A2 85.02 waterloopkundig laboratorium laboratorium voor grondmechanica

A2 85.02
waterloopkundig laboratorium
laboratorium voor grondmechanica
taludbekleding van gezette steen
bezwijken van zettingen
overzicht en bundeling van bestaande kennis
verslag bureaustudie
M 1795/M 1881 deel XI WL
CO 258902
LGM
juni 1985
NHOUD
blz.
1.
Inleiding
1
1.1
Opdracht
1
1.2
Probleemstelling
1
2.
Bezwijken van dijkbekledingen
4
2.1
Inleiding
4
2.2
Belasting
4
2.3
Sterkte
6
2.4
Bezwijken
11
2.5
Beschrijving bezwijkmechanismen
14
2.6
Relevante buitenlandse literatuur
19
2.7
Conclusies
30
REFERENTIES
FIGUREN
3.
Bundeling notities over di jkbekledingen
41
3.1
Evaluatie van de opzet van het onderzoek
41
3.2
Een losliggend blok met minimale wrijving
51
3.3
Knik van geklemde zettingen
56
3.4
Bezwijken door buiging
62
3.5
Veiligheidsbeschouwingen
68
3.6
Rekenmodel stromingen
122
FIGUREN (bij hoofdstuk 2)
1
Verdeling belasting en wrijving over een talud
2
Verdeling wrijving over een talud in praktijk
3
Bezwijkmechanismen taludbekleding
4
Bezwijken van volledig ingeklemde platen
5
Wrijving en belasting als functie van het aantal stenen.
TALUDBEKLEDING VAN GEZETTE STEEN, FASE 3
Bezwijken van zettingen. Overzicht en bundeling van bestaande kennis
1.
Inleiding
1.1
Opdracht
Bij het fundamenteel onderzoek M 1795/M 1881 naar de stabiliteit van steenzettingen is in de loop van het onderzoek een aantal oriënterende notities
geschreven, die niet in een officieel verslag zijn verwerkt. Daarnaast zijn op
aanverwante terreinen ideeën ontwikkeld die nauw samenhangen met steenzettingen. In dit verslag is getracht vooraf een algemene filosofie te geven omtrent
bezwijken van dijkbekledingen, waarbij alleen de sterkte van de bekleding en
niet die van de filterlaag is beschouwd. Om de min of meer op zichzelf staande
ideeën en notities niet verloren te laten gaan, is een aantal notities in dit
verslag gebundeld. Daarbij zijn steeds vooraf opmerkingen gemaakt die teruggrijpen op de eerder beschreven algemene filosofie.
Deze bureaustudie is uitgevoerd in opdracht van het Centrum van Onderzoek
Waterkeringen van de Rijkswaterstaat, directie Waterhuishouding en Waterbeweging. De studie is uitgevoerd door ir. J.W. van der Meer van het Waterloopkundig Laboratorium, die ook het onderhavige verslag heeft samengesteld.
1.2
Probleemstelling
Het fundamenteel onderzoek naar de stabiliteit van steenzettingen is tot nu
toe voor een groot deel gericht geweest op de bepaling van de stabiliteit van
een zetting bestaande uit losliggende blokken. Dit deel van het onderzoek is
vrijwel afgerond. In de praktijk ligt een blok meestal niet los in de zetting,
maar ondervindt klerakrachten door het gewicht van hoger liggende blokken. Dit
wordt nog bevorderd als de zetting is ingewigd of afgestrooid met grind of als
de blokken een speciaal op "interlocking" gerichte vorm hebben.
Door klemkrachten kan de zetting veel aan sterkte winnen. Hierbij is het
bezwijkgedrag echter veel gecompliceerder geworden. Blokken gaan samenwerken,
waardoor een groot aantal bezwijkmechanismen mogelijk wordt. Ook komt het voor
-2-
dat niet meer de stabiliteit van de zetting maatgevend is, maar de stabiliteit
van de onderliggende lagen, bestaande uit granulair materiaal.
Zowel de belasting op een constructie als de sterkte van een constructie zijn
stochastische grootheden. Is dit al van belang voor de goed gedefinieerde
situatie van een zetting bestaande uit losliggende blokken, voor een geklemde
zetting met een mogelijk eroderende onderlaag wordt het helemaal een belangrijk aspect. De probabilistische ontwerpmethodiek kan daarom een belangrijk
hulpmiddel zijn bij het dimensioneren van steenzettingen.
In de afgelopen jaren is een aantal oriënterende notities geschreven, zowel op
het gebied van wrijving en klemming als op het gebied van erosie. Daarnaast
zijn bij aanverwante onderzoeken ideeën ontwikkeld en uitgebreid omtrent bezwijkmechanismen bij zettingen. Voorts is een eerste aanzet voor een probabilistische aanpak verschenen. Om van deze min of meer op zichzelf staande
notities êën geheel te maken is het onderhavige verslag samengesteld. Daarbij
is boven beschreven kennis voor een gedeelte samengevat in een hoofdstuk dat
een algemene filosofie omvat van het bezwijken van steenzettingen (hoofdstuk
2 ) . Dit hoofdstuk wordt afgesloten met een evaluatie van bestaande relevante
buitenlandse literatuur. In hoofdstuk 3 zijn enkele notities over sterkte van
dijkbekledingen geheel of gedeeltelijk in ongewijzigde vorm gebundeld, waarbij
kort commentaar is geleverd op de plaats van de notitie in de algemene filosofie.
Kennis omtrent de interne sterkte, de stabiliteit van onderlagen, is
beschreven in de notities [6] en [7], welke ook rezamen zijn weergegeven in
M1795/M1881 deel XVI.
Dit deel XI bevat de volgende notities:
Hoofdstuk 3
1
Evaluatie van de opzet van het onderzoek
ir. K. den Boer, Waterloopkundig Laboratorium en ir. C.J. Kenter, Laboratorium voor Grondmechanica M 1795 WL; CO 258901/41 LGM; augustus 1982
Opgenomen in dit verslag: Appendix 1...4.
-3-
2
Een losliggend blok met minimale wrijving
De trekkracht van een losliggend blok bij het in rekening brengen van de
minimaal aanwezige wrijving
ir. J.W. Seyffert, Centrum voor Onderzoek Waterkeringen, oktober 1984
3
Knik van geklemde zettingen
Elementaire beschouwing
ir. J.B. Sellmeyer, Laboratorium voor Grondmechanica, CO-258902; januari
1983
4
Bezwijken door buiging
ir. G.M. Wolsink, Technische Hogeschool Delft
5
Veiligheidsbeschouwingen
Hoofdstuk 12 uit de concept CUR leidraad voor steenzettingen
ir. G.M. Wolsink, Technische Hogeschool Delft.
6
Rekenmodel stromingen
Analytisch rekenmodel voor de stromingen door en onder een gezette
dijkbekleding
ir. G.M. Wolsink; oktober 1984.
Naast de bovenstaande in dit verslag opgenomen notities, is verder gebruik
gemaakt van de volgende verslagen:
7
Grootschalig modelonderzoek in de Deltagoot van een steenzetting op zand.
Waterloopkundig Laboratorium, M 1795/M 1881 deel XII WL; CO 269960/2 LGM;
december 1983
8
Trekproeven op glooiingsconstructies in de Oosterschelde.
ir. H.J. Verhagen, Rijkswaterstaat, Adviesdienst Vlissingen
Nota WWKZ-84. V002; februari 1984
9
Sausage blocks-Enka
Stabiliteits-evaluatie van een alternatieve golfbreker-afdekking
Waterloopkundig Laboratorium, R 1836; december 1982
10 Taludbescherming Markerwaarddijk
Waterloopkundig Laboratorium, R 1953; oktober 1983
-4-
2.
2.1
Bezwijken van dijkbekledlngen
Inleiding
Bij het beschrijven en berekenen van de stabiliteit van een constructie is het
van belang drie onderdelen te onderkennen. Dit zijn de belastingen, de sterkte
van de constructie en het bezwijken van de constructie. De belasting en de
sterkte kunnen afzonderlijk worden behandeld. Een koppeling komt tot stand bij
het onderdeel bezwijken, waar de vergelijking belasting > sterkte wordt beschreven.
Bij dijkbekledingen wordt de belasting gevormd door waterdrukken op en onder
het talud. De sterkte ontstaat door het eigen gewicht van de zetting, de wrijvingskracht tussen de blokken en de erosiegevoeligheid van de onderlagen.
Zowel bij de belastingen als de sterkte speelt de stochastiek een grote rol.
De belasting is dynamisch en snel wisselend, de spreiding van de sterkte
eigenschappen is ongeveer constant in de tijd, maar erg groot.
2.2
Belasting
De waterdrukken op en onder de zetting vormen de belasting op de constructie.
De waterdrukken op het talud zijn voornamelijk afhankelijk van de golfhoogte,
golfperiode, waterdiepte en taludhelling. Deze drukken kunnen worden gemeten
in een fysisch model of voor zover mogelijk berekend met een mathematisch
model (programma BEACH). De drukken onder het talud zijn voornamelijk afhankelijk van de drukken op het talud, de doorlatendheid van de zetting en de doorlatendheid en andere eigenschappen van de filterlaag. Ook deze drukken kunnen
in een fysisch model worden gemeten of in sommige gavallen worden berekend
(programma's STEENZET, SEEP).
Als de drukken onder het talud worden afgetrokken van de drukken op het talud,
ontstaan de zogenaamde verschildrukken op de bekleding. Zodra de verschildruk
(naar boven gericht) over een blok groter is dan de resultante van het eigengewicht van het blok wordt de situatie potentieel instabiel genoemd. Dit betekent dat een losliggend blok bij deze belasting uit een zetting zal worden
gedrukt. Een losliggend blok is de minimale sterkte die altijd aanwezig is.
Aangezien een situatie met losse blokken in de praktijk niet veel voorkomt is
-5-
het van belang te weten in hoeverre de verschildrukken de potentieel instabiele situatie overtreffen. Daarom wordt hier de term netto belasting geïntroduceerd. Dit is de belasting gegeven ten opzichte van de potentieel instabiele
situatie, of anders geformuleerd:
De netto belasting is de resulterende belasting veroorzaakt door de belasting
op het talud, de belasting onder het talud en het eigengewicht van het blok.
a cosa
q^ = belasting op het talud
[N/m2]
cosa = eigen gewicht blok
[N/m2]
qo = belasting onder het talud
[N/m2]
Dgp
3.
p = netto belasting
[N/m2]
Ten aanzien van de netto belasting kunnen de volgende van belang zijnde aspecten worden genoemd:
•
De netto belasting is afhankelijk van de golfhoogte, golfperiode, waterdiepte, taludhelling, doorlatendheid bekleding, eigenschappen van de
filterlaag en dikte en soortelijke gewicht van de bekleding.
•
De belasting is dynamisch. De verdeling van de netto belasting varieert
sterk over de hoogte van het talud, maar heeft bij loodrechte golfaanval in
langsrichting dezelfde waarde. In figuur la is een voorbeeld gegeven van
een netto belasting verdeling die maximaal is. De belasting bestaat maar
gedurende zeer korte tijd. Bij scheve golf'aanval varieert de verdeling van
de belasting ook in langsrichting.
•
Voor 1 blok uit de zetting kan worden aangehouden dat de belasting gelijkmatig verdeeld is over het blok. De netto kracht die dan op een blok werkt,
is:
-6-
P = p.A
(1)
waarin: P
= netto kracht [N]
Ai = oppervlak blok waarop p werkt [m2]
2.3
Sterkte
De sterkte van een steenzetting wordt bepaald door het gewicht van de steen,
de wrijvings- of klemkracht tussen de stenen en de erosiegevoeligheid van de
onderlaag. Het gewicht van de steen is al verwerkt in de netto belasting. De
erosiegevoeligheid van de onderlaag wordt beschreven in [5] en [7], zie hoofdstuk 4. Het gedrag van de onderlaag blijft hier verder buiten beschouwing.
Meer op interlocking gerichte blokvormen komen in paragraaf 2.6 aan de orde.
De sterkte van een bekleding wordt dan alleen door de wrijving bepaald die
tussen blokken aanwezig kan zijn. Deze wrijving kan worden uirgedrukt in een
wrijvingskracht per eenheid van oppervlakte, de zogenaamde wrijvingsdruk f
(N/m2) . De oppervlakte van de zijkanten van de steen bepaalt dus de totale
wrijvingskracht. Het voordeel van het werken met de wrijvingsdruk is dat deze
onafhankelijk is van de blokafmetingen. De verdeling van deze f over het talud
is dan ook onafhankelijk van de blokafmeting. Het belastingschema voor een
blok ziet er als volgt uit:
In de RWS nota [9] worden trekproeven beschreven op glooiingsconstructies in
de Oosterscheldew In êën geval zijn trekproeven uitgevoerd op een talud bestaande uit zogenaamde Haringman blokken. Dit waren vierkante blokken met de
afmetingen 0.50x0.50x0.20 m 3 en met een massa van 120 kg. Uit deze proeven
zijn enkele belangrijke conclusies te trekken ten aanzien van de verdeling van
de trekkracht en dus ook van de wrijvingsdruk f. In figuur 2 zijn de gegevens
uit [9] vermeld. Op de horizontale as is de ligging h onder de opsluitband
uitgezet, gemeten langs het talud. Op de vertikale as is de gemiddelde trekkracht T uitgezet in kg. Uit deze figuur volgt:
-7-
•
Er is een duidelijke correlatie tussen de trekkracht en de plaats op het
talud. Dieper gelegen blokken geven een grotere trekkracht. Dit wordt veroorzaakt doordat op de dieper gelegen blokken het gewicht van een groter
aantal bovengelegen blokken drukt.
•
De spreiding van de trekkracht rondom het gemiddeld is zeer groot. Deze
grote spreiding is de oorzaak van het duidelijk stochastisch karakter van
de sterkte van bekledingen. Alleen een probabilistische aanpak kan deze
spreiding meenemen in een ontwerp.
Er is een eenvoudige formule op te stellen voor de verdeling over een talud
van de gemiddelde wrijvingsdruk of van de trekkracht. Met behulp van de meetpunten in figuur 2 kan een aanname worden gedaan over de betrouwbaarheid van
deze formule. De verdeling van de wrijvingsdruk over het talud kan als volgt
worden voorgesteld:
f = c g p h f,, sina
a
bb
[N/m2]
(2)
waarin:
f
= wrijvingsdruk
c
= het gedeelte van de bovengelegen blokken wat drukt op
[N/m2]
het beschouwde blok
g
[-]
[m/s2]
= gravitatie versnelling
p
= soortelijke massa van de blokken
[kg/m ]
3.
h
= afstand tot de opsluitband, gemeten langs het talud
[m]
f?bb = wrijvingscoëfficiënt van beton op beton
oc
= taludhelling
[graden]
Met formule (2) is de benodigde trekkracht voor een blok als volgt te berekenen:
T = f A + Gg cosa
~
(3)
waarin:
T
= trekkracht
f
= wrijvingsdruk
[N]
[N/m2?
^2 = oppervlak waarover f werkt
[m2]
G
[kg]
= massa blok
-8-
De benodigde trekkracht bestaat uit de wrijvingskracht voor het blok en de
loodrecht op het talud ontbondene van het gewicht. De wrijvingskracht voor een
blok is te vergelijken met de in paragraaf 2.2 beschreven nettokracht (formule
(D).
F = f.A„,
met F = wrijvingskracht
[N]
(4)
De formules (2) en (3) kunnen worden getoetst aan de prototype trekproeven van
figuur 2. Met behulp van lineaire regressie analyse is de best fit curve door
de meetpunten bepaald:
T = 2750 h - 2690,
waarin T in N en h in m
(5)
(correlatie 73%)
Voor de grootheden van formule (2) kunnen in eerste instantie de volgende
waarden worden aangehouden:
c
= 1 , d.w.z. alle bovengelegen blokken werken mee
g
= 1 0 m/s 2
p
= 2400 kg/m3 (Haringman blokken)
3.
fkb = 1.0 (hoge waarde)
a
= 15.9° (talud 1:3.5)
Hiermee wordt de wrijvingsdruk:
f = 6593 h [N/m2]
Als de wrijvingsdruk alleen aanwezig is langs de bovenste en onderste zijkant
van een blok dan wordt Ao:
A 2 = 2 x 0.50 x 0.20 = 0.20 m 2
Met G = 120 kg wordt de trekkracht (3):
T = 1319 h + 1150
[N]
.
(6)
Dit verband is ook uitgezet in figuur 2. De lijn ligt beduidend lager dan de
regressielijn (5). Dit betekent dat, als alle bovengelegen blokken meewerken
en een vrij hoge wrijvingscoëfficiënt wordt aangehouden, nog niet eens het
gemiddelde wordt bereikt van de gemeten trekkrachten! Zoals ook in [9] wordt
geconcludeerd, zou dit kunnen worden verklaard door aan te nemen dat er op
-9-
sommige plaatsen een soort "voorspanning" in horizontale richting aanwezig is,
die ook een functie is van de ligging en waarvan de grootte in hetzelfde
gebied ligt als de vertikale druk.
Als wordt aangenomen dat de wrijvingsdruk zowel in horizontale richting langs
het talud als in de vertikale richting langs het talud dezelfde waarde heeft,
dan kan (6) op eenvoudige wijze worden aangepast. De oppervlakte Ao waarop f
werkt, wordt dan verdubbeld ten gevolge van de meewerkende zijkanten van het
blok. De bovengrens voor de trekproeven zou dan luiden:
T = 2638 h + 1150
[N]
(7)
Ook deze relatie is in figuur 2 uitgezet en vormt bij lange na niet de bovengrens. Een ander mechanisme wat de hogere waarden zou kunnen verklaren is het
plaatsingspatroon van de zetting. De blokken zijn gelegd in halfsteensverband.
Doordat naastliggende stenen kleiner zijn, of iets zijn weggezakt, zou het
kunnen voorkomen dat niet alleen de bovenste stenen gedragen moeten worden
maar ook naastliggende. De belasting zou daarbij piramide-achtig van opbouw
kunnen zijn, zie onderstaande figuur.
Dit betekent dat de factor c in formule (2) best groter kan zijn dan 1.0.
Wordt relatie (5) omgewerkt tot dezelfde structuur als (6) en (7) dan ontstaat
voor het gemiddelde:
2374 h + 1150
(N)
Dit betekent voor het gemiddelde: 2 zijkanten met wrijving en c = 1.8.
(5a)
-10-
Wordt aangenomen dat de bovengrens ligt bij c = 1.8 en wrijving over 4 zijkanten dan ontstaat:
T = 4748 h + 1150
(N)
(7a)
Relaties (5a) en (7a) zijn in figuur 2 weergegeven. Relatie (7a) vormt inderdaad een goede bovengrens.
Samengevat kan over de verdeling van de wrijving over het talud het volgende
worden geconcludeerd:
•
De gemiddelde wrijvingsdruk hangt lineair af van de plaats op het talud ten
opzichte van de opsluitband. Formule (2) geeft hiervoor een beschrijving,
waarbij de waarden c = 1.8
(piramidewerking) en f, , = 1.0 redelijke aan-
namen zijn.
•
De trekkracht T (of de wrijvingskracht F als het eigen gewicht achterwege
wordt gelaten) op een blok wordt beschreven door formule (3). Als voor de
oppervlakte waarop de wrijvingsdruk werkt, de bovenste en onderste zijkanten van het blok wordt aangehouden, dan wordt de gemiddelde trekkracht
berekend.
•
De spreiding rondom de gemiddelde trekkracht is groot. Voor de ondergrens
kan worden aangehouden A_ = 0 (een los blok). De bovengrens kan worden
berekend met (3), als voor A
alle vier de zijkanten worden meegenomen. De
wrijvingsdruk werkt dan niet alleen in vertikale richting maar ook in horizontale richting van het talud.
In figuur lb is een denkbeeldig verloop weergegeven van de wrijvingsdruk over
een talud. Ten opzichte van de nettobelasting (figuur la) kunnen twee opmerkingen worden gemaakt. De grootte en verdeling van de wrijvingsdruk zijn ten
opzichte van de golfperiode constant in de tijd, dit in tegenstelling tot de
dynamische belasting. Het stochastisch karakter van de wrijvingsdruk komt naar
voren door de grote spreiding in de lokale wrijvingsdrukken, ruwweg van nul
tot tweemaal de gemiddelde wrijvingsdruk.
-11-
2.4
Bezwijken
De belasting op een zetting en de sterkte van een zetting zijn in de voorafgaande paragrafen afzonderlijke behandeld. Bezwijken treedt op als de belasting gedurende een zekere tijdsduur groter is dan de sterkte. Voor het gedeelte van het talud wat wil bezwijken geldt:
P > F
(8)
Hierbij zijn P en F de reeds door (1) en (4) gegeven netto kracht en wrijvingskracht. Als de netto belasting p en de wrijvingskracht f gelijkmatig verdeeld over het bezwijkende gedeelte worden aangenomen, dan kan (8) worden uitgebreid tot:
p.A1 > f.A2
(9)
Als p en f niet gelijkmatig zijn verdeeld, dan moet de integraal worden berekend:
ƒ. p(A.) dA. > ƒ
f(A.) dA,
A.
1
1
A»
l
2.
(10)
Bij een zetting kan een aantal bezwljkvormen of bezwijkmechanismen worden
onderscheiden. Welk mechanisme in een bepaald geval optreedt, hangt af van de
in (8)...(10) gegeven grootheden. In figuur 3 zijn de meest voorkomende bezwijkmechanismen weergegeven. Het eenvoudigste geval is een enkel blok wat
loodrecht op de taludhelling omhoog wordt verplaatst. Bij een losliggend blok
wordt het bezwijkcriterium (8) al overschreden als P > 0. Dit houdt in dat de
potentieel instabiele situatie is bereikt: de resulterende opwaartse druk is
even groot als de resultante van het eigen gewicht. Zodra wrijving aanwezig
is, moet deze door een extra belasting worden overwonnen.
Als meerdere blokken tegelijk bezwijken, kan onderscheid worden gemaakt in
verplaatsing loodrecht op de taludhelling (figuur 3a) en verplaatsing door een
roterende beweging (figuur 3b). Een rij blokken kan bezwijken, waarbij weer
onderscheid kan worden gemaakt in een rij in langsrichting of in dwarsrichting
van het talud. Meerdere rijen kunnen tegelijk omhoog worden gedrukt. Als
-12-
laatste kan worden genoemd een aantal rijen naast elkaar, die als een plaatmechanisme bezwijken (figuur 3c). In figuur 4b en c is een overzicht gegeven
van bezwijkvormen van platen, maar analogie van het plastisch bezwijken van op
buiging belaste platen. De lengte/breede verhouding van de plaat (B in figuur
4c) bepaalt waar "volplastische vloeilijnen" ontstaan en wat de bijbehorende
bezwijkbelasting is.
Samengevat kunnen de volgende bezwijkmechanismen worden onderscheiden:
-
los blok
-
enkel blok met wrijving
-
een of meerdere rijen loodrecht op de taludhelling verplaatst
-
het uitbuigen van 1 rij blokken (liggermechanisme)
-
het uitbuigen van meerdere rijen (plaatmechanisme)
In de volgende paragraaf zullen deze bezwijkmechanismen afzonderlijk nader
worden toegelicht.
Met het beschrijven van bezwijkmechanismen is echter nog niet bepaald welk
mechanisme daadwerkelijk als eerste zal optreden. Het is het stochastisch
karakter van zowel de dynamische belasting als de verdeling van de sterkte
(wrijving) over het talud wat hier debet aan is. Wel kan worden nagegaan wat
de invloed is van het samenwerken van een aantal stenen op de stochastische
grootheden belasting en sterkte.
Wat betreft de sterkte (wrijving) zijn er twee invloeden aan te wijzen, zie
figuur 5a. In deze figuur is de gemiddelde wrijvingskracht, gerelateerd aan
een enkel blok, uitgezet tegen het aantal stenen wat tegelijk omhoog wordt
gedrukt. De stenen liggen in de langsrichting van het talud, zodat volgens (6)
eenzelfde gemiddelde wrijvingsweerstand per blok bestaat. Bij het samenwerken
van een aantal stenen neemt de totale oppervlakte A„ niet lineair toe met het
aantal stenen. Bij een enkel blok bestaat A„ uit 4 zijkanten, bij 2 blokken
uit 6 zijkanten en bij bijvoorbeeld 6 blokken uit 14 zijkanten. De limiet is
dat bij een lange rij stenen alleen de onderste en bovenste zijkanten meedoen.
Dit is de reden waarom de getrokken lijn in figuur 5a vrij snel naar beneden
loopt. Bij het uitdrukken van een rij blokken is dus relatief gezien een
lagere gemiddelde wrijvingsweerstand aanwezig en heeft dit mechanisme een grotere kans van voorkomen, dan het uitdrukken van een enkel blok.
-13-
Als tweede verandert de spreiding rondom het gemiddelde. Bij een enkel blok
varieert de lokale wrijvingsdruk van ruwweg nul (los blok) tot ongeveer tweemaal de gemiddelde waarde. Als deze spreiding als een onafhankelijke grootheid
wordt beschouwd, dan kan de spreiding van een n aantal samenwerkende blokken
worden berekend uit a
n
blokken is en o
= a,//n, waarin a de spreiding voor de samenwerkende
1
n
de spreiding voor een enkel blok. In figuur 5a wordt daarom
het betrouwbaarheidsinterval kleiner naarmate er meer blokken meewerken. Alhoewel de gemiddelde wrijvingsdruk voor een enkel blok groter is dan voor een
rij samenwerkende blokken, is de kans dat een enkel blok een zeer lage wrijvingsdruk bezit groter dan dat een rij blokken dezelfde lage wrijvingsdruk
bezit. Bij een fysische modelopstelling (bijvoorbeeld het Deltagootonderzoek
met een zetting op zand) is het verklaarbaar dat eerst een enkel los blok omhoog wordt gedrukt en dat, als het talud enigszins is gezet en er geen losse
blokken meer voorkomen, bij een hogere belasting er een rij blokken tegelijk
zal bezwijken.
De invloed van het samenwerken van blokken op de belasting is weergegeven in
figuur 5b. Op de vertikale as is de gemiddelde belasting gerelateerd aan een
enkel blok. Bij een rij in de langsrichting van het talud neemt de belasting
lineair toe met het aantal blokken (loodrechte golfaanval). De gemiddelde belasting per blok is dus constant. Bij scheve golfaanval zullen een aantal
blokken ongeveer dezelfde belasting ondervinden, maar bij een lange rij zal de
belasting lager worden. De belasting varieert sterk in dwarsrichting. Voor een
rij die in de dwarsrichting van het talud bezwijkt (zie figuur 5 b ) , zijn er
maar enkele blokken die de maximale belasting te verdragen krijgen. De gemiddelde belasting per blok zal daarom vrij snel afnemen.
De verdeling van de gemiddelde wrijvingsdruk, zoals is weergegeven in figuur
lb, tesamen met de invloeden van sterkte en belasting op het aantal samenwerkende stenen, zoals in figuur 5 is weergegeven, bepalen uiteindelijk welk
bezwijkmechanisme zal ontstaan en hoeveel blokken tegelijk zullen bezwijken.
Alleen met de probabilistische ontwerpmethodiek is een schatting te maken van
de kansen van optreden van de hier onderscheiden bezwijkmechanismen.
-14-
2.5
Beschrijving bezwijkmechanismen
Losliggend blok
Uitgaande van de in paragraaf 2.2 beschreven netto belasting p en de in paragraaf 2.3 beschreven wrijvingsdruk f, moet bij instabiliteit van een blok
gelden:
(9)
Voor een losliggend blok is f = 0, zodat instabiliteit optreedt als p > 0.
Enkel blok met wrijving
Een verdeling van f over het talud met de te verwachten spreiding en de aan te
houden grootte voor A~ zijn beschreven in paragraaf 2.3. De relatie voor f is:
f =
c 8 p
h
a
f
bb
sina
'
met voor de gemiddelde wrijvingskracht aan te houden waarden: c = 1, f ^
(2)
=1.0
en Ao = oppervlakte van onderste en bovenste zijkant. Bij bepaling van de
bovengrens moeten ook de twee andere zijkanten worden meegenomen. Bezwijken
treedt op als aan relatie (9) wordt voldaan.
Verplaatsing van_een rij blokken loodrecht op de taludhelling
Als een rij stenen in zijn geheel loodrecht uit het talud wordt gedrukt, dan
lijkt dit mechanisme veel op het uitdrukken van 1 blok waarbij de wrijvingskracht moet worden overwonnen.
Voor de verdeling van de wrijvingsdruk f geldt hetzelfde als bij een enkel
blok is beschreven (formule (2)). Daarbij komen nog de opmerkingen omtrent de
invloed van het aantal samenwerkende stenen op de sterkte en belasting (paragraaf 2.4 en figuur 5 ) . Bezwijken treedt weer op als wordt voldaan aan ( 9 ) .
-15-
U±_tbuiglng_yan_eei}_r 1 j blokken (liggermechanisme)
Het mechanisme waarbij een rij stenen gaat uitbuigen verschilt principieel van
het mechanisme waarbij stenen omhoog worden gedrukt. De beweging is nu niet
meer loodrecht op het talud, maar kan worden voorgesteld door een roterende
beweging. Er ontstaan drie scharnierpunten. Het mechanisme kan worden vergeleken met een ingeklemde ligger die bezwijkt, doordat er drie plastische
scharnieren ontstaan. De belsating die de ligger kan opnemen hangt af van de
grootte van het volplastisch moment in de scharnierpunten. Bij een steenzetting kan de inwendige krachtsoverdracht als volgt worden voorgesteld.
intarn momant = K b
r
i
netto belasting P
De weerstand van de ligger tegen bezwijken ontstaat als deze een beetje uitbuigt, waardoor de stenen klem komen te zitten. Er ontstaan drukkrachten ter
plaatse van het midden en de inklemming, die tesamen een tegenwerkend moment
vormen voor de uitwendige belasting. Dit tegenwerkend moment is groot:
M = b . K
(11)
Het bezwijkmoment of volplastisch moment M
M
a
hangt af van een aantal faktoren:
i °2
(12)
waarin:
Kp
= bezwijkmoment voor de ligger
o,
b
D
= druksterkte beton
[Nm]
[N/m2]
[m]
= dikte bekleding
a1D = hoogte waarover de drukkracht K werkt
[m]
a D = initiële uitbuiging door mobiliseren van ruimte
tussen de afzonderlijke blokken
B
[m]
[m]
= breedte van de steenrij
Voor een steenzetting liggen de betonsdruksterkte, de dikte en de breedte
vast. Van grote invloed is het drukoppervlak a D en vooral de speling tussen
de blokken a 2 D. Bezwijken kan optreden als de betondruksterkte wordt overschreden of als de afstand b = 0(1-32-82)
kleiner
dan nul
wordt.
-16-
Bij het onderzoek naar de stabiliteit van een zetting op zand [7] is nagegaan
of het overschrijden van de betondruksterkte als een reële mogelijkheid gezien
mag worden. Zelfs bij het verwaarlozen van wrijvingskrachten, zodat de volledige netto belasting p door de interne momenten moet worden opgenomen en bij
een lage aanname van de betondruksterkte, was de belasting die voor het bezwijken van de beton nodig was driemaal zo groot als de belasting waarbij in
het model werkelijk bezwijken optrad. Het is daarom niet aannemelijk dat het
overschrijden van de betondruksterkte reden kan zijn voor bezwijken van het
talud.
Veeleer zal na het overschrijden van de wrijvingskrachten de faktor a. zo
groot zijn geweest dat er geen tegenwerkend moment is ontstaan. Dat wil zeggen
dat:
< o
(13)
Worden een aantal blokken beschouwd met een lengte L en een totale spleet—
breedte tussen de blokken van AL, dan kan de initiële hoogte a„D worden berekend met:
a D = D - / D 2 + L 2 - (L + A L ) 2
(14)
Bij aannamen van blokafmetingen 0.25 x 0.30 x 0.105 m 3 en het uitbuigen van 6
blokken (proef 41, M 1881-deel XII [8]) wordt aan (13) voldaan als er een gemiddelde spleetbreedte van 1.75 mm tussen de blokken aanwezig is geweest. Dit
is inderdaad best mogelijk.
Het mobiliseren van de spleetruimte tussen de blokken in de scharnierpunten is
in bovenstaande figuren zo eenvoudig mogelijk voorgesteld. In werkelijkheid
zal de uitbuigingsvorm iets meer gebogen zijn (in plaats van twee scharnierende delen). Daarnaast zal niet alle aanwezige spleetruimte volledig worden
-17-
gemobiliseerd in de scharnierpunten. Deze twee aspecten hebben echter een
tegengestelde invloed op (14). Door een meer buigende vorm te veronderstellen
wordt a2D groter (stabiliteit kleiner), voor het mobiliseren van de spleetruimte is dit net andersom. Onderstaande figuur geeft een idee van het bezwijken van een rij stenen door uitbuiging, waarbij bovengenoemde aspecten in zijn
verwerkt.
I
a,D
Aannemende dat het overschrijden van de betondruksterkte niet zal voorkomen,
dan treedt bezwijken door buiging alleen op als aan (13) wordt voldaan. Wordt
niet genoeg ruimte gemobiliseerd, dan treden er inwendige momenten op en zal
geen verdere uitbuiging optreden. Het resultaat is dan dat de blokken na de
maximale belasting weer terugzakken, of dat een stabiele "katterug" ontstaat.
Voordat buiging kan optreden, moet echter eerst de wrijvingsdruk aan de zijkanten worden overwonnen, wat betekent dat buiging niet eerder zal optreden
dan dat aan (9) is voldaan. De wrijvingsweerstand is overigens kleiner dan bij
een rij blokken die loodrecht op de taludhelling wordt verplaatst, omdat de
wrijving aan de zijkanten niet hoeft te worden overwonnen. Daar staat tegenover dat een extra belasting nodig
^
Bij het uitbuigen van 1
rij
^
is
^
p
om de ruimte te mobiliseren.
i
s
m
e
)
blokken o n t s t a l n T scharnier punten naar analogie
van het plastisch bezwijken van een volledig ingeklemde ligger. Het uitbuigen
van een groot gedeelte van de bekleding als een plaat, is op hetzelfde principe gebaseerd. Naar analogie vn het collediktaat "Het plastisch gedrag en de
berekening van op buiging belaste platen" [12], kan het plaatmechanisme voor
een zetting worden afgeleid, m
plaats van scharnierpunten ontstaan zogenaamde
vloeilijnen. Het volplastisch moment wordt nu per meter breedte gedefinieerd
en heerst overal langs de vloeilijn.
-18-
De weerstand van de plaat tegen bezwijken ontstaat als de plaat een beetje
uitbuigt, waardoor de stenen klem komen te zitten, overeenkomstig de eerder
beschreven ligger. Het interne moment wordt opnieuw door (11) gegeven, waarbij
dit moment wordt beschouwd per meter plaatbreedte. De relatie voor het bezwijkmoment mp komt bijna overeen met (12):
mp = a, a. D 2 (1 - a
b l
- a„)
1
(15)
2
waarin: mp = bezwijkmoment per meter plaatbreedte
[Nm/m]
Door het plastisch moment mp voor de bekledingslaag als in formule (15) te definiëren, kan de bezwijkbelasting volgens de in [12] gegeven methoden worden
berekend. Bij het plastisch bezwijken van platen ontstaan t.p.v. de maximale
momenten zogenaamde vloeilijnen. Als het vloeilijnenpatroon volledig is ontwikkeld, dus als t.p.v. de vloeilijnen overal het plastische moment mp heerst,
zal bij een geringe opvoering van de belasting de plaat ongelimiteerd vervormen en dus bezwijken.
Het bezwijkpatroon wat van belang is bij steenzettingen, is de volledige ingeklemde plaat (zie figuur 4 b ) . Ten aanzien van de vorm van de plaat kunnen vier
gevallen worden beschouwd:
-
Een oneindig lange rechthoekige plaat met breedte a.
-
Een rechthoekige plaat met afmetingen a x b
-
Een vierkante plaat met zijde a.
-
Een ronde plaat met diameter a.
Figuur 4c geeft deze vormen weer. Met behulp van B = b/a wordt de vorm volledig vastgelegd.
Voor de eenvoud wordt de netto belasting p geschematiseerd tot een gelijkmatig
verdeelde belasting. Voor een rechthoekig volledig ingeklemde plaat kan de bezwijkbelasting dan worden berekend met:
F
16 mp
2
B+0.76
B-O.36'
Voor een oneindig lange plaat wordt (16) gereduceerd tot (B = <*>):
(16)
-19-
(17)
Voor een vierkante zowel als ronde plaat met B = 1 geldt:
Met behulp van formules (15) en (16) kan worden nagegaan of en zo ja, welke
bezwijkvorm zal optreden.
Overigens moet net als bij het liggermechanisme worden geconcludeerd dat het
overschrijden van de betondruksterkte niet een reële bezwijkvoorwaarde is.
Derhalve moet ook hier het mobiliseren van spleetruimte ter plaatse van de
vloeilijnen (de afstand a^D) de oorzaak zijn waardoor geen tegenwerkend moment
zal ontstaan. Bij het uitbuigen als een plaat hoeft geen wrijving te worden
overwonnen. De netto belasting zorgt er in zijn geheel voor dat de spleetruimte wordt gemobiliseerd.
2.6
Relevante buitenlandse literatuur
Voorgaande paragrafen, betreffende het bezwijken van dijkbekledingen, hebben
betrekking op het fundamentele onderzoek M 1795/M 1881. Bij dit onderzoek is
in eerste instantie de stabiliteit van losse blokken onderzocht en later ook
de invloed van wrijving tussen de blokken. De vorm van een blok is daarbij
niet veel gewijzigd. Vierkante of rechthoekige blokken werden tegen elkaar
geplaatst. De bezwijkmechanismen beschreven in paragraaf 2.5 hebben dan ook
betrekking op bovenbeschreven constructie.
In de literatuurstudie M 1795 deel II [13] wordt een overzicht gegeven van
onderzoek dat is uitgevoerd naar de stabiliteit van dijkbekledingen. Deze
studie diende als basis voor het M 1795/M 1881 onderzoek. Als alleen naar het
bezwijkgedrag van dijkbekledingen wordt gekeken, dan is er maar weinig relevante literatuur wat een aanvulling geeft op de paragrafen 2.2-2.5. Enkele
auteurs beschrijven stabiliteitsformules en passen deze toe op een door henzelf ontwikkeld blok-type (Svee, Brown). Andere auteurs beschrijven een specifiek systeem, bijvoorbeeld blokkenmatten bijeengehouden door kabels. Aspecten
betreffende het bezwijken van deze constructies zullen in deze paragraaf aan
de orde komen.
-20-
Brown [14,15,16,17]
Brown maakt zich sterk voor het bloktype genaamd Seabee, een zeshoekig blok
met een of meerdere grote gaten. In een theoretische gedeelte gaat hij in op
de ontwikkeling van algemene stabiliteitsformules, zijn zogenaamde "blanket
theorie", die in principe zowel voor stortsteen als steenzettingen geldt. Deze
ontwikkeling wordt onderstaand samengevat weergegeven met een aangepaste notatie. Uitgangspunt is een element in een afdeklaag met een taludhoek a, dat
wordt aangestroomd door een waterjet onder een hoek 8. Het element verplaatst
zich onder deze omstandigheden in de richting met hoek 6. De diameter of de
dikte van het element wordt aangehouden op D.
Brown houdt voor de waterjet afmetingen aan die kleiner kunnen zijn dan de afmeting D. Het effectieve oppervlak wordt dan A.cos(ó-B) en de sleepkracht:
F
= C
. p . A . u 2 . cos 2 (ó-B)
(18)
Voor zowel uitstroming van water als voor de impact kan de watersnelheid door
middel van een konstante worden gerelateerd aan de golfhoogte.
u2 = C . g . H
(19)
De konstante C is afhankelijk van de mate van oploop, neerloop, reflectie en
wordt in hoge mate bepaald door de doorlatendheid van de konstruktie. Vergelijking (19) ingevuld in (18) geeft:
F
= C
. C . g . p . H . A . cos 2 (ó-B)
(20)
De kracht die moet worden overwonnen om instabiliteit te veroorzaken, wordt
gevormd door het gewicht van het element. Deze stabiliteitskracht wordt gegeven door:
-21-
F
= A . D . (1-p) (p -p) . g . sinó
(21)
Als het element porositeit bezit, wordt het gewicht met een factor (1-p),
waarin p = porositeit, verminderd. De factor A.D.(p -p) is het gewicht van
3.
element onder water (geen porositeit). Bij instabiliteit zijn F D en F
aan
elkaar gelijk. Vergelijkingen (18) en (21) geven:
Tot nu toe is de vorm van het element niet beschouwd. Stel:
V = c.D3
(23)
waarin: c = volume coëfficiënt
Met de afmetingen van een blok: 1(engte), b(reedte) en h(oogte), wordt het
volume:
V = K c . 1 . b . h . (1-p)
(24)
waarin: K_ = vormfactor
o
Met 1 = K^ . 1 = Kjj . b en de vergelijkingen (23) en (24) wordt gevonden:
(D/h) 3 = c 3 . K (l-p)/K . K,
s
L
b
(25)
Als D en h aan elkaar gelijk worden gesteld en (25) wordt ingevuld in (22),
dan ontstaat de uiteindelijke stabiliteitsformule.
H_
AT»
c
C C
D
sinó
r,
cos (o-p)
. * r_s_l_|
(
^
L
t
/
V
1
-
J
o^
\£VJ
b
Deze ingewikkelde formule is moeilijk te hanteren maar kan wel worden gebruikt
om een aantal invloeden op de stabiliteit af te schatten. De H/AD-waarde geeft
de stabiliteit van een konstruktie aan. Een hogere H/AD-waarde betekent een
stabielere konstruktie. Door de variabelen en konstanten in het rechter deel
van (26) te variëren, kan de invloed op de H/AD-waarde en dus op de stabiliteit worden afgeschat.
-22-
De volume coëfficiënt c is 1 voor een kubus en wordt groter voor een plat element. Tegelijk met het veranderen van c, veranderen ook K-^ en K^, zodat de invloed van een groter (maar even dik) element weinig zal uitmaken op de stabiliteit. De sleepcoefficiënt C D wordt kleiner voor een glad element en de
stabiliteit daardoor hoger. De factor C hangt af van de oploop, neerloop en
reflectie. Maatregelen om de oploop en neerloop te beperken geven een kleinere
C en derhalve een grotere stabiliteit. De meest effectieve maatregel is een
grote porositeit te creëren, in de orde grootte van 20-50%. De C zal flink
dalen en de stabiliteit hoger worden. In de formule wordt dit effect weer
enigszins tegengewerkt door de factor (1-p) in de teller, omdat het gewicht
van het blok kleiner wordt. Bij eenzelfde gewicht (en materiaalverbruik) kan
bij een open element de dikte D weer groter worden, zodat uiteindelijk een
stabieler element wordt verkregen. Dit is ook de reden waarom een Seabee grote
gaten heeft met een porositeit van 25-50%.
Als laatste moet de invloed van de factor slnó/cos2(ó-{3) worden nagegaan. De
laagste stabiliteit wordt verkregen als de aanstroomhoek p gelijk is aan de
hoek 6. Door deze hoek 6 vast te leggen ( zoals bij een steenzetting) kan de
stabiliteit worden vergroot. Bij een steenzetting is de hoek 6 = 90°-a. Voor
het gebied 30° < P < 60° vindt Brown dat de factor sinö/cos2(ö-p) goed overeenkomt met de factor cot*' 3 a die in de Hudson formule wordt gehanteerd. Maar
die formule wordt als niet praktisch ervaren omdat deze gebaseerd is op het
gewicht van een element. Hierdoor worden voor Seabees K^-waarden van 1000 en
hoger gevonden, wat weinig realistisch is (stortsteen: K D = 2-3). Een formule
of parametergroep waarin de diameter of laagdikte zit is beter. Daarom komt
Brown ook tot een parametergroep die gelijk is aan H/AD. Het voordeel van deze
groep is dat zowel stortsteen als een steenzetting met elkaar kunnen worden
vergeleken. Deze vergelijking wordt gebaseerd op de diameter voor stortsteen
en op de laagdikte van de steenzetting.
Een ander voordeel van het gebruik van H/AD is de overeenkomst die kan worden
gevonden voor stabiliteit onder stroom. De parametergroep hiervoor (Shields)
is u 2 /gAD, waarin u de stroomsnelheid. Met H = C u 2 /g is de overeenkomst duidelijk met H/AD.
Aangezien formule (26) niet praktisch bruikbaar is, vereenvoudigt Brown deze
tot een soort Hudson formule.
-23-
H/AD = C.. . (1-p) . c o t 1 / ^
(27)
15
K (1-p) 1/3
Hierbij wordt de factor — — - * I—-—-—I
gelijk gesteld aan C^ en de factor
D
1
b
sinó/cos2(ó-3) aan cot 1 / 3 a. Op de fakter (1-p) na is formule (27) gelijk aan
de vereenvoudigde Hudson formule. De stabiliteit van stortsteentaluds en
gezette taluds gaan dus van dezelfde basis formule uit. Voorwaarde voor (27)
is dat de steen een behoorlijke doorlatendheid heeft, zodat drukken onder het
talud erg klein blijven, (p > 5 a 10%). De grootte van de doorlatendheid
(porositeit) is dan niet meer van belang voor de stabiliteit. De fakter (1-p)
wil dan ook niet zeggen dat een grotere porositeit een instabielere
konstruktie geeft, maar heeft een andere betekenis.
De fakter (1-p) heeft betrekking op de effectieve dikte van de laag. Een hoge
porositeit bij dezelfde dikte geeft een lager blokgewicht. Hiervoor dient te
worden gecompenseerd. Als voorbeeld kan dienen: Een blok met dikte 1.0 m en
porositeit 50% heeft een effectieve dikte van D(l-p) = 0.5 m.
Een blok met dikte 0.75 m en porositeit 25% heeft dezelfde effectieve dikte
van 0.5 m.
De stabiliteit van beide blokken is gelijk. De oploop en neerloop op de taluds
kan een beetje varieëren.
Formule (27) kan dan ook op een andere manier worden- weergegeven:
H/AD e f f = C B cot 1 / 3 a
waarin D
(27a)
= D * (1-p)
Kleinschalig onderzoek leverde voor C R een ontwerpwaarde op van 5, voor een
taludhelling met cota = 2. Voor een porositeit van 25% levert dit een H/ADwaarde van 4,7 en voor 50% een waarde van 3,2. Voor een steil talud zijn dit
in vergelijking met de M 1795/M 1881 gegevens redelijk hoge waarden.
Het werk van Brown kan als volgt worden samengevat. De afleiding van een algemene stabiliteitsformule geeft de grondslag voor het ontwerp van een stabiel
afdekelement (de Seabee). Een steenzetting is bij dezelfde D stabieler dan een
stortsteen talud. Een grote doorlatendheid reduceert de golfooploop, neerloop
en reflectie en maakt daardoor de konstruktie stabieler. Inklemmingskrachten
-24-
tussen de blokken en bezwijkmechanismen van meerdere blokken tegelijk, zoals
deze in dit hoofdstuk aan de orde zijn gekomen, worden door Brown niet
beschreven.
Svee [18]
Svee gaat er van uit, dat de krachten loodrecht op het talud van belang zijn
voor de stabiliteit van een blok in een steenzetting. Het zogenaamde Svee-blok
is ontworpen op minimale krachten en maximale weerstand in deze richting.
Hieronder is de vorm van het Svee-blok weergegeven; prototypematen zijn onbekend. De vermelde maten zijn een voorbeeld van een modelblok. Van 1963 tot
1964 zijn proeven gedaan met dit blok in het River and harbour Research Laboratory of the Technical University of Norway.
1.5 i
2,0
2jO
5.0
^
maten in cm
5.0
Eerst wordt uitgegaan van kubusvormige blokken bij een teruglopende golf. het
funderingsblok onder aan het talud zorgt voor de stabiliteit van de stenen in
een richting evenwijdig aan het talud.
-25-
Het krachtenspel op êên zo'n blok is als volgt:
F
= kracht ten gevolge van een teruglopende golf
F
= component van F // talud
= component van F 1 talud
w
= wrijvingskracht tussen blok en talud
= wrijvingskracht tussen 2 blokken onderling
= gewicht van het blok onder water
w
= wrijvingscoëfficiënt tussen blok en talud
= wrijvingscoëfficiënt tussen 2 blokken
= hellingshoek van het talud
Op het moment dat het blok opgetild gaat worden, geldt;
evenwicht loodrecht op het talud:
G
w
coso - F + f (F + G sina) = 0
w
2
c
w
In het ongunstigste geval
(28)
is ^2 = ®' HieI"uit volgt een minimum benodigd blok-
gewicht in lucht:
H/AD
C
co sa
(29)
Deze formule wordt ook in Appendix I afgeleid. In de coëfficiënt Ci zijn bij
Svee zes andere coëfficiënten verwerkt, op dezelfde manier als bij Brown. Op
de plaats van deze coëfficiënten in de formule baseert Svee de volgende conclusies:
-26-
-
Porositeit en een ruw talud geven lagere oploop en neerloop en daardoor
hogere stabiliteit.
-
Door het enige bezwijkmechanisrae van het enkele blok (uplift) te voorkomen
wordt een hogere stabiliteit verkregen.
Een element moet dus ruw zijn, een grote doorlatendheid bezitten en op inter—
locking gericht zijn. Deze kenmerken bezit het Svee-blok.
Uit de experimenten bleek, dat de blokken opgetild werden in de zone tussen de
stil water lijn en de laagste waterspiegel tijdens het teruglopen van de golf.
Tegelijkertijd werd hier filtermateriaal heen getransporteerd vanuit de zone
boven SWL. Hierdoor kwam de taludhelling omhoog, totdat de verbinding met aangrenzende blokken verbroken werd. Het volledig bezwijken van de taludbekleding
was het gevolg van het langzame, cumulerende effect van een aantal opeenvolgende golven. Hier kan worden geconcludeerd dat wanneer de deklaag erg stabiel
wordt gemaakt, de onderlaag het kriterium wordt bij bezwijken.
Een vrijwel identieke formule wordt afgeleid voor een brekende oplopende golf
H/AD = C 2 . (sina + f
cosa)
(30)
Bij modelonderzoek kon de konstante C2 niet worden bepaald en leek het of het
blokgewicht geen invloed had op de stabiliteit.
Wise [19]
Wise ontwerpt zijn dijkbekleding ook zodanig dat de ruwheid de op- en neerloop
beïnvloedt. In een soort dambordpatroon heeft de ene helft van de stenen een
grotere dikte dan de andere helft en steekt daardoor boven het talud uit.
Hierbij zijn de blokken verbonden door kabels, zodat matten ontstaan. Naast
deze versterking met kabels geeft Wise ook het idee om de matten met ankers
aan het onderliggende grondlichaam vast te maken. Op deze manier kan eigenlijk
alleen het bezwijken van de onderlagen tot bezwijken van de bekleding leiden.
Als ontwerpwaarde wordt een H/AD-waarde van 11-12 gevonden, wat extreem hoog
is. Uit onderstaande figuren blijkt dat beweging van de mat mag optreden. Dit
-27-
zal ongetwijfeld invloed hebben op de ondergrond. Het zou aanbeveling verdienen om bij dit systeem enige doorlatendheid te creëren, zodat grote drukken
onder het talud worden vermeden. Om een indruk van het systeem te krijgen is
onderstaand een aantal figuren uit [18] overgenomen.
met kabels versterkte mat
Weckman en Scales [20] en M 1910 [21]
Weckman en Scales geven resultaten van kleinschalig onderzoek (schaal 1:10)
naar de stabiliteit van met kabels versterkte matten (Armorflex). Aanlsuitend
op dit onderzoek is in de Detalgoot onderzoek uitgevoerd op prototypeschaal.
Uit de resultaten blijkt de invloed van de doorlatendheid van de blokken (open
of dicht type) en de invloed van een wel of niet met grind ingewassen talud op
de stabiliteit en het verschil tussen regelmatige en onregelmatige golven.
De dichte blokken, waarbij het talud niet is ingewassen, zijn het minst stabiel. Oplichten van de mat begint bij lage golfhoogte. Lichte erosie van de
ondergrond treedt al op bij H/AD = 3. Bij H/AD = 7 begint de erosie aanzienlijk te worden. Voor dichte blokken met een ingewassen talud treedt pas erosie
op bij H/AD = 9. Open blokken (porositeit 25%) bij een met grind ingewassen
talud geven een ontwerpwaarde van H/AD = 11. Bovenstaande waarden zijn geba-
-28-
seerd op het kleinschalig onderzoek van Weckman en Scales, met regelmatige
golven.
Bij M 1910 zijn alleen open blokken onderzocht bij zowel een niet-ingewassen
als een ingewassen talud. Regelmatige en onregelmatige golfaanval is onderzocht. Een niet-ingewassen talud geeft met regelmatige golven H/AD = 7. Voor
onregelmatige golven is dit H /AD = 5,5. Een met grind ingewassen talud kon in
s
de Deltagoot niet tot schade worden gebracht, wat inhoudt dat de ontwerpwaarde
hoger ligt dan H_/AD = 8 . In M 1910 werden geen kabels toegepast. Weckman en
Scales vinden dezelfde stabiliteit voor matten met en zonder kabels. Het voordeel van kabels is het voorkómen van progressieve schade.
Uit bovenstaande ontwerpwaarden kunnen de volgende konklusies worden getrokken.
•
De doorlatendheid is belangrijk bij stabiliteit.
•
Inwassen van het talud met grind verhoogt de inklemming en daarmee de
stabiliteit.
•
Het verschil tussen regelmatige en onregelmatige golven is een factor 1,11,3.
•
Bij hoge H/AD-waarden wordt de erosie van de ondergrond maatgevend.
Stephan [22]
Stephan geeft een overzicht van de in Duitsland aanwezige ervaring met dijkbekledingen. Verschillende gevallen worden behandeld van schade aan een talud.
Soms komen individuele blokken omhoog, soms ontstaat een groot gat in de bekleding. Naast het losraken van blokken, komen ook gevallen voor waarbij de
ondergrond sterk vervormt. De schadegevallen beschrijven dus zowel het bezwijken door het overschrijden van de externe sterkte als van de interne
sterkte.
Grinchuk en Pravdivets [23]
De auteurs beschrijven het gedrag van een bepaald type blok onder stroomaanval. Het blok heeft een V-vorm, waardoor een extra neerwaartse druk op het
blok ontstaat die de stabiliteit bevordert. Onderstaande figuur geeft de werking. Een gat in het blok vermindert onderwaartse drukken. Aangezien dit blok
voor stroom is ontworpen, kan de stabiliteit onder golfaanval duidelijk lager
zijn. De stabiliteit moet dan gewaarborgd zijn voor "stroom" van twee rich-
-29-
tingen (oploop en neerloop). Het idee zou wel goed kunnen werken bij dijken
die, hoofdzakelijk uit êén richting, scheef worden aangevallen.
se
'se
IT
mm
1=1
atd>
--.•=
p«.p
?.
se t
Samenvatting literatuur
Samengevat kan uit de in deze paragraaf behandelde literatuur worden geconcludeerd:
-
Stabiliteit kan goed worden weergegeven door de parametergroep H/AD. Hierbij wordt aansluiting gevonden bij stabiliteit van stortsteen taluds en
stabiliteit onder stroom.
-
-
Maatregelen om de stabiliteit te bevorderen zijn:
•
grote porositeit loodrecht op het talud
•
een ruw talud
•
blokvorm gericht op interlocking
•
aaneenhechting door kabels tot matten
•
matten voorzien van grondankers
Bij systemen waarbij de stabiliteit van de zetting zelf groot is, blijkt
het gedrag van de onderlaag erg belangrijk te worden.
-30-
2.7
Conclusies
De belangrijkste conclusies die in hoofdstuk 2 naar voren zijn gekomen, kunnen
als volgt worden samengevat.
1. Voor de belasting is het begrip netto belasting ingevoerd. Dit is de belasting op een blok, gerelateerd aan de potentieel instabiele situatie. Dat
wil zeggen dat de druk op het blok tesamen met de druk onder het blok gelijk is aan de loodrecht op de taludhelling ontbondene van het eigen
gewicht van het blok. Deze netto belasting is dynamisch en zowel afhankelijk van hydraulische randvoorwaarden als constructie eigenschappen van de
zetting.
2. Voor de sterkte van een zetting is het begrip wrijvingsdruk ingevoerd. Dit
is een wrijvingskracht per eenheid van oppervlakte die tussen de blokken
aanwezig is. Uit prototype trekproeven is een relatie afgeleid voor de verdeling van deze wrijvingsdruk over een talud. Hierbij is een functievoorschrift gegeven voor de gemiddelde wrijvingsdruk en zijn onder- en bovengrenzen aangegeven voor de spreiding. De ondergrens komt overeen met een
waarde nul (los blok), terwijl de bovengrens ruwweg tweemaal de gemiddelde
waarde bedraagt. Het is onder andere deze grote spreiding die een probabilistische aanpak voor het dimensioneren van zettingen noodzakelijk maakt.
3. Bezwijkmechanismen kunnen in twee groepen worden ingedeeld. Ten eerste in
mechanismen waarbij de blokken loodrecht op de taludhelling omhoog worden
verplaatst. Hierbij moet de nettobelasting de wrijvingsdruk overwinnen. Tot
deze mechanismen behoren een los blok, een enkel blok met wrijving en een
rij blokken met wrijving. De tweede groep bestaat uit mechanismen waarbij
de blokken een roterende beweging ondergaan. Hiertoe behoren het ligger- en
plaatmechanisme. Hierbij wordt de spleetruimte die onvermijdelijk tussen
blokken aanwezig is, op bepaalde punten gemobiliseerd. Wordt voldoende spleet—
ruimte gemobiliseerd, dan zal de constructie zonder verder tegenwerkend
moment vrijwel momentaan bezwijken. Is dit niet het geval, dan zal wel een
tegenwerkend moment ontstaan en moet op een aantal punten de betondruksterkte worden overschreden om tot bezwijken te komen. Dat dit zal gebeuren
mag echter als irreëel worden beschouwd.
-31-
Uit relevante literatuur komen samengevat de volgende aspecten naar voren:
Stabiliteit kan goed worden weergegeven door de parametergroep H/AD.
Hierbij wordt aansluiting gevonden bij stabiliteit van stortsteen taluds
en stabiliteit onder stroom.
-
Maatregelen om de stabiliteit te bevorderen zijn:
•
grote porositeit loodrecht op het talud
•
een ruw talud
•
blokvorm gericht op interlocking
©
aaneenhechting door kabels tot matten
o
matten voorzien van grondankers
Bij systemen waarbij de stabiliteit van de zetting zelf groot is, blijkt
het gedrag van de onderlaag erg belangrijk te worden.
-32-
REFERENTIES (hoofdstuk 2)
1
Evaluatie van de opzet van het onderzoek
ir. K. den Boer, Waterloopkundig Laboratorium en ir. C.J. Kenter, Laboratorium voor Grondmechanica
M 1795 WL; CO 258901/41 LGM; augustus 1982
2
Een losliggend blok met minimale wrijving
De trekkracht van een losliggend blok bij het in rekening brengen van de
minimaal aanwezige wrijving
ir. J.W. Seyffert, Centrum voor Onderzoek Waterkeringen; oktober 1984
3
Knik van geklemde zettingen
Elementaire beschouwing
ir. J.B. Sellmeyer, Laboratorium voor Grondmechanica
CO-258902
4
Bezwijken door buiging
ir. G.M. Wolsink, Technische Hogeschool Delft
5
Veiligheidsbeschouwingen
Hoofdstuk 12 uit de concept CUR leidraad voor steenzettingen
ir. G.M. Wolsink, Technische Hogeschool Delft
6
Literatuurstudie filters
ir. H. den Adel, Laboratorium voor Grondmechanica
CO-258901/88
7
Inventarisatie interne schade mechanismen bij oeverbeschermingen
ir. A. Bezuyen, Laboratorium voor Grondmechanica, ir. M. Th. de Groot,
Laboratorium voor Grondmechanica, CO-416408/1; januari 1984
8
Grootschalig modelonderzoek in de Deltagoot van een steenzetting op zand
Waterloopkundig Laboratorium
M 1795/M 1881 deel XII WL; Co-269960/2, LGM december 1983
-33-
REFERENTIES (vervolg)
9
Trekproeven op glooiingsconstructies in de Oosterschelde
ir. H.J. Verhagen, Rijkswaterstaat, Adviesdienst Vlissingen
Nota WWKZ-84. V002; februari 1984
10
Sausage blocks-Enka
Stabiliteits-evaluatie van een alternatieve golfbreker-afdekking
Waterloopkundig Laboratorium
R 1836; december 1982
11
Taludbescherming Markerwaarddijk
Waterloopkundig Laboratorium
R 1953; oktober 1983
12
Het plastisch gedrag en de berekening van op buiging belaste platen
Vrouwenvelder, A.; Witteveen, J.
Collegediktaat Bl9a; januari 1980 TH-Delft.
13
Taludbekleding van gezette steen, fase 0
Hydraulische aspecten
Verslag literatuurstudie
Waterloopkundig Laboratorium en Laboratorium voor Grondmechanica
M 1795 deel II WL
CO 255780/43 LGM
juli 1982
14
Blanket theory & low cost revetment
C.T. Brown
Proc. of the Coastal Engineering Conf.
1978 Hamburg, Chapter 151
15
Armour units - random mass or disciplined array?
C.T. Brown
Coastal Structures '79 - pp. 290 - 300
-34-
REFERENTIES (vervolg)
16
Seabees in service
C.T. Brown
Coastal Structures '83, pp. 235-258
17
Flexible revetments - theory and practice
C.T. Brown
Conf. on Flexible arraoured revetments incorporating geotextiles
London 1984
18
Formulas for design of rubble-mound breakwaters
R. Svee
Journal of the Waterways and Harbors Division
Proc. of the ASCE, may 1962
19
Development parameters for integrated flexible revetment systems
E.G. Wise
Conf. on Flexible armoured revetments incorporating geotextiles
London 1983
20
Design guidelines for cabled-block mat shore protection systems
J. Weckmann en J.M. Scales
Coastal Structures '83, pp. 295-306
21
Stabiliteit Armorflex - steenzetting onder golfaanval
Waterloopkundig Laboratorium
M 1910, januari 1983
22
Über schaden an Seedeichen durch Wellen- und Druckschlagbelastungen
H.J. Stephan
Braunschweig, TU, Leichtweiss Inst. für Wasserbau. Mitteilungen Heft 70,
1983
-35-
REFERENTIES (vervolg)
23
Precast reinforced - concrete revetment of earth slopes used for
discharging water
A.S. Grinchuk and Yu.P. Pravdivets
Translated from Gidrotekhnicheske Stroitel'stvo, No. 7, pp. 25-28, July
1977
24
Rekenmodel stromingen
Analytisch rekenmodel voor de stromingen door en onder een gezette
dijkbekleding
ir. G.M. Wolsink; oktober 1984
-36-
A)
netto belasting op een talud
•
belGSting variërend met de golfperiode
• maximale belasting afhankelijk van Hs , T2
tan oc , doorlatendheid , filterlaag
denkbeeldig verloop f
gemiddelde
met 90 %
betrouwbaar heidsinterval
B)
verdeling wrijving over een talud
• grootte en verdeling vrijwel stabiel in de tijd
• grote spreiding rondom gemiddelde
VERDELING BELASTING EN WRUVING
OVER EEN TALUD
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
M 1881
FIG. 1
-37-
2
O
u
o
-o
•o
•D
E
2^6?.CC
'•at
».ec
-I
7
»
1
1
1
1
8
9
10
11
1
1
2
1-
-I
13
1
1 -
ligging onder opsluitband h (m)
(N/m 2 )
(2)
f -. gpa h f b b smof
(3)
T z f * A 2 • Gg cos oc (N)
(5)
T z 2750h -2690
bsstfit m«t regressie analyse
(6)
T z 1319 h * 1150
wrijving langs 2 zijkanten; c = 1
(7)
T :
wrijving langs 4 zijkanten ; c = 1
(5°)
T = 2374 h +1150
wrijving
langs 2 zijkanten ; c = 1.8
(7°)
T r 4748h + 1150
wrijving
langs 4 zijkanten ; c = 1 . 8
grafiek
overgonomen
16
2638h*1150
uit ( 8 )
VERDELING WR'JVING OVER TALUD
IN PRAKT'JK
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
M 1881
FIG. 2
-38-
a. BEZWUKEN DOOR VERPLAATSING _L TALUD
b
BEZWUKEN DOOR BUIGING
doorsnede B
doorsnede A
c. BEZWUKEN ALS PLAAT
BEZWJKMECHANISMEN
TALUDBEKLEDING
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
M 1881
FIG. 3
-39-
a, -0
0,20
0.15
.
—
•
—
0,10
0,03
O
0
-
0,05
0,10
0,15
,•
•
^
^™ ^ " *
0,20
a 2 =0,5
—
0,25
^
a 2 =0.6
0,30
a. INVLOED Oi EN a 2 OP BEZW'JKMOMENT
mp = a b D 2 a, ( 1 - a t - a - )
,mp
mp
'mp
mp.
mp
r
mp
mp
b. BEZWUKMECHANISME VOLLEDIG INGEKLEMDE PLAAT
-IN
ï
oneindig lang
rechthoekig
B= oo
B= b/a
vierkant
rond
c. VOLLEDIG INGEKLEMDE PLAATVORMEN
BEZW'JKEN VAN VOLLEDIG INGEKLEMDE PLATEN
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
M 1881
FIG. 4
-40-
IU i l
I
D
F = 4 x f xDx L
met n = 1
F = 12 x f x DxL
met n = 5
betrouwbaarheids
0
1
2
3
•
4
5
6
7
interval
8
aantal samenwerkende stenen n
Q) invloed samenwerking van stenen op de wrijvingsweerstand
r i j in langsrichting
0
2
3
4
5
6
7
8
aantal samenwerkende stenen n
b) invloed samenwerking van stenen op de gemiddelde belasting
WR'JVING EN BELASTING ALS FUNCTIE VAN
HET AANTAL STENEN
WATERLOOPKUNDIG LABORATORIUM
M 1881
FIG. 5
-41-
3.
3.1
Bundeling notities over dijkbekledingen
Evaluatie van de opzet van het onderzoek; ir. K. den Boer, Waterloop-
kundig Laboratorium en ir. C.J. Kenter, Laboratorium voor Grondmechanica,
M 1795 WL; CO 258901/41 LGM; augustus 1982. Hierbij zijn opgenomen de
Appendices 1 t/m 4 t.w.:
Appendix 1: Stabiliteits criterium steenzetting met losse blokken,
Appendix 2: Stabiliteits criterium steenzetting met blokken met wrijving,
Appendix 3: Stabiliteits criterium steenzetting met blokken met bezwijken
door wind,
Appendix 4: Stabiliteits criterium steenzetting met blokken met ingeklemde
blokken.
Deze 4 Appendices zijn ook opgenomen aan het einde van deze paragraaf.
Commentaar
In de bovengenoemde evaluatie is getracht vier bezwijkmechanismen te beschrijven. Als eerste wordt het losse blok behandeld, waarbij ook een functievoorschrift voor de belasting is gegeven. Als tweede wordt dit enkele blok uitgebreid met wrijving, waardoor een "vergrotingsfactor" aan de voor het losse
blok gevonden vergelijking wordt toegevoegd. In principe verschillen beide
gevallen weinig van de in hoofdstuk 2 behandelde mechanismen van een enkel
blok zonder en met wrijving. Een notitie van ir. J.J.W. Seyffert over een los
blok met minimale wrijving behoort eveneens tot deze gevallen en zou daarom
tussen appendix 1 en 2 het meest op zijn plaats zijn. Om onnodige verwarring
te voorkomen is er echter toch voor gekozen om deze notitie van ir. J.J.W.
Seyffert als een aparte paragraaf op te nemen (paragraaf 3.2).
De ontwikkeling van de volgende twee gevallen is ontleend aan de uitkomst voor
een enkel blok met wrijving. Als er maar genoeg blokken op elkaar drukken,
ontstaat een zodanig grote vergrotingsfactor, dat bezwijken van een enkel blok
niet meer zal optreden. Er moeten dus mechanismen zijn waarbij meerdere blokken tegelijk bezwijken. De begrippen "knik" en "buiging" naar analogie van het
bezwijken van kolommen en liggers lagen voor de hand. Knik ontstaat als de
belasting in de richting van de lengte-as van de constructie zo hoog wordt dat
een initiële excentriciteit (die altijd in een constructie aanwezig is) tot
onaanvaardbare proporties wordt vergroot. Het derde geval beschrijft dan ook
-42-
geen zuivere knik. De belasting door bovenliggende stenen wordt zelfs verwaarloosd. In wezen wordt een knik-formule gebruikt bij een belasting loodrecht op
de lengte-as van de constructie, die dus buiging veroorzaakt in plaats van
knik. Bovenstaande opmerkingen geven aan dat het hier beschreven geval van
knik niet geheel realistisch is.
Als laatste is getracht buiging van de zetting te beschrijven, waarbij wordt
uitgegaan van een ligger op twee steunpunten. Zowel een uitwendig als een
inwendig moment worden gedefinieerd. De uitgangspunten lijken veel op die van
het liggermechanisme, beschreven in paragraaf 2.5. Alleen de aanname voor het
inwendig moment is niet correct. Een zetting kan namelijk in de voegen geen
trekspanning opnemen, terwijl dit wel is verondersteld. Daarbij wordt bezwijken verondersteld als de betondrukspanning wordt overschreden. Ook dit is geen
realistische aanname, zie paragraaf 2.5.
-43-
Appendix 1 :
Stabiliteitscriterium steenzetting met losse blokken
stilwaterlijn
\
(q Rd • Py,. g. D cos a)c.f.
Het krachtenevenwicht loodrecht op het talud luidt voor een losliggende steen
(geen wrijving tussen de stenen)
G cosa=(pw g
+ p w g D cosa) e f
waarin:
G
= gewicht steen = D.e.f * p .g
s
p s = soortelijke massa van de steen
g = versnelling ten gevolge van de zwaartekracht
e,D en f = afmetingen van de steen
Cj = coëfficiënt afhankelijk van de doorlatendheid van de taludbekleding
R, = maximale golf terugloop
P
= soortelijke massa water
(A.l)
-44-
Uit de literatuur blijkt dat de golf terugloop als volgt kan worden uitgedrukt:
Rd = c 2 £ H
als
1 < E, < 3
(A.2)
waarin:
£
= surf-similarity parameter = tga// H/L
H
= golfhoogte
L
= golflengte op diep water = 1,56 T 2
T
= golfperiode.
Vgl. (A.1) is nu te schrijven als
(p -p ) D.cosa = p c,co £ H
s w
w ' z
Dit
is
te herleiden
Jïï-TT
waarin:
A
= (P S "P W )/P W
k. - c, • c 2
tot
(A 3)
'
-45-
Appendix
2: Stabiliteitscriterium steenzetting met blokken met wrijving
\
eigen gewicht steen: G = p
g.D.e.f
s
opwaartse druk
: P = p g k f H.e.f + p g.e.f.d cosa
w
w
wrijvingskracht
N„ = n G sinct ~ F»
F 2 = n (nG cosa - P 2 )
hierbij is:
f
= wrijvingscoëfficient tussen de blokken
n
= wrijvingscoëfficient tussen blok en onderlaag
n
= aantal blokken dat rust op het beschouwde blok
P_ = resultante van gelijkmatige belasting op n blokken
W, = f N,
N
= N 2 + G sina - F
F
= T) (G cosa - P)
Het stabiliteitscriterium is:
P - G cosa - W
- W2 = 0
Dit resulteert in:
H
_ cosa
1 - f
AD " k£
Indien f = 0 and
H _ cosa
AD
kE
n
2f n n P,
(2n+l) + f (2n+l) tga
1 -
(p -P„) g
S
Vr
D
cosa(l-fn)
-46-
Indien n = O
H
cosa
[l + (2n+l) f tgal
AD ~ k£
-47-
Appendix 3
Stabiliteitscriterium steenzetting bij bezwijken door knik
Aangenomen wordt dat knik optreedt door spanningen in het vlak van de zetting
in de richting van het talud en voorts dat in langsrichting van de dijk een
vlakke vervormingstoestand heerst.
Voor knik geldt:
knik
,2
waarin:
a
= coëfficiënt
E
= stijfheid zetting in zijn vlak z stijfheid beton
]_k
= slankheidsparameter = —r- met
X
1, = kniklengte
i
= traagheidsstraal = SD
3
= coëfficiënt
D
= dikte van steen
Anders geschreven:
0
knik " ** f?
k
A
= coëfficiënt
Het is aannemelijk dat de klemspanning, en dus uiteindelijk ook de knikspanning,
zich opbouwt in een toestand van grensevenwicht. Immers, als de waterspanning p
onder de zetting zo hoog wordt, dat het grensevenwicht wordt bereikt, zal de
zetting iets worden opgelicht en zullen de spleetjes tussen de stenen zich verwijden. Het grind waarmee de zetting is afgestrooid zakt wat na en zal bij verlaging van de opwaarts gerichte waterspanning tijdens de golfoploop zich tussen
de blokken klemmen. De aldus ontstane situatie is stabiel, totdat de waterspanning zo hoog is geworden, dat opnieuw de zetting enigszins wordt opgelicht.
Dit gaat door totdat een grensspanningstoestand wordt bereikt, b.v. de hier
beschouwde knikspanning van de zetting, of de breukspanning van beton (zie
Appendix 4 ) .
Op grond van deze beschouwing mag de knikspanning dus worden ingevuld in de
evenwichtsvoorwaarde voor een taludstrook van 1 m in langsrichting en een lengte
1 in taludrichting van de dijk:
-48-
1 . g K .£ • H . p
w»
opwaartse waterdruk
= l ( p - p ) . D . g .
St
W
gewicht blokken
cosa + a,
. f . 2D
Kil •
wrijving
Hierbij is de spanning op een blok ten gevolge van het gewicht van de erboven
liggende blokken verwaarloosd ten opzichte van de klemspanning.
Invullen van de expressie voor o, ., en omschrijven levert:
H
cosa
AD ~ ~W~
-49-
Appendix 4
Stabiliteitskriterium steenzetting met ingeklemde blokken
Bezwijken door buigen
De taludbekleding wordt als volgt geschematiseerd:
fülar
-I
1-
b is de dimensie van het blok langs het talud gemeten
N is totaal aantal blokken boven elkaar op talud
n is aantal blokken boven beschouwde blok
p is verschildruk -L talud = p g K £ H
q is eigen gewicht _L talud = (p
- p) g D cos a
Het maximale uitwendige moment bedraagt
= (p " q) b 2 (N - n - i)(n + |)/N
Het inwendige moment t.o.v. A is V2 CJ K 2 D . V3 K„ D
Bezwijken treedt op als 0=0
,
= O,
max.opneembaar
b
Gelijkstellen van inwendig en uitwendig moment levert
M .
uitw.
= M.
inw.
9
K
(p-q) b
N
2
0
D
°b
-50-
K| D 2
(p g K U
a, N
- (P - p) g D cos a}
s
c fxi
2
K2
l \ / _ _ i _ t \ |j2
2
DD a
N
b
PgKgH
—2
= cos a + 6(N-n-i)(n+J) b 2
"P)g D
(p -p)g D
H
cos a
K2 D
%
N
K K 6(N-n-0.(n+|) b 2
H
cosa
=
(
P S "P)g
K2Dab N
6(N-n-i)(n+i) b 2 (po-p)g cos a
s
De term tussen haken is de vergrotingsfaktor ten opzichte van losliggende
blokken.
-51-
3.2
Een losliggend blok met minimale wrijving
De trekkracht van een losliggend blok bij het in rekening brengen van de
minimaal aanwezige wrijving
ir. J.W. Seyffert, Centrum voor Onderzoek Waterkeringen. Oktober 1984.
Tijdens het afronden van de onderhavige studie werd bovengenoemde notitie
toegeleverd. Aangezien deze een aanvulling geeft op de stabiliteit van een los
blok zou deze notitie het eerst op zijn plaats zijn in paragraaf 3.1 tussen de
appendices 1 en 2 waar de overgang van een los blok naar een blok met wrijving
wordt gemaakt. Om onnodige verwarring te voorkomen is er echter toch voor
gekozen om de notitie van ir. J.J.W. Seyffert als een aparte paragraaf
(paragraaf 3.2) op te nemen. De oorspronkelijke notitie van Seyffert is wel
uitgebreid met enige aanvullende tekst.
In paragraaf 3.1 - Appendix 1 wordt een los blok verondersteld dat geen enkel
kontakt heeft met de naastliggende blokken. Dit geldt alleen onder de aanname
dat er tijdens het oplichten van een blok een waterlaagje tussen het
bezwijkblok en het onderliggende blok wordt geperst en de wrijving tot nul
wordt gereduceerd. Bij de aanname dat een blok altijd rust tegen het
onderliggende blok en er geen water tussen wordt geperst, moet de waterdruk
naast het eigen gewicht ook nog een wrijvingskracht overwinnen.
-52-
Afhankelijk van de blokafmetingen moet er onderscheid worden gemaakt tussen
oplichten en kantelen van een blok.
Oplichten
W-Gcosa = f^ . Gsina
b
f
Kantelen
W-Gcosa = — . Gsina
L
= wrijvingscoëffciënt van beton op beton
G = p
. g . G. L
3.
Oplichten als: D/L > f b
Kantelen als : D/L < f b
Aannamen:
1 Waterdruk gelijkmatig verdeeld over het blok (W).
2
Waterdruk aan beide zijden van het blok gelijk.
3
Kontakt tussen blok met onderliggend blok.
Oplichten
Op het moment van oplichten schuift het blok langs het onderliggende blok omhoog.
K
= Gsina
(1)
F, = f, . Gsina
1
b
(2)
ZV = 0 + W-Gcosa = f, . Gsina
b
(3)
Omgewerkt levert (3):
T T - ^ — = 1 + f, tana
Gcosa
b
(4)
-53-
Formule (4) geeft de vergrotingsfaktor weer ten opzichte van een los blok
zonder wrijving (paragraaf 3.1, appendix 1 ) . Bij verschillende waarden van
en tana ontstaan de volgende vergrotingsfaktoren.
wrijvingscoëfficiënt
taludhelling
W/ Ge o sa
0,7
1:3
1,23
0,7
1:4
1,18
0,6
1:3
1,20
0,6
1:4
1,15
Ten opzichte van een los blok wordt een toename in stabiliteit gevonden van
ongeveer 20%.
Kantelen
Als D/L < f , wat bij de meeste blokken zo is, dan zal een blok gaan kantelen
totdat het vastloopt tegen het bovenliggende blok. Daarna moet oplichten gaan
optreden als de wrijvingskracht wordt overwonnen. Het krachtenspel is onderstaand weergegeven.
2/2
Gcoset
kantelen met daarna oplichten
EV = 0 :
W = Gcosct + F
+ F
EH = 0:
Kx = Gsincx
(6)
EM = 0:
K^.D/2 + K^.D = F .L/2
(7)
Bij oplichten geldt nog: F1 = F b .K 1
en: F 2 = 2f b .K 2
(5)
(8)
(9)
-54-
Met ( 6 ) . . . ( 8 ) o n t s t a a t :
Gsina.D/2 + K .D = f . Gsinot . L/2
2
b
(10)
Dit geeft:
„ = Gsina (f .L/2D - 1)
L
b
(11)
met (9) ontstaat:
K„ = f, Gsina (f,.L/D - 1)
2.
b
b
(12)
Ingevuld in (5) o n t s t a a t :
W = Gcosa + f
b
. Gsina + f
b
. Gsina(f .L/D - 1)
b
(13)
Uitgewerkt:
~—
Gco sa
f2.L/D.tana
b
(14)
Opnieuw wordt met (14) een vergrotingsfaktor gevonden ten opzichte van een
geheel los blok. Met verschillende waarden voor f^,
gende vergrotingsfaktoren gevonden:
f
b
0,7
0,7
0,6
0,6
L/D
talud
W/Gcosa
3
1:3
1,49
1:4
1,37
1:5
1,29
1:3
1,33
1:4
1,25
1:5
1,20
1:3
1,36
1:4
1,27
1:5
1,22
1:3
1,24
1:4
1,18
1:5
1,14
2
3
2
L/D en tana worden de vol-
-55-
Ten opzichte van een los blok wordt een toename in stabiliteit gevonden van
ongeveer 15-50%.
-56-
3.3
Knik van geklemde zettingen
Elementaire beschouwing
Ir. J.B. Sellmeyer, Laboratorium voor Grondmechanica
CO-258902; januari 1983
Commentaar
Na de veronderstelling dat er bezwijkmechanismen bij zettingen moeten bestaan
waarbij meerdere blokken tegelijk zijn betrokken, is het geval van "knik" door
Sellmeyer verder uitgewerkt. In tegenstelling tot paragraaf 3.1 is hier wel
zuivere knik behandeld. Knik ontstaat uitsluitend door het gewicht van bovenliggende stenen, die een te hoge drukspanning op de onderste stenen uitoefenen. Dus hier is de hydraulische belasting niet als bezwijkbelasting ingevoerd, maar alleen het gewicht van de stenen. Doordat overal druk in de constructie ontstaat, zijn trekspanningen niet van belang.
De conclusie van Sellmeyer, dat een veel te lage beddingsconstante moet worden
ingevoerd om bezwijken te veroorzaken, komt overeen met de conclusie in paragraaf 2.5 waarbij wordt gesteld dat bezwijken niet wordt veroorzaakt door het
overschrijden van een sterkteparameter als de betondrukspanning. In zijn algemeenheid kan worden geconcludeerd dat "knik" niet een realistisch bezwijkmechanisme is.
-57-
Inleiding.
Bij het onderzoek naar de stabiliteit van steenzettingen is de mogelijkheid geopperd dat knik een rol speelt. Men stelt zich hierbij het volgende
voor. De golfdrukken tegen het talud, het eigen gewicht van de steen en de
waterdrukken in het filter onder de stenen kunnen resulteren in een opwaartse totaaldruk. Hierdoor vermindert de wrijving op de afzonderlijke
stenen. Het gevolg is dan, dat een rij stenen elkaar in langsrichting van
het talud gaat steunen. Tussen de onderste stenen ontstaan zo hoge drukken
waarvoor het knikgevaar moet worden onderzocht.
Aanpak
Omdat het nog niet duidelijk is of knik een essentiële rol zal spelen
bij de stabiliteit, is het verstandig eerst een simpele oriënterende berekening te maken. Daarom wordt een rij stenen beschouwd zoals getekend
in figuur 1.
Fn = nydl2sina
F r Nydlsina
Fig. 1: Rij stenen zonder kontakt met de filterlaag.
Hierin is d de dikte van een steen en 1 de lengte en breedte (vierkante
blokken) ,- de stenen, die een soortelijke massa Y hebben zijn genu™ 1161 ^
1, 2, ... n, ... N. De taludhoek is aangegeven met a. Voor de eenvoud
wordt verondersteld dat er geen resulterende kracht loodrecht op het
-58-
talud aanwezig is. Dit is realistisch als er voldoende tijd nodig is
voor waterverplaatsing onder de stenen. Verder wordt er nog verondersteld dat er geen inklemmingsmoment aan de onderzijde werkt. Dit is
niet realistisch maar voor een oriënterende berekening niet essentieel.
Voor een knikbeschouwing is kennis vereist van het vervormingsmechanisme.
De stenen zelf zijn zeer stijf en kunnen als onvervormbaar beschouwd
worden. De voegen tussen de stenen, die met korrelmateriaal gevuld
zijn, zijn veel minder star. Daarom beschouwen we een diskreet vervormingsmechanisme, bestaande uit hoekverdraaiingen 8 , die de starre stenen
n
ondergaan. In figuur 2 is dit schematisch weergegeven.
Fig. 2. Vervormingsmechanisme van de rij stenen.
Tussen de excentriciteit y
van de stenen en 9
bestaat het volgende
verband,
y
n
= 1 L
e '
m
m=l
(1)
De excentriciteit van de stenen introduceert momenten op de stenen.
Allereerst zijn er de uitwendige momenten M
tengevolge van de excen-
triciteit zelf. Zij zijn bepaald door het produkt van de kracht F in
figuur 1 en de excentriciteit y ,
M
u
= - y
nydl
2
n
sinct
(2)
Daarnaast zijn er inwendige momenten M., veroorzaakt door de vervorming. Om een simpele uitdrukking hiervoor te vinden wordt een lineaire
-59-
relatie verondersteld tussen de spanning en de verplaatsing tussen de
stenen. Het kwotient van deze grootheden is de beadingskonstante k.
Het inwendige moment dat bij de
veronderstelde vervorming hoort is
dan weergegeven door de vergelijking,
"V
Voor een systeem waarin versnellingen geen rol spelen is M
= M.
zodat uit (1), (2) en (3) volgt
n
6
, - 9 = - Bn E
n+1
n
.
m=l
6
m
(4)
waarin gesteld is,
6 = 6
(
)
Stelsel (4) stelt N-l vergelijkingen voor met N onbekenden. De ontbrekende vergelijking is de randvoorwaarde dat de N
sLeen aan zijn
onderzijde niet verplaatst; uit (1) volgt dan
N
E
9
m=l
= 0
(5)
Stelsel (4) en (5) vertegenwoordigen alleen een niet triviale oplossing
als de mate van uitknikking onbepaald is. Dit kan alleen voor speciale
waarden van 3.
Om deze waarden te bepalen wordt verondersteld dat 9
waarden van 9
= 1. De te bepalen
zijn dan genormeerd op 9 . De kleinst te bepalen waarde
van S is maatgevend.
Stelsel (4) en (5) is in de beschouwde aanpak niet lineair. Om een oplossing te vinden moet een iteratieve methode gevolgd worden. Effektief
is de meer-dimensionale kwasi-Newton methode. Om hiervoor een goede startwaarde te krijgen kan het diskrete stelsel (4) en (5) bij benadering
kontinu gemaakt worden.
Substitueer 9
= du/dn. Met behulp van (4) en (5) volgt er dan ongeveer,
-60-
2
^
= - Bn f £ dn = - 6 n u
dn
(6)
o
met randvoorwaarde u = 0 voor n = N.
De oplossing van (6) is een Airy funktie,
3
/«v
•,kr2^
(-D' k n(Bn 3 ) k
waarin,
Bij benadering kan nu worden afgeleid dat aan de randvoorwaarde
u = 0
n - N voldaan wordt door de minimale waarde
B = {q-U}2/N3
(8)
Om stelsel (4) en (5) iteratief op te lossen is een rekenprogramma geschreven. Op bijlage A is de listing ervan gegeven samen met het resultaat
van een berekening. De beddingskonstante van het vulmateriaal, tussen de
stenen is hierin niet realistisch gekozen; de waarde is zodanig dat knik
inderdaad optreedt. De overige invoer parameters zijn wel realistisch.
De taal waarin het rekenprogramma is geschreven is APL.
Interpretatie.
Een goede afschatting van de waarde van de beddingskonstantie is niet
eenvoudig. Veel zal afhangen van de plaats van korrels die klem komen
te zitten tussen de stenen. Een k van 20 MN/m
lijkt echter veel en veel
te laag gekozen. Het is dan ook niet waarschijnlijk dat knik een
essentiële rol zal spelen in het bezwijkmechanisme. Wel zal de excentriciteit van belang zijn door het plaatselijk klem zitten van korrels. Hiervan
kan een stabiele opbolling van de zetting het gevolg zijn. Het evenwicht
van zo'n zetting, dat berust op boogwerking kan verstoord worden door een
netto belasting loodrecht op het talud. Deze situatie kan beschreven worden
vanuit dezelfde principes als deze knikbeschouwing.
-61-
K M X K
VAM
<3 E K 1_ E M O
Z E T T " X M <3I
z.?. 15 VERONDERSTELD DAT:
- OYE? EïN LENGTE VAN 12 STENEN -3EEN NETTO SPANNING AANWEZIG 13 '_•."'C 0 = ECHT 0? HET
TAL'JO :
- DE 3AN0EN VAN PIT GEBIED SCHARNIEREN ZIJN.
INVOER:
HOOóTE STEEN
LENGTE STEEN
TALU0HELL1NG
ITERATIE:
.0-1080
.01090
.31090
.01090
.20 m
.50 ra
.25
SOORTELIJKE MASSA STEEN
SEC'DINGSKUNSTANTE
DE RIJ 86STAAT UIT DE 3EN0DIS0E KNIKFAKTOR EN DE HOEKVERDRAAIINGEN;
.9856
-1.0509
.9891
-1.0804
.9891
-1.0802
.9391
-1.0802
.9393
-1.3711
.9457
-1.4082
.9457
-1.4030
.9457
-1.4080
.8416
-1.5613
.8493
-1.6000
.3493
-1.5993
.3498
-1.5998
.6767
.4359
.1204
-.254?
-.6602
.6843
.44.12
.1201
-.2637
-.679*>
.6848
.4413
.1202
-.2636
-.6793
.6848
.4413
.1202
-.2636
-.6793
AANWEZIG:
JOL KGZ
3LM
3C5_' AANTAL 3TSNEN IN KNlKLïNGTï
200_<DT_'HOOGTE S T E E N ' ) . '
aooIïLT^'LENGTE S T EEM'i,'
300_fNT~' 330PTELI JKE ?1AS3A 3TEEN '>
30.' . -: K T '
_ 3EO0ING3KON3TAN7E VULLING' '>
-? -<
'• A T " ' TALUDHE'.LING' > . '
•30v
.01091
Cl 2
r
i
C142
ClS"
C233
C25 3
C23:
C291
C303
C323
C343
C3S3
C373
C383
C403
C433
C473
3L,"!
JOUT
SENOO IGD :
.01090
INVOER
NI
3IT N_' ,jóïORaOO
301 3EX '
.36303500
301 3EX '
301 3EX ' ,1_ ' ,3ó3DR300
CM3
CKN/?1»2
:
ao:
3EX ' K ~
•
'301
301 33E XE •X A
A _'' . 3Ó30R302
INVOESTSKST
OUT aoi acopw^siaoi a o o i o . i s o i aOocT_oaoi a«o_'*occsocr.cJOCKNIK V
300 ' AN GEKLEIDE ;iTT:NGENO_'301 3Q0_' ' , 54'3RH'-'301 300_'C£?. IS VEHONO'
E9STEL0 0AT:'3DI 300 'i- OVER EEN LENGTE VAN'.(3 03FRN).' STENEN G'
300 ' EEN NETTO SPANNING AANUEZIG IS LOODRECHT OP HET'301 300_'
TALUOi'
aoo_'' - DE RANDEN VAN DIT GEBIED SCHARNIEREN ZIJN.' 3LM
INVOERPARAMETEHS
aoo"' CINVOER:
',0T,(6 23FR0),' Y
',MT,(9 23FRM) , ' XN/Y + 3'
aool'
',LT,(6 23FRL),' Y
' , KT, (9 23FRK) . ' HN/Y»3'
aoo '
',AT,C6 23FRA)30I 3QQ_'C1TERATIE:
OE RIJ BESTAAT'
UIT OE BENODIGDE KNIKFAKTOR EN OE HOEKVERDRAAIINGEN;'301 300_' '
3LM
INITIALISATIE
B_.006#M#(13CI433CIA)XK#<OXL)*230I
P _ ( F I _ ( V I _ N I # ( O C H 1X8)»2X3)XN)*3)Cl 3
F I _ - / ( # \ 3 T R ( J ,N)3RHFI)#c:N,
J)3RH<»\i,l+3#aÏTJ)X<03RHO,0,l)/#\31TO_3»J_10
FI_a3DRFI)X<FI_l-.5#FI*N3TK0,FI)C13aDI
G_8#F_9#E_3CL ( H _ 2 » I _ N - 1 )X16
I T E R A T I E : 3 0 0 _ C C E T 9 ) 3 R H F 3 T K 9 S3FRP) , (E,72)3RHG3TK9 43FRFl"3LM
NEUTON-RAPHSON
0 F I C ; I 3 <DFÏ 3 T R ( I , N ) 3 R H P # N I ) C i I 3 r O F
( I 3 R H 1 ) , 0 3 0 1 DFI O F I , D F , < N , I ) 3 R H 0
0F_< CCFI-I3TK1 , F I ) , Q) *Pt»OF) 30M0FI_ < OF N I * * \ 1 , F I ) , ( O , l7sOR ( N , H > 3RH0F I
p
.<FI_(P,FI)-0F)C1330I
F I 13DRFI3ÖI 3G0 <. 0 0 0 0 0 0 1 O 8 R + / 0 F ) / ITERATIE
3LM
300_'CUITVOER:
C493
J4. 03 ViN/ra + 3
20.00 MN/nt*3
VULLING
~
O~KNIKFAKTORO
UITVOER
AANWEZIG:',(10
a o o _ ' O I G O :',10 saFRPaoi aoo 'B'a5i S E X ' ) O U T
••
53FRB),'
BENO'
-62-
3.4
Bezwijken door buiging
ir. G.M. Wolsink, Technische Hogeschool Delft
Commentaar
De eerste beschrijving van het mechanisme "buiging" (paragraaf 3.1) is door
Wolsink aangepast. Zoals reeds in het commentaar van paragraaf 3.1 is opgenomen, is voor het ontstaan van een inwendig moment trekspanning niet toegelaten, terwijl dit wel is verondersteld. Bij het evenwicht van de doorsnede moet
ook een normaalkracht of voorspankracht worden meegenomen. In dit geval zijn
zowel de hydraulische belasting (die buigende momenten veroorzaakt) als het
gewicht van de bovenliggende stenen (die door de normaalkracht een trekspanning kunnen compenseren) meegenomen.
Bezwijken treedt op als de betondruksterkte wordt overschreden. Dit is echter
niet een realistische aanname (paragraaf 2.5). Dit model geeft derhalve een te
hoge bezwijkbelasting. Ook door het gebruik van een iteratieve methode om twee
vergelijkingen op te lossen, is het model niet gemakkelijk te hanteren.
Bezwijken door buigen
1.
Ligger
y-as
-63-
Door het eigengewicht is de "balk" evenwijdig aan de x-as voorgespannen met
een kracht F(x).
Alle krachten werken op een eenheidsbreedte
Indien geen wrijving met ondergrond:
F(x) = - x.q sina
(1)
Eigen gewicht onder water: q = ( p
-p)gD
(2)
s
In y-richting geldt:
(3)
q(x) = P(x) + q cosa
Verder geldt algemeen:
x
d(x) = dwarskracht = - ƒ q(x) dx
o
x
M(x) = moment = / d(x) dx
o
(4)
(5)
Voor het verloop van P(x) dient nog een formule te worden gevonden. Er geldt
in ieder geval:
(6)
p(Nb - (h - R d )/sina)
2.
Doorsnede berekening
F(x)
. x-as
M(x)
•pos
y-as
-64-
a. "Ongescheurde" doorsnede (d.w.z. geen trekspanningen)
D
1
(7)
3
TI °
F(x)
D
CT(y
6.M(x)
(8)
D2
) = I S * l - JLüOO
2
D
(9)
D2
F(x) heeft een negatieve waarde
b. "Gescheurde" doorsnede
it
x-as
y3
referentiepunt
F(x)
Cy)
M(x)
y2
y2
y-as
Aangenomen wordt dat het materiaal geen trek op kan nemen (in verband met de
voegen tussen de blokken).
In het algemeen geldt:
rEA ES-i
L
ES E I J
(10)
of symbolisch [S] v_ = k_ ( v e r p l a a t s i n g s m e t h o d e )
af t e l e i d e n m . b . v . E H = 0 e n E M = 0
waarin:
A
= oppervlak
S
= statisch moment
I
= traagheidsmoment
(evenwichtsvoorwaarden)
-65-
y2
y2
y2
A = I dy S = | y.dy 1 = 1 y 2 dy
y3
y3
y3
(11)
met:
y2 = D/2
(12)
zie Figuur
y3 =
er/k
A-|-f
(13)
s=|i-ili
(14)
T
_ D 3 _ er 3
(15)
3K 3
De volgende 2 gekoppelde vergelijkingen worden dan verkregen (vgl. 13, 14 en
15 substitueren in 10):
E
U T
Z
E
- — ) er +
(TT-
K
" —)<} = F(x)
2<
{('T- " — ) •
er +
("Sr ~ —)<} =M(x>
Z
2K2
(16)
2
(17)
3K3
Door iteratie zijn deze twee vergelijkingen oplosbaar (er en K zijn de onbekenden). Voorwaarde is wel dat F(x) en M(x) bekend zijn.
3.
Voorbeeld
Stel p(x) heeft een derde graads verloop:
P(x) = A x 3 + B x 2 + Cx + D
(18)
voorwaarden:
voor x = 0 ->• P(0) = 0 -»• D = 0
voor x =
A 6
3
+ B 8
Nb - (h+R j (c - l ) ) / s i n a - & •*• P(B) = 0
d
2
2
(19)
(20)
+ C 3 = 0
met B 0 : A B
2
+ B 8 + C = 0
(21)
-66-
voor x = Nb - (h-R,)/sina = y •*• P(y) =
d
Ay3 + B Y 2 + Cy = pgc£H
(22)
voor x = Nb -• p(N, ) = 0
b
A(Nb)3 + B(Nb)2 + c(Nb) = 0
A(Nb)2 + B(Nb) + C = 0
(23)
Uit 21, 22 en 23 zijn A, B, C oplosbaar.
A = pgcCH/{Y3-YB2 - (Nb+6) ( Y 2 " Y B ) } = A1
B = -A(N,+6) = B,
b
(24)
1
c = - A e 2 - Be = c
dus P(x) = A x 3 + B x 2 + C x
(25)
(3) wordt dan:
q(x) = A x 3 + B x 2 + C x + q cosa
(26)
(4) wordt dan:
A^1*
B,x 3
C,x 2
d(x) = - [-ij- + -L— + -1— + q cosa x + C ^
(27)
(5) wordt dan:
A x~*
=
-C-JÖ" +
B x1*
-j2-
C x3
+
9
+
^V" e
cos2
y- + ci
x + c
2)
(28)
randvoorwaarden
x = 0 * M(0) = 0 -»• C = 0
(29)
x = Nb -»• M(Nb) = 0 -»• c , = p
(30)
-67-
A x5
B x1* C x3
2
M(x) = - {-~- + -ij- + - ± — + q cosa |- + yx)
(31)
A x* B x3
C x2
d(x) = - (-±— + - ^ — + - ± — + q cosa x + u)
(32)
M(x) is maximaal voor d(x) = 0
d(x) = 0 voor x = x^
Nu F(x ) en M(x.) bekend (vgl. (1) en (31)). Met behulp van (16) en (17)
volgt: (iteratief):
er =
(33)
6l
K = Kj
(34)
Voor de spanning geldt:
o = E (e x - y ^ )
a
(y
CT
22}} " CT
onderste verzet ==
(35)
EE ((ee
l " T
De spanning mag een zekere waarde niet overschrijden (a (y„))
4.
Conclusie
Op de hierboven beschreven wijze is het in principe mogelijk de optredende betonspanning bij het belastinggeval buiging met normaalkracht te bepalen (in
"gescheurde" toestand). Hierbij is het echter wel nodig dat de drukverdeling
op het talud bekend is.
De aanwezigheid van een voorspankracht is bij het hier gedefinieerde materiaalgedrag (geen trek mogelijk vanwege de voegen tussen de blokken) beslist
noodzakelijk om een evenwichtssituatie mogelijk te maken.
-68-
3.5
Veiligheidsbeschouwingen
Hoofdstuk 8 uit de concept CUR leidraad voor steenzettingen
Ir. G.M. Wolsink, Technische Hogeschool Delft
Commentaar
In hoofdstuk 2 is enkele malen gewezen op de noodzakelijkheid van de probabilistische ontwerpmethodiek bij steenzettingen. Deze paragraaf geeft een eerste
aanzet. In eerste instantie is de stabiliteit van een los blok beschouwd. Door
een vergrotingsfactor in te voeren wordt ook een geklemde zetting bekeken.
Door de verdeling van de wrijvingsdruk over het talud (paragraaf 2.3) en de
verschillende bezwijkmechanismen (paragraaf 2.5) mee te nemen zou de hier beschreven aanpak nog aanzienlijk in waarde kunnen stijgen.
Inho udsopgave
blz.
8.
Veiligheidsbeschouwingen
69
(361)
8.1
Inleiding
69
(361)
8.2
Beschrijving probabilistische methode
70
(362)
8.3
Hydraulische randvoorwaarden
76
(368)
8.3.1
De hoogwaterstand
76
(368)
8.3.2
Golfhoogte bij een zekere waterstand
76
(368)
8.3.3
De golfsteilheid
80
(372)
8.3.4
Golfbreking
81
(373)
8.4
De bekleding
81
(373)
8.5
Rekenvoorbeelden
86
(378)
8.6
Veiligheidsniveau
101
(393)
106
(398)
110
(402)
Literatuur
Appendix 8.1
Listing computerprogramma
Appendix 8.2
Gedeeltelijke handberekening
van rekenvoorbeeld 1
- 361 -
-69-
Hoofdstuk 8 - Veiligheidsbeschouwingen
8.1.
Inleiding
Het is bij belastingen en sterkteparameters in het algemeen niet mogelijk om van te voren aan te geven welke preciese waarden zij in een
constructie zullen aannemen.
Bij de belastingen komt nog de moeilijkheid dat niet exact is aan te
geven waar op het talud en hoe vaak de betreffende belasting optreedt.
Belastingen en sterkte van de constructie blijken in de praktijk aan
spreiding onderhevig te zijn, waardoor zij als stochastische grootheden
opgevat moeten worden.
De tegenhanger van de stochastische grootheid is de deterministische
grootheid.
Dit is een grootheid waarvan de waarde met zekerheid bekend is.
In de praktijk komen deterministische grootheden in de vorm van belastingen en sterkten niet voor.
Soms is de spreiding die optreedt evenwel zo gering dat het verantwoord
is om de betreffende grootheid als een deterministische grootheid op te
vatten.
Evenals belastingen en sterkten zijn ook afmetingen van constructies
stochastisch.
De ervaring leert echter wel dat de meeste bezwijkgevallen niet worden
veroorzaakt door gebreken in de constructie en door menselijke fouten.
Hierbij te denken aan rekenfouten in de sterkteberekening of wat een
nog groter gevaar vormt is het over het hoofd zien van een maatgevend
bezwi jkmechani sme.
Ook in de bouwfase komen veel bezwijkgevallen voor, terwijl uitvoeringsfouten in het algemeen een bron van mogelijk bezwijken van de
constructie vormen.
Ook verwaarlozing van noodzakelijke inspectie en onderhoud kan ernstige
gevolgen hebben.
- 362 -
8.2.
-70-
Beschrijving probabilistische methoden
Zijn de kansverdelingen van belasting en sterkte berekend dan kan de
bijdrage in de kans op bezwijken door een overschrijding van de sterkte
bepaald worden, uitgedrukt in:
Z = R - S
(8.1.)
waarin:
Z = de betrouwbaarheidsfunktie
R = de sterkte van de constructie (resistance)
S = de belasting op de constructie (sollicitation)
Teneinde een aan zijn doel beantwoordende constructie te verkrijgen
moet Z groter dan nul zijn; er treedt dan geen bezwijken op.
Op hun beurt zullen de sterkte R en de belasting S in het algemeen weer
funkties van andere variabelen zijn.
De betrouwbaarheidsfunktie is daarmee te noteren als:
Z = R (X
1
X. ) - S (X.^.
k
k+1
X )
n
Het is gebruikelijk om de variabelen X
(8.2.)
X
z
uit de betrouwbaarn
heidsfunktie aan te duiden met de term "basisvariabelen".
Opgemerkt wordt dat de betrouwbaarheidsfunktie Z niet in enge zin als
een formule opgevat behoeft te worden; Z mag ook uit een complex rekenmodel voortkomen, zoals een computerprogramma.
Bij dijkbekledingen is niet op voorhand bekend welke de maatgevende
toestand is, dat wil zeggen waterstand, golfhoogte, golfsteilheid enzovoort. Wordt naar de bezwijkkans van de bekleding gekeken dan zijn
meestal niet de bij de meest extreme waterstand behorende golven
(superstorm) maatgevend, maar golven bij een lagere waterstand. De
reden hiervoor is dat ondanks de minder hevige golfaanval op dit lagere
niveau de kans van voorkomen van zo'n storm groter is dan op een hoog
niveau.
- 363 -
-71-
Dit aspect komt alleen goed naar voren met behulp van een probabilistische berekening, waarbij belasting en sterkte als een onlosmakelijk
geheel worden beschouwd.
Bij het ontwerpen van dijken is door de Deltacommissie ook een stochastisch element ingebracht, maar is uit praktische overwegingen teruggekeerd tot het aangeven van slechts de overschrijdingskans van de belasting, zie figuur 8.1.
belasting S
sterkte R
figuur 8.1.: een Nederlands dijkontwerp
Figuur 8.2. geeft schematisch de aanpak volgens de huidige betonvoorschriften.
De kern van de probabilistische veiligheidsbeschouwing wordt gevormd
door de zogenoemde probabilistische berekening.
Globaal gesproken wordt daarmee bedoeld de bepaling van de bezwijkkans
uitgaande van onzekerheden in de optredende belastingen en in de sterkte van de constructie.
Een probabilistische berekening waarbij die onzekerheden op zuiver
formele wijze worden verwerkt, leidt al gauw tot gecompliceerde of
onoplosbare wiskundige formuleringen voor de kans op bezwijken.
Daarom zijn in de loop der tijd eën aantal vereenvoudigingen ingevoerd,
die betrekking hebben op de wijze waarop onzekerheden worden verwerkt.
-
364
-
-72-
belasting
S
S,
kar
R
kar
figuur 8.2.: de dimensionering van een constructie volgens de VB '74
(niveau I)
Ter ordening van de verschillende mogelijke procedures wordt een viertal niveaus van de berekening ingevoerd, die variëren van volledig
deterministisch tot volledig probabilistisch.
Deze niveaus zijn:
niveau
0: een deterministische berekening. Voor de belasting en de
sterkte worden bepaalde vaste waarden genomen en het rekenmodel wordt als vaststaand beschouwd.
Door middel van één algehele veiligheidscoëfficiënt worden
alle onzekerheden in rekening gebracht;
niveau
I: een semi-probabilistische berekening. Voor de belasting en
de sterkte wordt uitgegaan van karakteristieke waarden.
Door middel van partiële veiligheidscoëfficiënten - dat wil
zeggen coëfficiënten die betrokken zijn op afzonderlijke
grootheden - worden de resterende onzekerheden in rekening
gebracht;
- 365 -
niveau
-73-
II: een probabilistische berekening waarin welomschreven vereenvoudigingen zijn aangebracht in de verwerking van de
stochastische grootheden, hiervoor bestaan verschillende
methoden;
niveau III: een volledig probabilistische berekening.
De berekening is geheel gebaseerd op de leer der stochastiek.
In wezen zijn de berekeningen op niveau 0 en I niet probabilistisch,
omdat het resultaat van de berekening geen bezwijkkans is.
De waarden van de veiligheidscoëfficiënten kunnen voor standaardproblemen evenwel worden afgeleid met een berekening op niveau II of III.
Impliciet kan daarmee een berekening op niveau 0 of I betrekking hebben
op een bepaalde bezwijkkans.
De beschouwingen zullen hier verder beperkt worden tot probabilistische
berekeningen op niveau II.
De vereenvoudigingen die bij de berekeningen op niveau II worden doorgevoerd, zijn allereerst erop gericht om een gecompliceerde betrouwbaarheidsfunktie terug te brengen tot een lineaire funktie.
Vervolgens wordt de verdeling van de betrouwbaarheidsfunktie benaderd
door een vervangende normale verdeling, waarvan het gemiddelde en de
standaardafwijking uit de overeenkomstige parameters van de basisvariabelen worden afgeleid.
Het aanbrengen van de vereenvoudigingen in de betrouwbaarheidsfunktie
kan op verschillende wijzen, in de praktijk worden hoofdzakelijk twee
methoden toegepast:
a. de "mean value" benadering
b. de "advanced" benadering.
- 366 -
-74-
ad a
Bij deze methode wordt de betrouwbaarheidsfunktie Z, voor het gemiddelde van de diverse basisvariabelen, in een Taylorreeks ontwikkeld die na
de lineaire termen wordt afgebroken.
Z « Z (P(X ), P(X_)
U(X )) +
2
E
.=1
(X.-y(X.) x § i
i
(8.3.)
ÖX.
waarin:
Z
= de betrouwbaarheidsfunktie
y(X.) = de gemiddelde van basisvariabele i.
Het lineairiseren in het punt u(X.) houdt in het algemeen in dat wordt
gelineariseerd in een punt dat niet op de bezwijkgrens Z - 0 ligt.
Verder blijkt de methode niet ongevoelig voor de wijze waarop de betrouwbaarheidsfunktie Z geformuleerd is.
Daar tegenover staat evenwel dat de "mean value" berekening betrekkelijk eenvoudig is en in veel gevallen zelfs nog geheel met de hand kan
worden uitgevoerd.
Er zijn ingewikkelde iteratieve berekeningen nodig, zoals bij de hierna
volgende "advanced" methode om een beter ontwerppunt te vinden.
Na het lineariseren van de betrouwbaarheidsfunktoe blijft nog over om
de verdelingen van eventueel niet-normaal verdeelde basisvariabelen te
vervangen door normale verdelingen.
Bij de "mean value" benadering wordt dit gedaan door aan niet-normaal
verdeelde basisvariabelen een normale verdeling toe te kennen met het
gemiddelde en de standaardafwijking van de oorspronkelijke verdeling.
Door het lineariseren en het vervangen van verdelingen is bereikt, dat:
- 367 -
-75-
• Z normaal is verdeeld
• U(Z) = Z(U(X.)) voor i = 1 tot n
(8.4.)
(|f-)2a2(x.)]1/2
i
De bezwijkkans, P (Z < 0 ) , volgt nu uit de tabel van de normale verdeling, met behulp van 3 = ———•
o i z)
ad b
Teneinde aan de genoemde bezwaren tegen de "mean value" benadering
tegemoet te komen, zijn verbeterde betrouwbaarheidsanalyses op niveau
II uitgewerkt.
Bij de "advanced" benadering betreft de verbetering de keuze van het
ontwerppunt.
Het lineariseren vindt niet meer plaats in het punt y(X. ) maar in een
punt op de bezwijkgrens, er geldt dus Z (X. ) = 0.
Op de bezwijkgrens wordt het ontwerppunt verder zodanig gekozen dat de
waarschijnlijkheid van optreden van die waarde van Z zo groot mogelijk
is. Bij van de normale verdeling afwijkende basisvariabelen wordt er
voor gezorgd dat de vervangende normale verdeling dezelfde kansdichtheid en overschrijdingskans bezit.
Het definitieve ontwerppunt wordt op een iteratieve wijze gevonden. Een
gevolg van het iteratieproces is dat de berekening in het algemeen niet
meer met de hand kan worden uitgevoerd.
Met deze globale beschrijving van de methoden wordt hier volstaan,
voor meer achtergronden wordt naar de literatuur verwezen, bijvoorbeeld
lit. 6 en 7.
Een computerlisting voor een niveau II berekening treft u in appendix
8.1. aan, terwijl in appendix 8.2 een rekenvoorbeeld gedeeltelijk met
de hand is uitgewerkt.
- 368 -
8.3.
-76-
Hydraulische randvoorwaarden
8.3.1. De hoogwaterstand
Volgens Wemelsfelder, zie lit. 1, is voor de verdeling van de hoogwaterstanden een Gumbelverdeling aan te houden:
-eS
P (h > h) = 1 - e
waarin:
h = hoogte waterstand ten opzichte vah N.A.P.
a en 3 zijn constanten te bepalen uit overschrijdingslijnen van
Wemelsfelder.
Formule (8.5.) is voor oc = 1,98 en 3 = 0,33 (Hoek van Holland) in figuur 8.3. afgebeeld, evenals de kansdichtheidsfunktie.
8.3.2. De golfhoogte bij een zekere waterstand
De golfhoogten, die op de 20 m dieptelijn optreden tijdens de stormvloed zijn gebaseerd op de benadering volgens Bruinsma, zie lit.
2.
Het hierbij toegepaste simulatiemodel berust op het feit dat zowel de
windopzet als de golfvelden voor de Nederlandse kust wordt veroorzaakt
door hetzelfde windveld boven de Noordzee.
De berekening van de windopzet geschiedt met het model van Weenink
(lit. 8) en de golfhoogten worden met een van Bretschneider afkomstige
relatie bepaald.
Voorts wordt verondersteld dat de gedurende een storm optredende windsnelheden behorende bij een gegeven waterstand Weibull-verdeeld zijn en
dat de parameters van deze verdeling te koppelen zijn aan de opgetreden
hoogwaterstand.
- 369 -
-77-
-*.h
figuur 8.3.: kansverdelingsfunctie (I) en kansdichtheidsfunktie (II)
van de hoogwaterstanden
Deze koppeling maakt het mogelijk de voorwaardelijke kansverdeling van
significante golfhoogten bij een gegeven hoogwaterstand te bepalen.
Voor een uitgebreidere beschrijving van de gebruikte technieken wordt
naar lit. 2 en 5 verwezen.
Ter illustratie wordt het verband van de golfhoogte met de waterstand,
ontleend aan lit. 2, voor Hoek van Holland, in figuur 8.4. gegeven.
- 370 -
-78-
12
10
9'top
S
7-
6
5-
A
3-
2
16
7
6
hoogwotar»tand [m]
X r waarnemingen
LEG , MA 3t , HA I .
figuur 8.4.: significante golfhoogte versus de waterstand voor Hoek van
Holland op de - 20 N.A.P. lijn
De simultane kansdichtheid van hoogwaterstand en significante golfhoogte wordt verkregen door de hoogwaterstandsdichtheidsfunktie te vermenigvuldigen met de voorwaardelijke kansdichtheid van H
gegeven de
s
hoogwaterstand h.
Deze voorwaardelijke kansdichtheid H
kan door een Weibull- of normale
s
verdeling worden benadering.
Als uitbreiding op het werk van Bruinsma (lit. 2) zijn door Van Aalst
(lit. 5) ook voor andere plaatsen langs de kust golfhoogte-waterstandsrelaties bepaald, zie figuur 8.5.
De aanpak is iets afwijkend van de door Bruinsma gevolgde werkwijze.
-79-
- 371 -
I
C : 0.75 voor DH.EG.en BO
C ; 0. 60 voor VI *n HvH
DH = Den Helder
EG =. Eierlandse Gat
B = Borkum
Vi = Vlissingen
HvH= Hoek van Holland
4.0
3.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
-». h (m)
figuur 8.5.: significante golfhoogte versus de waterstand voor diverse
plaatsen langs de Nederlandse kust
- 372 -
-80-
In figuur 8.5. is de voorwaardelijke kansverdeling van de golfhoogte
normaal verdeeld verondersteld.
De getallen 10""1* en 10~ 5 hebben betrekking op de overschrijdingskans
van h, zie formule 8.5.
'"53" geeft de hoogwaterstand voor de storravloedstand van 1953.
De resultaten volgens figuur 8.4. en 8.5. kunnen voor waarden groter
dan het grenspeil, dat is het peil dat gemiddeld éénmaal per twee jaar
wordt overschreden, worden benaderd door een polynoom.
Als voorbeeld:
V (H ) = Y
2
h + Y h + y, voor h > grenspreil
(8.6.)
Zo wordt met behulp van figuur 8.4. voor Hoek van Holland gevonden:
U (H ) = - 0,06 h 2 + 1,22 h + 2,82
s
(8.7.)
Verder wordt uitgegaan van een normale verdeling:
o (H ) = 0,60
s
(8.8.)
Voor h < grenspeil moet een uit waarnemingen bekende verdeling van de
golfhoogte als funktie van de waterstand worden aangehouden (extreme
waarden).
8.3.3. De golfsteilheid
Uit diverse golfgroeigrafieken blijkt de golfsteilheid bij ontwikkelde
zeegang een vrijwel constante waarde te bezitten.
Bij jonge zeegang is de golfsteilheid wat groter.
Door Vrijling (lit. 2) wordt voor de golfstielheid op diep water
( H L ) een normale verdeling aangehouden:
y (H /L ) = 0,0375
s o
(8.9.)
o (H /L ) = 0,006
s o
(8.10.)
- 373 -
-81-
8.3.4. Golfbreking
Treedt bij nadering van de kust golfbrekeing op dan wordt de golfhoogte
bij benadering gereduceerd tot:
H
s
= 0,5 (h + d)
(8.11.)
max
waarin:
H
= maxixum significante golfhoogte
max
h
= hoogwaterstand ten opzichte van N.A.P.
d
= waterdiepte ten opzichte van N.A.P.
De golfperiode T
wijzigt niet.
P
De randvoorwaarde voor de dijk wordt dan gegeven door:
H
s
max
g T2
en ,_ P = L
211
o
(8.12.)
De golfsteilheid wordt dus bij gelijkblijvende golflengte en afnamende
golfhoogte kleiner.
8.4.
De bekleding
Voor het berekenen van de sterkte van de bekleding wordt uitgegaan van
een sterk geschematiseerd rekenmodel. Wanneer te zijner tijd een beter
rekenmodel ter beschikking staat, kan dat het hier gegeven model vervangen. De aanpak blijft in hoofdlijnen hetzelfde.
De hierin opgenomen constanten worden bepaald aan de hand van de in
lit. 9 aangetroffen proefresultaten.
Omdat de belasting (waaronder het verschijnsel golfklap) en sterkte van
de bekleding nog niet gescheiden kunnen worden moeten deze tezamen in
de beschouwingen worden betrokken.
- 374 -
-82-
S.W.L.
Figuur 8.6.: vereenvoudigd rekenmodel
De overdruk ter plaatse van "run-down" is:
H)
p =
(8.13.)
Uit onderzoek (lit. 4) blijkt:
R
(8.14.)
» 0,3 C H
waaruit volgt:
(8.15.)
p = P w g H (C., K + C 2 >
Het eigen gewicht van een blok onder water is;
(p
b
(8.16.)
- p ) g d cos a
w
Stabiliteitsverlies treedt o p indien:
p
g H(C, E, + c ) > (p, - p ) g d cos a
W
1
(S)
2
D
W
(R)
(8.17.)
- 375 -
-83-
Verder uitgewerkt levert dit:
<8'18'>
Ad-(C1S+C7T
De variabelen hebben de volgende betekenis:
H = golfhoogte
R, = run-down punt
d
p = druk onder de blokken in run-down punt
g = versnelling zwaartekracht
ot = taludhelling
d = dikte bekleding
p
= soortelijke massa bekleding
p
= soortelijke massa water
A = (p, - P )/p
b
ww
£ = tg a//H/L
o
Als bezwijkcriterium is hier dus het oplichten van een enkel blok gekozen,
er is verder geen rekening gehouden met veranderingen in de sterk-
te in de loop der tijd.
Verder wordt gesteld dat voor de golfhoogte H ook de significante golfhoogte H gelezen mag worden. Opgemerkt wordt dat bij de rekenvoorbee1s
den soms voorbij het gebied van de empirische waarnemingen wordt gerekend, waardoor de resultaten in die gebieden met enige voorzichtigheid
geïnterpreteerd moeten worden.
De constanten C
en C
moeten worden bepaald aan de hand van voorhanden
zijnd empirisch materiaal (lit. 9 ) .
Zo kan bijvoorbeeld met het in figuur 8.7., voor losliggende blokken op
een doorlatende onderlaag, gegeven verband tussen ^ en H /Ad door mids
del van regressieanalyse de constanten C
en C
worden bepaald.
Voor de in figuur 8.7. gegeven waarden wordt gevonden:
C
= 0,1196 en C
= 0,1194.
-84-
- 376 -
Een waarneming, Kostense 1980-2, is vanwege het afwijkende beeld weggelaten. De correlatie-coëfficiënt bedraagt nu 0,96.
Teneinde het stochastische karakter naar voren te laten komen wordt aan
constante C
een normale verdeling toegekend:
V (C ) = 0,1196
O ( C ^ = 0,025
Veelal zullen bij wat zwaardere hydraulische randvoorwaarden de in
figuur 8.7. gegeven waarden voor losliggende blokken niet voldoen.
Bekend is dat geklemde zettingen een aanzienlijk hogere stabiliteit
bezitten.
Er is echter niet voldoende empirisch materiaal voorhanden om voor dit
H
type bekleding funktionele verbanden tussen ~ en C af te leiden.
Ao
O
•
A
A
•
kostense (1980-2) t : 3
kostens* P98O-2) 1 : 6
Oesterdam Ni.; 2 1 4
Ooster-dom N u 10 1 : 4
gidjonde r i o « k NL=2 i:3
getalen geven woterstorvd oon t ov N A P
'tS
«4jffA
.3.OA
•
G
o
•
Figuur 8.7.: losliggende blokken op doorlatende ondergrond
-85-
- 377 -
Teneinde toch met deze sterkere constructie te kunnen rekenen, wordt
hier aangenomen, dat het evenwicht niet alleen aan het eigen gewicht
van slechts één element ontleend behoeft te worden, formule 8.17.
krijgt dan de volgende vorm:
P g H (C. £ + C„) > C (p, - p ) g d cos a
w
1
2
b
w
(8.19.)
waarin C het aantal blokken is.
De betrouwbaarheidsfunktie Z krijgt nu de volgende gedaante:
Z = C (p. - p ) g d cos ot - p g H (C, £ + C„)
b
w
w
1
2
(8.20.)
Het hier aangenomen gedrag van een geklemde zetting ten opzichte van
een zetting opgebouwd uit losliggende blokken is in figuur 8.8.
geïllustreerd.
8
7
COSa
5- -
3
2
1
-f—
2
figuur 8.8.: stabiliteit blokken
- 378 -
8.5.
-86-
Rekenvoorbeelden
Met behulp van de hiervoor behandelde rekentechnieken en uitgangspunten
is het nu mogelijk de kans van bezwijken van een gezette bekleding bij
sterk geschematiseerde hydraulische randvoorwaarden te bepalen.
De golfaanval vindt plaats loodrecht op de dijkas, via een correctiecoëfficiënt voor de golfhoogte kan een van diep water afwijkend golfklimaat worden gesimuleerd.
Via het golfbreekcriterium is het mogelijk een ondiepte voor de dijk te
simuleren.
De hier gepresenteerde rekenvoorbeelden hebben tot doel de mogelijkheden van een probabilistische aanpak te illustreren. Wegens de aangebrachte schematisaties kunnen uit de verkregen resultaten niet meer dan
kwalitatieve conclusies worden getrokken.
Rekenvoorbeeld 1
De dikte van de bekleding en daarmee de sterkte wordt constant verondersteld, de dikte is dus geen funktie van de plaats op het talud (het
computerprogramma laat dit in principe wel toe).
De waarden van de diverse basisvariabelen zijn in tabel 1 samengevat.
Daarna is in de computeruitvoer de resultaten van de niveau II berekening gegeven.
In de eerste kolom zijn de namen van de stochasten afgedrukt.
De tweede kolom bevat de actuele waarde van de stochast.
De derde kolom geeft de afgeleide van de betrouwbaarheidsfunktie Z in
het punt X (I).
De standaardafwijking van de stochast is in kolom vier gegeven.
Kolom vijf geeft het percentage dat de betreffende stochast bijdraagt
in de totale variantie van de betrouwbaarheidsfunktie.
Bij de "advanced" benadering zijn in de zesde kolom de partiële veiligheidscoëfficiënten gebaseerd op de gemiddelde waarden gegeven:
In de zevende kolom zijn de partiële veiligheidscoëfficiënten gegeven
gebaseerd op de karakteristieke waarden:
-87-
- 379 -
X.
U (Xi) + 1,64 O (Xi)
gemiddelde
standaardafwijking
stochast
type verdeling
hoogwater
(HHW)
golfsteilheid
(H/L)
sterkte
coëfficiënt
Gumbel
formule 8.5.
Normaal
0,0375
0,006
Normaal
0,1196
0,025
variatie
golfhoogte
(SHS)
dikte
bekleding
(Dl)
diepte
vooroever
(D)
taludhelling
(ALFA)
Normaal
0
0,6
Normaal
0,35
0,005
Normaal
10
0
Normaal
0,197
(1:5)
0,01
-
—
Tabel 1
Verder vindt men correctiecoëfficiënten gegeven voor de golfhoogte en
de klemming van de zetting.
De coëfficiënt voor de golfhoogte reduceert de golfhoogte en simuleert
zo een dijk die wat uit de wind ligt of meer landinwaarts is gelegen.
De coëfficiënt voor de klemming komt overeen met de constante C uit
formule 8.19.
Bij dit rekenvoorbeeld blijkt de grootste bezwijkkans bij een hoogwaterstand van 2,883 + N.A.P. op te treden; op andere hoogten is de bezwijkkans kleiner.
Een gedeelte van dit rekenvoorbeeld is in appendix 8.2 met de hand
uitgewerkt.
- 380 -
* MEAN
UALUE"
-88-
BEHflDERIHG
BÈTA « 2.82414874
FAW.KANS - 2.37038125E-03
HHU
H^L
Cl
SHS
Dl
D
ALFA
X( I >
2' <I)
2.7
.0375
.1196
lE-03
.35
18
. 197
-338.51
36716.143
-23027. 113
-954.167
23617.554
0
-15998.268
SKI)
.602
6E-03
.025
5E-03
PERC<I>
26.34
4.73
32.67
32.31
1.37
e
0
.6
.01
2.32
SI < 2 >
PERC<I>
HS- 2.27
KSI- 1.03
4.73
CORRECTlECOEFF. GOLFHOOGTE- 2.5
CORRECTlECOEFF. KLEMMING- 1.75
DEF. BÈTA - 3.03750395
FAALKANS • 1.19278071E-O3
X( I )
HHU
H^L
Cl
SHS
01
0
ALFA
2.S33
.0312
. 1619
. 9433
.3467
10
. 2629
2' <I>
-1062. 833
30753. 413
-31129 . 436
-1210. 709
23539. 325
0
-27207 .947
. 663
6E -O 3
. 0>25
.i
5E-»33
O
.01
HS- 2. 72
KSl- 1 . 17
C'.C03<A>>- 3 . 6 8
CORRECTlECOEFF. GOLFHOOQTE- 2 . 3
CORRECT lECOEFF. hiLEMMING' 1 . 7 3
Z - 1.89390J34E-03
25.45
12.02
3i. ai
27.02
.71
e
3.79
GAMMA
GAMMA
.932
1.354
940.28
.996
1
1.83
1. 127
i.ooe
.963
1.02
1
.951
- 381 -
-89-
Met nadruk wordt erop gewezen dat het werkelijke schadepunt op het
talud veelal lager ligt dan de stilwaterlijn. Voor de eenvoud wordt
hier als uitgangspunt genomen dat het schadepunt samenvalt met het
rundown-punt•
Voor het rundown-punt wordt verder formule 8.14. aangehouden.
De hier berekende bezwijkkans is de totale kans van optreden van een
bepaalde waterstand en de kans van bezwijken van een enkel blok.
De voorwaardelijke kans op bezwijken van een enkel blok bij een gegeven
waterstand is odneraan het talud aanzienlijk kleiner dan op de meer
naar boven gelegen zones.
Door de waterstand voor diverse niveaus te fixeren, dat wil zeggen
invoeren als deterministische grootheid, zijn deze voorwaardelijke
kansen eventueel eenvoudig te berekenen.
Rekenvoorbeeld 2
Door de waarden van enkele stochasten te variëren kan men eenvoudig de
effecten op de bezwijkkans van de bekleding, dat wil zeggen op oplichten van een enkel blok, nagaan.
De resultaten van de parameterstudie zijn in figuur 8.9. gegeven. De
waarden van de invoergegevens komen grotendeels overeen met het eerste
rekenvoorbeeld, alleen de correctiecoëfficiënt voor de klemming is
verlaagd tot 1,45.
Duidelijk blijkt uit figuur 8.9. de gunstige invloed van een hooggelegen vooroever.
Het punt met de grootste kans op schade komt bij een hoger gelegen
vooroever op een hoger niveau op het talud te liggen.
Door de dikte van de blokken meer systematisch te variëren verkrijgt
men een beeld overeenkomstig 8.10.
-90-
- 382 -
P(z<0)
fi = 2 5
11.69')
dikte =
h = 2 38
dikte rQ,3Qm
H.65)
-4-
-
3
-
2
-
1
0
1
^
2
3
diepte
4
5
6
7
vooroever (m)
golf breking
Figuur 8.9.: invloed diepte vooroever en dikte van de bekleding
-91-
- 383 -
(geen golfbreking!
""37Tiïr~'
(wel gol(brekinq)
^
d=im d = - 1 m = d i e p t e vooroever
10"7l
10
10
P(z<0)
d i k t e bi
-6
dikte
b l o k (m)
-5
°
waterstand
"rundown"
( = ongeveer schadepunt)
io-2i
IQ" 1 4-
NAP
8
-^.waterstand (m) resp.
"rundown' punt
Figuur 8.10.: invloed blokdikte en diepte vooroever
- 384 -
-92-
Rekenvoorbeeld 3
Bij dit rekenvoorbeeld wordt de taludhelling gevarieerd.
Een uitvoervoorbeeld voor één van de punten uit figuur 8.11. vindt u
hieronder.
BÈTA - 2.6729953
FAALKANS « 3.75&910ê4E-03
HHU
H-'L
Cl
SHS
Dl
X<I>
3
.0375
.1190
1E-03
D
.35
4
ALFA
.245
2' <I>
-1534.739
92313.131
-57896.118
-562.193
46738.041
-1081.432
-33517.838
.712
6E-03
. 025
.6
5E-03
PERC<I>
32. 14
7.74
32.63
3.08
1.36
e
.01
e
2.83
SKI)
HS= 3.5
KSI» 1.68
MS-'<C>ELTA.D.COS<A>>» 7.36
CORRECTIECOEFF. GOLFHOOGTE- 1
CORRECTIECOEFF. KLEMMING3.5
BENAOERIHG
DEF. BÈTA « 3.248r72-->6
FAALKAMS •= 5. 9713e>J34E-0
HHW
rt^L
Cl
SHS
Dl
D
ALFA
X< I >
3. 1531
.0291
. 1698
.3806
.3487
4
.2311
2' < I >
-2220.591
207733.154
-71132.202
-934.105
46657.562
-1430.153
-54318.619
HS» 3 .58
KS1 = 2.02
ELT«.D.COS<A> >- 7.56
CORPECTIECOEFF. GOLFHOOGTE- 1
CORRECTIECOEFF. KLEMMING3.5
Z - 4.24957275E-03
SKI)
.761
6E-G3
.025
.6
PERC<I)
34.7
18.86
38.39
3.81
5E-03
.66
0
.01
e
3.58
GAMMA
6AMMA
.775
1.42
380.642
.996
1.031
1.057
.386
1.02
1
1
1.023
.961
-93-
- 385 -
P(z<0)
3
-
2
-
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
diepte vooroever ( m )
figuur 8.11.: invloed,taludhelling en diepte vooroever
Rekenvoorbeeld 4
In dit voorbeeld wordt een ontwerpgrafiek berekend voor êén lokatie en
éên type bekleding, zie figuur 8.12., waarbij op voorhand geen uitspraak wordt gedaan over de te accepteren bezwijkkans.
De lokatie is weer Hoek van Holland, de correctiecoëfficiënt voor de
golfhoogte is 1 en voor de klemming 5.
De dijk ligt dus aan open zee, terwijl de zetting sterk is geklemd.
-
386
-
-94-
E
en
C
O
+^>
Figuur 8 . 1 2 . :
Ontwerpgrafiek
Irt
- 387 -
-95-
Rekenvoorbeeld 5
In dit rekenvoorbeeld wordt de sterkte van de bekleding als funktie van
het hoogteniveau ingevoerd.
Gekozen is voor een continue funktie die de dikte van de bekleding laat
variëren.
In de praktijk zal men echter de dikte of het gewicht van de blokken
sprongsgewijs variëren.
Vanwege het iteratieve rekenproces levert dit echter vaak problemen met
de convergentie op.
bi j_ c_onstante_d_ikte__van_de_bekled rng_
BET» •
HUW
H-'L
Cl
SHS
D
ALFA
X< I >
3
. O375
. 1 19ö
IE-03
. 35
2' t I )
-i'J. 6 4 . 7 3 9
923 13. 131
- 5 7 89-i . 113
-5:? 2 . 1
•iii'" 0 . 0 4 1
-ie S I . 432
- 3 3 5 1 7 .333
4
.245
SKI)
.711
6E-03
. 025
.6
5E-03
0
.01
PERC<I>
32. 14
7.74
52.63
3.03
1.38
0
2.83
SKI)
.761
6E-03
-O25
.6
5E-03
PERC<I>
34.7
13.86
33.39
3.81
.66
0
3.38
H3= 3 . 5
k S I « 1 . 6©
H-ö-'U'ELTM .D.COS»:A> > = 7. 3b
CORPECTIECCEFF. I50LFH0OGTE» 1
CORRECTIfeCOEFF. KLEMMING=
3.5
C>EF. BÈTA = 3 . 2*1Ö27296
BALKANS » 5.9713-ÏÖ34E-04
HHU
H^L
Cl
SUS
Dl
D
MLFA
X<.1>
3.1531
.0291
2 ' CI>
-2220. 591
2C7733 . 154
-711T.2 . 202
-934.1
46657. 5 6 2
-143e. 153
-54313 .619
. 1 *•?•?
. 3S»I'6
. 34:37
4
.2511
M?= 3 . 5 6
KS1= 2 . 6 2
H^.y <t>ELTA .C..C0-5' fV>>= 7.5>5.
COPRECTIECOSFF.
CORRECT1EC0EFF.
GuLFH0OGTE= 1
«-.LEMMING3.Ï
2 - 4.249-57275E-03
e
.01
GAMMA
GftMMAKAR
.775
1.42
386.642
.996
1
1.025
1.051
1.057
. 3a6
1.02
1
.961
- 388 -
-96-
In de volgende berekening is de dikte van de bekleding opgegeven als:
dikte = 0,25 + 0,0475.HHW - 0,005. HHW^
met
HHW
(8.21.)
= hoogwaterstand
Voor HHW = 3,1531, dat wil zeggen de waarde voor HHW in het ontwerppunt
voor een bekleding van constante dikte, wordt dan weer een dikte van
0,35 m gevonden. Formule 8.20 is grafisch in figuur 8.13. uitgezet.
dikte(m)
figuur 8.13.: blokdikte als funktie van de hoogte op het talud
Zoals was te voorzien is het punt met de grootste kans van bezwijken nu
lager op het talud gelegen: HHW = 2,5 5 m.
Wanneer het verloop volgens figuur 8.14 wordt aangehouden zal het punt
met de grootste bezwijkkans hoger op het talud komen te liggen: HHW =
3,44 m.
- 389 -
-97-
Uitvoer \>ij va^abele_dik^t_e_yan_de_bel<ledi_ng_
ME*=»M
•ETA - 3.Si 134936
FMALKANS - 1.3OO51632E-03
X(f>
HHW
H^L
Cl
SHS
PI
D
ALFA
3
.0375
.1196
IE-03
0
4
.245
z' ( i y
SKI>
-767.15:
92313.131
-57996. 118
-562.193
46729.516
-10S1.432
-334.58.846
6E-Ci3
.025
.6
5E-O3
0
.01 . •
.7ir
PERC-CI>
o. 99
10.26
7O.08
4. es
1.83
0
3.75
HS« 3 . 5
1.6S
KSI-
CORRECTIECOEFF. GOLFHOOÜTE= 1
CORRECT1EC0EFF. KLEMMING3.5
ADUANCED '
BENADERZ NG
DEF. BÈTA - 3.1493642
FAALKANS - 8.1819706E-04
HHW
H^L
Cl
SHS
01
0
ALFA
X( ï >
2.5513
.0273
. 1749
.4644
-1.5E-03
4
.2519
2' < 1 >
-1374.926
217473.343
-67917.399
-938.471
46645.355
-1433.595
-53269.577
SKI)
.55
6E-03
.025
.6
5E-03
0
.01
PERC<I>
9.78
29. 11
49.31
6.01
.93
0
4.85
GAMMA
.728
. 1.462
464.409
-150.861
1
1.028
GAMMA
.987
1.089
.471
.184
1
.964
HS= 3 . 2 8
K S I - 2 . 11
CORRECT IECC'EFF. G0LFH006TE- 1
CORRECTIECOEFF. KLEMMING= 3.!
-4.5ei34277E-04
De dikte van de bekleding is in dit geval gegeven als:
dikte = 0,315 + 0,03. HHW - 0,006.
.40-dikte(m)
.30 ±r
oud
(8.21.)
nieuw
.20- •
.10.-
figuur 8.14.: blokdikte als funktie van de hoogte op het talud
- 390 -
-98-
Uityoer_ bi j _ variabeJLe j i i k t ^ var^ _d_e_bBkleding_
'ME«N
UAL.UE p
BENADERING
•ETA - 2.34378637
FAMJCANS • 5.4841541E-O3
HHW
H'L
Cl
SHS
Dl
D
ALFA
X<I>
3
.8375
.1196
1E-03
e
4
.245
Z'<I>
-1865.288
92313.131
-57896.118
-582.193
46730.041
-1881.432
-33529.663
SKI)
.712
6E-03
.025
.6
5E-83
PERC<I)
39.62
e
.01
e
6. es
47.ei
2.74
1.22
2.52
HS= 3 .5
KSI = 1.66
CORRECTIECOEFF. GOLFHQOGTE» 1
CORRECTIECOEFF. KLENMING" 3.5
ftDUANCED'
BENftOERIt-IG
DEF. BÈTA • 3.218*9939
IE-04
FAALKANS
WHI..I
K'L
Cl
SHS
Dl
D
ALFA
XCI>
3.4439
.6365
.1646
.3224
-1.2E-63
4
.2563
T'<I>
-2626.949
193688.531
-71547.652
-836.955
46664.429
-1378.652
-53284.346
S3<I>
.657
6E-83
.825
.6
5E-03
PEPC<I>
49.52
13. 13
31.29
2.77
.53
e
e
2.77
.01
GAMMA
.613
1.376
322.409
-116.43
1
1.822
GAHMACAP
• l.183
1.025
.327
.142
1
.958
HS-= 3. 72
KSI= 1.96
CORRECTIECOEFF. GOLFHOOSTE' 1
CORRECT IECOEFF. KLEI1MING- 3 . 5
2 - 1.1-2O7O313E-04
Rekenvoorbeeld 6
Bij dit rekenvoorbeeld wordt ervan uitgegaan dat op elk niveau van het
talud een zelfde maximale kans op bezwijken aanwezig dient te zijn, zie
ook paragraaf 8.6.
De kans van bezwijken bedraagt 10~ 5 (P (Z < 0) » 10" 5 ).
De bekleding heeft op elk niveau dezelfde sterkte.
In de figuren 8.15. en 8.16. zijn de resultaten weergegeven, waarbij de
correctiecoëfficiënten voor golfhoogte en klemming, respectievelijk 1 5 en 2 - 2 zijn. Door een stippellijn is aangegeven hoe de grafiek moet
worden afgelezen. Duidelijk komt in figuur 8.16. de invloed van het
mildere golfklimaat tot uiting in de wijze van golfbreking.
VEILIGHEIDSNIVEAU
P(Z<0)«10~
correctiecoeff. golfhoogte = 1
„
5
k
WATERSTAND
klemming = 5
3
^-DIEPTE VOOROEVER(m)
en
"RUN-D0WN"(m)
figuur 8.15: Ontwerpgrafiek
•—1:3
vO
ro
VEILIGHEIDSNIVEAU
P(Z<0)=10
correclieco»tt. golfhoogle - 2
kl*mming = 2
o
o
WATERSTAND
en
"RUN-DOWN" (m)
-^.DIEPTE VOOROEVER (m)
figuur 8.16: Ontwerpgrafiek
- 393 -
8.6.
. —101—
Veiligheidsniveau
Teneinde de zwaarte van de bekleding op een probabilistische wijze te
kunnen berekenen dient de te accepteren bezwijkkans vastgesteld te
zijn.
Tussen de dagelijkse praktijk van de dijkbouw en de in het Deltarapport
neergelegde ontwerpfilosofie bestaat wat de bekledingen betreft een
discrepantie.
De praktijk ontwerpt veelal vanuit de ervaring, dat wil zeggen onder
gebruiksomstandi gheden.
Het Deltarapport gaat daarentegen uit van een ontwerpstorm.
Tussen beide methoden gaapt een vrij brede kloof.
Op lagere niveaus worden in de praktijk zo af en toe schadegevallen
aangetroffen, zeg een kans van bezwijken in de grootte-orde van 10
.
Laat men deze vrij grote bezwijkkans voor het gehele talud gelden dan
zou dit inhouden dat de bekleding aanzienlijk minder ver naar boven
doorgetrokken zou behoeven te worden dan thans gebruikelijk is.
Immers de voorwaardelijke kans van optreden van een watertand op de
hogere niveaus is kleiner dan 10~ 2 .
De Deltacommissie geeft echter voor de berekening van de kruinhoogte
een ontwerpwaterstand met een overschrijdingskans van 10
•
Bij deze waterstand moet de dijk nog volledig als waterkering blijven
funktioneren.
Tussen het oplichten van een blok op dit hoge niveau en het bezwijken
van de dijk zit nog het mechanisme van voortschrijdende ontgronding van
de fundering van de bekleding en de rest van het dijklichaam.
Het is niet bekend welke veiligheid dit extra geeft.
Uitgangspunt zal echter moeten zijn dat de bekleding bij een waterstand
met een overschrijdingskans van 10" 4 toch een zekere reserve aan sterkte dient te bezitten, dat wil zeggen P (Z < 0 | h) < 1.
De geaccepteerde bezwijkkans bij het peil van de superstorm volgens het
Deltarapport komt dan in de grootte-orde van ^0~t* a 10~ 5 te liggen.
- 394 -
-102-
In figuur 8.17. is als illustratie het verloop van de waterstand gegeven van twee stormen (I en II), afgezien is van faseverschuivingen
tussen getij en windopzet.
I NHW
P(HHW,I)=10''
HHHW»IJ)«*10
figuur 8.17.: waterstanden en golfaanval
Storm II duurt langer, bereikt een hoger waterpeil en geeft in zijn
maximum grotere golven dan storm I.
Aangenomen wordt dat tot piek 1 de twee stormen volkomen identiek zijn.
Storm I heeft natuurlijk een grotere kans van voorkomen dan storm II.
Omdat storm I na piek 1 in kracht afneemt en bij deze lage waterstand
de dijk wegens de grote breedte een grote restveiligheid bezit, kan
wellicht een vrij grote bezwijkkans worden geaccepteerd met het oog op
mogelijke reparatie in het kader van het onderhoud van de waterkering.
Deze redenering volgend komt men voor de hogere niveaus op het talud
tot lagere te accepteren bezwijkkansen.
Deze redenering is echter niet juist.
Bij het optreden van storm II heeft men niet de tijd de schade bij piek
1 te herstellen. Het gevolg is dat deze storm de taludbekleding als het
ware van onderen oprolt, waardoor het gevaar bestaat dat door snelle
ontgronding de bekleding hoger op het talud wordt ondermijnd.
Dit kan niet worden geaccepteerd.
- 395 -
-103-
De dan ontstane situatie is te vergelijken met de stevig geconstrueerde
bovenste verdiepingen van een gebouw rustende op zeer onveilige kolommen. De op lager niveau optredende schade zal tot gevolg hebben dat ook
op hogere niveaus schade zal optreden, hoe veilig deze delen ook zijn
geconstrueerd. De ketting is zo sterk als zijn zwakste schakel.
Geconcludeerd moet daarom worden dat op elk hoogteniveau dezelfde bezwijkkans in de grootte-orde van 10"4* a 10~ 5 aangehouden moet worden.
De consequentie is wel dat in Nederland zelden of nooit schaden aan
bekledingen mogen worden geconstateerd, hetgeen echter in tegenspraak
is met de ervaringen in de praktijk.
- 396
-
-104-
Literatuur
1. Rapport Deltacommissie
Beschouwingen over stormvloeden en getijbeweging
Deel 4
2. Bruinsma, J., Graaff van de, J.
Golfhoogte - waterstandrelatie ter plaatse van de N.A.P. - 20 m
lijn nabij Hoek van Holland ten behoeve van de leidraad Duinafslag
3. Vrijling, J.K.
Een oriënterend onderzoek naar de richtlijnen voor het ontwerp van
zeeweringen van de Deltacommissie, januari 1983
Afdeling der Civiele Techniek
Vakgroep Waterbouwkunde
Technische Hogeschool Delft
4. Hydraulics Research Station
The stability of revetment blocks under wave attack
Report IT 195, Wallingford, England 1980
5. Aalst, J. van
Golfhoogte - waterstandrelatie ter plaatse van de N.A.P. - 20 m
lijn langs de Nederlandse kust
Deltadienst, maart 1983
6. Vrouwenvelder, A.C.W.M., Vrijling, J.K.
Collegedictaat b3 probabilistisch ontwerpen
Afdeling der Civiele Techniek
Technische Hogeschool Delft
7. CÜR - VB rapport 109
Veiligheid van bouwconstructies, een probabilistische benadering
- 397 -
Literatuur
-105-
(vervolg)
8. Rapport Deltacommissie
Beschouwingen omtrent windeffecten en waterhoogten langs de
Nederlandse kust
Deel 2
9. Boer, K. den
Taludbekledingen van gezette steen, fase 0
Hydraulische aspecten, verslag literatuurstudie, 1982
M 1795, deel II WL, CO-255780/43 LGM
Waterloopkundig Laboratorium
Laboratorium voor Grondmechanica
- 398 -
-106-
APPSKDIX 8,1
10
REM
PROBAB-ADUANCED 2E MOMENT METHOD+ APPR. FULL DIS
TRÏBUTION
13 QW ~ „ 3989-1228:: E:0 - . 2316-4 1.9: BI. - .31 938153: B2 =
- .356
5637S=B3 = 1.781477937:B4 =
- 1.821255978:B5 = 1.3362
74429
16 C@ = 2.515517:C1 = .802853:C2 = .01©328:D1 = 1.432788:D2
= .189269:03 = .801368
19 E = .6001
22
DEF
FM PO-O = QW * EXP /•. - .5 * X " 2>
25
READ N
28
D I M X •• N ."> > X 1 •:: N .:•, A C N > , M •; N > , S < H > , A U •:.' N > , A $ < N >
31
F O R I = 1 T O N : R E A D A * < I > , M •: I > , S •:: I > r A U •:." 1 > = X < I > = M •:." I > :
hJEXÏ
34
GOSUB 600ÖÖ
37 Ml = Z
40 Q =:• 0
43
PRÏHT : PRINT
46
REM
CORRECTIE
U. MU EN SI
110' FOR 1 = 1 TO H
120
IF AU<I> = O THEH 176
125
PRINT "X'::"I">= "X-i::'
13 0
O H I G O '3 U B 3 81 0 0 ? 3 0 2 O 0 7 3 O 3 O O ? 3 0 4 0 8 ? 3 O 5 0 0 ? 3 8 6 O 0 ? 3 O 7 8 8 ? 3
8886
135
PRINT "PF= "FF" PD= "PD
140
G O S IJ B 2 8 0 8 8
143
PRINT "Bl="ïBÏ
144
P R I N T ":+..•+:*+" .
145
P R I N T "M•; " I " > = "M•• I ;< "
S<" I " > = "S< I >
158 S<:i> = FN P-::BI> •- PD
160 M<i::- = X<i::- - BI * S<I>
165
PRINT "M<"I "::•= "M'::i>"
SC " I " > = "SC I > "
NA AANPASSING"
178
NEXT
288
REN
BEREKENING AFGELEIDEN Z K I )
218
GOSUB 68888:Zl = Z
228
FOR 1 = 1 TO H
238 A = X<i::'
258
IF S-:I> = 8 THEH DX = E: GOTO 278
268
DX
278
288
290
3O0
310
320
330
348
358
368
378
388
398
392
394
396
438
X •::]:> = A + DX
GOSUB 68000:Z2 = Z
X>:.I> = A
Z1 •:: I > = < Z 2 - Z1 > ••••• D X
NEXT
S1 = 8:S2 = O
FOR I = 1 TO N
SI = SI + Zi.::i:> * '::M<Ï> - X'::i>>
A<i:> = Z K I ; ' * S-::i>
S 2 = S 2 + A >:! I > •"• 2
HEXT
SZ = SQR *:!S2>
B = <Z1 + Sl> •• S Z
FOR 1 = 1 TO N
A<I> = A<I> •••• S Z
NEXT
IF Q <
> 8 THEN 5 8 8
435
437
438
439
<= E
+ SKÏ':>
REM EERSTE BÈTA - GEM. WAARDE
INPUT "WILT U DE PRINTER INSCHAKELEN (J/H>?"!P*
IF P* = ",T" THEN PR£ 1
PRINT : PRINT : PRINT CHR* >•. 14 >" ' MEAN UALUE' BENADERI
. NG": PRINT
440 B = Ml ••• SZ: PRINT "BÈTA = "?B:X = B: GOSUB ÏOOOO: PRINT
"FAALKANS = "?P: PRINT
- 399 -
-107-
450 QOSUB 2000
460 Q = l: PR£ 9
500 REN
BEREKFN1NG >:<:.T.>
510 F = 0
52Ö FOR I = 1 TÓ H
530 A = X •:: I >
546 X C I > = M < I > - A < I > * B * S < I >
550 F = F + cc* - X<I>> <•' X<I>> •"• 2
560 NEXT.
700 GOSUB 60090: PRINT "2 = • "?Z
71©
IF ABS <:Z> > E THEN 200
760 F = BQ - B:.BQ. = B
788- PRINT : PRINT "BÈTA = " : B
785 PRINT "FOUTp "F: PRINT
796
IF ABS >::F> > E THEN 46
800
IF P* = "J" THEN PR£ 1: PRINT -" PRINT
SÖ2 PRI NT
CHR* < 14 > " ' ADUANCED 7 BENADER ING " : PRI NT
894 TT = 1
'
805 PRINT "DEF.' BÈTA = "SE-X = B
810 GÜSUB 100Ö0: PRINT "FAALKANS = ";P
820 PRINT : PRINT-: GOSUB 2000
825 GOSUB 600Ö0: PRINT : PRINT : PRINT M Z = ";Z
826. PRINT "TEL-Z •= " ; TZ
830 END
2O00 PRINT "
Xt:i>
Z'<I>
SICI>
PERC-::
I ::• " ?
2005
IF TT = 1 THEN PRINT "
GAMMA
GAMMAKAR.";
2006 PRI NT
2010 FOR I = 1 TO N:PERC = A'-I> • 2
2020 PRINT A*-::i> TAB-; 1O> INT (.';«.!':> •*• 10000 + . 5> ••' 1000
2©"> INT <Zl>::i::" * 1000 + . 5> - 1000 TAEK 33> INT <.§<!'> *
1000 •+• . 5> ..•- 1O00 TAB< 42> INT <!PERC :+: 10000 •+• . 5> -•• 1
00;
2R22
IF TT = 1 AND I < > 1 THEN
PRINT
TABC 13> INT <::•«. l
> ••• M'.I> * 1080 + . 5;J ..-• 1000;
2Ö24
IF TT = 1 AND •: I = 2 DR I = 5> THEN
PRINT TAB< 23> INT
•'•. ';< '•'. I >
>026
2027 PRINT
2028 KSI =
2630 PRINT
"KSI=
2035
•• '.' f'1 ••. I :> —
1. 64
I F T T = 1 A N D •• 1 = 3 O R I
PRINT
T A B ' : 2 3 > I N T CXCi::0 0 + . 5 > •• 1 0 0 0 ;
: :
+ S >'•'. I :< >
+
10O0
+
. 5>
-••' 1 0 0 0 "
= 4 O R 1 = 6 O R 1 = 7 :• T H E H
••- <M<•. I > + 1 . 6 4 * S « : : i > :• * 1 ©
: NEXT
TAN >::Xt:7::-> - SQR <ST>:RD = .3 * KSI * HS
: PRINT "HS= " INT -::HS •* 100 + . 5> •- 100: PRINT
" INT •:: TAN <:<V.7:>> •••SQR <:ST> * 100 + -5> s 100
PRINT "HS.-'::DEL.TA.D.COS'::A::'::'= " INT >::HS ••- < 1.4 * X<5> *
COS (ft (7)) > * 100 + .5> •••• 100
2036 PRINT "RUN-DÜI...IN= " INT -:RD * 100 + . 5> •- 100: PRINT
2037 PRINT "CORRECTIECOEFF. GOLFHOOGTE= "CC: PRINT "CORREC
TIECOEFF. KLÉMMING=
"C
204O
RETURN
10000 REM
P= GAUSS-::X:>
1«010 T = 1 .-- tl + B0 •+ X>
10O20 P = FN P<:X> * CB1 + T + B2 * T •' 2 +• B3 * T •'- 3 + B4
* T •-• 4 + B5 * T •-• 5>
10030
RETURN
20000 REN
BI = INUERSE GAUSS-::PF>
20010 GA = 0
20015
IF PF > .5 THEN PF = 1 - PF:GA = 1
20O20 T - SQR < LOG < 1 ••-• PF ••"• 2 > >
20O30 T2 = T * T:T3 = T2 * T
2004© BI = T - O::0 + Cl * T + C2 * T2> -•- •: 1 + Dl * T + D2 *
T2 + D3 + T3>
-400 -
200'b-':i
J.F bh: -• j T H E N
28060
39180
RETURN
REM UERDELIHG MAN X<1>
E-I -
-108-
-• B i
381 16 TG = .33:XN = <X'::i> - 1 . 98 > •••- TG
38115 PR =
EXP •: - XN>:PU =
EXP < - PR>
38128 PF = 1 - PU sPD = PU * PR -•" TG
38130
RETURN
58800
DATA 7
56010
DATA "HHW",3..81,1
5 8 8 2 0 D A T A " H • L " :. . 8 3 7 5 7 .. 8 8 6 , O
59930
DATA "Cl " :• . 1 19b; . £i25, 8
58840
DATA " S H S " , 1 E - 3 , . 6 , 8
58858
[:'ATA " Dl " :. . 3 5 , . 885 : . 8
5Ü060 D A T A " D " , 4 , 8 :• 0
58078
DATA " A L F A " , . 2 4 5 , „ 0 1 , 0
68880
REN GÜLFHGOGTE,WATERSTANDS-RELAT1E
68802
IF X•:: 1 > > = 2 . 5 THEN H S =
- .0588 * KC1> •*• XC1> +
1.2173 * ï<ï.l> + 2.823 + X<4>
6 0 0 8 3 ST = X<2>
68004
REM B E N E D E N GREHSPEIL
68885
IF X-:i> < 2.5 THEN H S =
- .2 + X-::i> * X-:i>+ 2.3 *
X •:: 1 > + 1 + X < 4 >
68806
REN REDUCTIE GOLFHÜÜGTE
ۥ0007 CC = 1
68808 HS - HS .-- CC
6O809
IF. HS < 8 THEN HS = 8
68818 HB = . 5 * -::X>::i> + X<6;• >-" IF HS > HB THEH ST = ST * HB
••••• HS=HS = HB
68815
IF ST < 0 THEN ST = .0881
68817 S K =
T A H >..';<< 7':>> •••SQR (ST)
68018
REM C O R R E C T I E INKLENMIHG
€•891 9 C z- ï« 5
6 0 0 2 8 R = '"13762 :+: X'"5> :+: C O S •:.' X •'•'. 7 > > > :+: C
68039 S = 9838 :+: HS + '.;X<3> * SK + » 1194>
68040 21 = R — S
68950 T2 - TZ + 1 : F: E TURN
- 401 -
-109-
BENADERING
UALJJE
BÈTA .- 2.67234839
FAALKANS = 3.76616549E-03
'. I '.'•'
HHW
HL
Ci
SHS
DI
-1584. 9 0 5
92328. 3 8 9
- 5 7 11981 . 001
;
- 5 c 2 3 :l 4
46745.,
- i e :i81 .,5 4 3
— 3 •'5519 . 745
.. 0375
. 1 196
IE-03
4
ALFA
245
SKI >
.712
6 E-03
. 025
-6
5E-83
0
. 01
PERC<i::
32. 14
7.74
3. 08
1 . 38
8
"'•'. S"?.
HS= 3 . 5
KSI= 1 . 6 8
H S ••• •• D E L T A . D . C O S ••. H > > = : 7 . 3 6
RUH-DOI.,JH-
1 . 77
CORRECTIECOEFF.
CORRECT IECOEFF.
GOLFHOOGTE= 1
KLEMMÏNG-3
-I
EE
> EE: F Ï
DEF.
BÈTA = 3 . 2 3 9 7 8 9 2 4
FAAL K AI ••) S = 5 . 9 81 5 2 4 2 9 E - 8 4
HHI...I
H.--L
Cl
SHS
Dl
D
ALFA
x >.• i >
3. 1 5 9 7
. 029 1
. 16 9 7
a 0 ' l" 9 7
. 3 4 e* r
4
. 25 i 1
'Z.r •'. I '.'•'
- 2 2 1 9 . 1 .-"8
2074 i 1 . 4 4 8
- 7 1 1 1 6 « b3y
—933.7 11
46646 . 118
-1429. 52
- 5 4 3 1 3 . >-•£•
HS= 3.58
KSI= 2.82
H S • - < D E L T A. D. C O S •; A':>.:• = 7 . 5 7
RUN-DOWN-- 2. 17
CORRECTIECOEFF. GOLFHOOGTE= 1
CORRECTIECOEFF. KLEMMING^
3
Z =: 2. 28881836-E—05
TEL-2 = 132
SKI >
. 76-7
6E-03
« 025
PERC '• 1 .:•
35.82
18.73
3;-; '"-' ^
n 6
5E-03
0
u 81
. 66
8
3. 57
GAMMA
bAlil'IAKAh
. 776
1.419
379.721
. 996
1
1 . 825
1 . 052
.057
. 386
1 . 02
1
m9 6 1
- /r02 -
,
— 110—
APPENDIX 8.2.
Gedeeltelijke handberekening van rekenvoorbeeld 1
Het model
De volgende basisvariabelen worden onderscheiden:
X
= de waterstand ten opzichte van N.A.P.
X
= de golfsteilheid
X
= de sterktecoefficiënt (C
X
= de variatie in de golfhoogte
X
= de dikte van de blokken
X
X
6
uit formule 8.19.)
= de diepte van de vooroever
= de hellinghoek van het talud.
Opmerking: In dit rekenvoorbeeld vindt geen golfbreking plaats, waardoor X verder niet in de berekening voorkomt,
o
Verder worden nog coëfficiënten toegepast, teneinde respectievelijk het
golfklimaat en de klemming tussen de blokken in te kunnen stellen:
CC = coëfficiënt voor verandering van de golfhoogte
(Hg = H g /CC)
C = coëfficiënt voor verandering van de klemming (zie ook
formule 8.19. )
- 403 -
—111—
De b e t r o u w b a a r h e i d s f u n k t i e Z i s overeenkomstig.formule ( 8 . 2 0 . )
volgt
als
geformuleerd:
Z = C (p, - p ) g X cos X - p
W
D
«3
'
g H
W
S
(X
£ + 0,1194)(App. 1)
O
Volgens formule (8.7.) geldt een direkte relatie tussen golfhoogte en
waterstand:
H* = (- 0,0588 X.2 + 1,2173 X. + 2,823 + X.) /CC
(App. 2)
De variabele X. heeft een afwijkend karakter ten opzichte van de overi4
ge basisvariabelen, het representeert alleen het onafhankelijke deel
van de golfhoogte.
Verder geldt:
C = tan X_//JP
(App. 3)
Vergelijking (App. 2) en (App. 3) in (App. 1) gesubstitueerd en voor CC
= 2,5, C = 1,75, p
= 2400 kg/m3 en p
Z = 24083,5 X
+ XJ
4
b.
(X
3
= 1000 kg/m3 geeft:
cos X ? - 3932 (- 0,0588 X * + 1,2173 X 1 + 2,823 +
tan X,//ÜT + 0,1194)
7
2
(App. 4)
De methode
Hierna vindt u een globaal stroomschema van het rekenproces.
In blok no. 1 van het stroomschema wordt aangegeven dat niet normaal
verdeelde basisvariabelen (in dit geval alleen de hoogwaterstand X ) zo
goed mogelijk benaderd moeten worden door een normale verdeling, dit
gebeurt als volgt:
_ 404 -
START
Bereken vervangende
verdelingen :
/ x L en Cx.
stel voor alle
bereken :
bereken voor alie i
bereken voor alle i
bereken :
bereken :
ja
bereken voor alle i :
i
bereken
Cz
bereken
Stroomschema rekenproces
-112-
- 405 -
-113-
1. Bepaal de overschrijdingskans van de ontwerpwaarde X. van de
basisvariabele: P = F
(X.)
(App. 5)
2. Met behulp van de inverse normale verdeling stelt men vast
hoeveel malen de standaardafwijking het gemiddelde y
van de
i
benaderde normale verdeling van de ontwerpwaarde verwijderd
X
moet zijn:
P' = F ~
(P)
(App. 6)
3. Uit een vergelijking van de kansdichtheden (richtingen) volgt
de standaardafwijking:
f
<&' )
~
f
(X
E i >
N
X
° iN
{App
*
7)
waarbij f (3') een eenheidsnormaIe verdeling bezit, dat wil
zeggen gemiddelde 0 en standaardafwijking 1.
4. De waarde van het gemiddelde van de benaderde verdeling ligt
nu vast volgens:
\
- X / " 3' ° Xi*
Een eerste benadering voor de nog onbekende gelineariseerde bezwijkgrens is:
Z - Z (X*
X* ) +
E
i1
6z
*
waarin Ttr~ wordt berekend in X. .
(Xi - X i ) ^|- = 0
i
(App. 9)
- 406 -
Het
gemiddelde van
Z is
-114-
nu:
- z <x/
x
7*>
+
z
(lJ
i1
en
xi - x i* } i r
(App
*
i
( f f " ) 2 OX±2}
ï
=1
(App. 11)
i
Deze laatste betrekking wordt nu uitgedrukt in een lineaire funktie van
de standaardafwijkingen:
7
°z =
E
a
i 6lTaXi
i1
waarin:
(APP
'
i
H
**
Nu wetend dat het punt X
Z = Z (X^
op de bezwijkgrens ligt, geldt:
X ? *) = 0
(App. 14)
Nu volgt:
*
u
z
£
&7
f ( » x i - x i > w;
5z
^'
.^ a i 63T. o x i
a=1
a
i- . B
(App. 15)
_ 407 -
-115-
De oplossing van deze vergelijking geeft een nieuwe schatting voor X
dat gewoonlijk het ontwerppunt wordt genoemd:
XjL
= \i *i - o^B öX i
(App. 16)
De waarden van de potentiële afgeleiden werden echter in het oude punt
bepaald.
Een herhaling van de procedure is daarom noodzakelijk totdat een sta**
biele waarde voor het ontwerppunt X
is gevonden.
Maar in dit nieuw gevonden punt zal de betrouwbaarheidsfunktie niet
langer gelijk aan nul zijn.
Dit betekent dat het nieuwe punt niet op de bezwijkgrens Z = 0 ligt,
zoals werd aangenomen.
Deze afwijking wordt gecorrigeerd door de waarde aan te passen volgens:
7
**
Z (X ) + E
6
"S-
(ux
X
*
T^~
6z
) jr
k
De gehele procedure moet worden herhaald voor deze nieuwe waarde van
De correcte oplossing wordt dus door middel van een iteratieprocedure
gevonden, zie ook het stroomschema.
c.
De handberekening
Allereerst dient de niet-normale verdeling van de hoogwaterstand door
een normale verdeling benaderd te worden.
De hoogwaterstand heeft bij dit rekenvoorbeeld een Gumbel-verdeling:
(X, - 1,98)
= 1 - e" 6
°' 3 3
(App. 18)
- 408 -
-116-
1. In de eerste benadering van het ontwerppunt X
= 2,7 geldt:
P (X„ > 2,7) = 0,1067
2. Met behulp van de inverse normale verdeling (opzoeken in tabel 3)
volgt:
B' = 1,24
3
* fN
(gI)
=
7~2ÏÏ 6 "
*
f (x
i>
E
e
3
'
=
°'1839
( 2 , 7 - 1,98)
- öbi "
°XiN =
°'
33
e-
e
(2,7 -
'
°'
1,98)
33
- °' 3 0 5 4
ï~" = °' 602
f
4. v
V 2
E
(X
i >
= 2,7 - 1,24 . 0,602 = 1,9509
1
Voor de verdere berekening moeten de partiële afgeleiden nog worden
bepaald:
= - 3932 (- 0,1176 X
*
+ 1,2173)(X tanX,//x7 + 0,1194)
i
T T ~ = 1966 X
tanX
3
/
2
X ~3/2(-0,0588 X.2 + 1,2171 X
+ 2,823 + X )
- = - 3932 (-0,0599 X ^ + 1.2173 X 1 + 2,823 + X4)(tan
- 3932 (X3 tanX?//x^ + 0,1194)
4
- 409 -
6z
-117-
= 24083,5 cosX.
ÓZ
2
g^- = - 24083,5 X 5 sin X ? - 3932(- 0,0599 X 1 +• 1,2173
X
+ 2,823 + X ) (
4
3
2
)
cos X 7 /ÏÏJ
In het computerprogramma worden deze afgeleiden op een numerieke wijze
berekend.
De verdere berekening zal in tabelvorm worden uitgevoerd.
Met behulp van formule (App. 4) en de waarden van tabel 1 vinden we:
Z (X. ) = 2838,13
De mean-value benadering geeft dan:
Z(X.*)
2,82
Met behulp van de tabel voor de normale verdeling geeft dit een faalkans van 2,4 10~ 3 (vergelijk met computeruitvoer rekenvoorbeeld 1).
Hierna wordt met behulp van formule (App. 16) een nieuw ontwerppunt
berekend. De resultaten staan in de eerste kolom van tabel 2 vermeld.
*
Gevonden wordt nu Z (X. ) = 331,76.
Bij deze iteratiestap wordt met behulp van formule (App. 17) gevonden:
3 = 3,05.
_ 410 -
-H8-
Hierna wordt met behulp van formule (App. 16) weer een nieuw ontwerp*
punt bepaald. Al verder itererend gaat Z(X. ) naar nul.
Is dit ongeveer het geval dan wordt de niet-normale verdeling van de
waterstanden opnieuw met een normale verdeling benaderd etc.
Het iteratieproces wordt zover doorgevoerd totdat stabiele eindwaarden
worden bereikt, zie het stroomschema.
Eenmaal geprogrammeerd is dit een eenvoudige taak voor het rekentuig.
basis-
X
i'
uxt
ff
ox.
variabele
<i> 2
i
i
517,39
2,6769 1 0 5
220,78
4,8745 10"
576,88
3,3279 1 0 5
955 , 1 8
- 573,11
3,2845 1 0 5
23615 , 7 9
118,08
1,3942 10"
160,04
2,5612 10"
1 = HHW
2 ,7
1,9509
0,602
X
2 = H/L
0 ,0375
0,0375
0,006
36797 , 0 9
X
3
= C
0 ,1196
0,1196
0,025
-23075 , 1 0
-
-
1
X
4 = SHS
0 ,001
0,001
0,6
X
5 = Dl
0 ,35
0,35
0,005
X
7
0 ,1974
0,1974
0,01
= ALFA
-
859 , 4 5
-
X
-16003 , 7 0
-
1,0172 1 0 6
Tabel 1
0,5130
643,814
0,2189
0
-
0,5720
0
-
0,5682
0
0,1171
0
0,1587
0
-
-
ï. =
643,814
basis-
X
ax.
i*
variabele
ÓZ
Sxi
6Z
SxT
öX
i
C
i
a
i)2
i
6Z_
=
1x7
1 = HHW
2,82
1,9509
0,602
- 1035,29
- 623,24
3,8843 10 5
- 0 ,4806
2 = HA-
0,0338
0,0375
0,006
69826 ,36
418 ,96
1,7553 10 5
0 ,3231
258,36
= C1
0,1598
0,1196
0,025
-29538 ,56
- 738,46
5,4533 10 5
- 0 ,5695
1187,45
X
4 = SHS
0,9603
0,001
0,6
- 1168 ,94
- 701 ,36
4,919
10 5
- 0 ,5409
1121,36
X
5 = Dl
0,3384
0,35
0,005
23594 ,44
117 ,97
1,3917 10-
0,0909
37,75
X
7 = ALFA
0,2019
0,1974
0,01
-25712 ,57
- 257 ,13
6.6114 10"
- 0 ,1983
114,94
Z = oz2
1,6812 10 6
X
X
x3
Z=
899,774
3619,63
N3
O
Tabel 2
-
413
-121-
-
TABEL VOOR DE NORMALE VERDELING
— fi kans
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
e,75
o,8O
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1.25
l,30~
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1.75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
5,00x10"'
A ,80x10"'
A ,60x10"'
4,40x10"'
A .20x10"'
A ,00x10"'
2 .80x10'
2 ,60x10"'
3 ,40 x 10"'
2 .25x10"'
: ,10x10"'
2,90x10"'
:.,70x10"'
:!,55xlO-'
;!,40xl0-'
:! , 2 5 x l O '
:!,10x 10~'
,95x10"'
,80x10"'
,70x10'
,60x10"'
,50x10-'
,40x10-'
.30x10"'
1,20x10-'
1,10x10"'
,00 x 10"'
9,05 xlO" 2
J5,10 xlO" 2
'7,40 xlO" 2
<5,70 xlO" 2
(5,10 xlO" 2
.5,50 xlO" 2
' t,95xlO" 2
' »,50x 10"2
' 1,05 x 10"2
.5,60 x IO-2
:5,25 xlO" 2
:2,90 xlO" 2
;2,60 xlO" 2
.2,30 xlO" 2
.2,05 xlO" 2
,8OxlO"2
1,60 x l O ' 2
,40xl0" 2
,25xlO" 2
,10xl0" 2
<),6OxlO"3
f i,2OxlO"3
•7,20 x IO"3
(i,20 x l O ' 3
Tabel 3
-0
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3.00
3,05
3,10
3,15
3,20
3,25
3,30
3,35
3,40
- 3,45
3,50
3,55
3,60
3,65
3,70
3,75
3,80
3,85
3,90
3,95
4,00
4,05
4,10
4,15
4,20
4,25
4,30
4,35
4,40
4,45
4,50
4,55
4.60
4,65
4,70
4,75
4,80
4,85
4,90
4,95
5,00
kans
-0
3
5,45 x 10"
5,05
4,70 x 10"3
5,10
4,10 x ÏO"3
5,15
3,50 x 10"3
5,20
3,05 x io- 3
5,25
2,60 x io- 3
5,30
2,25 x io- 3
5,35
1,90 x ÏO"3
5,40
1,60 x 10"3
5,45
1,30 x 10" 3
. 5,50
1,14 x 10"3
5,55
9,70 x io—
5,60
8,20 x i o 5,65
6,70 x i o 5,70
5,75 x io—
5,75
4,80 x i o 5,80
4,05 x i o 5,85
3,30 x i o 5,90
2,80 x i o 5,95
2,30 x i o 6,00
1,95 x i o . 6,05
1,60-x io—
6,10
1,35 x io—
6,15
l,10x io—
6,20
9,10 x io- 5
6,25
7,20 x 10"5
6,30
6,00 x 10"5
6,35
4,80 x 10"5
6,40
4,00 x IO"5
6,45
3,20 x io- 5
6,50
2,65 x 10" 5
6,55
2,10x 10" 5
6,60
1,70 x ÏO"5
6,65
1,30 x io- 5
6,70
1,05 x 10"5
6,75
7,93 x IO"6
6,80
6,38 x 10"'
6,85
4,83 x 10"6
6,90
4,1 l x 10" 6
6.95
3,40 x ÏO"6
7,00
2,74 x 10' 6
7,05
2,09 x 10" 6
7,10
1,70 x 10" 6
7,15
1,31 x io- 6
7,20
1,04 x 10"6
7,25
7,75 x 10"7 .
7,30
6,26 x io- 7
7,35
4.77 x io- 7
7,40
3,83 x io- 7
7,4-5
2,90 x io- 7
7,50
kans
-0
7
2,30 x l O "
1,70 x l O ' 7
1,35x10-'
1,00 x l O ' 7
7,90 x KT8
5,80 xlO" 8
4,55 xlO" 8
3,30 xlO" 8
2,60 xlO" 8
1.90 xlO" 8
1,50x10"
1,10 xlO" 8
8,50x10-'
6,00x10"'
4,65x10"'
3,30x10"'
2,55 x 10-'
1,80x10''
1,38 xlO" 9
1,02 xlO" 9
7,45 x 10"'°
5.45 xlO" 10
3,98x10"'°
2,90x10-'°
2,11x10'°
1,53x10-'°
1,11x10-'°
7,97 x i O ' "
5,74x10"
4,12 xlO" 11
2,95x10-"
2,11x10"
1,50x10""
1,07x10""
7,57 xlO"' 2
5,35 xlO-' 2
3,78 xlO" 12
2,66 x 10"'2
1,87 xlO" 12
1,31 xlO" 12
9,14x10-"
6,37 xlO" 13
4,43 xlO-' 3
3,08 xlO" 13
2.13 xlO" 13
1,47 xlO" 13
1,01 xlO" 13
6,95 xlO" 14
4,76 xlO" 14
3,25 xlO"' 4
7,55
7,60
7,65
7,70
7,75
7,80
7,85
7,90
7,95
8.00
8,05
8,10
8,15
8,20
8,25
8,30
8,35
8,40
8,45
8,50
8,55
8,60
8,65
8,70
8,75
8,80
8,85
8,90
8,95
9,00
9,05
9,10
9,15
9,20
9,25
9,30
9,35
9,40
9,45
9,50
9,55
9,60
9,65
9,70
9,75
9,80
9,85
9,90
9,95
10,00
kans
2,22 x
1,51 x
1,02 x
6,93 x
4,68 x
3,15 x
2,12 x
1,42 x
9,49 x
6,33 x
4,21 x
2,80 x
io-"
ÏO' 14
IO14
10IS
io-' 5
io-' 5
10ts
io-' 5
10' 6
10""
10"
10"'*
l,»5x 1 0 "
1,22 x 10'"
8,05 x io-"
5,29 x 10""
3,47 x 10""
2,27 x Kr"
1,48 x io-"
9,63 x 10""
6,25 x 10""
4,05 x ÏO"'*
2,62 x 10~ u
1,69 x io-"
1,08 x 1 0 "
6,95 x 10""
4,44 x 1 0 "
2,83 x io-"
1,80 x io-"
1,15 x 1 0 "
7,25 x I O 2 0
4,58 x ÏO' 2 0
2,89 x ïo- 2 0
1,82 x ÏO"20
l,14x 10' 2 0
7,12x ÏO"21
4,44 x ÏO' 21
2,77 x ÏO"21
1,72 x 10"21
1,06 x io-21
6,57 x io- 22
4,05 x ÏO"22
2,49 x io- 2 2
1,53 x ÏO"22
9,34 x io- 2 3
5,70 x io- 2 3
3,47 x io- 2 3
2,1 l x io- 2 J
1,28 x io- 2 3
7,72 x I O 2 4
-'
-122-
3.6
Rekenmodel stromingen
Analytisch rekenmodel voor de stromingen door en onder een gezette dijkbekleding.
Ir. G.M. Wölsink; oktober 1984.
Afleiding analytische oplossing
De schematisatie van de geometrie van de steenzetting is gegeven in figuur 1.
De steenzetting is op een granulair filter geplaatst, het dijklichaam wordt
ten opzichte van het filter als ondoorlatend beschouwd.
Het filter wordt geometrisch één dimensionaal benaderd: variaties in het
stromingsbeeld in de dikte van het filter worden dus verwaarloosd. De
discreet, ter plaatse van de spleten in de zetting, aanwezige doorlatendheid
wordt continue verdeeld.
De brekende golf wordt benaderd met een golffront dat een zekere helling bezit
ten opzichte van de verticaal.
Z-di
Figuur 1
Doorsnede over de steenzetting met brekende golf.
-123-
In het filter geldt:
o
óx 2
6y 2
Omdat de stroming in de filterlaag hoofdzakelijk langs de steenzetting is
gericht wordt een gemiddelde stijghoogte geïntroduceerd:
-
1
b
• = ^ ƒ <t> d *
(2)
o
Introductie van (2) in (1) geeft dan:
> •
T
o
dzz
Verder geldt voor het debiet uit de steenzetting:
o
waarin
met <
>
| = p o t e n t i a a l bovenzijde s t e e n z e t t i n g .
s
Uit ( 3 ) , (4) en (5) volgt:
d2!
dz2
kj
(£ - A )
sin a b k d
(6)
2
K
s t e l X = sin a / ^ - b d
(7)
(6) wordt dan:
dz2
x2
X2
Voor de oplossing van het probleem moeten drie gebieden worden onderscheiden:
-124-
1.
z < - tgtx.tgB.H,
•»•
$
= H + d.cosa
2.
-tgo.tgB.I^ > z < 0
*
<(.s =
3.
z > 0
>
<{> = z + d cosa
s
tga
"tge +
d
(9)
c o s a
(10)
(11)
De oplossing van (8) voor gebied 1 i s :
<(i=Ae
+Be
A
+ IL+d
cosa
(12)
De oplossing van (8) voor gebied 2 is:
<>| = C e
+ D e
-
De o p l o s s i n g van ( 8 ) voor gebied 3 i s :
ij)=EeX
+ F e
X
+ z + d cosa
(14)
Verwerking randvoorwaarden:
z = z
(freatische lijn in filter)
"$" (z ) = z + d cosa
(15)
m.b.v. (14) volgt:
(—)
E = -F e X
(16)
Voor z = - « moet gelden:
<>
ï (-00) = H^ + d cosa
In (12) i s B dan g e l i j k
Voor z = -tga.tgB.H
(17)
nul.
en z = 0 moet continïteit in de potentialen en de
b
debieten aanwezig zijn.
-125-
gebied 1
<t> = A e
d£
dz
(f)
(f)
+ K + d cosct
(18)
A
X e
(19)
gebied 2
()
- Ce
dz
()
X
+
X
De
X
- ^ + d c o s a
X
(20)
tga.tgp
gebied 3
-2.z
^
_
( z)
L + 1)
X
^ = F (-e
X
+ e
X
) + z + d
cosa
(22)
-2.z.
%
=T(*
X
X
+el
X
V 1
(23)
Door gelijk stellen van (18) en (20) respectievelijk (19) en (21) voor
z = -tga.tgg.H
en door gelijk stellen van (20) en (22) respectievelijk (21)
en (23) voor z = 0 zijn de diverse constanten te bepalen:
-tga.tgg.H b
D =
"X
£
(2
2tga.tg B
*>
-tga.tgB.H b
C = -D + F (-e
X
+1)
(26)
2tga.tgB.Hb
A = C+ D e
X
Uit zowel (20) en (22) volgt voor z = 0:
(27)
-126-
r
-tga.tgB.H
P_\
f
-2«z,
A
L]
d
cosa
(28)
voor de druk geldt dan:
(29)
P(0) = KO) Pwg
Uit (28) volgt:
-2.z
$(0) = (H, + x)(-e
lim B -»• 0
r
h
+ l) + dcosa
(30)
of anders geformuleerd:
. -tgo.tgB.H,
U
(
e
~\
X
2 tga.tgB
TT
+0- - I
(3D
Voor het verhang evenwijdig aan het talud, i//, geldt voor z = 0:
-tgq.tgg.H
0
(H + X) (-2.il)
()
^ ( (e
+ l) + l]
i//(0) = sina [lim B • 0
Enkele voorbeelden
Uitgaande van:
et
= 14°
d
= 0,30 m
Hb = 1,43 m
X = 0,325
i s in figuur 2 de invloed van B weergegeven
-»•
8=0
(steil
>
0° < B < 90°
golffront)
(32)
(33)
-127vgrticoal golffront
1,0
0.9
0.8
gP
0o
0,6
>
\
1
\
0,4
fiorizo ntale stand
0,3
0,2
0,1
0
Figuur 2
0
10
20
30
40
50
60 70
• helling golffront
80
90°
Invloed helling golffront
Uitgaande van dezelfde gegevens is voor 3 = 30° als voorbeeld in figuur 3 het
verloop van de verschildrukken en verhangen over het talud afgebeeld.
__schennaUsolje brekende golt
•_
,0'
Ireolische 1'j"
oplossing bij p = 0
FIG. 3