalità nel tempo
termine di errore errori indipendenti ed identicamente
distribuiti con distribuzione N(0,
)
►
Parametri individuati attraverso i vincoli:
►
I parametri
stimati sono poi modellizzati e proiettati come
una serie temporale stocastica utilizzando i modelli ARIMA.
Slide 28
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
e
Estensione del modello Lee – Carter
Brouhns et al. (2002)
►
Il modello LC assume implicitamente che gli errori casuali
siano omoschedastici (medesima varianza rispetto all’età)
● ipotesi poco realistica per età elevate, dove è presente una
maggiore variabilità della mortalità a causa dell’esiguo numero di
decessi
►
Proposta di Brouhns et al. (2002): tassi centrali di mortalità
modellizzati tramite il modello Lee-Carter:
con decessi distribuiti come una Poisson:
►
Rispetto al Lee-Carter originario: introduzione di una
variazione casuale del numero di decessi di tipo Poisson al
posto del termine di errore additivo
. Ipotesi realistica per
età elevate.
Slide 29
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Osservazioni sul modello Lee-Carter
►
Il modello ha bisogno dei vincoli sui parametri beta e kappa per
poter essere calibrato, altrimenti pone problemi di
identificabilità dei parametri
►
La normalizzazione dei parametri ottenuta attraverso i vincoli
su beta e kappa, comportano che il parametro alpha sia pari
alla media del logaritmo dei tassi centrali di mortalità nel tempo
►
Il parametro beta potrebbe essere negativo per alcune età,
indicando che la mortalità per quelle età tende ad aumentare,
mentre diminuisce ad età differenti
Slide 30
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Il modello Cairns-Blake-Dowd-1
►
Analisi empiriche sui dati di mortalità suggeriscono che il
logaritmo naturale degli odds,
, assume una forma
lineare rispetto all’età x per un periodo temporale di t anni
►
Cairns et. Al. (2006) hanno quindi proposto il seguente modello
che include 2 fattori temporali:
Ovvero:
La funzione
►
può anche essere scritta come: logit q x (t )
Dove k1 e k2 sono due processi stocastici che costituiscono
una serie temporale bivariata e governano la proiezione dei
tassi di mortalità.
Slide 31
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Il modello Cairns-Blake-Dowd-1
►
Non pone problemi di identificazione dei parametri (no vincoli)
►
In genere k1 decresce nel tempo così come nel modello LeeCarter, mostrando come i tassi di mortalità diminuiscono nel
tempo per tutte le età
►
Se durante il periodo di osservazione dei dati gli incrementi di
mortalità sono più elevati alle età giovanili rispetto alle età
anziane, allora k2 aumenta nel tempo
►
Rispetto al modello di Lee-Carter il modello Cairns-BlakeDowd-1 (CBD-1) mostra cambiamenti dei tassi di mortalità non
perfettamente correlati con le età.
Slide 32
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Proiezione della mortalità e serie temporali
►
Step 1: calibrazione del modello parametrico (Lee-Carter, CBD,
ecc.) sulla matrice di dati di mortalità per età e anno di
calendario
►
Step 2 (per i parametri funzione del tempo): utilizzo di un
modello per le serie temporali di tipo ARIMA (p,d,q) per
modellizzare e proiettare i parametri
ARIMA: autoregressive integrated moving average (modello
autoregressivo a media mobile integrato)
• p = ordine autoregressivo
• d = ordine di differenziazione
• q = ordine della media mobile
Approccio simulativo che permette di rilevare gli errori generati
dalla serie temporale
Approccio che permette il calcolo di intervalli di confidenza
Slide 33
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Proiezione della mortalità e serie temporali
►
I modelli ARIMA (p,d,q)
►
Esempi di modelli ARIMA per il parametro temporale k :
arima (0,1,0):
(Random walk with drift)
►
►
arima (1,1,0):
arima (1,1,1):
drift (deriva)
del processo
Slide 34
errori del processo
con
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Modello Lee-Carter: proiezione di kt
►
Se né il coefficiente di autocorrelazione né quello di
autocorrelazione parziale dell’indice kt sono significativamente
diversi da 0: è appropriato utilizzare un ARIMA (0,1,0) =
random walk with drift
errori i.i.d
►
Dinamica del parametro temporale:
►
Stima dei parametri del processo ARIMA:
Drift (deriva del processo)
►
secondo una
N(0, )
Varianza del processo
Proiezione del parametro kt :
Slide 35
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Modello CBD-1 : proiezione di kt[1] e kt[2]
►
Dinamica dei parametri k1 e k2 :
►
Matrice di varianze e covarianze:
►
Stima del drift del processo ARIMA:
Slide 36
Drift (deriva del processo):
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Effetto coorte
►
In alcuni Paesi si osservano tassi di mortalità che sembrano
influenzati non solo da età e anno di calendario, ma anche dall’anno
di nascita della coorte.
►
Per evidenziare questo effetto si possono analizzare i tassi di
incremento annuo della mortalità
Fonte: Cairns et al. (2007). A quantitative comparison of stochastic mortality models using data from England & Wales and the
United States. North American Actuarial Journal 13: 1-35.
Slide 37
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Il modello di Renshaw-Haberman (2006)
►
Il logaritmo della forza di mortalità (o del tasso centrale di
mortalità) è modellizzato come:
Rappresenta una versione age-period-cohort (APC) del modello
Lee-Carter
:parametro che rappresenta l’effetto coorte (t-x=anno di nascita)
: descrive per ogni età come la mortalità reagisce al variare
dell’effetto coorte
: descrive per ogni età come la mortalità reagisce al variare
del parametro temporale
►
Parametri individuati attraverso i vincoli:
Slide 38
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
I modelli di Cairns-Blake-Dowd (2007)
►
Cairns et. al. (2007) hanno proposto due varianti del
modello CBD-1 che includono l’effetto coorte
parametro che
rappresenta
l’effetto coorte
►
CBD-2:
CBD-3:
Questi modelli pongono problemi di identificazione dei
parametri. Per ovviare a tale problema i parametri sono
trasformati utilizzando fattori di trasformazione che li rendono
individuabili.
Slide 39
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
I criteri di scelta del modello di proiezione
della mortalità
►
Cairns et al. (2008) suggeriscono i criteri per scegliere tra i vari
modelli di proiezione della mortalità:
Slide 40
Tassi di mortalità positivi
Modello coerente con i dati storici
Dinamiche future a lungo termine del modello biologicamente
ragionevoli
Stime dei parametri robuste rispetto al periodo di dati e intervalli di
età impiegati
Previsioni del modello robuste rispetto al periodo di dati e intervalli
di età impiegati
Livelli di previsione dell’incertezza e traiettorie centrali plausibili e
coerenti con le tendenze storiche e la variabilità dei dati di
mortalità
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
I criteri di scelta del modello di proiezione
della mortalità
Slide 41
Modello semplice da attuare mediante metodi analitici o veloci
algoritmi numerici
Modello relativamente parsimonioso
Modello utilizzabile per generare percorsi campione e calcolare
intervalli di previsione
Modello che consente di integrare l'incertezza del parametro nelle
simulazioni
Almeno per alcuni Paesi, modello che incorpora un effetto
stocastico di coorte
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Scelta del periodo di calibrazione del
modello
►
La maggior parte degli studi attuariali basano la calibrazione
dei modelli di proiezione della mortalità su statistiche relative al
periodo 1950-ad oggi. Tale periodo rappresenta meglio
l’aspettativa per il futuro rispetto ad un periodo più lungo: 1900ad oggi.
►
La mortalità diminuisce per tutte le età in maniera più forte nel
periodo1950–2000 rispetto al periodo 1900–2000.
►
La qualità dei dati di mortalità, in particolare per le età elevate,
è discutibile nel periodo 1900–1950
►
Le cause di morte sono differenti per i due periodi, prima e
dopo il 1950 (prima le malattie infettive, dopo le malattie cardiocircolatorie e i tumori).
Slide 42
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Scelta del periodo di calibrazione ottimo:
un esempio
►
Booth et al. (2002) hanno proposto una procedura per
individuare il periodo di calibrazione ottimo che identifichi il
periodo più lungo per cui il parametro che indica la mortalità
stimata, kt, sia lineare
►
La scelta del periodo di calibrazione è basta sul rapporto tra:
media delle devianze del fit ottenuta con il modello Lee–Carter
sul fit lineare complessivo.
►
Tale rapporto è calcolato in base all’anno di partenza e
scegliendo il periodo di calibrazione per cui tale rapporto è
minore rispetto ai periodi che iniziano in anni precedenti.
Slide 43
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Criteri quantitativi
►
Diagnostica del modello in base ai residui
►
Dinamica del modello in base ai parametri temporali
►
Plot del residui del modello (solitamente standardizzati)
Scelta del modello ARIMA (ACF, PACF)
Stima dei parametri
Diagnostica del modello in base ai residui
Indicatori di bontà del fitting del modello
Slide 44
Bayes Information Criterion (BIC)
Akaike Information Criterion (AIC)
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Criteri quantitativi di scelta del modello: BIC
e AIC
►
Bayes Information Criterion (BIC): criterio obiettivo di scelta
del modello basato sulla qualità statistica del fit
BIC = l ( ρˆ ) − 0.5 K ln( N )
►
ρ : insieme dei parametri da stimare con la funzione di
verosimiglianza
ρ̂ : stima di massima verosimiglianza del vettore dei parametri
l ( ρˆ ) : funzione di massima log-verosimiglianza dei parametri
N : vettore del numero delle osservazioni
K : numero effettivo dei parametri stimati
Akaike Information Criterion (AIC): AIC = l ( ρˆ ) − K
Slide 45
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Modello Lee-Carter: applicazione alla
popolazione italiana
►
Popolazione italiana maschile di età 20-89 negli anni di calendario1974-2008
● Decessi
● Esposti al rischio
Parametri stimati del modello Lee-Carter
Slide 46
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Residui del modello Lee-Carter
Slide 47
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Tassi centrali di mortalità storici modellizzati
e probabilità di morte proiettate
Slide 48
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Proiezioni della mortalità
qx
annuali
qx(t) per la coorte nata nel
(65 anni nel 2008)
tpx
Slide 49
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Misurare il longevity risk
Individuazione di grandezze che rappresentino lo stato di
“salute” o di “sofferenza” dei soggetti erogatori di rendite
• Funzione di perdita
Scelta di un’adeguata “misura di rischio”
•
•
•
•
Varianza
Coefficiente di variazione
Quantili, VaR, TVaR
Probabilità di rovina
Definizione di un orizzonte temporale di analisi e delle
modalità di indagine
• Annuale, pluriennale,….
• Alla scadenza, su tutto l’intervallo temporale
Slide 50
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Misurare il longevity risk: approccio
deterministico
►
Portafoglio composto da una coorte di contratti di rendita
immediata a premio unico
►
Valore attuale aleatorio al tempo 0 delle prestazioni
Portafoglio di
N0 contratti
j-mo assicurato
Importo annuo della rendita
►
Vita residua del j-mo assicurato all’età iniziale x0
Valore atteso e varianza
: scenario di mortalità ipotizzato
j-mo assicurato
Portafoglio di
N0 contratti
Slide 51
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Misurare il longevity risk: approccio
deterministico
►
Coefficiente di variazione
: scenario di mortalità ipotizzato
Portafoglio di
N0 contratti
La rischiosità del portafoglio
diminuisce all’aumentare del
numero di contratti
Slide 52
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Misurare il longevity risk: approccio
stocastico
►
Valore atteso e varianza
: insieme degli scenari di
mortalità ipotizzati con
probabilità ρ
j-mo assicurato
Fluttuazioni casuali intorno
al valore atteso
Deviazioni sistematiche dei
valori osservati da quelli
attesi
Portafoglio di
N0 contratti
Slide 53
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Misurare il longevity risk: approccio
stocastico
►
Coefficiente di variazione
Portafoglio di
N0 contratti
Misura la parte del rischio di
mortalità che non è rimovibile
semplicemente aumentando la
grandezza del portafoglio (parte
sistematica del rischio)
Slide 54
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Misurare il longevity risk: approccio
stocastico
►
Il Value at Risk della riserva matematica
α=99.5%
Percentile della riserva matematica calcolata all’epoca t (Vt)
con un livello di confidenza pari a 99.5%=α
►
Il Tail VaR (o Expected Shortfall) della riserva matematica
Strumento utile per valutare la severità delle perdite che superino il
VaR ad un fissato livello di confidenza
α=99.5%
Media dei valori dei VaR della riserva matematica all’epoca t
che risultano superiori ad un fissato livello di confidenza
(99.5%)
Slide 55
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
VaR e Tail VaR (o Expected Shortfall (ES))
L = generica distribuzione delle perdite
Slide 56
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Bibliografia
►
Brouhns, N., Denuit, M. and Vermunt, J. K. (2002). A Poisson Log-Bilinear Approach to the
Construc- tion of Projected Life Tables. Insurance: Mathematics and Economics 31: 373-393.
►
Cairns, A.J.G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G.D., Epstein, D., Ong, A., Balevich, I. (2007). A
quantitative comparison of stochastic mortality models using data from England & Wales and the
United States. North American Actuarial Journal 13: 1-35.
►
Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., (2008). Modelling and management of Mortality Risk: a
review. Scandinavian Actuarial Journal 2-3: 79-113.
►
Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2011):
Mortality density forecasts: An analysis of six stochastic mortality models, Insurance: Mathematics
and Economics, 48, 355–367.
►
Coughlan et al. (2007). LifeMetrics: A toolkit for measuring and managing longevity and mortality
risk . Technical Document. JP Morgan, London.
►
Currie I. D., Durban, M. and Eilers, P. H. C. (2004) Smoothing and forecasting mortality rates
Statistical Modelling, 4, 279-298.
►
Dowd, K., Cairns, A. J. G., Blake, D., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2010):
Evaluating the goodness of fit of stochastic mortality models, Insurance: Mathematics and
Economics, 47: 255–265.
Slide 57
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione
Bibliografia
►
Dowd, K., Cairns, A. J. G., Blake, D., Coughlan, G. D., Epstein, D., Khalaf-Allah, M. (2010):
Backtesting stochastic mortality models: An ex-post evaluation of multi-period-ahead density
forecasts, North American Actuarial Journal, 14: 281–298.
►
HMD. (2010). Human Mortality Database, University of California, Berkeley (USA) and Max
Planck Institute for Demographic Research, Rostock (Germany).
►
Lee, R.D., Carter, L.R. (1992). Modelling and forecasting U.S. mortality. Journal of the American
Sta- tistical Association 87: 659-675.
►
Olivieri A., Pitacco E. (2006) “Life annuities and longevity dynamics”. Working Paper n.
36, CERAP.
►
Pitacco E., Denuit M., Haberman S., Olivieri A. (2009) “Modelling Longevity Dynamics for
Pensions and Annuity Business”. Oxford University Press.
►
Renshaw, A.E., Haberman, S. (2003). On the forecasting of mortality reduction factors. Insurance:
Mathematics and Economics 32: 379-401.
►
Renshaw, A.E., Haberman, S. (2006). A cohort-based extension to the Lee-Carter model for
mortality reduction factors. Insurance: Mathematics and Economics 38: 556–570.
Slide 58
Levantesi S. - Longevity risk: identificazione e misurazione