Contorno delle radici

Contorno delle radici
(Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco)
Il procedimento per la costruzione del luogo delle radici si può applicare
anche quando si varia qualche altro parametro della funzione di trasferimento
del sistema, come ad esempio la costante di tempo di un polo reale o di
uno zero reale, o qualunque altro parametro di cui uno o più coefficienti
dell’equazione caratteristica siano funzioni lineari.
Il luogo dei punti descritto nel piano complesso dalle radici dell’equazione
caratteristica al variare del parametro prende il nome di contorno delle radici.
Si consideri dapprima il caso relativo alla variazione di un polo di ciclo
aperto; in questo caso la funzione di trasferimento d’anello aperto si scrive
F (s) = Fe (s)
1
1 + τp s
e a ciclo chiuso
W (s) =
F (s)
.
1 + F (s)
L’equazione caratteristica è
1 + F (s) = 1 + Fe (s)
1
=0
1 + τp s
cioè
1 + τp s + Fe (s) = 0
da cui
1+
τp s
= 0.
1 + Fe (s)
(1)
Per valutare gli effetti della variazione di un polo di ciclo aperto si deve
quindi tracciare il luogo delle radici di
τp s
.
1 + Fe (s)
Al variare della costante di tempo τp da 0 a ∞, le radici dell’equazione (1)
descrivono il contorno delle radici. Il contorno parte, per τp = 0, dalle radici
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dell’equazione 1 + Fe (s) = 0, cioè dai poli di ciclo chiuso quando τp = 0, cioè
prescindendo dal polo che si è posto in evidenza. Il contorno delle radici si
traccia facendo uso delle stesse regole utilizzate per la costruzione del luogo
delle radici.
È importante notare che nel caso del contorno delle radici può risultare
m > n. Ciò non incide sulle regole di costruzione, che restano identiche a
quelle del luogo, ad eccezione del verso di percorrenza dei rami asintotici, che
in tal caso vanno dall’infinito al finito.
La presenza di un ramo dall’infinito al finito si riscontra sempre nel caso
del contorno relativo alla variazione di un polo. Infatti per τp = 0 l’ordine del
sistema diminuisce di un’unità, il che significa che si ha un polo in meno. Tale
polo verrà ripristinato, per τp > 0, mediante un ramo del luogo proveniente
dall’infinito.
Nel caso di variazioni di uno zero di ciclo aperto la funzione di trasferimento d’anello aperto si scrive
F (s) = Fe (s) (1 + τz s)
e a ciclo chiuso
W (s) =
Fe (s) (1 + τz s)
.
1 + Fe (s) (1 + τz s)
In questo caso l’equazione caratteristica è
1 + Fe (s) + τz s Fe (s) = 0
da cui
1+
τz s Fe (s)
= 0.
1 + Fe (s)
Per valutare gli effetti della variazione di uno zero di ciclo aperto si deve
quindi tracciare il luogo delle radici di
τz s Fe (s)
.
1 + Fe (s)
Il contorno delle radici si ottiene al variare del parametro τz da 0 a ∞;
anche in questo caso esso parte dai poli del sistema in retroazione in cui si
sia posto τz = 0, cioè in cui si sia escluso lo zero di cui si studia l’effetto.
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Il contorno delle radici viene di regola appoggiato al luogo delle radici.
In altre parole, fissato un valore opportuno per la costante k ′ , si traccia il
contorno al variare di τp (rispettivamente τz ) da 0 a ∞. Talvolta, per avere un
quadro completo dell’influenza di k ′ e τp (rispettivamente k ′ e τz ), si tracciano
più contorni, ciascuno per un diverso valore di k ′ , ottenendo una famiglia di
curve a due parametri.