Esempi - Mimmo Corrado

Equazioni parametriche di II° grado
(vincolata da condizioni)
Per risolvere un’equazione parametrica di II° grado, vincolata da condizioni, occorre:
1. Trasformare l’equazione nella sua forma canonica ax 2 + bx + c = 0
2. Applicare le proprietà sotto indicate
N
Tipologia delle radici
Condizione da imporre
1
2
Una sola soluzione (Equazione di I° grado)
Una radice uguale a zero (Equazione spuria)
a=0
c =0
3
Radici opposte (Equazione pura)
x1 = − x2
4
5
6
7
Radici reali e distinte
Radici reali
Radici reali e coincidenti
Radici complesse
∆>0
∆≥0
∆=0
∆<0
8
Una radice uguale a 5
x1 = 5
9
Somma delle radici
x1 + x2 = −
10
Prodotto delle radici
x1 ⋅ x2 =
11
Radici reciproche
x1 =
12
Le due radici sono l’una l’opposto
del reciproco dell’altra
x1 = −
13
Differenza delle radici
x1 − x2 =
14
Somma dei quadrati delle radici
x12 + x22 =
15
Somma dei cubi delle radici
x13 + x23 =
16
Somma dei reciproci delle radici
1
1
b
+
=−
x1 x2
c
17
Somma dei quadrati dei reciproci delle radici
18
Matematica
Somma dei cubi dei reciproci delle radici
1
x12
1
x13
www.mimmocorrado.it
⇔
+
b
=0
a
⇔
b=0
Sostituire 5 al posto della
x nell’equazione
b
a
c
a
1
x2
+
−
1
x2
1
x 22
1
x 23
⇔
c
=1
a
⇔
c
= −1
a
± ∆
a
=
=
b 2 − 2ac
a2
3abc − b 3
a3
con c ≠ 0
b 2 − 2ac
c2
3abc − b 3
c3
con c ≠ 0
con c ≠ 0
1
Dimostrazione 3
⇔
x1 = − x2
x1 + x2 = 0
⇔
−
b
=0
a
⇔
b = 0 (con a ≠ 0 )
Dimostrazione 9
x1 + x2 = −
b
a
x1 + x2 =
− 2b
−b
−b− ∆ −b+ ∆
−b− ∆ −b+ ∆
+
=
=
=
2a
2a
2a
2a
a
x1 ⋅ x2 =
b2 − ∆
b 2 − b 2 + 4ac
4ac
c
−b− ∆ −b+ ∆
⋅
=
=
=
=
2
2
2
2a
2a
a
4a
4a
4a
Dimostrazione 10
c
a
x1 ⋅ x2 =
Dimostrazione 11
x1 =
1
x2
⇔
x1 ⋅ x2 = 1
⇔
c
=1
a
x1 ⋅ x2 = −1
⇔
c
= −1
a
Dimostrazione 12
x1 = −
1
x2
⇔
Dimostrazione 13
x1 − x2 =
± ∆
a
x1 − x2 =
±2 ∆
−b± ∆ −b± ∆
−b± ∆ +bm ∆
± ∆m ∆
± ∆
−
=
=
=
=
2a
2a
2a
2a
a
2a
Dimostrazione 14
x12
=
2
+ x2 =
2b 2 + 2∆
4a 2
b 2 − 2ac
x12
a2
=
b2 + ∆
2a 2
=
2
2
−b− ∆ 
−b+ ∆ 
b 2 + ∆ + 2b ∆ b 2 + ∆ − 2b ∆




+
+ x2 =
+
=
=




2a
2a
4a 2
4a 2




2
b 2 + b 2 − 4ac
2a 2
=
2b 2 − 4ac
2a 2
=
b 2 − 2ac
a2
Dimostrazione 16
b
−
b c
b
x1 + x2
b a
1
1
oppure
+
=
= a =− : =− ⋅ =−
c
x1 x2
a c
x1 ⋅ x2
a a
a
a
1
1
2a
2a
1
1
2a ⋅ − b + ∆ + 2a ⋅ − b − ∆
+
=
+
=
=
+
=
x1 x2
−b− ∆ −b+ ∆
−b− ∆ −b+ ∆
−b− ∆ ⋅ −b+ ∆
2a
2a
− 2ab + 2a ∆ − 2ab − 2a ∆
− 2ab − 2ab
− 4ab
b
=
= 2
=
= − .
2
2
4
ac
c
b −∆
b − b + 4ac
1
1
b
+
=−
x1 x2
c
(
(
Matematica
www.mimmocorrado.it
) (
)
)(
)
2