Quesiti sull`induzione elettromagnetica

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA - QUESITI
QUESITO 1
Una barretta conduttrice si muove lungo due binari conduttori in una regione nella quale è presente
un campo magnetico uniforme come mostrato in figura. Il campo magnetico ha valore in modulo
pari a 2 T ed è diretto verso l’interno del foglio. La barretta è lunga BC=10 cm. All’istante iniziale
si ha AB=20 cm. La barretta è tirata verso destra con una velocità in modulo pari a 5 cm/s. Sapendo
che la resistenza del circuito è di 5 Ω, calcola la f.e.m. indotta e l’intensità di corrente che attraversa
il conduttore specificando anche il suo verso.
Soluzione
Sono note l’intensità del campo magnetico B=2 T, la lunghezza della barretta 𝑙 =10 cm=0,1 m e la
posizione iniziale ovvero AB=20 cm=0,2 m.. E’ nota inoltre la velocità v=5 cm/s = 0,05 m/s e la
resistenza R=5 Ω.
Durante il moto della barretta, su ogni elettrone di conduzione agisce la forza di Lorenz in modulo
pari a F=qvB. Per poter applicare la regola della mano destra e determinarne direzione e verso
ricordiamo che:
-
il campo B è diretto verso l’interno del foglio
l’elettrone (carica negativa) si muove verso destra quindi il vettore velocità da utilizzare
nell’espressione della forza di Lorenz è diretto verso sinistra
La forza di Lorenz agisce perciò su ogni elettrone spingendolo da C verso B. La corrente indotta
avrà pertanto verso antiorario (A -> B -> C -> D).
Per ottenere l’espressione che lega la f.e.m. indotta alla velocità di traslazione della barretta si può
pertanto applicare la relazione
𝑓. 𝑒. 𝑚. =
𝐿 𝐹
𝑒𝑣𝐵 ⋅ 𝑙
= ⋅𝑙 =
= 𝐵𝑙𝑣 = 2 ⋅ 0,1 ⋅ 0,05 = 10 𝑚𝑉
𝑒 𝑒
𝑒
Infine, per calcolare l’intensità di corrente indotta, applichiamo la prima legge di Ohm ovvero:
𝑖=
𝑓. 𝑒. 𝑚. 10 𝑚𝑉
=
= 2 𝑚𝐴
𝑅
5Ω
QUESITO 2
In un circuito RLC in serie, la resistenza è di 2,0 Ω, la capacità è di 2,0 nF e l’induttanza è 2,0 nH. Il
circuito è in risonanza. Quanto vale l’impedenza del circuito? Quanto vale la frequenza di risonanza?
[2,0 Ω; 79,6 MHz]
Soluzione
Se il circuito è in risonanza il termine capacitivo è pari a quello induttivo quindi rimane solo il
contributo della resistenza. Pertanto Z=R.
Dall’equazione che lega la frequenza di risonanza agli elementi del circuito si ha
1
𝑓=
= 79,6 𝑀𝐻𝑧
2𝜋 ⋅ √𝐿𝐶
QUESITO 3
Un conduttore di lunghezza 2 m e massa 800 g scivola in caduta verticale, con attrito trascurabile,
lungo due guide metalliche verticali collegate da una resistenza di 2 Ω come mostrato in figura.
Perpendicolarmente al piano delle guide agisce un campo magnetico con modulo pari a 0,5 T.
Calcola la massima velocità di caduta del conduttore trascurando la resistenza dell’aria.
Suggerimento: individua il verso della corrente indotta e della forza di Lorentz.
[15,7 m/s]
Soluzione
La massima velocità viene raggiunta quando la forza di Lorentz ha lo stesso modulo ma verso
opposto della forza peso ovvero
𝑚⋅𝑔 =
𝐵2 ⋅ 𝑙2 ⋅ 𝑣
𝑅
Esplicitando 𝑣 e sostituendo con i dati del testo si ottiene
𝑣=
𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑅 0,8 ⋅ 9,8 ⋅ 2
=
= 15,7 𝑚/𝑠
𝐵2 ⋅ 𝑙2
0,52 ⋅ 22
QUESITO 4
Un’asta conduttrice lunga 1 m ruota in senso orario con velocità angolare costante pari a 300 rad/s
intorno ad un suo estremo mentre l’altro estremo scorre su un conduttore circolare come mostrato in
figura. Utilizzando una resistenza con valore pari a 1200 Ω si osserva un’intensità di corrente
indotta pari a 85 mA. Calcolare il modulo del campo magnetico agente.
[0,68 T]
Soluzione
Si genera una corrente indotta in quanto vi è una variazione della dimensione della superficie S
attraversata dal campo magnetico. Pertanto si può innanzitutto calcolare il valore della fem indotta:
𝑓𝑒𝑚 = 𝑖 ⋅ 𝑅 = 85 ⋅ 10−3 ⋅ 1200 = 102 𝑉
Successivamente, si utilizza la legge di Faraday-Neumann:
𝑓. 𝑒. 𝑚. =
ΔΦ 𝐵 ⋅ Δ𝑆
𝑓. 𝑒. 𝑚.
=
→𝐵=
Δ𝑆
Δ𝑡
Δ𝑡
Δ𝑡
L’espressione che consente di calcolare l’area di un settore circolare di raggio 𝑙 indicando con 𝜃
l’angolo al centro (espresso in radianti) di tale settore è
𝑆=
1 2
1
𝑙 𝜃 → Δ𝑆 = 𝑙 2 Δ𝜃
2
2
Pertanto il termine
Δ𝑆
Δ𝑡
può essere espresso in funzione della velocità angolare 𝜔 =
come
Δ𝑆
1 Δθ 1 2
= Δ𝑆 = 𝑙 2
= 𝑙 𝜔
Δ𝑡
2 Δ𝑡 2
Sostituendo nell’espressione del modulo del campo magnetico si ha
𝐵=
𝑓. 𝑒. 𝑚. 𝑓. 𝑒. 𝑚.
102
=
=
= 0,68 𝑇
Δ𝑆
1 2
1 2
𝑙
𝜔
⋅
1
⋅
300
Δ𝑡
2
2
Δθ
Δ𝑡
data dal testo