moto dei corpi - Paolo Siviglia

MOTO DEI CORPI
Si dice che un corpo è in quiete se con lo scorrere del tempo la sua posizione non varia rispetto ad altri corpi.
Si dice che un corpo è in moto se non è in quiete.
La quiete o il moto di un corpo sono sempre relativi ad altri corpi.
Un corpo in quiete o in moto si immagina come un punto.
Si chiama traiettoria la linea descritta da un punto durante il moto.
Si chiama spazio il tratto di traiettoria percorsa da un punto in un certo intervallo di tempo.
MOTO
Si dice che un corpo si muove di moto rettilineo uniforme se la
traiettoria
è una retta e se percorre spazi uguali in tempi uguali.
UNIFORME
Si dice velocità di un corpo che si muove di moto uniforme, lo spazio che il corpo percorre in una unità di
tempo.
Nel moto uniforme la velocità è costante.
Se lo spazio si misura in metri e il tempo in secondi, la velocità è espressa in metri al secondo. In simboli si
scrive: m/s .
La velocità può essere misurata anche in chilometri
s
t
v=
s = vt
t=
s
v
all’ora “ km h ”.
s = spazio, t = tempo, v = velocità
ESEMPI
1.
Si ha:
2.
Si ha:
3.
DATI.
Un corpo si muove alla velocità di 28,8 km/h. Qual è la velocità in m/s?
v = 28,8 km/h = 28.800 m/h =
Un corpo si muove alla velocità di 5
28.800
m/s = 8 m/s.
3600
m/s. Qual è la velocità in m/h?
v = 5 m/s = 0,005 km/s = 0,005 ⋅ 3600 km/h = 18 km/h.
Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme alla velocità di
h
m
32 km/h. Calcolare lo spazio
s
2 20 40 .
v= 32 km/h, t = 2h20m40s.
percorso in
Poiché la velocità è in chilometri orari, il tempo dev’essere espresso in ore. Ricordando che
h
m
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
1 = 60 , 1 = ⎜ ⎟ ; 1m = 60s, 1s = ⎜ ⎟ ;
⎝ 60 ⎠
⎝ 60 ⎠
h
m
m
h
⎛ 1 ⎞
1h = 3600s, 1s = ⎜
⎟ ,
⎝ 3600 ⎠
h
si ha:
h
h
20
40 ⎞
1 1 ⎞
⎛ 211 ⎞
⎛
⎛
t = 2 20 40 = ⎜ 2 +
+
⎟ .
⎟ = ⎜2 + + ⎟ = ⎜
60 3600 ⎠
3 90 ⎠
⎝ 90 ⎠
⎝
⎝
h
m
s
1 Moto dei corpi
1
s = vt = 32 ⋅
4.
211
km = 75 km.
90
Un ciclista percorre lo spazio di 50
DATI.
km in 1h57m. Calcolare la velocità in km/h e in m/s.
s = 50 km, t = 1h57m.
h
Si ha:
v=
5.
h
25640
s 50
m s = 7,12 m s .
=
= 25,64 km h =
3600
t 39
20
Un ciclista percorre lo spazio di 43
DATI.
h
⎛ 39 ⎞
⎛ 117 ⎞
⎛ 57 ⎞
t = 1h57 m = ⎜1 + ⎟ = ⎜
⎟ =⎜ ⎟ .
⎝ 20 ⎠
⎝ 60 ⎠
⎝ 60 ⎠
km alla velocità di 27 km/h. Calcolare il tempo impiegato.
s = 43 km, v = 27 km/h.
h
Si ha:
s ⎛ 43 ⎞
t = = ⎜ ⎟ = 1h15m33s.
t ⎝ 27 ⎠
MOTO
VARIO
Si dice vario un moto non uniforme
Si chiama velocità media in un moto vario il rapporto fra lo spazio
percorso e l’intervallo di tempo impiegato a percorrerlo.
Velocità media =
PROBLEMI
1.
spazio
tempo
vm =
s
, s = vm ⋅ t.
t
MOTO UNIFORME E MOTO VARIO
3.
km/h. Calcolare la velocità in
m/s.
[48,6 m/s.]
Un automobilista percorre 360 km in 5 ore. Determinare la velocità in km/h e in m/s.
[72 km/h ; 20 m/s]
Un treno percorre 360 km in 4 ore. Quanti metri percorre in un secondo?
[ 25 m/s]
4.
Un locomotore ferroviario percorre lo spazio di 250
2.
In un circuito motociclistico il giro più veloce è stato di 175
I) la velocità in m/s; II) il tempo impiegato
km alla velocità di 81 km h . Calcolare:
a percorrere i 250 km.
[22,5 m/s;
3h5m11s]
5.
Un automobilista percorre lo spazio di 64,8 km in 48 minuti. Calcolare la velocità media.
[81 km/h]
6.
7.
2
Uno spazio di 108,6
h
m
s
km viene percorso in 1 40 40 .
Calcolare la velocità media.
[64,73 km/h]
Un ciclista percorre un primo tratto di
1 Moto dei corpi
11,52 km in
24m, un secondo tratto di
28,8 km
in
8.
9.
10.
11.
12.
1h20m e un terzo tratto di 30 km in 1h20m12s. Calcolare la velocità nei singoli tratti.
[28,8 km/h, 21,6 km/h, 22,44 km/h]
Un corpo in un primo tratto di 45 km si muove di moto vario con la velocità di 36 km/h; il
secondo tratto di 840 m lo percorre di moto uniforme impiegando105 sec Calcolare: 1) la
h
m
s
velocità nel secondo tratto; 2) il tempo impiegato nell’intero percorso. [8 m/s; 1 16 45 ]
Un corpo percorre 100,8 km In un primo tratto di 36 km si muove di moto vario impiegando
25m. Determinare in quanto tempo percorre il secondo tratto alla velocità media del primo.
[45m]
s
Un corpo percorre 2km. Sapendo che nella prima metà del percorso impiega 50 , calcolare quale
m
s
dev’essere la velocità media del secondo tratto affinché tutto il percorso si compia in 2 10 .
[12,50 m/s]
s
Un corpo percorre 1,2 km in 48 e successivamente altri 1,8 km con una velocità media pari ai
3
di quella del primo tratto. Calcolare la velocità media nel primo tratto e il tempo impiegato per
5
tutto il percorso.
[25 m/s; 2m48s ]
Un ciclista percorre 14 km alla velocità media di 25,2 km h e successivamente altri 18 km
impiegando un tempo doppio di quello impiegato nel tratto precedente. Calcolare il tempo
h
m
[1 40 ; 16,2 km/h]
impiegato per tutto il percorso e la velocità media nell’ultimo tratto.
13.
14.
5 km Il primo tratto, di 2 km, lo percorre in 1m40s; nel secondo tratto il
3
corpo di muove con una velocità media pari ai
di quella del primo tratto. Calcolare il tempo
5
m
s
impiegato a percorre i 5 km.
[5 50 ]
s
m
Un treno parte da una stazione e impiega 50 per percorrere i primi 200 m, poi 15 per
s
percorrere 18 km di moto uniforme e poi 50 per percorrere gli ultimi 1000 m. Calcolare la
velocità nel tratto intermedio e la velocità media in tutto il percorso in m/s e in km/h.
[20 m/s, 72 km/h; 19,2 m/s, 69,12 km/h]
Un corpo percorre
MOTO
UNIFORMEMENTE
ACCELERATO
Un moto si dice uniformemente accelerato se la sua
velocità varia in ogni istante della medesima quantità.
La variazione costante di velocità si chiama accelerazione.
v
v
a = accelerazione, t = tempo, v = velocità
t=
t
a
2
L’accelerazione si misura in metri al secondo quadrato e si scrive “ m/s “.
Se quando si comincia a contare il tempo il corpo aveva velocità v0 ( velocità iniziale), dopo un intervallo di tempo
t, si ha:
v − v0
v − v0
v0 = v – at
a=
t=
; v0 = velocità iniziale,
v = v0 + at
t
a
t = tempo, v = velocità finale, a = accelerazione
v = at
a=
Nel moto uniformemente accelerato la velocità media è uguale alla media aritmetica delle velocità iniziale e finale.
1 Moto dei corpi
3
v0 + v
2
vm =
v0 = 2 vm ─ v v = 2 vm ─ v0
v0 = velocità iniziale, v = velocità finale, vm = velocità media
v0 + v v 0 + v0 + at 2v 0 + at
1
=
=
=v 0 + at
2
2
2
2
1
1
⎞
⎛
s = v m ⋅ t = ⎜ v0 + at ⎟ ⋅ t = v 0 t + at 2 .
2 ⎠
2
⎝
vm =
Quindi:
FORMULE DEL MOTO UNIFORMEMENTE
ACCELERATO
v = at, s =
1 2
at .
2
v = v0 + at, s = v0 t +
Con velocità iniziale nulla
1 2
at .
2
Con velocità iniziale v0
LEGGI DEL MOTO UNIFORMEMENTE
ACCELERATO
In un moto rettilineo uniforme:
1)
La velocità è proporzionale al tempo.
2)
Lo spazio è proporzionale al quadrato del tempo.
ESEMPI
Un corpo parte dalla quiete e si muove di moto uniformemente accelerato con l’accelerazione di
0,5 m/s2. Calcolare la velocità raggiunta dopo 30s e lo spazio percorso nello stesso intervallo di
tempo.
1.
DATI.
a = 0,5 m/s2, t = 30s.
v = at = 0,5 ⋅ 30 = 15 m/s.
Si ha:
Si calcola ora la velocità media.
vm =
Si ha:
v0 + v 0 + 15
=
= 7,5 m/s.
2
2
Si calcola ora lo spazio percorso.
s = vm ⋅ t = 7,5 ⋅ 30 = 225 m.
Si ha:
l’accelerazione è di 0,8
DATI
Si ha:
4
6 m/s.
m/s2, calcolare la velocità e lo spazio percorso dopo 50s.
v0 = 6 m/s, a = 0,8 m/s2., t = 50s.
Un corpo si muove di moto uniformemente accelerato con velocità iniziale di
2.
v = v0 + at = 6 + 0,8 ⋅ 50 = 6 + 40 = 46 m/s.
1 Moto dei corpi
Sapendo che
Si calcola ora la velocità media.
vm =
Si ha:
v0 + v 6 + 46
=
= 26 m/s.
2
2
Si calcola ora lo spazio percorso.
Si ha:
s = vm ⋅ t = 26
⋅ 50 = 1300 m
Un corpo si muove di moto uniformemente accelerato con velocità iniziale di
3.
3 m/s.
Sapendo che
dopo 30 secondi la velocità è di 60
m/s, calcolare l’accelerazione.
v0 = 3 m/s, v = 60 m/s, t = 30s.
DATI
Dalla formula:
v = v0 + at
v − v0 60 − 3
a=
=
= 1,9 m/s2.
t
30
si ricava:
Un corpo si muove di moto uniformemente accelerato con velocità iniziale di
4.
10 m/s. Sapendo che
in 40 secondi percorre lo spazio di 600
DATI
m, calcolare l’accelerazione.
v0 = 10 m/s, s = 600 m, t = 40s.
Si calcola la velocità media.
vm =
Si ha:
s 600
=
= 15 m/s
t
40
Si calcola ora la velocità finale.
v = 2 vm ─ v0 = 2 ⋅ 15 – 10 = 30 – 10 = 20 m/s.
Si ha:
Si calcola ora l’accelerazione.
a=
Si ha:
v − v0 20 − 10 10
= 2,5 m/s2..
=
=
t
4
4
Due punti partono contemporaneamente dal vertice e percorrono i lati di un angolo retto: l’uno di
moto uniforme con velocità di 20 cm/s, l’altro di moto uniformemente accelerato con
5.
cm/s2. Calcolare la distanza dopo 10s.
2
s
DATI v1 = 20 cm/s, a = 2 cm/s , t = 10 .
Il primo punto percorre il segmento OB con moto uniforme. Si ha:
OB = v1⋅ t = 20 ⋅ 10 = 200 cm = 2 m.
A
Il secondo punto percorre il segmento OA con moto uniformemente accelerato.
l’accelerazione di 2
Si ha:
1 2 1
at = ⋅ 2 ⋅ 100 = 100 cm = 1 m.
2
2
Il segmento AB rappresenta la distanza tra i due punti dopo10 secondi.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OAB, si ha:
OA =
O
B
2
2
AB = OA + OB = 1 + 4 = 5 ≈ 2,24 m.
I due punti partiti contemporaneamente dal punto O, dopo dieci secondi si trovano alla distanza di 2,24
6.
Due punti partono contemporaneamente dagli estremi di un segmento lungo
64 cm
m.
e si vengono
1 Moto dei corpi
5
incontro con moto uniformemente accelerato. Sapendo che rispettive accelerazioni sono di
2
3
e di
5 cm/s , dopo quanto tempo si incontrano.
2
2
DATI a1 = 3 cm/s , a2 = 5 cm/s , s = 64 cm.
Indichiamo con t l’istante in cui i due punti si incontrano e calcoliamo gli spazi percorsi da ciascuno di essi. Si ha:
1
1
1
1
3
5
s1 = a1t 2 = ⋅ 3 ⋅ t 2 = t 2 ; s 2 = a 2 t 2 = ⋅ 5 ⋅ t 2 = t 2 .
2
2
2
2
2
2
Osservando che la somma degli spazi percorsi da entrambi i punti è uguale alla lunghezza del segmento
dato, si ha:
3 2 5 2
t + t = 64; 4t2 = 64;
2
2
t2 = 16; t = 4 secondi.
I due punti si incontrano esattamente dopo quattro secondi.
PROBLEMI
MOTO UNIFORMENTE ACCELERATO
1.
Un corpo parte dalla quiete e si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione di
0,4 m/s2. Calcolare la velocità dopo 40 secondi in km/h.
[57,6 km/h]
2.
Un corpo si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione di
3.
4.
che la velocità iniziale è di
10 m/s,
quale velocità raggiunge dopo
0,2 m/s2. Sapendo
3 minuti ? Quale spazio
[46 m/s; 5040 m]
percorre ?
Un corpo parte dalla quiete e si muove di moto uniformemente accelerato con un’accelerazione di
0,5 m/s2. Calcolare la velocità e lo spazio percorso dopo 50 secondi. [25 m/s; 625 m]
Un ciclista inizia una discesa con moto uniformemente accelerato. Sapendo che l’accelerazione è
2
di 0,8 m/s , quale velocità in km/h raggiunge dopo 20 secondi ? Quanto spazio avrà
percorso ?
5.
6.
7.
8.
9.
[57,6 km/h; 160 m]
2
Un treno si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione di 0,4 m/s partendo
dalla quiete. Calcolare il tempo impiegato per raggiungere la velocità di 57,6 km/h e lo spazio
percorso.
[40 secondi; 320 m]
Un treno partendo dalla quiete e muovendosi di moto uniformemente accelerato impiega 10
secondi per raggiungere la velocità di 72 km/h. Calcolare l’accelerazione e lo spazio percorso.
[2 m/s2 ; 100 m]
Un treno parte da una stazione e, muovendosi di moto uniformemente accelerato, raggiunge la
[20 secondi]
velocità di 86,4 km/h dopo 240 m. Calcolare il tempo impiegato.
Un corpo si muove di moto uniformemente accelerato percorrendo
30
Calcolare la velocità finale e l’accelerazione.
Un corpo ha la velocità di 20 m/s nell’istante in cui il moto diventa uniformemente
2
ritardato con accelerazione di 0,8 m/s . Calcolare la velocità e lo spazio percorso dopo 30
[5 m/s; 375 m]
secondi.
10.
11.
12.
6
10 secondi.
[6 m/s; 0,6 m/s2]
metri in
Un treno che ha la velocità di 117
km/h
comincia a muoversi di moto uniformemente ritardato
e si ferma dopo un minuto. Calcolare l’accelerazione e lo spazio percorso.
[0,54 m/s2;975 m]
81 km/h quando, in presenza del disco rosso, il macchinista stringe i
20 secondi di moto uniformemente ritardato. Calcolare
l’accelerazione e lo spazio percorso prima della fermata.
[1,125 m/s2; 225 m]
Un corpo in un primo tratto di 30 km si muove di moto vario alla velocità media di 40 km/h;
Un treno ha la velocità di
freni. Il treno si ferma dopo
1 Moto dei corpi
il secondo tratto di
2 km
lo percorre di moto uniforme impiegando
velocità del secondo tratto; II) il tempo impiegato nell’intero percorso.
13.
Un corpo percorre
1m40s. Calcolare: I) la
[72 km/h; 46m40s ]
90,5 km. In un primo tratto di 52 km si muove di moto vario impiegando
40 minuti. Determinare in quanto tempo percorre il secondo tratto alla velocità media del primo.
[29m37s]
Un corpo percorre 1,8 km in 40 secondi e successivamente altri 1,2 km con una velocità
2
media pari ai
di quella del primo tratto. Calcolare la velocità media nel primo tratto e il tempo
5
impiegato per tutto il percorso.
[162 km/h; 1m47s]
14.
Si dice che un corpo si muove di moto circolare uniforme se
la traiettoria è una circonferenza e percorre archi uguali in
tempi uguali.
MOTO CIRCOLARE
UNIFORME
Si chiama periodo in un moto circolare uniforme il tempo impiegato per un giro completo.
Si chiama frequenza in un moto circolare uniforme il numero dei giri in una unità di tempo.
In un moto circolare uniforme la frequenza è il reciproco del periodo.
Se r è la misura del raggio della circonferenza, si hanno le formule:
2πr
1
2πr
v=
f =
v
T
T
T = periodo, v = velocità periferica, f = frequenza
T=
Si chiama velocità angolare in un moto circolare uniforme l’angolo descritto in una unità di
tempo.
Le ampiezze degli angoli si misurano
r
in gradi o in radianti
r
r
1 rad
1 rad
1 rad
1 rad
r
1 rad
7
rad
25
1 rad
L’angolo avente l’ampiezza di un grado è
quello corrispondente alla novantesima
parte di un angolo retto.
L’angolo avente l’ampiezza di un radiante
è l’angolo al centro di una circonferenza
che insiste su un arco uguale al raggio.
Come è noto, la lunghezza di una
circonferenza è espressa dalla formula:
C = 2π r.
Come
r
r
tutta
la
circonferenza
risulta
composta di 2π archi uguali al raggio,
così tutto l’angolo giro risulta composto
di 2π angoli uguali a un radiante. Si ha,
cioè
1 angolo giro = 2π radianti.
Si può scrivere:
360° = 2π rad.
2π
ω = velocità angolare
ω=
T
2πr
2π
T=
T=
v
ω
Dal confronto delle due uguaglianze, per la proprietà transitiva, si ha:
1 Moto dei corpi
7
2πr 2π
=
.
v
ω
Dividendo entrambi i membri per 2π, si ha:
r 1
= .
v ω
Moltiplicando entrambi i membri per ω v, si ha:
ω r = v,
ossia:
v = rω
Si è trovata così la relazione tra la velocità periferica e la velocità angolare.
ESEMPIO
Una ruota avente il raggio di 0,40 m si muove di moto circolare uniforme e compie
minuto secondo. Calcolare il periodo, la velocità angolare e la velocità periferica.
DATI
30
giri al
r = 0,40 m; f = 30 giri/ minuto
1 ⎛ 1 ⎞
2π 2π
= 60π rad/s = 188,4 rad/s;
=⎜ ⎟ ;ω =
=
1
f ⎝ 30 ⎠
T
30
v = ω r = 60 π ⋅ 040 = 75,36 m/s.
s
Si ha:
T=
PROBLEMI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
8
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
0,50 m si muove di moto circolare uniforme con un periodo di
0,025 secondi. Calcolare: I) la frequenza; II) la velocità angolare; III) la velocità
periferica.
[40 giri/s; 251,2 rad/s; 125 m/s ]
Un contagiri applicato ad un albero di rotazione in un certo istante segna 10750 giri; dopo 30
secondi segna 11950 giri. Qual è il numero dei giri al minuto primo ?
[2400]
Le ruote di una locomotiva hanno un diametro di 1,40 m e compiono 360 giri al minuto
primo. Calcolare la velocità della locomotiva.
[26,376 m/s, 95 km/h circa]
Un ciclista percorre una strada alla velocità media di 28,8 km/h. Sapendo che il diametro
delle ruote è di 70 cm, determinare il numero dei giri compiuti dalle ruote in un minuto primo.
[218 giri al minuto]
Un disco fa 720 giri al minuto primo. Determinare la sua velocità angolare. [75,36 rad/ s]
Un volano avente il raggio di
Una puleggia fa 300 giri al minuto. Calcolare: I) la sua velocità angolare; II) la velocità in un
punto P distante 30
cm dall’asse di rotazione.
[31,4 rad/ s; 9,42 m/ s]
L’albero di un motore compie 4200 giri al minuto. Trovare la sua velocità angolare.
[439 rad/ s]
La velocità angolare di un disco è di 125,6 rad/ s. Sapendo che il suo diametro è di 30 cm,
determinare quanti giri fa in un minuto primo e la sua velocità periferica.
[1200; 6 m/ s]
1 Moto dei corpi