Appunti di Calcolo finanziario

Appunti di Calcolo finanziario
Mauro Pagliacci
c Draft date 4 maggio 2010
Premessa
In questo fascicolo sono riportati gli appunti dalle lezioni del corso di Elaborazioni
automatica dei dati per le applicazioni economiche e finanziarie tenute per il corso di
laurea in Economia e gestione dei servizi turistici (prima parte: Calcolo finanziario)
negli anni accaddemici 2007-2008 e 2008-2009.
Per la comprensione completa di questi appunti, bisogna usare il file Excel
CalcoloFinanziario.xls, disponibile nel sito del corso
http://www.ec.unipg.it/DEFS/ead.html nella sezione
File di lavoro, File Excel per il Calcolo finanziario 2007-2008.
L’obiettivo è quello di fornire gli strumenti necessari per comprendere i fondamenti teorici e risolvere concretamente i problemi che si presentano nella gestione di
una azienda legati alle più semplici operazioni finanziarie. L’approccio al calcolo finanziario è sostanzialmente di tipo operativo, partendo da esempi concreti e
sviluppando la teoria in modo da avere a disposizione lo strumento necessario per
risolvere il problema.
Un ringraziamento particolare al prof. Walter Betori che, collaborando alla stesura
di questi appunti, ne ha resa possibile la realizzazione.
i
ii
Indice
Indice
i
Premessa
i
1 Le grandezze fondamentali del calcolo finanziario
3
1.1
Esempio introduttivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Le grandezze fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Dal mercato alle convenzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
La legge degli interessi semplici (legge lineare) . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
Tassi equivalenti in capitalizzazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6
La legge degli interessi composti (legge esponenziale) . . . . . . . . . 14
1.7
Tassi equivalenti in capitalizzazione esponenziale . . . . . . . . . . . . 18
1.8
Osservazioni sui fattori di sconto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9
L’intensità istantanea di interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Tassi nominali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Le operazioni finanziarie
29
2.1
Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2
Valore di una operazione finanziaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3
Operazioni finanziarie eque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4
Valutazione rispetto ad una struttura per scadenza . . . . . . . . . . 39
2.5
Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
iii
1
3 Il tasso interno di rendimento
43
3.1
L’equazione del tasso interno di rendimento . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2
Le funzioni di Excel TIR.COST e TIR.X . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3
Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Le rendite
53
4.1
Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2
Rendita immedita, posticipata, temporanea e a rata costante . . . . . 54
4.3
Rendita perpetua posticipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4
Rendita anticipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5
Rendita perpetua anticipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6
Rendita differita di m periodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7
Rendite frazionate
4.8
Problemi inversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.9
Piani di ammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.10 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Capitolo 1
Le grandezze fondamentali del
calcolo finanziario
1.1
Esempio introduttivo
Tra i titoli più diffusi nel mercato obbligazionario italiano ci sono i Buoni ordinari
del tesoro (BOT), che rappresentano un esempio di titolo a cedola nulla (TCN), detti
anche, con terminologia anglosassone, zero coupon bond (ZCB). Tali titoli, prevedono il pagamento di una somma P (prezzo di emissione) al momento dell’acquisto
(t0 ), essendo predeterminato il valore di rimborso R alla scadenza s.
La quotazione dei BOT è data giornalmente, relativamente alle varie scadenze e
rispetto ad un valore di rimborso assegnato R = 100.
Consideriamo la quotazione che si trova nei quotidiani del 20 febbraio 2008 relativa
ai BOT, riportata nella fig. 1.1 e, tra i titoli presenti, scegliamo quelli con scadenza,
rispettivamente, 31.3.08, 30.5.08, 15.8.08 e 16.2.09. I dati relativi ai suddetti titoli si
trovano nel file CalcoloFinanziario.xls (cartella BOT). Qui riporteremo soltanto i
dati relativi al BOT con scadenza 30.5.08. Il giorno di valutazione dei titoli, trattati
il 19.2.08, è di due giorni successivi a questa data; pertanto la valutazione deve essere
fatta il 21.2.08.
Per semplicità di notazione indichiamo t0 = 0 l’istante di valutazione, lasciando
denotata con s la scadenza del titolo.
La quotazione dei titoli presenti nel mercato obbligazionario italiano il 20.2.08, rappresenta, di fatto, una equivalenza tra importi monetari esigibili in tempi diversi.
Per esempio, il BOT con scadenza 30.5.08, stabilisce che 100e esigibili il 30.5.08,
sono equivalenti a 98,98e il 21.2.08.
3
4CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
Figura 1.1: Quotazioni BOT del 20.2.08
Lo scopo di questa prima parte del corso è di introdurre le grandezze che servono per
controllare l’operazione finanziaria che consiste, per esempio, nell’investire 98,98e
con valuta il 21.2.08, per avere 100e il 30.5.08. Ovviamente la stessa operazione, dal
punto di vista dell’emittente (lo stato italiano) consiste nell’indebitarsi per 98,98e
il 21.2.08 per restituire 100e il 30.5.08.
Indichiamo con W (t, s) il valore in t di un titolo che vale W (s, s) in s. Nel nostro
esempio, ponendo t = 0, istante di acquisto del titolo e s = 99, tempo (in giorni) di
rimborso, abbiamo: W (0, 99) = 98, 98 e W (99, 99) = 100.
Quando non c’è possibilità di confusione, se 0 ≤ t ≤ s, possiamo scrivere W (t, s) =
W (t). Pertanto, nell’esempio abbiamo W (0) = 98, 98 e W (99) = 100.
Osserviamo che i valori di W (t) sono importi monetari e che W (t), al variare di t tra
0 e s, rappresenta come varia il valore del titolo dall’acquisto alla scadenza. A posteriori è possibile descrivere esattamente tutti i valori assunti da W (t), in ogni istante
di valutazione (per esempio ogni giorno). Tuttavia è comodo considerare W (t) come
una funzione, definita nell’intervallo [0, s], continua e monotona crescente.
1.2
Le grandezze fondamentali
Si chiama interesse maturato tra 0 e s, e si indica con I(0, s), l’incremento assoluto
della funzione W (t) nell’intervallo [0, s]; in altri termini:
I(0, s) = W (s) − W (0).
Osserviamo che l’interesse, essendo una differenza tra importi monetari, è un importo
monetario.
1.2. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI
5
Esempio – Relativamente al BOT di cui si è parlato nel paragrafo precedente, risulta
che I(0, 99) = W (99) − W (0) = 1, 02e. Allo stesso BOT faremo riferimento anche
negli altri esempi di questo paragrafo.
Nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio BOT si trova il valore di I(0, s) anche per
gli altri titoli, insieme alle altre grandezze fondamentali di cui parleremo tra poco.
L’incremento assoluto della funzione W (t) non è però molto significativo. E’ interessante considerare l’incremento relativo della funzione W (t) nell’intervallo [0, s],
che si chiama tasso d’interesse (nell’intervallo [0, s]) e che si indica con j(0, s).
Risulta pertanto:
j(0, s) =
I(0, s)
W (s) − W (0)
=
.
W (0)
W (0)
E’ importante osservare che il tasso d’interesse, essendo un rapporto tra due grandezze omogenee (importi monetari) è un numero, di solito espresso in forma percentuale.
Esempio – j(0, 99) =
I(0,99)
W (0)
=
1,02
98,98
= 0, 01031 (1,031%).
Analogamente al tasso di interesse, nell’intervallo [0, s] si introduce il tasso di
sconto d(0, s) come rapporto tra l’interesse e il valore alla scadenza W (s), cioè:
d(0, s) =
W (s) − W (0)
I(0, s)
=
.
W (s)
W (s)
Anche il tasso di sconto, dal punto di vista dimensionale, è un numero
Esempio – d(0, 99) =
I(0,99)
W (99)
=
1,02
100
= 0, 0102 (1,02%).
Molto importanti e significativi sono il fattore di sconto v(0, s) e il fattore
montante m(0, s) definiti come:
v(0, s) =
W (0)
;
W (s)
m(0, s) =
W (s)
.
W (0)
Esempio – Relativamente al BOT con scadenza 30.5.08, possiamo scrivere v(0, s) =
98,98
100
= 0, 9898, m(0, s) = 98,98
= 1, 0131.
100
Osserviamo che v(0, s) può essere considerato come il prezzo, al tempo 0, di un
titolo a cedola nulla che vale 1e in s (titolo a cedola nulla unitario). Analogamente
m(0, s) può essere considerato il prezzo in s di un titolo a cedola nulla che vale 1e
in 0.
Dalla definizione segue subito che:
6CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
v(0, s) =
1
;
m(0, s)
m(0, s) =
1
.
v(0, s)
Le possibili relazioni tra le varie grandezze fondamentali fino ad ora considerate si
possono sintetizzare nella seguente tabella, nella quale, all’incrocio tra ogni riga e
ogni colonna, si trova la relazione che esprime la grandezza indicata nella riga in
funzione di quella indicata nella colonna. Per semplicità nella tabella sono stati
omessi gli argomenti (0, s) di tutte le grandezze
(j)
j=
j
m= 1+j
j
d=
1+j
1
v=
1+j
(m)
m−1
m
m−1
m
1
m
(d)
(v)
d
1−d
1
1−d
1−v
v
1
v
d
1−v
1−d
v
Dimostriamo ora alcune delle relazioni sopra scritte.
W (s) − W (0)
W (s)
=
− 1 = m(0, s) − 1.
W (0)
W (0)
1
1 − v(0, s)
−1=
.
j(0, s) = m(0, s) − 1 =
v(0, s)
v(0, s)
W (s) − W (0)
W (0)
d(0, s) =
=1−
= 1 − v(0, s).
W (s)
W (s)
m(0, s) = 1 + j(0, s).
1
v(0, s) =
.
1 + j(0, s)
v(0, s) = 1 − d(0, s).
1
m(0, s) =
.
1 − d(0, s)
1 − v(0, s)
d(0, s)
j(0, s) =
=
.
v(0, s)
1 − d(0, s)
m(0, s) − 1
j(0, s)
1
d(0, s) = 1 −
=
=
.
m(0, s)
m(0, s)
1 + j(0, s)
j(0, s) =
Le grandezze considerate fino ad ora non tengono conto della durata dell’operazione
finanziaria, quindi è difficile confrontarle fra di loro.
Si definisce intensità di interesse γ(0, s) nell’intervallo[0, s], il rapporto tra il tasso
d’interesse e l’ampiezza dell’intervallo, cioè:
1.3. DAL MERCATO ALLE CONVENZIONI
γ(0, s) =
7
j(0, s)
s
(s al denominatore è l’ampiezza dell’intervallo [0, s]).
Dal punto di vista dimensionale, poiché j(0, s) è un numero e al denominatore c’è
un tempo, l’intensità di interesse è [tempo]−1 .
Analogamente si definisce l’intensità di sconto β(0, s), tra 0 ed s, come il rapporto
tra il tasso di sconto e l’ampiezza dell’intervallo temporale,
β(0, s) =
d(0, s)
.
s
Ovviamente anche β(0, s), dal punto di vista dimensionale è [tempo]−1 .
Esempio – Relativamente al BOT con scadenza 30-5-2008, abbiamo:
γ(0, 99) =
j(0, 99)
= 0, 0001041gg−1 ,
99
β(0, 99) =
d(0, 99)
= 0, 0001030gg−1 .
99
Poichè γ(0, s) e β(0, s), dal punto di vista dimensionale, sono [tempo]−1 , non possono
essere espresse in forma percentuale e vengono rappresentate in [unità di misura del
tempo]−1 , quindi nell’esempio in [giorni]−1 .
Osservazione– Nel file di calcolo CalcoloFinanziario.xls le grandezze di γ(0, s)
relative ai quattro BOT sono fra loro confrontabili. Stessa situazione per β(0, s)
1.3
Dal mercato alle convenzioni
Nei due paragrafi precedenti abbiamo individuato le grandezze fondamentali del
calcolo finanziario partendo da un esempio concreto (titoli del debito pubblico italiano). Quindi sostanzialmente abbiamo visto come alcune grandezze si possono
leggere direttamente dal mercato. La situazione più in generale consiste nel vedere
la funzione W (t), di cui abbiamo parlato nel paragrafo precedente, come la funzione
che rappresenta il cambiamento di valore di un importo al variare del tempo, che
stabilisce una legge di equivalenza intertemporale tra importi esigibili in tempi
diversi.
8CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
Considerando, ad esempio, il BOT con scadenza 30-5-2008, possiamo immaginare di
costruire il grafico della funzione che rappresenta l’evoluzione del prezzo del titolo
al passare del tempo, indicando con W (ti ) il valore di mercato del titolo nel giorno
ti , con i = 0, 1, . . . , n. A posteriori, quindi, potremmo rappresentare i valori della
funzione :
W (t0 ), W (t1 ), . . . , W (tn ).
Ovviamente W (t0 ) = 98, 98 e se t0 = 0 è il prezzo di acquisto del titolo il 21-2-2008
e W (tn ) = 100 e è il valore di rimborso del titolo in data 30-5-2008.
98,98
t0
100
tn
Figura 1.2: BOT scad. 30.5.08
Tale ricostruzione a posteriori, effettivamente non serve a niente, ma fa capire la
necessità di fare delle ipotesi sulla funzione W (t). Tali ipotesi permettono di confrontare operazioni finanziarie con scadenze diverse. Naturalmente, scrivere una
possibile forma funzionale per la funzione W (t) deve essere motivato da una ben
determinata convenzione contrattuale. Nella pratica due sono i tipi di contratto in
uso:
1) La legge degli interessi semplici
2) La legge degli interessi composti
Vedremo che applicare la prima convenzione significa ipotizzare che la funzione W (t)
sia lineare, mentre applicare la seconda significa ipotizzare che la funzione W (t) sia
esponenziale.
1.4. LA LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI (LEGGE LINEARE)
1.4
9
La legge degli interessi semplici (legge lineare)
Accettare un contratto in cui vale la legge degli interessi semplici significa che, alla
fine del primo periodo vengono calcolati gli interessi sul capitale iniziale, e così alla
fine di ogni periodo successivo, senza calcolare gli interessi maturati nei periodi
precedenti. Questa la situazione che il codice civile chiama calcolo degli interssi
senza anatocismo.
Vediamo ora come accettare un contratto di questo tipo sia equivalente ad ipotizzare
che la funzione W (t) sia lineare, cioè espressa da un polinomio di primo grado in t.
Supponiamo di disporre, al tempo 0, di un capitale iniziale W (0) e di stipulare un
contratto che preveda la crescita del capitale iniziale secondo la legge degli interessi
semplici al tasso annuo di interesse i. Osserviamo che l’ipotesi ora fatta significa
scegliere come unità di misura del tempo l’anno.
Alla fine del primo anno avremo a disposizione un importo
W (1) = W (0) + i W (0) = W (0) (1 + i).
Alla fine del secondo anno:
W (2) = W (0) (1 + i) + i W (0) = W (0) + 2i W (0) = W (0) (1 + 2i).
Alla fine dell’n-esimo anno :
W (n) = W (0) (1 + n i).
Evidentemente la funzione W (t) così scritta è lineare rispetto a n.
Se supponiamo che la variabile t sia continua, con t ∈ [0, m] (m quindi è la durata
del contratto), la funzione
W (t) = W (0)(1 + it),
lineare rispetto a t, rappresenta come varia l’importo W (t), al variare di t.
Esempio – Se W (0) = 100 e , i=2% e m= 6 anni , allora W (6) = 100(1 + 0, 02 · 6) =
112, 44 e .
Osservazione – La legge lineare ci consente di calcolare anche la somma maturata
(montante) in frazioni di anno. Infattise W (0) = 100 e , i=2%, m = 3 anni e 5
5
41
= 41
, pertanto W 12
= 100 1 + 0, 02 41
= 106, 83e .
mesi, m = 3 + 12
12
12
Nella legge lineare
(1)
W (t) = W (0)(1 + i t)
10CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
W(t)
W(m)
W(0)
0
m
t
Figura 1.3: Capitalizzazione lineare
sono presenti le grandezze:
1) W (0) : capitale iniziale;
2) i : tasso annuo di interesse;
3) t: durata del contratto;
4) W (t) : capitale maturato al tempo t.
Noi sappiamo determinare W (t) note le altre grandezze W (0), i e t.
Tuttavia, in generale, dalla legge lineare è molto facile, note tre delle quattro grandezze W (0), i, t e W (t) , determinare il valore della quarta. Infatti possiamo
scrivere
W (t)
W (0) =
1 + it
1
i=
t
W (t)
−1
W (0)
1
t=
i
W (t)
−1
W (0)
Esempi – 1. Determinare W (0) sapendo che W (t) = 120e , i = 2%, t = 3 anni.
Osserviamo che questo equivale a determinare quale è il capitale che dobbiamo
impiegare oggi, secondo la legge degli interessi semplici al tasso del 2% annuo, per
avere 120 e tra tre anni.
W (0) =
W (t)
120
=
= 113, 2075e.
1 + it
1 + 0, 02
2. Determinare il tasso annuo i, noti W (0) = 100e , W (t) = 104, 25e , t = 2 anni
e 3 mesi
1.4. LA LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI (LEGGE LINEARE)
11
Questo significa trovare a quale tasso di interesse della legge lineare, investendo 100e
per 2 anni e 3 mesi, si ottiene un montante di 104,25e ,
1
i=
t
W (t)
12 104, 25
−1 =
− 1 = 0, 0188 (1, 88%).
W (0)
27
100
3. Determinare t, noti: W (t) = 106, 32e , i = 3, 2% e W (0) = 102e .
In altri termini si tratta di determinare in quanto tempo un capitale di 102e disponibile in data odierna, se investito secondo un contratto che prevede la remunerazione degli interessi secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo del 3, 2%,
fornisce un montante di 106,3235e ,
1
t=
i
1
W (t)
106, 32
−1 =
− 1 = 1, 3235 anni.
W (0)
0, 032
102
Osservazione – Il tempo è espresso in frazioni decimali di anno.
esprimere la parte decimale in mesi e giorni dobbiamo scrivere
3235
0, 3235 = 10000
=
mesi e 26 giorni.
x
,
360
Se vogliamo
x = 116, 46, x = 3 mesi e 26 giorni. Quindi t = 1 anno, 3
Nota – Ovviamente il modo più semplice per ottenere i risultati degli esempi 1.,2.,3.
è il calcolo diretto come è stato appena svolto. Tuttavia gli esempi appena visti forniscono lo spunto per utilizzare per la prima volta il risolutore di Excel, applicandolo
alla risoluzione di una equazione di primo grado. L’idea di base del risolutore consiste nello scrivere una formula che contiene dati nel foglio elettronico. Poi cambiare i
dati, come necessario dal problema e chiedere di modificare una casella (l’obiettivo,
cioè la soluzione da trovare), attribuendo un valore assegnato ad un’altra variabile
(quella data dalla formula). Supponiamo di voler risolvere gli esempi 1, 2 e 3 con
tale procedura.
In tutti i casi aprire il foglio LeggeLineare.xls nel file CalcoloFinanziario.xls.
Il primo esempio del foglio contiene, nella casella B8 , la formula di valutazione di
(1).
Per risolvere gli esempi 1.,2. e 3. con Excel, selezionare le celle (A-B-C,5-6-7-8) e
ricopiarli.
Esempio 1 – Cambiare la durata t = 3 anni (il tasso d’interesse è lo stesso). Nel
menu strumenti selezionare Ricerca Obiettivo e nelle finestre che compaiono fare
la seguente selezione:
Imposta la cella → cliccare sulla cella in cui riportato il valore W (t);
Al valore → mettere il valore di W (t) che si ha nel problema (120e );
12CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
Cambiando la cella → cliccare sulla cella in cui riportato il valore di W (0)
Cliccare su Ok.
Allora la cella in cui è scritto il valore di W (0) riporta la soluzione dell’esempio 1:
113,2075e .
Esempio 2 – Riportare i valori di W (0) (100e ) e di t (2 anni e 3 mesi, cioè =
3
2 + 12
= 2, 25);
Aprire Ricerca Obiettivo dal menu Strumenti;
Imposta la cella → Selezionare la cella valore di W (t);
Al valore → mettere il valore 104,25e ;
Cambiando la cella → selezionare cella valore di i;
Cliccare su Ok.
Si trova così il valore i = 0, 01888 . . . .
Esempio 3 – Riportare i valori di W (0) (102e ) e di i (0,032);
Aprire Ricerca Obiettivo dal menu Strumenti;
Imposta la cella → Selezionare la cella valore di W (t);
Al valore → mettere il valore 106,32e ;
Cambiando la cella → selezionare cella valore di t;
Cliccare su Ok.
Si trova così il valore t = 1, 323529 anni.
1.5
Tassi equivalenti in capitalizzazione lineare
Supponiamo di avere 1e al tempo 0 e di impiegarlo secondo la legge lineare al tasso
di interesse annuo i. Dopo un anno il montante sarà 1 + ie .
Supponiamo di dividere l’anno in n frazioni di anno di ampiezza pari a n1 -esimo di
anno.
Sia ora i(n) il tasso di interesse della legge lineare su n1 -esimo di anno. Per esempio,
i(2) è tasso di interesse su 21 di anno, cioè un semestre, i(12) è il tasso di interesse su
1
di anno, cioè un mese, etc.
12
Disponendo sempre di un capitale iniziale unitario (1 e ), avremo questa situazione
rispetto al montante maturato:
1.5. TASSI EQUIVALENTI IN CAPITALIZZAZIONE LINEARE
1
1+i (n)
1+n i(n) 1+i
1+2 i(n)
0
0
13
1 anno
1/n
2/n
3/n
.
.
.
.
. .
.
n/n
frazioni di anno
Figura 1.4: Tassi equivalenti in capitalizzazione lineare
tempo
montante
dopo
di anno
1 + i(n)
dopo
1 + 2 i(n)
di anno
...
...
n
dopo n -esmi di anno (1 anno) 1 + n i(n)
1
-esmo
n
2
-esmi
n
Pertanto il tasso annuo i e quello periodale i(n) sono equivalenti, cioè producono lo
stesso montante dopo un anno, se risulta
1 + i = 1 + n i(n) .
Tale uguaglianza fornisce le due semplici relazioni tra i e i(n) :
i = n i(n)
,
i(n) =
i
.
n
Esempio – Il tasso annuo d’interesse i del 6% è equivalente, se usiamo la convenzione
lineare, al tasso semestrale i(2) = 3%, a quello bimestrale i(6) = 1%, a quello mensile
i(12) = 0, 5%.
Osservazione Importante. – Se consideriamo il BOT con scadenza 30-5-2008,
99
sappiamo che j(0, s) = 0, 01031 il tasso di interesse su 99 giorni, cioè su 365
esimi di anno. Pertanto possiamo determinare il tasso annuo i(0, s), equivalente, in
capitalizzazione lineare, al tasso j(0, s). Risulta che:
14CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
i(0, s) =
1
99
365
j(0, s) =
365
0, 01031 = 0, 03799
99
(3, 8%).
Il tasso i(0, s) si chiama tasso di interesse a pronti, su base annua, ipotizzando una
sottostante legge lineare.
Nel calcolo che abbiamo svolto abbiamo preso in considerazione l’anno solare (365gg).
Un’altra possibile convenzione consiste nel prendere in esame l’anno commerciale
(360 gg).
Nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio GrandezzeFondamentali, troviamo calcolati, con entrambe le convenzioni, i tassi i(0, s) , al variare di s, dove s una delle
scadenze dei titoli esaminati.
In generale l’insieme
{i(0, s) : s è una scadenza}
si chiama struttura per scadenza dei tassi di interesse (a pronti) in vigore al
tempo s.
La struttura per scadenza dei tassi di interesse fornisce una importantissima informazione sui mercati dei capitali. Nel nostro esempio introduttivo riusciamo a scrivere
la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore il 19-2-2008 per scadenze
entro l’anno. Con informazioni più accurate è possibile determinare la struttura per
scadenza dei tassi in vigore in un certo istante di valutazione fino a scadenze di 30
anni.
1.6
La legge degli interessi composti (legge esponenziale)
In un contratto stipulato secondo la legge degli interessi composti, l’interesse è calcolato, alla fine di ogni periodo, sulla somma tra il capitale e l’interesse già maturato
alla fine del periodo precedente. Nella terminologia giuridica è l’interesse con anatocismo. Vedremo che accettare un contratto in cui vale la legge degli interessi
composti equivale ad ipotizzare che il denaro cresca secondo una funzione W (t),
esponenziale rispetto a t.
Sia W (0) il capitale iniziale, i il tasso annuo di interesse, m la durata del contratto,
misurata in anni.
La dinamica di evoluzione del capitale è la seguente.
1.6. LA LEGGE DEGLI INTERESSI COMPOSTI (LEGGE ESPONENZIALE)15
t=0 ,
W (0),
t=1 ,
W (1) = W (0) + i W (0) = W (0) (1 + i),
t=2 ,
W (2) = W (0)(1 + i) + i W (0)(1 + i) = W (0) (1 + i)2 ,
t=3 ,
W (3) = W (0)(1 + i)2 + i W (0)(1 + i)2 = W (0) (1 + i)3 ,
...
t=k
,
W (k) = W (0)(1 + i)k−1 + i W (0)(1 + i)k−1 = W (0) (1 + i)k ,
...
t=m ,
W (m) = W (0) (1 + i)m .
Analogamente a quanto visto nel caso della legge degli interessi semplici, se supponiamo che la variabile t ∈ [0, m] sia continua, la funzione
(2)
W (t) = W (0) (1 + i)t ,
esponenziale rispetto a t, rappresenta come varia l’importo W (t), al variare di t.
Poichè i > 0, 1 + i > 1, la funzione esponenziale con base 1 + i è strettamente
monotona crescente.
W(t)
W(2)
W(1)
W(0)
0
1
2
t
Figura 1.5: Legge degli interessi in capitalizzazione composta
Esempio – Prendendo gli stessi valori già usati nel caso della legge lineare, W (0) =
100e , i = 0, 02 (tasso annuo), m = 6 anni, abbiamo:
W (6) = W (0) (1 + i)6 = 100 (1 + 0, 02)6 = 112, 616e .
16CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
Analogamente alla legge lineare, anche nel caso della legge esponenziale è facile,
dalla relazione (2), ricavare
- W (0) in funzione di W (t), i e t,
- i in funzione di W (t), W (0) e t,
- t in funzione di W (t), i e W (0).
Infatti da (2) segue subito che
W (0) =
W (t)
,
(1 + i)t
che fornisce W (0) in funzione di W (t), i e t.
Inoltre, sempre da (2) è immediato scrivere:
(3)
(1 + i)t =
W (t)
,
W (0)
da cui:
(1 + i) =
W (t)
W (0)
1t
,
cioè:
i=
W (t)
W (0)
1t
− 1,
che fornisce i in funzione di W (t), W (0) e t.
Considerando il logaritmo naturale di entrambi i membri della (3) otteniamo
ln(1 + i)t = ln
W (t)
,
W (0)
t ln(1 + i) = ln
W (t)
.
W (0)
da cui
Poiché da ciò segue che:
1.6. LA LEGGE DEGLI INTERESSI COMPOSTI (LEGGE ESPONENZIALE)17
ln
t=
W (t)
W (0)
ln(1 + i)
,
è risolto anche il problema di determinare t in funzione di W (t), i e W (0).
Esempi – Riproponiamo gli stessi esempi del paragrafo 4., ipotizzando una sottostante legge esponenziale.
1. Determinare W (0), sapendo che: W (t) = 120e , i = 0, 02, t = 3 anni. Questo
equivale a determinare quale è il capitale che dobbiamo impiegare oggi, secondo la
legge degli interessi composti al 2% annuo, per avere 120e tra 3 anni.
W (0) =
W (t)
120
=
= 113, 0784e .
3
(1 + i)
(1 + 0, 02)3
2. Determinare i, sapendo che: W (t) = 104, 25e , W (0) = 100e , t = 2 anni e 3
mesi.
i=
W (t)
W (0)
1t
−1=
104, 25
100
12
27
− 1 = 0, 01867 (annuo)
(1, 867%).
3. Determinare t, noti: W (t) = 106, 32e , W (0) = 102e , i = 3, 2%. Si tratta
di calcolare in quanto tempo un capitale di 102 e , disponibile in data odierna, se
investito secondo un contratto che prevede la legge degli interessi composti al tasso
annuo del 3, 2%, fornisce un montante di 106,32e .
ln
t=
W (t)
W (0)
ln(1 + i)
=
ln 106,32
102
= 1, 3169 anni.
ln(1, 032
Esprimendo il tempo in frazione di anno, poichè 0.3169 anni corrispondono a 114
giorni, cioè a 3 mesi e 24 giorni risulta che t è uguale a 1 anno, 3 mesi e 24 giorni.
Nota – La stessa procedura utilizzata con RicercaObiettivo di Excel per trovare
le grandezze nel caso della legge lineare, può essere usata anche nel caso della legge
esponenziale. Ovviamente la formula da usare è (2) al posto di (1). Si veda il file
CalcoloFinanziario.xls, foglio LeggeEsponenziale.
18CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
1.7
Tassi equivalenti in capitalizzazione esponenziale
Utilizzando lo stesso procedimento del paragrafo 5, supponiamo di disporre di 1e al
tempo 0 e di impiegarlo , secondo la legge esponenziale, al tasso annuo di interesse
i. Dopo 1 anno il montante di 1e è 1 + i e . Sia i(n) il tasso di interesse della legge
esponenziale su n1 -esimo di anno.
Disponendo di 1 e , al variare del tempo, avremo la seguente situazione rispetto al
montante maturato:
tempo
montante
dopo
di anno
1 + i(n)
di anno
dopo
(1 + i(n) )2
...
...
n
dopo n -esmi di anno (1 anno) (1 + i(n) )n
1
-esmo
n
2
-esmi
n
1+i (1+ i(n))
1
0
0
1+i(n) (1+i(n))
n
2
1 anni
1/n
2/n
n/n frazioni di anno
Figura 1.6: Tassi equivalenti in capitalizzazione composta
Pertanto il tasso annuo i e quello periodale i(n) sono equivalenti, cioè producono lo
stesso montante dopo un anno se
(4)
(1 + i) = (1 + i(n) )n .
Dalla (4) segue che :
(5)
i = (1 + i(n) )n − 1.
1.7. TASSI EQUIVALENTI IN CAPITALIZZAZIONE ESPONENZIALE
Inoltre, elevando a
1
n
19
entrambi i membri di (4), si ha
1
(1 + i) n = 1 + i(n) ,
da cui
(6)
1
i(n) = (1 + i) n − 1.
La (5) fornisce il tasso annuo, noto quello periodale e, viceversa, la (6) fornisce quello
periodale, noto quello annuo.
Osserviamo che le relazioni (5) e (6) sono diverse dalla relazioni tra i e i(n) trovate
nel paragrafo 5.
Esempi – Negli esempi che seguono troveremo il tasso equivalente a quello assegnato
ipotizzando una sottostante legge esponenziale.
1. Trovare il tasso annuo equivalente al tasso mensile i(12) = 0, 2%. Applicando la
(5), con n = 12, otteniamo:
i = (1 + i(12) )12 − 1 = (1 + 0, 002)12 − 1 = 0, 024266 (2, 43%).
Osserviamo che se avessimo ipotizzato una sottostante legge lineare avremmo ottenuto,
ilin = 12 × 0, 0002 = 0, 024 (2, 4%).
2. Trovare il tasso trimestrale i(4) equivalente al tasso annuo i = 4%. Applicando la
(6), con n = 4, otteniamo:
1
1
i(4) = (1 + i) 4 − 1 = (1 + 0, 04) 4 − 1 = 0, 009853 (0, 9853%).
Se avessimo ipotizzato una sottostante legge lineare, sarebbe stato
i(4) lin =
i
0, 04
=
= 0, 01 (1%).
4
4
3. Consideriamo il BOT con scadenza 30-5-2008. Siamo interessati a trovare il tasso
annuo equivalente al tasso periodale j(0, 99) = 0, 010314 su 99 giorni, ipotizzando
una sottostante legge esponenziale.
99
Osserviamo che j(0, 99) è il tasso su 365
-esimi di anno (facendo riferimento all’anno
solare), pertanto possiamo scrivere che il tasso i(0, 99) su base annua che stiamo
cercando è :
20CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
365
365
i(0, 99) = (1 + j(0, 99)) 99 − 1 = (1 + 0, 1031) 99 − 1 = 0, 038541165 (3, 85%).
Ripetendo la stessa procedura per gli altri BOT visti nel paragrafo 1, troviamo la
struttura per scadenza dei tassi (a pronti) ipotizzando una sottostante legge
esponenziale:
{i(0, s) : s ∈ {39, 99, 179, 361}},
che è riportata nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio BOT.
1.8
Osservazioni sui fattori di sconto
Il caso della legge esponenziale
Abbiamo visto che il valore al tempo t di un importo W (t) disponibile al tempo 0,
se ipotizziamo una sottostante legge esponenziale, è dato da
W (t) = W (0) (1 + i)t ,
(0 ≤ t ≤ s).
Pertanto,
W (t)
= (1 + i)t .
W (0)
Ricordando che
W (t)
= m(0, t),
W (0)
risulta:
m(0, t) = (1 + i)t
e v(0, t) =
1
= (1 + i)−t .
m(0, t)
Quindi la relazione già vista nel paragrafo 1.6 (Problemi inversi)
i=
W (t)
W (0)
1t
− 1,
fornisce il tasso di interesse su base annua (se il tempo è misurato in anni), noto il
fattore montante (oppure il fattore di sconto). Risulta infatti:
1.9. L’INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE
21
1
1
i = i(0, t) = m(0, t) t − 1 = v(0, t)− t − 1.
Notiamo che i(0, t) fornisce, al variare di t, la struttura per scadenza dei tassi di
interesse, su base annua, ipotizzando una sottostante legge esponenziale.
Esempio – Considerando il BOT con scadenza 30-5-2008,
v(0, 99) =
98, 98
= 0, 9898 ,
100
t = 99 gg =
99
-esimi di anno.
365
Pertanto
−
i(0, 99) = v(0, 99)
1
99
365
365
− 1 = (0, 9898)− 99 − 1 = 0, 03852
Il caso della legge lineare
Nel caso di una sottostante legge lineare, sappiamo che
W (t) = W (0) (1 + i t),
da cui:
W (t)
= 1 + i t = m(0, t)
W (0)
e
v(0, t) =
1
= (1 + i t)−1 .
m(0, t)
Possiamo pertanto scrivere
i t = m(0, t) − 1 =
da cui
i=
1.9
1
− 1,
v(0, t)
1
1 1 − v(0, t)
(m(0, t) − 1) =
.
t
t v(0, t)
L’intensità istantanea di interesse
Abbiamo definito l’intensità di interesse γ(0, s) tra 0 ed s come
(3, 85%).
22CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
γ(0, s) =
W (s) − W (0)
.
s W (0)
Il problema che ci poniamo ora è quello di vedere che cosa succede a γ(0, s), quando
l’ampiezza dell’intervallo [0, s] tende a zero; vogliamo cioè calcolare il lims→0 γ(0, s).
Osserviamo che l’analogo problema riferito al tasso di interesse j(0, s) tra 0 ed s
fornisce come risultato 0. Infatti
W (s) − W (0)
= 0,
s→0
W (0)
lim j(0, s) = lim
s→0
se supponiamo, come è ragionevole, che la funzione W (t) sia continua.
Calcoliamo allora il
W (s) − W (0)
s→0
s W (0)
lim γ(0, s) = lim
s→0
Se la funzione W (t) è derivabile in 0, abbiamo che
W (s) − W (0)
= W 0 (0)
s→0
s
lim
e quindi
lim γ(0, s) =
s→0
W 0 (0)
.
W (0)
L’ultima relazione caratterizza l’intensità istantanea di interesse nel punto 0.
Più in generale, consideriamo ora una operazione finanziaria che avviene nell’intervallo temporale [t, t + τ ], dove t è l’istante di valutazione (fino ad ora abbiamo
considerato t = 0) e τ è un incremento temporale positivo (fino ad ora, τ = s).
Analogamente a quanto definito nei paragrafi precedenti, possiamo considerare
j(t, t + τ ) =
W (t + τ ) − W (t)
W (t)
,
γ(t, t + τ ) =
W (t + τ ) − W (t)
.
τ W (t)
In modo simile possiamo anche definire d(t, t + τ ), β(t, t + τ ), etc.
Se W (t) è derivabile , allora l’intensità istantanea di interesse δ(t) è definita
come
1.9. L’INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE
23
W (t + τ ) − W (t)
1
W (t + τ ) − W (t)
W 0 (t)
=
lim
=
.
τ →0
τ W (t)
W (t) τ →0
τ
W (t)
δ(t) = lim γ(t, t + τ ) = lim
τ →0
Osserviamo che
δ(t) =
W 0 (t)
d
=
ln W (t).
W (t)
dt
Quindi, in generale, δ(t) è una funzione di t.
Nel caso della legge esponenziale è facile provare che la funzione δ(t) è costante.
Infatti si ha:
W 0 (t)
W (0) (1 + i)t ln(1 + i)
δ(t) =
=
= ln(1 + i).
W (t)
W (0) (1 + i)t
Poichè (1 + i) non dipende da t,
δ(t) = δ = ln(1 + i),
cioè δ è costante.
Esempio – Se i = 0, 03 (3%) è su base annua, allora l’intensità istantanea di interesse
δ è:
δ = ln(1 + i) = ln(1, 03) = 0, 0299588 anni−1
Osserviamo che poiché
δ = ln(1 + i),
si può scrivere
eδ = 1 + i.
Pertanto la legge esponenziale si può esprimere anche attraverso l’intensità istantanea di interesse δ nel seguente modo
W (t) = W (0) (1 + i)t = W (0) eδ
t
= W (0) eδ t .
Vediamo ora una semplice relazione riguardante le intensità equivalenti su basi
periodali diverse.
24CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
Sappiamo che se i(n) è il tasso periodale (su n1 - esimo di anno) equivalente al tasso
annuo i, ipotizzando una sottostante legge esponenziale, vale la relazione
1 + i = (1 + i(n) )n .
Considerando il logaritmo naturale di entrambi i membri, possiamo scrivere:
ln(1 + i) = ln(1 + i(n) )n = n ln(1 + i(n) ).
Indicando con δ(n) l’intensità istantanea di interesse (della legge esponenziale) su
1
-esimo di anno, abbiamo provato che
n
δ = n δ(n)
e quindi
δ(n) =
Esempio – Se δ = 0, 02 anni−1 , allora δ(2) =
1.10
δ
.
n
δ
2
= 0, 01 anni−1 .
Tassi nominali
Si chiama tasso nominale rinnovabile n volte all’anno , jnom (n), il prodotto
tra il tasso periodale i(n) su n1 -esimo di anno ed n.
Quindi:
jnom (n) = n i(n) .
Esempi – 1. Se i(12) = 0, 005 (0, 5%), il tasso nominale annuo corrispondente al
tasso mensile dello 0, 5% è dato da:
jnom (12) = n i(12) = 12 × 0, 005 = 0, 06 (6%).
2. Il tasso nominale annuo corrispondente al tasso trimestrale dell’ 1% è
jnom (4) = n i(4) = 4 × 0, 01 = 0, 04 (4%).
1.10. TASSI NOMINALI
25
Osserviamo che il tasso annuo nominale, rinnovabile n volte l’anno, è il tasso annuo
equivalente al tasso periodale i(n) , ipotizzando una sottostante legge lineare.
Sappiamo che:
jnom (n) = n i(n) .
Se scriviamo i(n) in funzione del tasso annuo della legge esponenziale i ad esso
equivalente, otteniamo :
1
jnom (n) = n i(n) = n [(1 + i) n − 1].
Poniamoci ora il problema di vedere che cosa succede a jnom (n) , quando n diventa
grande, noto il tasso di interesse su base annua della legge esponenziale. Questo
significa prendere in esame il tasso nominale corrispondente ad un assegnato tasso
su base annua i della legge esponenziale, suddividendo l’anno in n parti e poi fare
crescere n.
Dal punto di vista numerico è molto importante seguire le linee del calcolo. Nel
file CalcoloFinanziario.xls foglio TassiNominali, è riportato il calcolo di tassi
nominali, rinnovabili, rispettivamente 2, 4, 12, 52, 365, 720, 2500, 25000 volte,
corrispondenti al tasso annuo del 6%.
Dal punto di vista analitico, si tratta di calcolare il
1
lim jnom (n) = lim n i(n) = lim n [(1 + i) n − 1].
n→∞
n→∞
n→∞
Calcoliamo il limite, applicando il teorema de L’Hospital alla funzione
1
f (x) = x [(1 + i) x − 1].
Si ha che:
1
1
x
lim x [(1 + i) − 1] = lim
x→+∞
[(1 + i) x − 1]
1
x
x→+∞
= ln(1 + i)
1
(1 + i) x ln(i + i) (− x12 )
= lim
=
x→+∞
− x12
1
lim (1 + i) x = ln(1 + i),
x→+∞
perchè
1
lim (1 + i) x = 1.
x→+∞
26CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
Risulta pertanto che:
1
lim jnom (n) = lim n [(1 + i) n − 1] = ln(1 + i) = δ,
n→∞
n→∞
cioè limn→∞ jnom (n) coincide proprio con l’intensità istantanea di interesse δ.
1.11
Esercizi proposti
1. – Nel mercato obbligazionario italiano del 20 aprile 2009 è presente un buono ordinaro del Tesoro (BOT) con le seguenti caratteristiche: prezzo di emissione 99,31e,
durata 237 giorni, valore a scadenza 100e.
Calcolare:
1a. l’interesse;
1b. il tasso d’interesse;
1c. il tasso di sconto;
1d. l’intensità di interesse (in giorni−1 );
1e. l’intensità di sconto (in giorni−1 ).
Ipotizzando una sottostante legge lineare e considerando l’anno solare (365 gg),
determinare:
1f. il tasso annuo d’interesse;
1g. il tasso quadrimestrale d’interesse;
1h. il tasso biennale d’interesse.
Ipotizzando una sottostante legge esponenziale e considerando l’anno solare (365
gg), determinare:
1i. il tasso annuo d’interesse;
1j. il tasso semestrale d’interesse;
1k. il tasso quadrimestrale d’interesse;
1l. il tasso triennale d’interesse;
1.11. ESERCIZI PROPOSTI
27
1m. l’intensità istantanea di interesse su base annua;
1n. l’intensità istantanea di interesse su base semestrale.
2. – Trovare in quanto tempo (espresso in anni, mesi, giorni) un capitale di 1000e
fornisce un montante di 1095e se:
2a. impiegato secondo la legge degli interessi semplici al tasso annuo del 3%;
2b. impiegato secondo la legge degli interessi composti al tasso annuo del 3%.
3. – Un capitale di 1000e fornisce in 3 anni un montante di 1060e . Determinare
il tasso annuo di interesse:
3a. ipotizzando una sottostante legge lineare;
3b. ipotizzando una sottostante legge esponenziale.
4. – Ipotizzando che sia valida la legge degli interessi semplici, determinare il montante di un capitale di 1500e impiegato per 5 anni, 10 mesi e 27 giorni al tasso
annuo d’interesse del 2,4%.
5. – Ipotizzando che sia valida la legge degli interessi semplici, determinare quale è
il capitale che, impiegato per 175 giorni al tasso del 1,9%, fornisce un montante di
1234,26e .
6. – Ipotizzando che sia valida la legge degli interessi semplici, determinare in quanto
tempo 1500e forniscono il montante di 1621e , se impiegati al tasso del 4,3% annuo.
7. – Ipotizzando che sia valida la legge degli interessi semplici, calcolare il tasso di
interesse su base annua rispetto al quale un capitale di 1000e fornisce un montante
di 1095,32e in 3 anni.
8. – Svolgere gli esercizi 4., 5., 6. e 7., ipotizzando che sia valida la legge degli
interessi composti, invece che quella degli interessi semplici.
9. – Determinare il tasso trimestrale di interesse e il tasso mensile di interesse
equivalenti al tasso annuo del 4,3%:
9.a. ipotizzando una sottostante legge lineare;
28CAPITOLO 1. LE GRANDEZZE FONDAMENTALI DEL CALCOLO FINANZIARIO
9.b. ipotizzando una sottostante legge esponenziale.
10. – Determinare il tasso biennale di interesse equivalente al tasso annuo del 4,3%:
10.a. ipotizzando una sottostante legge lineare;
10.b. ipotizzando una sottostante legge esponenziale.
11. – Determinare il tasso di interesse su 55/365 di anno equivalente al tasso annuo
del 4,3%:
11.a. ipotizzando una sottostante legge lineare;
11.b. ipotizzando una sottostante legge esponenziale.
12. – Determinare il valore W (0) in t = 0 di un contratto che in t = 120 giorni
garantisce 100e in modo che il tasso di interesse relativo al periodo [0, 120] sia
l’1,34%. Dopo aver determinato W (0), calcolare le quantità richieste nei punti da
a. a n. dell’esercizio 1. (salvo quanto è già noto in questo caso).
13. – Determinare il pagamento W (150) che si deve prevedere in t = 150 giorni per
un contratto finanziario che vale oggi (t = 0) 100e , in modo che il tasso di interesse
relativo al periodo [0, 150] sia del 2,1%. Dopo aver determinato W (150), calcolare
le quantità richieste nei punti da a. a n. dell’esercizio 1. (salvo quanto è già noto in
questo caso).
14. – Calcolare in quanto tempo un capitale di 200e raddoppia se investito al tasso
annuo d’interesse del 9% in regime di capitalizzazione lineare.
15. – Calcolare in quanto tempo un capitale di 200e raddoppia se investito al tasso
annuo d’interesse del 9% in regime di capitalizzazione esponenziale.
Capitolo 2
Le operazioni finanziarie
2.1
Generalità
Una operazione finanziaria è una coppia di vettori (x, t), dove il vettore x =
(x1 , x2 , . . . , xm ) rappresenta il flusso degli importi e t = (t1 , t2 , . . . , tm ) (con t1 ≤
t2 ≤ · · · ≤ tm ) rappresenta i tempi tk di esigibilità, rispettivamente, degli importi
xk (1 ≤ k ≤ m ). Gli importi xk possono essere positivi, nel caso che siano incassi per una delle parti tra cui avviene l’operazione finanziaria, o negativi se invece
rappresentano pagamenti. Ovviamente per la controparte gli importi sono di segno
opposto.
Esempio – 1. L’acquisto del BOT con scadenza 30-5-2008 può essere visto, dal
punto di vista di chi acquista il titolo, come l’operazione finanziaria (x, t) con
x = (−98.98, 100)e
,
t = (0, 99) giorni.
Ovviamente, dal punto di vista della controparte, l’operazione
diventa:
x = (98.98, −100)e
,
t = (0, 99) giorni.
L’operazione finanziaria è rappresentata nella Figura 2.1.
Esempio – 2. Possiamo considerare l’operazione finanziaria (x, t) con
x = (−100, 2, 2, 2, 2, 2, . . . , 2, 102)e
,
t = (0, 1, 2, 3 . . . , 9, 10) semestri,
che può essere rappresentata come illustrato nella Figura 2.2.
Tale operazione finanziaria rappresenta l’acquisto di un titolo obbligazionario, detto
29
30
CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE
100
0
99
-98,98
Figura 2.1: BOT scad. 30-5-2008
102
2
2
2
2
. . . . .
0 1
2
3 . . . . .
-100
Figura 2.2:
9 10
sem
2.2. VALORE DI UNA OPERAZIONE FINANZIARIA.
31
a cedola fissa (TCF), un esempio del quale, nel mercato obbligazionario italiano è
il Buono Poliennale del Tesoro (BpT). In questo caso il titolo è emesso alla pari,
perché il prezzo di acquisto (100e) è uguale a quello di rimborso (100e). Tra poco
prenderemo in considerazione anche titoli emessi sotto la pari (prezzo di emissione
minore di 100e) o sopra la pari (prezzo di emissione maggiore di 100e). Nel nostro
caso la cedola semestrale è di 2e, quindi il tasso cedolare è del 2%, mentre il tasso
annuo nominale è del 4% (2 × 0, 02 = 0, 04).
2.2
Valore di una operazione finanziaria.
Il problema che ci poniamo ora è quello di valutare l’opportunità di scambio tra
l’importo investito al tempo 0 ed il flusso residuo, dal tempo 1 in poi.
Per capire bene la situazione, consideriamo il seguente esempio, cercando di valutare
una operazione finanziaria rispetto ad una assegnata legge esponenziale.
Esempio – 1.Consideriamo l’operazione finanziaria (x, t), con
x = (10, 12, 106)e
,
t = (1, 2, 3) anni,
rappresentata nel seguente modo:
106
10
0
1
12
2
3
Figura 2.3:
Valutiamo (x, t) rispetto alla legge esponenziale con un tasso annuo d’interesse i del
3%.
32
CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE
Il valore in 0 si ottiene scontando ciascun importo per il tempo corrispondente e
sommando i valori ottenuti. In particolare:
- Il valore in 0 di 10 disponibili in t = 1 è 10 (1.03)−1 ;
- Il valore in 0 di 12 disponibili in t = 2 è 12 (1.03)−2 ;
- Il valore in 0 di 106 disponibili in t = 3 è 106 (1.03)−3 .
Pertanto, il valore in 0 dell’operazione finanziaria è:
10 (1.03)−1 + 12 (1.03)−2 + 106 (1.03)−3 = 118, 02049e .
Risulta pertanto equo scambiare 118,02049e oggi con il flusso residuo (10, 12, 106)
e sullo scadenziario (1, 2, 3) anni, rispetto alla legge esponenziale con tasso annuo
d’interesse i del 3%.
Consideriamo l’operazione finanziaria (x’, t’) con:
x’ = (−118.02, 10, 12, 106)e ,
t’ = (0, 1, 2, 3) anni
Poichè il valore in 0 di (x, t) è 118, 02e il valore in 0 di (x’, t’) è 0. Risulta pertanto
equo, rispetto alla legge esponenziale con i = 0, 03, scambiare 118, 02 e in 0 con il
flusso residuo.
In generale, data l’operazione finanziaria (x, t), con:
x = (x1 , x2 , . . . , xm ) ,
t = (t1 , t2 , . . . , tm )
tale che 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . , ≤ tm , chiamiamo valore al tempo 0 dell’operazione
finanziaria (x, t), rispetto ad una assegnata legge esponenziale con tasso di interesse
i , il numero W (0, x) data da :
−t1
W (0, x) = x1 (1 + i)
−t2
+ x2 (1 + i)
−tm
+ · · · + xm (1 + i)
=
m
X
xk (1 + i)−tk .
k=1
Osserviamo che ci deve essere coerenza tra la base temporale in cui si assegna il
tasso e l’unità di misura del tempi (per esempio, se il tempo è misurato in anni,
il tasso i deve essere espresso su base annua, se il tempo è misurato in semestri, il
tasso deve essere su base semestrale, etc.)
Indicando con v il fattore di sconto, poichè v = (1 + i)−1 , risulta che:
W (0, x) =
m
X
k=1
xk v tk .
2.2. VALORE DI UNA OPERAZIONE FINANZIARIA.
33
Ricordiamo che, dati due vettori in Rm ,



a=


a1
a2
a3
...
am









b=


,
b1
b2
b3
...
bm






si chiama prodotto interno (o prodotto scalare) tra i vettori a e b il numero:
a · b = a1 b 1 + a2 b 2 + · · · + an b n =
m
X
ak bk .
k=1
Da come abbiamo definito il valore W (0, x) in 0 dell’operazione finanziaria (x, t),
segue subito che W (0, x) può essere considerato come il prodotto scalare tra il vettore
x degli importi e quello v dei fattori di sconto :



x=


x1
x2
x3
...
xm









v=


,
v t1
v t2
v t3
...
v tm



.


Esempio – 2. Consideriamo l’operazione finanziaria (x, t), rappresentata nella Figura 2.4, con:
x = (10, −15, 12, 107)e ,
t = (1, 2, 3, 4) anni
Osserviamo che l’operazione finanziaria (x, t) consiste nell’incassare 10e tra 1 anno,
12e tra 3 anni e 107e tra 4 anni e nel pagare 15e tra due anni.
Vogliamo valutare (x, t) al tempo 0 , rispetto alla legge esponenziale con tasso
semestrale di interesse del 2%. Poichè il tasso è su base semestrale ed il tempo è
misurato in anni, abbiamo due possibilità :
(a) Calcolare il tasso annuo i0 equivalente, in capitalizzazione esponenziale, al tasso
semestrale i = 2% e valutare l’operazione finanziaria rispetto a i0 .
(b) Misurare il tempo in semestri e valutare l’operazione finanziaria rispetto ad i.
Procedendo alla valutazione, abbiamo :
(a) Il tasso i0 è:
34
CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE
107
10
0
1
12
2
3
4
-15
Figura 2.4:
i0 = (1 + i)2 − 1 = (1.02)2 − 1 = 0, 0404 (4, 04%).
Quindi:
W (0, x) = 10 (1, 0404)−1 −15 (1, 0404)−2 +12 (1, 0404)−3 +107 (1, 0404)−4 = 97, 737e .
(b) Valutiamo rispetto ad i e misurando il tempo in semestri lo scadenziario diventa:
(2, 4, 6, 8),
quindi:
W (0, x) = 10 (1, 02)−2 − 15 (1, 02)−4 + 12 (1, 02)−6 + 107 (1, 02)−8 = 97, 737e
Applicando l’osservazione già vista relativa al fatto che W (0, x) è il prodotto scalare
tra il vettore x degli importi e quello v dei fattori di sconto, nel caso dell’esempio
precedente possiamo usare la funzione MATRICE.SOMMA.PRODOTTO di Excel che ci
consente di calcolare il prodotto scalare tra vettori.
Nel caso del nostro esempio si tratta di calcolare, nel caso (a), il prodotto scalare
tra i vettori :
2.2. VALORE DI UNA OPERAZIONE FINANZIARIA.


10
 −15 

x=
 12 
107
35

1, 0404)−1
 (1, 0404)−2 

v=
 (1, 0404)−3 
(1, 0404)−4

,
Il calcolo svolto nel file CalcoloFinanziario.xls, foglio OperazioniFinanziarie,
Esempio 1.
Esempio – 3. Consideriamo un Buono poliennale del Tesoro (BTP), emesso alla pari,
con cedola semestrale del 2%, valore nominale 100, (poichè la cedola è semestrale,
il tasso annuo nominale del 4%). La durata del titolo è 5 anni.
Il flusso delle cedole, con rimborso del valore nominale alla scadenza è rappresentato
dalla operazione finanziaria:
x = (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 102)e
,
t = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) semestri.
Il valore al tempo 0 del titolo è W (0, x), prodotto scalare di:



x=


2
2
...
2
102









v=


,
(1, 02)−1
(1, 02)−2
...
(1, 02)−9
(1, 02)−10






che fornisce W (0, x) = 100 e .
Vedere il foglio OperazioniFinanziarie, Esempio 2.
Fino ad ora abbiamo valutato una operazione finanziaria al tempo 0, rispetto ad
una assegnata legge esponenziale. Vogliano valutare una operazione finanziaria in
un qualsiasi istante.
Sia (x, t) l’operazione finanziaria
x = (x1 , x2 , . . . , xm ) ,
t = (t1 , t2 , . . . , tm )
e sia t un qualunque istante maggiore o uguale a 0.
Per trovare il valore dell’operazione finanziaria al tempo t, che indicheremo con
W (t, x), dobbiamo :
- Capitalizzare tra tj e t gli importi esigibili prima di t;
- Scontare tra t e tj gli importi esigibili dopo di t.
36
CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE
Quindi se, ad esempio, come nella Fig. 2.5, t2 < t < t3 e i è il tasso d’interesse della
legge esponenziale,
W (t, x) = x1 (1+i)t−t1 +x2 (1+i)t−t2 +x3 (1+i)−(t3 −t) +· · ·+xm−1 (1+i)−(tm−1 −t) +xm (1+i)−(tm −t) .
x2
x3
xm
x1
0
t
t
1
t
2
t
3
...
t
m-1
t
m
x m-1
Figura 2.5:
Osserviamo che se tj < t, il fattore montante (1 + i)t−tj può essere scritto come
(1 + i)t−tj = (1 + i)−(tj −t) .
Pertanto, indipendentemente dalla posizione di t rispetto agli istanti dello scadenziario , possiamo scrivere
W (t, x) = x1 (1+i)−(t1 −t) +x2 (1+i)−(t2 −t) +x3 (1+i)−(t3 −t) +· · ·+xm (1+i)−(tm −t) =
=
m
X
xk (1 + i)−(tk −t) .
k=1
Nella relazione scritta, gli esponenti −(tj − t) sono negativi se tj > t e positivi se
tj < t.
Osserviamo che W (t, x) è il prodotto scalare tra i vettori






x1
x2
x3
...
xm












,
(1 + i)−(t1 −t)
(1 + i)−(t2 −t)
(1 + i)−(t3 −t)
...
(1 + i)−(tm −t)



.


2.2. VALORE DI UNA OPERAZIONE FINANZIARIA.
37
Poniamoci ora il problema di trovare, per una operazione finanziaria (x, t) rispetto
ad una assegnata legge esponenziale con tasso di interesse i, una relazione tra i valori
W (0, x) e W (t, x) .
Sappiamo che, usando le stesse notazioni introdotte:
W (t, x) =
m
X
xk (1 + i)−(tk −t)
,
W (0, x) =
k=1
m
X
xk (1 + i)−tk .
k=1
Pertanto possiamo scrivere:
W (t, x) =
m
X
−tk +t
xk (1 + i)
=
m
X
−tk
xk (1 + i)
t
t
(1 + i) = (1+i)
k=1
k=1
m
X
k=1
= (1 + i)t W (0, x).
Quindi la relazione cercata è
W (t, x) = (1 + i)t W (0, x),
da cui ovviamente
W (0, x) = (1 + i)−t W (t, x).
Quanto ora scritto è rappresentato nella figura 2.6.
W(t,x)
W(0,x)
t
(1+i)
0
t
(1+i)-t
Figura 2.6:
xk (1 + i)−tk =
38
CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE
Le relazioni ora scritte ci consentono di dire che il valore W (t, x) al tempo t si ottiene
dal valore W (0, x) al tempo 0 capitalizzandolo tra 0 e t e viceversa, il valore al tempo
0 si trova scontando quello al tempo t, tra 0 e t.
2.3
Operazioni finanziarie eque
Una operazione finanziaria (x, t), con
x = (x1 , x2 , . . . , xm ) importi ,
t = (t1 , t2 , . . . , tm ) tempi,
si dice equa al tempo 0, rispetto ad una assegnata legge esponenziale, se W (0, x) =
0.
Più in generale, la stessa operazione finanziaria si dice equa al tempo t, rispetto ad
una assegnata legge esponenziale, se W (t, x) = 0. Osserviamo che, se W (0, x) = 0,
cioè se l’operazione finanziaria è equa al tempo 0 , rispetto ad una assegnata legge
esponenziale, lo è anche in qualunque istante t ( con t > 0), sempre rispetto alla
stessa legge esponenziale.
Infatti se W (0, x) = 0,
W (t, x) = (1 + i)t W (0, x) = (1 + i)t 0 = 0.
Esempio – 1. Considerando l’esempio 2. del paragrafo precedente, possiamo dire
che l’operazione finanziaria (x’, t’) con
x’ = (−97.737, 10, −15.12, 107)e
,
t’ = (0, 1, 2, 3.4) anni,
risulta equa al tempo 0, rispetto alla legge esponenziale con tasso di interesse su
base annua del 4, 04%.
Infatti il valore, al tempo 0 dell’operazione finanziaria (x, t), come è stato calcolato
nel paragrafo precedente è di 97, 737 e quindi, aggiungendo al tempo 0 l’importo
-97,737 ( cioè pagando 97,737e ), l’operazione finanziaria (x’, t’) è equa in 0, infatti
W (0, x’) = −97, 737 + 97, 737 = 0.
Poichè l’operazione finanziaria (x’, t’) è equa in 0, rispetto alla assegnata legge
esponenziale, è equa in qualsiasi altro istante.
2.4. VALUTAZIONE RISPETTO AD UNA STRUTTURA PER SCADENZA 39
2.4
Valutazione rispetto ad una struttura per scadenza
Consideriamo una operazione finanziaria (x, t) così definita
x = (x1 , x2 , . . . , xm ) importi ,
t = (t1 , t2 , . . . , tm ) tempi,
con t1 ≤ t2 ≤ . . . , ≤ tm .
Supponiamo di conoscere la struttura per scadenza dei tassi di interesse (a pronti)
in vigore nel mercato al tempo 0:
i(0, t1 ), i(0, t2 ), , i(0, t3 ), . . . , i(0, tm ).
Ciò equivale a conoscere, come abbiamo visto nel capitolo 1, i prezzi dei titoli a cedola
nulla unitari, valutati al tempo 0 e con scadenza tj (j = 1, 2, 3, . . . , k). Tali prezzi
possono essere considerati anche come i fattori di sconto tra 0 e tj (j = 1, 2, 3, . . . , k).
Indichiamo tali grandezze con
v(0, t1 ), v(0, t2 ), , v(0, t3 ), . . . , v(0, tm ),
k = 1, 2, 3, . . . , m.
Nel paragrafo 1.8 abbiamo visto che la relazione tra i(0, tk ) e v(0, tk ),(k = 1, 2, 3, . . . , m)
è la seguente:
− t1
i(0, tk ) = v(0, tk )
k
−1 ,
v(0, tk ) = (1 + i(0, tk ))−tk .
E’ molto importante poter valutare l’operazione finanziaria (x, t) rispetto alla struttura per scadenza in vigore al tempo 0. Questo equivale a valutare l’operazione
finanziaria rispetto al mercato. Per valutare l’operazione finanziaria rispetto al mercato, dobbiamo valutare l’importo esigibile al tempo tk rispetto al tasso i(0, tk ) (con
k = 1, 2, 3, . . . , m).
Indichiamo con V (0, x) il valore dell’operazione finanziaria (x, t) rispetto alla struttura per scadenza. Abbiamo che:
V (0, x) = x1 (1 + i(0, t1 ))−t1 + x2 (1 + i(0, t2 ))−t2 + · · · + xm (1 + i(0, tm ))−tm =
= x1 v(0, t1 ) + x2 v(0, t2 ) + · · · + xm v(0, tm ).
Usando il simbolo di sommatoria:
V (0, x) =
m
X
k=1
xk (1 + i(0, tk ))−tk =
m
X
k=1
xk v(0, tk ).
40
CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE
Osserviamo che, anche in questo caso V (0, x) è il prodotto scalare tra i vettori




x1
v(0, t1 )
 x2 
 v(0, t2 ) 




 e v =  v(0, t3 )  .
x
x=
3




 ... 
 ...

xm
v(0, tm )
Esempio – Se (x, t) è l’operazione finanziaria dell’esempio 1 del paragrafo 2.2, supponiamo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse (su base annua) in vigore
sul mercato al tempo 0 sia la seguente:
i(0, 1) = 3, 61% , i(0, 2) = 3, 92% , i(0, 3) = 4, 08% , i(0, 4) = 4, 21%.
Il valore dell’operazione finanziaria al tempo 0 è :
V (0, x) = 10 (1+i(0, 1))−1 −15 (1+i(0, 2))−2 +12 (1+i(0, 3))−3 +107 (1+i(0, 4))−4 =
= 10 v(0, 1) − 15 v(0, 2) + 12 v(0, 3) + 107 v(0, 4) = 97, 1312e .
Facendo il prodotto scalare tra i vettori



10
v(0, 1)
 −15 
 v(0, 2)


x=
 12  e v =  v(0, 3)
107
v(0, 4)



0, 9651578
  0, 92598025 
=

  0, 88669238  ,
0, 84793472
ovviamente si ottiene lo stesso risultato:
V (0, x) = 97, 1312e .
2.5
Esercizi proposti
1. – Sia data l’operazione finanziaria (x,t), con:
x = (15, −8, 16, −9, 18, 110) e e t = (1, 2, 3, 4, 5, 6) anni.
a. Ipotizzando una sottostante legge esponenziale con il tasso annuo del 4.2%,
calcolare:
(a.1) il valore W (0, x) dell’operazione finanziaria (x,t) in 0;
2.5. ESERCIZI PROPOSTI
41
(a.2) quale è l’importo P che bisogna aggiungere al tempo 0 in modo che
l’operazione finanziaria (x’, t’), con :
x’ = (P, 15, −8, 16, −9, 18, 110)e e t’ = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) anni,
sia equa in t = 0.
(a.3) il valore W (t, x )dell’operazione finanziaria al tempo t = 3 anni e t = 4.5
anni.
b. Calcolare il valore V (0, x) dell’operazione finanziaria (x,t), rispetto alla seguente struttura per scadenza dei tassi d’interesse (su base annua):
i(0, 1) = 3.8%, i(0, 2) = 3.9%,
4.3%, i(0, 6) = 4.4%.
i(0, 3) = 4.1%,
i(0, 4) = 4.2%,
i(0, 5) =
2. – Sia data l’operazione finanziaria (x,t), con:
x = (2.3, 2.3, 2.3, 2.3, 2.3, 102.3) e e t = (1, 2, 3, 4, 5, 6) semestri.
a. Ipotizzando una sottostante legge esponenziale con il tasso semestrale del 2,3%,
calcolare:
(a.1) il valore W (0, x) dell’operazione finanziaria (x,t) in 0;
(a.2) quale è l’importo P che bisogna aggiungere al tempo 0 in modo che
l’operazione finanziaria (x’, t’), con :
x’ = (P, 2.3, 2.3, 2.3, 2.3, 2.3, 102.3)e e t’ = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) semestri,
sia equa in t = 0.
b. Calcolare il valore V (0, x) dell’operazione finanziaria (x,t), rispetto alla seguente struttura per scadenza dei tassi d’interesse (su base semestrale):
i(0, 1) = 1.9%, i(0, 2) = 2.1%,
2.3%, i(0, 6) = 2.5%.
i(0, 3) = 2.2%,
i(0, 4) = 2.3%,
i(0, 5) =
3. – Data l’operazione finanziaria (x,t), con:
x = (P, 10, 20, 30, 40, 50, 60) e e t = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) semestri.
Determinare quale è l’importo P al tempo 0 che rende equa l’operazione finanziaria
rispetto al tasso annuo d’interesse della legge esponenziale del 4,9%.
4. – Sia data l’operazione finanziaria (x, t), con:
42
CAPITOLO 2. LE OPERAZIONI FINANZIARIE
x = (50, 60, 70, 80, 90, 100)e e t = (1, 2, 3, 4, 5, 6) semestri.
a. Trovare i valori W (0, x) e W (3, x) dell’operazione finanziaria al tempo 0 e al
tempo 3, rispettivamente (essendo il tempo misurato in semestri), ipotizzando
una sottostante legge esponenziale con tasso annuo d’interesse del 3,9%.
b. Ipotizzando che, al tempo 0 sul mercato valga la seguente struttura per scadenza dei tassi d’interesse su base semestrale: i(0, 1) = 2%, i(0, 2) = 2, 2%, i(0, 3) =
2, 6%, i(0, 4) = 2, 7%, i(0, 5) = 2, 9%, i(0, 6) = 3, 1%, trovare il valore V al
tempo 0 dell’operazione finanziaria (x, t), rispetto alla struttura.
Capitolo 3
Il tasso interno di rendimento
3.1
L’equazione del tasso interno di rendimento
Data una operazione finanziaria (x, t), caratterizzata da un flusso di importi:
x = (x0 , x1 , x2 , . . . , xm )
su uno scadenziario:
t = (t0 , t1 , t2 , . . . , tm ),
(con t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tm ), si chiama tasso interno di rendimento (TIR)
della operazione finanziaria, il tasso di interesse (su base annua) della legge
esponenziale che rende equa l’operazione finanziaria (x, t).
Sappiamo che il valore in t0 di (x, t) è dato da:
W (t0 , x) =
m
X
xk (1 + i)−(tk −t0 ) .
k=0
Quindi il tasso interno di rendimento è quel tasso di interesse della legge
esponenziale per cui risulta:
W (t0 , x) = 0,
cioè
(1)
m
X
xk (1 + i)−(tk −t0 ) = 0.
k=0
Il tasso interno di rendimento è quindi la soluzione i∗ dell’equazione (1) che si
chiama equazione del TIR.
43
44
CAPITOLO 3. IL TASSO INTERNO DI RENDIMENTO
In pochissimi casi l’equazione del TIR è facile da risolvere; nella maggior parte
delle situazioni per risolverla bisogna ricorrere al calcolo approssimato.
Se i pagamenti sono periodici, l’equazione del TIR si può scrivere in una forma
più semplice. Parlare di pagamenti periodici significa che gli elementi dello
scadenziario sono equidistribuiti, cioè che
tk = k,
k = 0, 1, 2, . . . , m.
Il primo membro dell’equazione (1) diventa:
m
X
xk (1 + i)
−k
k=0
=
m
X
xk v k ,
k=0
dove v = (1 + i)−1 è il fattore di sconto.
L’equazione dl TIR (1) si può scrivere come :
(2)
m
X
xk v k = 0,
k=0
la cui soluzione v ∗ , tramite la relazione che esprime il tasso di interesse in
funzione del fattore di sconto, fornisce il tasso interno di rendimento
i∗ =
1
− 1.
v∗
Esempio 1 – Se consideriamo l’operazione finanziaria con flusso di pagamenti.
x = (−98, 2, 102)e ,
t = (0, 1, 2) anni,
l’equazione (2) e TIR diventa:
−98 + 2 v + 102 v 2 = 0.
Osserviamo che è una equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono:
√
−2
±
4 + 39984
−2 ± 199, 97
v∗ =
=
, v1∗ = 0, 970441 , v2∗ = −0, 990049.
204
204
Chiaramente la seconda radice non è accettabile in quanto negativa. Pertanto
il TIR è il valore i∗ tale che
i∗ =
1
− 1 = 0, 03045916 (3, 046%).
v∗
3.1. L’EQUAZIONE DEL TASSO INTERNO DI RENDIMENTO
45
Osserviamo che l’equazione (2) è una equazione di grado n in v. Dal teorema
fondamentale dell’algebra sappiamo che una tale equazione ammette, al più,
n soluzioni reali. Tuttavia non abbiamo un procedimento per trovare tali
soluzioni. Siamo sempre in grado di risolvere le equazioni di primo e secondo
grado. Per quelle di terzo e quarto grado esistono formule risolutive, anche se
sono difficili e complicate da applicare. E’ stato dimostrato da E.Galois (1820)
che una generica equazione algebrica di grado n (cioè una equazione ottenuta
uguagliando a zero un polinomio di grado n) non può essere risolta attraverso
una formula risolutiva chiusa, se n > 4.
L’esempio 1 ci convince che solo in pochissimi casi saremo in grado di risolvere in forma chiusa l’equazione del TIR. Risulta pertanto necessario individuare un modo per avere soluzioni approssimate. A tale scopo utilizzeremo il Risolutore di Excel, attraverso Ricerca obiettivo (Vedere il file
CalcoloFinanziario.xls, foglio TIR, Esempio 0.)
L’esempio 1 può essere risolto facilmente anche con tale metodo, scrivendo l’operazione finanziaria nel seguente modo, avendo impostato il tasso di interesse
su di un valore arbitrario (per esempio 0, 025):
tempi importi
0
-98e
1
2e
2
102e
fattori di sconto
1
−1
(1 + 0, 025)
(1 + 0, 025)−2
Si può facilmente calcolare il valore in 0 di tale operazione finanziaria facendo
il prodotto scalare tra i vettori:




−98
1
2  e v =  (1 + 0, 025)−1  ,
x=
102
(1 + 0, 025)−2
ottenendo il valore:
W (0, x) = 1, 03628e .
A questo punto, usando Ricerca obiettivo (nel menù Strumenti di Excel)
si può richiedere di impostare la cella in cui è scritto il valore di W (0, x)
al valore 0, cambiando la cella del tasso; si ottiene in questo modo il TIR
i∗ = 0.030459 (ovviamente lo stesso valore che abbiamo ottenuto risolvendo
l’equazione). Per maggiori dettagli di veda il file CalcoloFinanziario.xls,
foglio TIR.
Il metodo ora introdotto funziona indipendentemente dal grado dell’equazione
del TIR, consentendo pertanto di trovare il TIR di una operazione finanziaria
su di uno scadenziario equidistribuito.
46
CAPITOLO 3. IL TASSO INTERNO DI RENDIMENTO
Un esempio in cui è possibile calcolare il TIR di una operazione finanziaria
su di uno scadenziario con più di tre date è quello di un titolo a cedola fissa
emesso alla pari (es.BpT).
Esempio 2 – Consideriamo il BpT con cedola semestrale del 3%, valore nominale di rimborso 100, durata 5 anni, emesso alla pari. Il titolo si schematizza
secondo l’operazione finanziaria con flusso:
x = (−100, 3, 3, 3, 3, . . . , 3, 103)e ,
sullo scadenziario:
t = (0, 1, 2, 3, 4, . . . , 9, 10) semestri.
E’ facile dimostrare che il TIR dell’operazione finanziaria, su base semestrale,
è il tasso cedolare del 3%, oppure, su base annua, il tasso annuo equivalente,
secondo la legge esponenziale, al tasso semestrale del 3% (cioè al tasso del
6, 09%).
Infatti, l’equazione del TIR è:
−100 + 3 v + 3 v 2 + 3 v 3 + . . . 3 v 9 + 103 v 10 = 0,
avendo posto v =
1
.
1+i
L’equazione precedente può essere scritta:
−100 + 3 (v + v 2 + v 3 + . . . v 9 ) + (100 + 3) v 10 = 0,
da cui
−100 + 3 (v + v 2 + v 3 + . . . v 9 + v 10 ) + 100 v 10 = 0.
Ricordando che:
v + v 2 + v 3 + . . . v 9 + v 10 = v
1 − v 10
,
1−v
in quanto somma di una progressione geometrica, possiamo scrivere:
−100 (1 − v 10 ) + 3 v
1 − v 10
= 0.
1−v
Da cui, mettendo in evidenza il fattore 1 − v 10 , otteniamo:
3v
10
(1 − v )
− 100 = 0.
1−v
3.1. L’EQUAZIONE DEL TASSO INTERNO DI RENDIMENTO
47
Questo significa che
1 − v 10 = 0 ,
v 10 = 1,
che fornisce le soluzioni v = 1 e v = −1 che non sono finanziariamente
significative, oppure:
3v
100
− 100 = 0 , 103 v = 100 , v =
.
1−v
103
Osserviamo che il valore di v coincide con il rapporto tra il valore nominale (100
e) e il valore nominale + la cedola semestrale (103 e). L’equazione del TIR
è pertanto ridotta ad una equazione di primo grado. Pertanto v = 0, 9708738.
Risalendo al tasso periodale, si ottiene il tasso semestrale:
i=
1
− 1 = 0, 03,
v
che equivale al tasso annuo del 6, 09%.
Ovviamente allo stesso risultato si può arrivare calcolando il prodotto scalare
tra i vettori




−100
1, 030
 3 
 1, 03−1 




 e v =  1, 03−2  ,
3
x=





 ... 
 ...
−10
1, 03
103
come fatto nel foglio TIR del file CalcoloFinanziario.xls(esempio BpT).
Il procedimento illustrato per il calcolo del TIR di un BpT emesso alla pari
non può essere utilizzato se il titolo non è emesso sopra alla pari o sotto la pari.
In ciascuno di questi due casi l’equazione del TIR resta un’equazione algebrica
di grado n (non riconducibile ad una di primo grado come nel caso di un
titolo emesso alla pari). Pertanto l’unica possibilità per risolvere l’equazione
del TIR è quella di ricorrere al calcolo approssimato. Come abbiamo già visto
nell’esempio 0, possiamo utilizzare a tele scopo Ricerca obiettivo.
Consideriamo gli esempi che si trovano nel foglio TIR del file CalcoloFinanziario.xls
e dopo aver preso un tasso di interesse qualsiasi (per esempio 3%), per fare la
valutazione usiamo Ricerca obiettivo, richiedendo di impostare al valore 0
la casella in cui è scritto il valore di W (0, x), cambiando la cella del tasso. Il valore che si ottiene (Foglio TIR, esempio BpT emesso sotto la pari) è i = 3, 24%
su base semestrale, equivalente al 6, 58% su base annua. Analogamente se il
BpT è emesso sopra la pari si può ottenere il TIR in modo approssimato con
lo stesso procedimento. Ovviamente in questo caso il TIR sarà inferiore al
tasso cedolare. Per ulteriori esempi si veda il foglio TIR ed il successivo foglio
Esercizi nel file CalcoloFinanziario.xls.
48
CAPITOLO 3. IL TASSO INTERNO DI RENDIMENTO
3.2
Le funzioni di Excel TIR.COST e TIR.X
Excel dispone di due funzioni che, senza scrivere esplicitamente la formula di
valutazione, permettono di trovare il valore del TIR.
3.2.1 La funzione TIR.COST
TIR.COST fornisce il TIR di una operazione finanziaria su di uno scadenziario
equidistribuito. Il risultato ottenuto è un tasso sulla base della stessa periodicità dello scadenziario (per esempio, se lo scadenziario è mensile, si ottiene
un TIR su base mensile). Per ottenere il TIR su base annua, bisogna usare la
formula dei tassi equivalenti.
Esempio 1. – (Finanziamento di credito al consumo) Per acquistare un bene
del valore di 1000 e si propone il pagamento di 10 rate mensili posticipate
di 100 e più il versamento di una rata di 100 e al momento dell’acquisto.
Vogliamo determinare il TIR dell’operazione finanziaria che ha un flusso
x = (1000 − 100, −100, −100, . . . , −100, −100) e
sullo scadenziario
x = (0, 1, 2, 3, . . . , 9, 10) mesi
Per valutare il TIR su base mensile, usando TIR.COST, basta scrivere il vettore
x e poi, seguendo le istruzioni di TIR.COST, evidenziarlo. Si ottiene subito
il tasso su base mensile dell’1, 96%4 equivalente al tasso annuo del 26, 27%
(Foglio TIR.COST e TIR.X del file CalcoloFinanziario)
Osservazioni – 1. Nelle operazioni di credito al consumo, il TIR , dal punto di
vista giuridico, si chiama TAEG (Tasso annuo effettivo globale) ed è regolato
dal decreto legislativo 385/93. La definizione ed i criteri di calcolo del TAEG
sono stabiliti con decreto del Ministero del Tesoro dell’8-7-1992. E’ importante
notare che il TAEG è espresso su base annua e non su base periodale. Quindi
nell’esempio precedente si deve dire che il TAEG è il 26, 27%, ma non si può
affermare che il TAEG mensile è l’ 1, 96%.
2. Alle stesse conclusioni dell’esempio 1 si può giungere usando l’equazione
del TIR e poi Ricerca obiettivo
3.2.2 La funzione TIR.X
TIR.X fornisce il TIR, su base annua, di una operazione finanziaria su di uno
scadenziario qualunque. Per usare TIR.X è necessario attivare gli Strumenti di analisi
di Excel, dal menù Strumenti, Componenti aggiuntivi.
Per valutare il TIR di una operazione finanziaria su uno scadenziario qualunque, bisogna semplicemente selezionare lo scadenziario (scritto in date) ed il
flusso di importi e seguire le istruzioni della finestra.
3.3. ESERCIZI PROPOSTI
49
Esempio 2 – Nel foglio TIR.COST e TIR.X del file CalcoloFinanziario si
trova la valutazione del TIR di una operazione finanziaria in cui lo scadenziario
scritto sotto forma di date, usando TIR.X.
Osservazione – Sia TIR.X che TIR.COST usano un processo iterativo per trovare
il tasso interno di rendimento. Il punto di partenza del processo, in entrambi
casi è 10%. Generalmente con questo punto di partenza si riesce ad ottenere
il risultato. Se tuttavia si manifestano problemi, bisogna aggiungere nella
finestra che si apre (sia in TIR.COST che in TIR.X) un diverso punto di partenza
del processo, dove è indicato Ipotesi.
3.3
Esercizi proposti
Le parti di esercizio indicate con (*) è consigliato svolgerle con l’ausilio del
computer, quelle indicate con (**) è necessario svolgerle usando il foglio elettronico
1. – Determinare quale è l’importo P al tempo 0 che rende equa l’operazione finanziaria x = (P, −150, −150, −150, −150, −150, −150, 150, −150)e sullo
scadenzario t = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) anni, rispetto alla legge esponenziale con
tasso annuo d’interesse del 5%.
(** ) Determinare inoltre quale è il tasso d’interesse della legge esponenziale
che rende equa l’operazione finanziaria precedente prendendo P = 1000e .
2. – Sia dato il flusso di importi monetari x = (−45, −45, 100)e , esigibili secondo lo scadenzario t = (0, 1, 2) anni. Calcolare il tasso interno di rendimento
(TIR) su base annua dell’operazione finanziaria (x, t).
Determinare inoltre l’importo P che bisogna pagare al tempo 0 al posto di
45e in modo che il TIR dell’operazione finanziaria sia del 6% su base annua.
3. – (*) Una azienda intende accedere a un finanziamento per un ampliamento
dell’attività ed è disposta a pagare rate semestrali posticipate di 10000e per
15 anni, al tasso annuo del 5.2%. Quale sarà l’importo del finanziamento?
4. – (**)Determinare il TIR di un BTP di valore nominale (di rimborso)
100e , durata 7 anni, prezzo di emissione 98.5e , cedola semestrale e tasso
annuo nominale del 6%.
50
CAPITOLO 3. IL TASSO INTERNO DI RENDIMENTO
5. – (**) Considerare l’operazione finanziaria dell’esercizio 2. del capitolo
2. Indicato con V = V (0, x) il valore dell’operazione finanziaria rispetto alla struttura per scadenza dei tassi indicata nel punto b., trovare quale è il
tasso d’interesse su base semestrale della legge esponenziale rispetto al quale
l’operazione finanziaria (x”, t’), con x” = (−V, 2.3, 2.3, 2.3, 2.3, 2.3, 102.3)e e
t’ = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) semestri, sia equa in t = 0.
6. – (**) Determinare il TAEG relativo al finanziamento dell’acquisto di un
bene del valore di 4000e con 10 rate trimestrali posticipate di 410e e costo per
l’attivazione del finanziamento di 100e (da versare al momento della stipula
del contratto, che avviene al momento della consegna del bene).
7. – (**) Il 23-06-2009 per finanziare l’acquisto di un bene del valore di
1000e era previsto il pagamento di otto rate bimestrali di 100e a partire
dal 20-09-2009, più il pagamento di 250e il 23-02-2011. Determinare il TIR
dell’operazione finanziaria su base annua.
8. – Sia data l’operazione finanziaria (x, t), con:
x = (−5000, −5300, −5000, −5500, −5000, −5500)e e t = (1, 2, 3, 4, 5, 6) quadrimestri.
8a. Trovare il valore W (0, x) dell’operazione finanziaria al tempo 0 ipotizzando una sottostante legge esponenziale con tasso annuo d’interesse del
4%.
8b. Ipotizzando che, al tempo 0 sul mercato valga la seguente struttura per
scadenza dei tassi d’interesse su base quadrimestrale: i(0, 1) = 1, 5%, i(0, 2) =
1, 7%, i(0, 3) = 1, 8%, i(0, 4) = 2%, i(0, 5) = 2, 1%, i(0, 6) = 2, 3%,, trovare il valore V al tempo 0 dell’operazione finanziaria (x, t), rispetto alla
struttura.
8c. (**)Trovare il TIR su base annua dell’operazione finanziaria che consiste
nello scambiare −V del punto 3.b al tempo 0 con l’operazione finanziaria
(x, t).
9. – (**) Trovare il tasso interno di rendimento su base annua della operazione
finanziaria (x, t), con: x = (50000, −25000, −10000, −15000, −7500)e e t =
(15 − 03 − 2006, 15 − 03 − 2007, 12 − 11 − 2008, 11 − 01 − 2009, 16 − 07 − 2009).
10. – (**) Sto acquistando un’automobile del valore di 25000e . Mi viene
proposta la seguente modalità di pagamento. Alla consegna 10000e , poi pagamento di 24 rate mensili di 400e , dopo un mese dal pagamento dell’ultima
3.3. ESERCIZI PROPOSTI
51
rata, una “maxirata finale di 7000e . Al momento dell’acquisto, inoltre, 250e
di spese per l’apertura della pratica di finanziamento e assicurazione vita.
Calcolare il TIR (TAEG) dell’operazione finanziaria su base annua.
52
CAPITOLO 3. IL TASSO INTERNO DI RENDIMENTO
Capitolo 4
Le rendite
4.1
Generalità
Una rendita è una operazione finanziaria formata da una successione limitata
o illimitata di pagamenti, chiamati rate o termini della rendita.
Introduciamo ora la terminologia che serve tradizionalmente per distinguere
vari tipi di rendite. Una rendita può essere:
– certa (se sono noti le rate o lo scadenziario) oppure aleatoria (se le rate
o lo scadenziario sono aleatori). Noi ci occuperemo soltanto di rendite
certe.
– periodica (se lo scadenziario ha una periodicità assegnata, ad esempio,
mensile, semestrale, annua) o aperiodica (in caso contrario);
– anticipata (se il pagamento delle rate avviene all’inizio di ogni periodo) o
posticipata (se il pagamento delle rate avviene alla fine di ogni periodo);
– temporanea (se il numero delle rate è finito) o perpetua (se il numero
delle rate è infinito);
– a rata costante (se tutte le rate sono uguali tra loro) oppure a rata
variabile (altrimenti);
– immediata (se la prima rata pagata all’inizio o alla fine del primo periodo) oppure differita (se la prima rata viene pagata dopo un certo numero
di periodi).
Una rendita avente come rata 1 unità monetaria si chiama unitaria.
Il problema centrale riguardo una rendita è quello di trovare il suo valore
all’istante di valutazione (di solito t = 0) rispetto ad una assegnata legge
53
54
CAPITOLO 4. LE RENDITE
esponenziale. In realtà il problema è già stato affrontato nel capitolo 2. Nel
presente capitolo vedremo come, in alcuni casi specifici, la valutazione delle
rendite diventa particolarmente semplice.
Valutare una rendita è una attività di primaria importanza nella gestione di
una azienda, perchè consente di controllare il processo di indebitamento. Un
tipico problema consiste nello stabilire l’entità ed il numero delle rate necessarie
per il rimborso di un capitale necessario per lo sviluppo dell’azienda.
In questo capitolo consideriamo soltanto operazioni finanziarie su di uno scadenziario equidistribuito, riservandoci di trattare come visto nel capitolo Operazioni finanziarie, i casi generali.
4.2 Rendita immedita, posticipata, temporanea
e a rata costante
Vogliamo trovare il valore, al tempo 0 di una rendita immediata, posticipata
di rata costante R e di durata di n anni.
L’operazione finanziaria consiste nel flusso
x = (R, R, R, . . . , R, R) e ,
sullo scadenziario
t = (1, 2, 3, . . . , n) periodi.
Se i è il tasso di interesse della legge esponenziale su base periodale, il valore
al tempo 0 dell’operazione finanziaria è:
W (0, x) = R (1+i)−1 +R (1+i)−2 +· · ·+R (1+i)−n = R v+R v 2 +· · ·+R v n .
Pertanto:
W (0, x) = R (v + v 2 + v 3 + · · · + v n ).
Dimostriamo che:
v + v2 + v3 + · · · + vn = v
1 − vn
.
1−v
Infatti, sia:
Sn = v + v 2 + v 3 + · · · + v n .
Moltiplicando per v entrambi i membri otteniamo:
v Sn = v 2 + v 3 + v 4 + · · · + v n+1 .
4.2. RENDITA IMMEDITA, POSTICIPATA, TEMPORANEA E A RATA COSTANTE55
0
R
R
R
1
2
3
.
.
.
.
.
R
R
n-1
n
Figura 4.1: Rendita immediata, posticipata, di rata R e durata n
Sottraendo membro a membro si può scrivere:
(1 − v) Sn = v − v n+1 ,
da cui:
Sn =
v − v n+1
1 − vn
=v
.
1−v
1−v
Applicando la formula ora dimostrata (che fornisce il valore della somma dei
primi n termini di una progressione geometrica di ragione v) alla espressione
di W (0, x), otteniamo
W (0, x) = R v
Ricordando che:
v=
1 − vn
.
1−v
1
,
1+i
possiamo scrivere:
W (0, x) = R
1 1 − (1 + i)−n
1 − (1 + i)−n
=
R
.
1
1+i
i
1 − 1+i
56
CAPITOLO 4. LE RENDITE
−n
si indica di solito con a n i (che si legge a figurato n al tasso
Il termine 1−(1+i)
i
i ). L’uguaglianza precedente si può scrivere pertanto:
(1) W (0, x) = R
1 − (1 + i)−n
= R an i.
i
La relazione scritta ora fornisce una formula di valutazione esplicita per il
valore al tempo 0 di una rendita.
Nell’ambito generale delle operazioni finanziarie (capitolo 2), già sapevamo
trovare il valore W (0, x) come prodotto scalare dei vettori:



x=


R
R
R
...
R









e v=


v
v2
v3
...
vn



.


La formula (1) ha il vantaggio di poter essere applicata direttamente.
Osserviamo che, se in (1) poniamo R = 1 (cioè se consideriamo una rendita
unitaria), si ottiene che a n i è il valore al tempo 0 di una rendita immediata,
posticipata, di rata costante unitaria e di durata n periodi.
Esempio 1 – Trovare il valore, al tempo 0, di una rendita unitaria, immediata,
posticipata e di rata costante, durata 10 anni e tasso anuo i = 5, 2%. Si tratta
di trovare semplicemente il valore di:
W (0, x) = R a 10 0,052
1 − (1 + 0, 052)−10
=
= 7, 647284e .
0, 052
Esempio 2 – Trovare il valore attuale di un rendita con le stesse caratteristiche di quella dell’esempio 1, ma con rata costante di 20000 e. Applicando
direttamente (1), si ha:
W (0, x) = R a 10 0,052 = 20000
1 − (1 + 0, 052)−10
= 20000 · 7, 647284 = 152945, 7e
0, 052
Osservazione – 1. I calcoli degli esempi 1 e 2 possono essere svolti molto agevolmente con l’ausilio di una calcolatrice tascabile perchè sono calcoli di formule
chiuse (cioè non c’è una somma da fare termine a termine). Ovviamente tali
calcoli si possono fare anche con il foglio elettronico (usandolo come se fosse una calcolatrice). Nel foglio Rendite del file CalcoloFinanziario.xls si
trovano gli esempi illustrati in questo capitolo.
4.3. RENDITA PERPETUA POSTICIPATA
4.3
57
Rendita perpetua posticipata
Come sappiamo una rendita perpetua ha un numero illimitato di rate. Se consideriamo una rendita immediata, posticipata, di rata costante R e perpetua,
il suo valore in 0 si ottiene scontando le infinite rate al tempo 0.
R
0
1
R
2
R
3
R
.
.
.
.
.
R
n-1
.
. . .
n .
. . .
Figura 4.2: Rendita perpetua
Otteniamo quindi:
2
3
n
W (0, x) = R v+R v +R v +· · ·+R v +· · · = lim
n→+∞
n
X
k=1
k
Rv = R
lim
n→+∞
n
X
vk =
k=1
1 − (1 + i)−n
1 − limn→+∞ (1 + i)−n
R
=R
= .
n→+∞
i
i
i
= R lim
Infatti:
lim (1 + i)−n = 0.
n→+∞
Quindi risulta che:
R
.
i
si può scrivere
W (0, x) =
Usando la notazione a ∞ i =
1
i
(2) W (0, x) =
R
= R a∞ i
i
Osservazione – 1. Nel foglio Rendite del file CalcoloFinanziario.xls si
trova un calcolo del valore attuale di una rendita di rata unitaria, rispetto al
58
CAPITOLO 4. LE RENDITE
tasso annuo di interesse del 5, 2% annuo, in cui si fa crescere n da 20 a 640. Il
valore che si ottiene con n = 640 è:
a 640 0,052 = 19, 23077.
Calcolando direttamente come valore attuale di una rendita perpetua posticipata si ottiene lo stesso valore:
a ∞ 0,052 =
1
1
=
= 19, 23077.
i
0, 052
Osservazione – 2. Poichè da (2) si può scrivere
R=
W (0, x)
= W (0, x) i,
a∞ i
R risulta la rata minima con la quale si può rimborsare la somma W (0, x)
essendo disposti a pagare un numero infinito di rate. Ogni rata di durata finita,
per rimborsare la stessa somma allo stesso tasso i, dovrà essere maggiore di R.
4.4
Rendita anticipata
Una rendita è anticipata quando l’istante di esigibilità delle rate coincide con
l’inizio di ogni periodo. Pertanto una rendita anticipata, immediata e di durata
n e rata R l’operazione finanziaria caratterizzata dal flusso:
x = (R, R, R, . . . , R, R) e ,
sullo scadenziario:
t = (0, 1, 2, 3, . . . , n − 1) periodi.
L’operazione finanziaria sopra scritta può essere decomposta in due operazioni
finanziarie. La prima consiste nella prima rata al tempo 0 e la seconda in una
rendita immediata posticipata di rata R e durata n−1. Pertanto si può scrivere
W (0, x) = R + R a n−1 i = R (1 + a n−1 i ) = R ä n−1 i ,
avendo introdotto la notazione:
ä n−1 i = 1 + a n−1 i .
4.5. RENDITA PERPETUA ANTICIPATA
R
R
R
R
0
1
2
3
59
R
.
.
.
.
.
.
R
n-2 n-1
n
Figura 4.3: Rendita anticipata
Osserviamo che
ä n−1 i = 1+
i + 1 − (1 + i)−n (1 + i)
(1 + i) (1 − (1 + i)−n )
1 − (1 + i)−(n−1)
=
=
=
i
i
i
= (1 + i)
1 − (1 + i)−n
1
= an i
i
v
Esempio – 3. Il valore attuale di una rendita anticipata, con gli stessi dati
dell’esempio 1. è:
W (0, x) = R ä 10 0,052 = 20000 = 160898, 9 e .
(Si veda anche l’Esempio 5, foglio Rendite).
4.5
Rendita perpetua anticipata
Se la rendita perpetua è anticipata, il suo valore attuale differisce da quella
posticipata soltanto per la prima rata, poichè l’operazione finanziaria consiste
nel flusso:
x = (R, R, R, . . . , R, R, . . . ) e ,
sullo scadenziario:
t = (0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . ) periodi.
Quindi:
R
W (0, x) = R + = R
i
Usando la notazione:
1+i
i
.
60
CAPITOLO 4. LE RENDITE
R
R
R
R
R
.
0
1
2
3
.
.
.
.
.
.
.
.
R
R
.
n-2 n-1 n .
.
. .
.
.
. .
Figura 4.4: Rendita perpetua anticipata
ä ∞ i =
1+i
i
,
possiamo scrivere:
W (0, x) = R ä ∞ i .
Esempio – 4. Il valore attuale di una rendita perpetua anticipata di rata
R = 20000 e rispetto al tasso annuo del 5, 2% è:
W (0, x) = R + R a ∞ i = 20000 +
4.6
20000
= 20000 + 384615, 39 = 404615, 39 e .
0, 052
Rendita differita di m periodi
Nel caso di una rendita differita di m periodi, la prima rata della rendita è
esigibile alla fine (se posticipata) o all’inizio (se anticipata) dell’ m + 1–esimo
periodo.
Considerando una rendita posticipata di durata n e con m periodi di differimento, avremo una operazione finanziaria del tipo: (x, t) con flusso:
x = (0, 0, 0. . . . , 0, R, R, R, . . . , R, R) e ,
sullo scadenziario:
t = (0, 1, 2, 3, . . . , m, m + 1, . . . , m + n) periodi.
4.6. RENDITA DIFFERITA DI M PERIODI
R
R
R
R
61
R
R
R
R
. . . .
0
1
2
3
. . . .
m-1
m
m+1
m+2 m+3 m+4
m+5 m+6 . . . . m+n-1 m+n
Figura 4.5: Rendita differita di m periodi
Osserviamo che il valore al tempo 0 di questa operazione finanziaria può essere
ottenuto calcolando il valore attuale al tempo m delle rate della rendita (che
coincide con il valore attuale di una rendita immediata, posticipata, di rata R
e durata n) e scontando poi tale valore per m periodi. Risulta quindi:
W (0, x) = v m R a n i .
Usando la notazione:
man i
= vm an i
(che si legge a figurato n al tasso i, differito m), si può scrivere:
W (0, x) = R
man i.
Esempio – 5. Calcolare il valore attuale della rendita dell’esempio 1, considerando un differimento di 3 anni.
W (0, x) = (1, 052)−3 20000 = 131.368, 1 e .
(Vedere Esempio 6 del foglio Rendite)
Le stesse considerazioni si possono fare nel caso di una rendita anticipata o
perpetua. Se abbiamo una rendita anticipata di durata n e differimento m, il
suo valore al tempo 0 è dato da
W (0, x) = v m R ä n i .
Se la rendita è perpetua, posticipata e differita, il suo valore attuale è:
R
vm .
i
62
CAPITOLO 4. LE RENDITE
4.7
Rendite frazionate
Le considerazioni fatte fino ad ora, in cui abbiamo sempre messo in evidenza
l’importanza della coerenza tra periodi e tassi periodali, rendono evidente che
in un problema in cui tale coerenza non c’è, bisogna agire uniformando tempi e
tassi. Se, per esempio, consideriamo una rendita della quale conosciamo tasso
annuo, rata e periodicità (diversa dall’anno) e durata, per trovarne il valore
attuale, abbiamo l’unica possibiltà di uniformare il tasso annuo alla periodicità
quindi considerare il tasso periodale equivalente).
Esempio – 6. Trovare il valore attuale di una rendita immediata, posticipata,
di rata R = 1000e trimestrale, tasso annuo 5, 3% e durata 5 anni.
Per calcolare il valore al tempo 0 della rendita, dobbiamo calcolare il tasso
trimestrale equivalente a quello annuo del 5, 3% ed il numero dei periodi, cioè
il numero dei trimestri in 5 anni.
Abbiamo che il tasso trimestrale i4 è:
1
i4 = (1, 053) 4 − 1 = 0, 012994 (1, 29%).
Il numero dei periodi è ovviamente 20, quindi:
W (0, x) = 1000 a 20 i0 = 17512, 91 e .
(Vedere anche Rendite frazionate, nel foglio Rendite ).
4.8
Problemi inversi
Fino ad ora ci siamo occupati del problema di trovare il valore attuale di una
rendita di vario tipo. Le grandezze necessarie per trovare il valore attuale sono:
- la durata n;
- la rata R;
- il tasso di interesse i;
- la durata del differimento m (se la rendita è differita).
Se tralasciamo le rendite differite (per le quali valgono considerazioni analoghe
a quelle che stiamo per fare) le grandezze in gioco sono:
W (0),
R,
i,
n.
4.8. PROBLEMI INVERSI
63
Conoscendo tre di esse si può trovare la quarta. Come vedremo negli esempi,
questo fatto corrisponde a risolvere problemi molto concreti.
(a) Trovare la rata R, noti W (0), n e i
Questo problema corrisponde a trovare con quale rata si rimborsa il prestito
di W (0) in n periodi al tasso periodale i.
Considerando, per esempio, una rendita immediata, posticipata e di rata
costante, da (1), abbiamo:
W (0, x)
R=
an i
Quindi il problema ha una soluzione molto facile.
Esempio – 7. Trovare la rata annua R di una rendita immediata, posticipata,
di rata costante R, sapendo che W (0) = 100000 e , n = 15 anni, al tasso annuo
di interesse del 5%. Risulta che:
R=
100000
= 9634, 23 e .
a 15 0,05
(Vedere il foglio Rendite, esempio 4).
Se la rendita fosse stata perpetua, la rata sarebbe stata
R = W (0) i = 100000 0, 05 = 5000 e
In base all’Osservazione 2 del paragrafo 4.3, 5000 e è la rata minima con cui
si possono rimborsare 100000 e al tasso del 5%, essendo disposti a pagare un
numero infinito di rate.
Le stesse considerazioni si possono applicare agli altri tipi di rendite, ricavando
R dalla formule che sono state scritte per ottenere W (0, x).
(b) Trovare n, noti W (0), i e R
In realtà questo problema consiste nel trovare in quante rate periodali si
può rimborsare l’importo W (0) pagando una rata R, al tasso della legge
esponenziale su base periodale i.
Considerando una rendita immediata, posticipata, di rata costante R, durata
n e tasso periodale i, si tratta di risolvere, rispetto ad n l’equazione
W (0, x) = R
Si ha che:
1 − (1 + i)−n
:
i
1 − (1 + i)−n
W (0, x)
=
,
i
R
64
CAPITOLO 4. LE RENDITE
da cui:
1 − (1 + i)−n = i
W (0, x)
R
,
(1 + i)−n = 1 − i
W (0, x)
.
R
Considerando il logaritmo naturale di entrambi i membri:
W (0, x)
−n
ln(1 + i) = ln 1 − i
,
R
cioè
ln 1 − i
n=−
W (0,x)
R
ln(1 + i)
.
Osservazioni – 1. Nella espressione precedente, che fornisce n, il numeratore e
il denominatore sono espressi come logaritmo naturale di due numeri, che esiste
se gli argomenti del logaritmo sono positivi. Al denominatore l’argomento del
logaritmo è 1 + i, che è sicuramente positivo, essendo i ≥ 0. Al numeratore
invece l’argomento del logaritmo è:
1−i
W (0, x)
,
R
che risulta positivo se:
i W (0, x) < R.
Poiché, come visto nella osservazione 2. del paragrafo 4.3, i W (0, x) è la rata di
una rendita perpetua posticipata, la condizione che l’argomento del logaritmo
sia positivo equivale a dire che la rata deve essere superiore a quella della
rendita perpetua corrispondente.
2. Osserviamo che n così calcolato è un numero reale. Poichè la durata di
una rendita è un numero naturale, possiamo considerare come soluzione del
nostro problema la parte intera del numero n, con l’aggiunta di una unità, che
si indica con dne.
In altri termini:
dne = [n] + 1.
Una volta individuato il numero di rate, bisogna calcolare la rata R.
Esempio – 8. Calcolare il numero minimo di rate annue con le quali si può
rimborsare un prestito di 100000 e al tasso annuo del 5%, se non si può pagare
una rata annua superiore a 7000 e . Usando il procedimento appena illustrato
abbiamo che :
ln 1 − i W (0,x)
ln 1 − 0, 05 100000
R
7000
=−
= d25, 67655e = 26.
dne = −
ln(1 + i)
ln(1, 05)
4.9. PIANI DI AMMORTAMENTO
65
Risulta pertanto che sono necessari almeno 26 anni se si vuole pagare una rata
non superiore a 7000 e euro. La rata esatta si trova dalla relazione:
R=
100000
W (0, x)
=
= 6956, 43 e
a 26 0,05
a 26 0,05
Allo stesso risultato si può giungere più rapidamente usando Ricerca obiettivo,
richiedendo, nella formula che fornisce W (0, x) come prodotto tra R e a n i , di
mettere nella cella della rata il valore 7000 e , cambiando la cella del tempo.
(Vedere il foglio Rendite di CalcoloFinanziario.xls, Trovare n note le altre
grandezze).
(c) Trovare i, noti W (0), n e R
Questo è un tipico problema di determinazione del TIR di una operazione
finanziaria, quindi già trattato nel capitolo 3. Un’altra possibilità è quella di
determinarlo usando Ricerca obiettivo in modo analogo a quanto indicato
nel punto (b).
4.9
Piani di ammortamento
Un piano di ammortamento è una tabella nella quale, anno per anno (o
periodo per periodo) sono riportate le grandezze da controllare nel rimborso di
un prestito, che avviene al tasso di interesse i della legge esponenziale annuo
(o periodale). In particolare la rata, la quota di capitale rimborsata (quota
capitale), la quota di interessi versati (quota interesse) e il debito residuo dopo il pagamento della rata. Prenderemo in esame due tipi di piani di
ammortamento: quello a rata costante posticipata, detto anche francese
e quello a quota capitale costante.
Ammortamento a rata costante posticipata (o francese)
Si tratta di scrivere una tabella che, relativamente ad un piano di rimborso su
n periodi, periodo per periodo, contenga:
- la rata R, costante.
- la quota interessi Ik , con k = 0, 1, 2, . . . , n;
- la quota capitale Ck , con k = 0, 1, 2, . . . , n;
- il debito residuo Mk , con k = 0, 1, 2, . . . , n.
Al tempo 0 non si paga né interessi, né capitale ed il debito residuo è W (0, x).
Al tempo 1:
66
CAPITOLO 4. LE RENDITE
- la rata è R;
- la quota interesse è I1 = i W (0, x);
- la quota capitale è C1 = R − I1 ;
- il debito residuo è M1 = W (0, x) − C1 .
Al tempo 2:
- la rata è R;
- la quota interesse è I2 = i M1 ;
- la quota capitale è C2 = R − I2 ;
- il debito residuo è M2 = M1 − C2 .
Al generico tempo k:
- la rata è R;
- la quota interesse è Ik = i Mk−1 ;
- la quota capitale è Ck = R − Ik ;
- il debito residuo è Mk = Mk−1 − Ck .
I calcoli sopra scritti si devono fare fino al caso k = n, dovendo in ogni caso
rispettare la condizione di chiusura che si può esprimere dicendo che il debito
residuo alla fine del rimborso deve essere 0, cioè Mn = 0.
Esempio – 9. Dobbiamo rimborsare 100000 e in 4 anni con rate annue
immediate, posticipate, al tasso annuo del 6%. Calcoliamo la rata
R=
W (0, x)
100000
=
= 28859, 15e .
a 4 0.06
a 4 0.06
Riportando le grandezze sopra considerate in una tabella, possiamo redigere
il relativo piano di ammortamento:
anni
0
1
2
3
4
R
0
28859, 15
28859, 15
28859, 15
28859, 15
Ik
0
6000, 00
4628, 45
3174, 61
1633, 54
Ck
0
22859, 15
24230, 70
25684, 54
27225, 61
Mk
100000, 00
77140, 85
52910, 15
27225, 61
0, 00
4.9. PIANI DI AMMORTAMENTO
67
Per ulteriori esempi, si veda il foglio Piani di ammortamento nel file CalcoloFinanziario.xls.
Ammortamento a quota capitale costante
Possiamo prevedere che il rimborso di una somma S avvenga in n rate in
modo che ciascuna rata Rk , con k = 1, 2, . . . , n, sia costituita da una quota di
rimborso del capitale C costante ed uguale a S/n e da una quota interessi Ik ,
con k = 1, 2, . . . , n calcolata sul debito residuo dell’anno precedente.
In altri termini:
Ck = C = S/n,
Ik = i Mk−1 ,
Rk = C + Ik , con k = 1, 2, . . . , n.
Esempio – 10. Dobbiamo rimborsare 100000 e in 4 anni con rate annue
immediate, posticipate, al tasso annuo del 6%, in modo che la quota capitale
sia costante. Otteniamo che Ck = C = 100000/4 = 25000e.
Riportando le grandezze sopra considerate in una tabella, possiamo redigere
il relativo piano di ammortamento:
anni
0
1
2
3
4
Rk
0
31000
29500
28000
26500
Ik
0
6000
4500
3000
1500
Ck
Mk
0 100000
25000 75000
25000 50000
25000 25000
25000
0
Osservazione sui piani di ammortamento con tasso variabile. – Osserviamo che
nel caso in cui il rimborso del prestito avvenga con tassi variabili, la procedura
sopra espressa può essere ancora applicata, considerando che ogni anno in
cui cambia il tasso d’interesse va ricalcolata la rata, tenendo conto del debito
residuo dell’anno precedente e della durata residua del prestito.
Senza formalizzare questa situazione, analizziamo il caso dell’esempio 9. in cui
immaginiamo il cambio del tasso d’interesse dal 6% al 4% al tempo 2 (inizio
del terzo anno). Dobbiamo calcolare la nuova rata R0 da pagare dal tempo 2
in poi, calcolandola sul debito residuo dell’anno precedente (M1 = 77140, 85e)
e per la durata residua del prestito (3 anni). Si ha che:
R0 =
M1
a 3 0.04
=
77140, 85
= 27797, 59e .
a 3 0.04
Il relativo piano di ammortamento diventa:
68
CAPITOLO 4. LE RENDITE
anni
0
1
2
3
4
R
0
28859, 15
27797, 59
27797, 59
27797, 59
Ik
0
6000, 00
3085, 63
2097, 16
1069, 14
Ck
0
22859, 15
24711, 96
25700, 44
26728, 46
Mk
100000, 00
77140, 85
52428, 89
26728, 46
0, 00
Analoghe considerazioni possono essere svolte anche relativamente al piano di
ammortamento a quota capitale costante.
4.10
Esercizi proposti
Le parti di esercizio indicate con (*) è consigliato svolgerle con l’ausilio del
computer, quelle indicate con (**) è necessario svolgerle usando il foglio elettronico
1. – Trovare il valore al tempo 0 di una rendita immediata, posticipata, di
rata annua R = 1500e e di durata 10 anni, rispetto alla legge esponenziale
con tasso annuo d’interesse del 6%.
2. – Stesso esercizio del numero 1., considerando però una rendita anticipata
invece che posticipata.
3. – Stesso esercizio del numero 1., considerando però una rendita perpetua
invece che di durata dieci anni.
4. – Stesso esercizio del numero 1., escludendo l’ipotesi che la rendita sia
immediata e considerando un differimento di 3 anni.
5. – Stesso esercizio del numero 1., considerando però rate semestrali posticipate di 750e invece che rate annue di 1500e (sempre durata 10 anni e tasso
annuo d’interesse dl 6%).
6. – Trovare la rata necessaria per ammortizzare un prestito di 100000e, considerando un ammortamento in 10 anni con rate semestrali posticipate costanti
al tasso annuo del 5%. Scrivere anche il relativo piano di ammortamento, in
cui, semestre per semestre, si possano individuare: rata, quota interessi, quota
capitale e debito residuo.
4.10. ESERCIZI PROPOSTI
69
7. – (**) Trovare a quale tasso annuo di interesse della legge esponenziale un
debito di 50000e si estingue pagando 10 rate annue di 11000e.
8. – (**) Trovare a quale tasso annuo di interesse della legge esponenziale un
debito di 50000e si estingue pagando 20 rate semestrali di 5500e.
9. – (**) Trovare il numero minimo di rate annuali necessarie per rimborsare 30000e al tasso annuo del 4% se non è possibile pagare una rata annua
superiore a 3500e. Una volta stabilito il numero di annualità, determinare il
valore esatto della rata.
10. – Devo acquistare un automobile che costa 10000e e devo scegliere tra
queste due offerte alternative, confrontando le relative rate. Quale alternativa
sarà più conveniente?
1. Finanziamento a tasso 0, senza sconto sul prezzo di listino, con 36 rate
mensili posticipate.
2. Sconto del 5% sul prezzo di listino, con finanziamento dell’importo dovuto
con 36 rate mensili posticipate al tasso annuo d’interesse del 2,5%.
10. – Si consideri una rendita immediata posticipata che paga una rata
costante R alla fine di ciascun anno.
1. Ipotizzando che la rendita sia temporanea di durata 5 anni, determinare
il valore di R in modo che, secondo la legge esponenziale di tasso annuo
di interesse del 5.65%, il valore attuale della rendita risulti uguale a 105e
2. Ipotizzando che la rendita sia temporanea di durata 5 anni con differimento di 2 anni, determinare il valore di R in modo che, secondo la legge
esponenziale di tasso annuo di interesse del 5.65%, il valore attuale della
rendita risulti uguale a 105e.
3. Ipotizzando che la rendita sia perpetua, determinare il valore di R in
modo che, secondo la legge esponenziale con tasso annuo di interesse del
5.65%, il valore attuale della rendita risulti uguale a 105e.
11. – Si consideri, all’istante t = 0 il vettore x degli importi generato dall’operazione finanziaria di acquisto di una rendita posticipata differita di 10 anni
e avente durata di 15 anni. La rata costante R=1000e è mensile.
70
CAPITOLO 4. LE RENDITE
1. Determinare il prezzo equo che si deve pagare per acquistare in t = 0 il
flusso rateale, secondo la legge degli interessi composti con tasso annuo
d’interesse del 4.5%.
2. Calcolare il valore della rendita all’istante t0 = 10 anni, sia rispetto alla
stessa legge esponenziale espressa in (1.), sia rispetto alla legge esponenziale con tasso semestrale d’interesse del 3%.
12. – Un debito di 10000e viene ammortizzato ad un tasso annuo del 5% in
7 mesi a rata mensile posticipata. Compilare il piano di ammortamento.
13. – Determinare il numero minimo di semestralità con cui si può ammortizzare un debito di 5000e a rata semestrale posticipata e al tasso annuo del
5%, nel caso in cui la rata non possa superare l’importo di 580e. Dopo aver
determinato il numero minimo di rate, determinare il valore esatto della rata
e compilare il relativo piano di ammortamento.
14. – Trovare quale importo può essere finanziato pagando una rata mensile
posticipata di 1000e per 5 anni, al tasso semestrale del 5%. Calcolare inoltre
l’importo che può essere finanziato se si considera un differimento di 10 mesi
nella rendita del punto 1..
15. –
1. Trovare la rata trimestrale costante posticipata necessaria per rimborsare
un prestito di 20000e in 4 anni al tasso annuo del 4%.
2. (*) Scrivere il relativo piano di ammortamento.
3. (*) Scrivere il piano di ammortamento relativo al rimborso della stessa
somma di 20000e, nello stesso tempo, con la stessa periodicità e rispetto
allo stesso tasso del punto 1., ma a quota capitale costante.
16. –
1. Determinare la rata annua R di una rendita immediata, posticipata e di
rata costante che dobbiamo pagare per rimborsare il prestito di 30000 in
10 anni, al tasso annuo di interesse è del 5%.
2. (*) Scrivere il piano di ammortamento relativo al caso 1..
4.10. ESERCIZI PROPOSTI
71
3. Non possiamo iniziare a pagare subito e chiediamo un differimento di
2 anni del pagamento della prima rata R, già determinata nel punto
1. (conservando la durata e il tasso d’interesse). Calcolare l’importo
finaziabile.
4. (*) Scrivere il piano di ammortamento necessario per rimborsare la stessa
somma del caso 1., nello stesso tempo e allo stesso tasso, ma a quota
capitale costante.
5. Scrivere il piano di ammortamento del mutuo del punto 1. se si suppone
che dopo 4 anni cambi il tasso di interesse del mutuo, passando dal 5%
al 4,6% annuo.
17. – Determinare il numero minimo di rate con cui si può rimborsare, al
tasso annuo del 5%, un prestito di 200000e se non si è in grado di pagare rate
costanti semestrali posticipate maggiori di 15000e.
(*) Una volta calcolata la rata esatta, scrivere il relativo piano di ammortamento a rata semestrale costante posticipata.
18. – Trovare la rata R che bisogna pagare per rimborsare un debito di 25000e
al tasso annuo del 4%, pagando rate semestrali costanti posticipate per 9 anni.
Trovare inoltre la rata R0 se, alle condizioni ora espresse, si aggiunge un
differimento di 1 anno.