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I paradossi di Eubulide

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I paradossi di Eubulide
http://utenti.quipo.it/base5/logica/eubulide.htm
[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
I paradossi di Eubulide
…
con alcune varianti moderne
Il mentitore
Un uomo dice: "Io sto mentendo."
Mente o dice il vero?
Eubulide, 330 a.C.
La morte di Filita
Il logico Filita di Coo (340 - 285 a.C.) morì a causa di questo paradosso, e la
testimonianza che ci ha lasciato è ancor più paradossale:
"Viandante, io sono Filita. L'argomento chiamato il Mentitore e le profonde
meditazioni notturne mi condussero alla morte."
Il biglietto di Jourdain
Proposizione 1: La proposizione 2 è vera.
Proposizione 2: La proposizione 1 è falsa.
Philip Jourdain, 1913
Il ponte dei bugiardi
Un padre e un figlio stavano facendo una piacevole passeggiata in campagna.
Ad un certo punto il bambino disse una grossa bugia.
Il padre lo ammonì severamente: "Attento, fra poco dovremo attraversare il ponte
dei bugiardi. È un ponte che crolla se un bugiardo lo attraversa."
Il figlio, spaventato, ammise la sua bugia e confessò la verità.
Che cosa accadde quando i due attraversarono il ponte?
Hans Freudenthal, 1981
Epimenide, il cretese
Secondo la testimonianza di S. Paolo, Epimenide di Creta, vissuto nel VI secolo a.C.,
fu il primo a pronunciare una frase del tipo:
"I cretesi sono eterni bugiardi." Ovvero
"Tutti i cretesi dicono sempre il falso."
Ma questa affermazione di Epimenide, il quale era cretese, è vera o falsa?
Il paradosso del mucchio o del sorite
Tutti sanno che:
• un granello di sabbia non è un mucchio
• due granelli non sono un mucchio
• tre granelli non sono un mucchio
• ...
• aggiungendo un solo granello a una cosa che non è un mucchio non si ottiene un
mucchio.
Dunque non è possibile fare un mucchio di sabbia.
Eppure i mucchi di sabbia esistono.
Come si spiega questo paradosso?
Eubulide di Mileto
Pulizia in giardino
È autunno. Zia Ebe e le sue nipotine stanno raccogliendo le foglie secche in giardino.
Hanno fatto 3 piccoli mucchi di foglie secche davanti alla casa e 2 piccoli mucchi
dietro. La zia dice:
"Forza! Mettiamo assieme tutti i mucchi di foglie che abbiamo raccolto."
Mettendo assieme tutti i piccoli mucchi, quanti mucchi ci sono?
Il paradosso del cornuto
Tu hai ciò che non perdesti. Che cosa ne pensi, è vero o falso? Qualunque tu mi
risponda, sarà una rovina!
“E' vero!”
“Ma tu non hai mai perso le corna. Dunque hai le corna.”
“Beh, allora è falso!”
“Ma tu non hai mai perso gli occhi. Dunque non hai gli occhi. Vorresti forse dire che
hai le corna o sei privo di occhi?”
Aulo Gellio, Notti attiche, XVI, 2
Quando hai smesso di picchiare tua moglie?
Questo paradosso è simile ad un altro espresso sotto forma di domanda: "Quando
hai smesso di picchiare tua moglie?"
Se uno non l'ha mai picchiata potrebbe rispondere: "Non ho mai smesso!", ma questa
risposta è sconsigliabile perché potrebbe far pensare che l'hai picchiata e continui a
farlo.
D'altronde anche la risposta: "Ho smesso." è alquanto pericolosa perché potrebbe
far pensare che in passato l'hai picchiata almeno una volta.
Il paradosso dell'uomo incappucciato (o di Elettra)
Siete sicuri di conoscere vostro fratello o il vostro migliore amico?
Conosci l'uomo che si avvicina ed è incappucciato?
No.
Se gli togliamo il cappuccio, lo riconosci?
Sì, è mio fratello!
Dunque conosci e non conosci la stessa persona.
Alessandro di Afrodisia, Commento agli Elenchi sofistici, 62
(in una variante, la protagonista è Elettra che deve riconoscere Oreste; Elettra e
Oreste sono personaggi di una tragedia di Euripide)
Il paradosso del calvo
Consideriamo un uomo che non è calvo.
1. Se si strappa un capello dalla testa, non diventerà calvo per questo.
2. Perciò l'uomo sarà ancora non-calvo.
3. Possiamo quindi riprendere dal punto 1.
Andando avanti così, l'uomo non diventerà mai calvo.
Quand'è allora che uno diventa calvo?
Questo paradosso è simile a quello del mucchio.
Note storiche
La testimonianza di Paolo apostolo
Molti, infatti, sono i ribelli, i ciarloni, i seduttori, specialmente tra i circoncisi, ai
quali bisogna chiudere la bocca, perché son tali che sconvolgono famiglie intere,
insegnando ciò che non si deve, a scopo di vile guadagno. Uno di essi, proprio loro
profeta (si riferisce a Epimenide), ebbe a dire: "Cretesi, eterni bugiardi, cattive
bestie e ventri voraci".
S. Paolo Apostolo, morto nel 67, Lettera a Tito, I, 10-12)
Se ammettiamo che l'affermazione di Epimenide, è vera cadiamo in una
contraddizione. Infatti se fosse vera allora Epimenide sarebbe un cretese che
almeno una volta ha detto la verità. Quindi, se fosse vera sarebbe falsa, il che non è
accettabile.
Se invece diciamo che è falsa non cadiamo in alcuna contraddizione. Infatti se è
falso che "tutti i cretesi dicono sempre il falso", allora qualche cretese deve dire
qualche volta la verità e Epimenide in questo caso ha detto il falso.
Il ponte dei bugiardi
L'argomento del "Ponte dei bugiardi" è stato tratto da Freudenthal da una novella di
Christian F. Gellert, intitolata Der Bauer und sein Sohn (il contadino e suo figlio)
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Risposte & riflessioni
Il ponte dei bugiardi
La risposta di Freudenthal, sotto forma di battuta spiritosa, è la seguente: quando
raccontai questa storia a un bambino di 10 anni, questi mi chiese cosa fosse
accaduto quando infine i due erano giunti al ponte. Io risposi: "Crollò sotto il padre,
il quale aveva mentito dato che in realtà non esiste un ponte dei bugiardi". (O forse
esisteva?) ".
*****
Il paradosso del mucchio
Pulizia in giardino
La risposta è:
3 mucchi + 2 mucchi = 1 mucchio.
I mucchi di foglie o di granelli di sabbia sembrano comportarsi come l'infinito.
Infatti possiamo dire che:
• Un granello non è un mucchio.
• Due granelli non sono un mucchio...
• Se n granelli non sono un mucchio allora n + 1 granelli non sono un mucchio.
Ma possiamo anche dire che:
•
•
•
•
Un mucchio + 1 granello = un mucchio.
Un mucchio - 1 granello = un mucchio.
Un mucchio + un mucchio = un mucchio.
n volte 1 mucchio = un mucchio.
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