1 MATEMATICA FINANZIARIA Rendite Supponiamo di voler

MATEMATICA FINANZIARIA
Rendite
Supponiamo di voler acquistare un elettrodomestico. Ci viene proposto un pagamento rateale
mensile di ∈ 60 al mese per 5 mesi. Sapendo che il pagamento in contanti sarebbe di ∈ 250, ci
poniamo il problema di quale tasso venga applicato nell’operazione.
In questo contesto la rata è fissa, pari ad ∈ 60; il pagamento in contanti è il valore attuale della
rendita; la periodicità è mensile.
In generale:
Per rendita si intende una successione di somme esigibili o da pagare in epoche diverse.
Una rendita si dice a rata costante, se gli importi delle somme a scadenza sono uguali fra loro.
Il periodo è il tempo intercorrente fra due rate successive.
Una rendita si dice anticipata, se la rata scade all’inizio di ogni periodo (ad esempio il pagamento di
un affitto); una rendita si dice posticipata se la rata scade alla fine di ogni periodo (ad esempio la
riscossione delle cedole di un titolo a tassi fisso ).
E’ utile individuare il valore di una rendita ad una data prefissata iniziale o intermedia o finale.
In tal caso, è utile rammentare che una stessa rendita può essere considerata posticipata o anticipata,
a seconda dell’epoca di valutazione.
Si possono utilizzare formule sintetiche, che ora esamineremo.
Sia rappresentata sull’asse dei tempi la rata seguente, dove:
•
R indica l’importo della singola rata
•
0 indica la scadenza della prima rata
•
1 indica la scadenza della seconda rata
•
…
•
n-1 indica la scadenza dell’ultima rata (n-esima)
Sia di un anno la periodicità; in questo caso l’asse dei tempi riporta n anni, con cadenza annuale
della rata costante.
Esaminiamo quattro epoche di valutazione:
•
montante alla scadenza dell’ultima rata: questo equivale a considerare la rendita posticipata
•
montante un periodo dopo l’ultima rata: questo equivale a considerare la rendita anticipata
1
•
valore attuale un periodo prima della prima rata: questo equivale a considerare la rendita
posticipata
•
valore attuale alla scadenza della prima rata: questo equivale a considerare la rendita
anticipata
Vediamo il primo caso:
Come indicato nella figura seguente,
si devono capitalizzare le varie rate. Partendo dall’ultima, si ha:
M = R + R ⋅ (1 + i ) + R ⋅ (1 + i ) 2 + R ⋅ (1 + i ) 3 + .... + R ⋅ (1 + i ) n
Poiché questa è la somma di n termini di una progressione geometrica, avente R come primo
elemento e (1 + i ) come ragione, si semplifica:
(1 + i ) n − 1
(1 + i) n − 1
M =R
=R
(1 + i) − 1
i
Quindi il montante nel secondo caso è:
M =R
(1 + i ) n − 1
(1 + i)
i
Il valore attuale nel terzo caso, si ottiene scontando il montante per n anni:
(1 + i ) n − 1
1 − (1 + i) − n
(1 + i) − n = R
V =R
i
i
Quindi il valore attuale nel quarto caso è:
V =R
1 − (1 + i) − n
(1 + i)
i
N.B. Se la rendita è periodica, il tasso deve essere conforme alla periodicità della rata, ma il
numero di rate (e quindi di periodi) non può variare.
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ESEMPI
1) Ho dato in affitto un immobile il 1 di maggio di quest’anno. Riscuoto mensilmente, all’inizio di
ogni mese, € 350, che lascio in deposito presso una banca al 1,2% annuo. Quale somma avrò
capitalizzato alla fine di quest’anno?
Risoluzione:
la rendita è mensile, quindi devo convertire il tasso annuo in mensile; devo poi calcolare il montante
un mese dopo la scadenza dell’ultima rata; le rate sono 8 (da maggio a dicembre compresi), quindi:
i2 = 1,012 − 1 =0,005982107...
(1 + 0,005982107) 8 − 1
(1 + 0,005982107)
0,005982107
M = = € 2876,43
M = 350
2) Ho contratto un debito di € 40000 presso un istituto di credito. Devo rimborsare tale debito al
tasso del 5% annuo in 7 anni, pagando una somma costante alla fine di ogni anno. Quale è l’importo
della rata?
Risoluzione:
il tipo di ammortamento indicato (a rata costante) si dice progressivo o francese. Il debito iniziale
rappresenta il valore attuale delle rate, calcolato un periodo (un anno) prima del primo versamento,
1 − (1 + i) − n
1 − (1 + 0,05) −7
quindi: V = R
=
40000 = R
da cui R= € 6912,79
i
0,05
3) Una rendita di rata trimestrale, che dura 6 anni, produce un montante di €14500 all’atto
dell’ultimo versamento. Sapendo che rende il 2% annuo nominale convertibile trimestralmente,
calcoliamo l’importo di ogni rata.
Risoluzione:
il tasso è j4=0,02 quindi i4 = 0,005; le rate trimestrali in 6 anni sono 24; conosciamo il montante,
perciò :
(1 + 0,005) 24 − 1
da cui R= € 570,15
14500 = R
0,005
4) Una rendita di rata € 2875 annua ha dato, al tasso dello 0,6% annuo, un montante di € 73977,25
alla scadenza dell’ultima rata. Calcoliamo il numero delle rate.
73977,25 = 2875
(1 + 0,006) n − 1
da cui 1,006n = 1,154387304. Con il calcolo logaritmico,
0,006
troviamo:
n log1,006 = log 1,154387304 quindi n = 24
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