Verifica agli stati limite: la sollecitazione di taglio

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALE
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO
CORSO DI AGGIORNAMENTO PER GEOMETRI
SU PROBLEMATICHE STRUTTURALI
Verifica agli stati limite:
la sollecitazione di taglio
Antonella Colombo
Il taglio: introduzione
• Di rado le travi sono sollecitate a sola flessione o presso-flessione:
normalmente queste azioni sono accompagnate dal taglio,
sollecitazione che produce tensioni tangenziali.
La presenza della sollecitazione di taglio è legata alla variazione
lungo l’asse della trave del momento flettente secondo la formula:
V = dM / dx
P
q
M
V
M
V
1
Il taglio: introduzione
• La presenza delle tensioni tangenziali rende incoerente il semplice
modello del calcestruzzo privo di resistenza a trazione, in quanto il
trasferimento di queste tensioni dalla parte tesa della sezione
(l’armatura) a quella compressa richiede la partecipazione del
calcestruzzo presente nella zona tesa (trascurato nella teoria della
flessione). La resistenza a trazione del calcestruzzo, anche se
modesta, svolge un ruolo essenziale nel funzionamento delle travi
sollecitate a flessione e taglio.
• In molti casi gli effetti delle sollecitazioni di taglio risultano critici
per la resistenza degli elementi in cemento armato. Essendo
provocato dalla rottura del calcestruzzo teso, il collasso dovuto alle
forze di taglio è di tipo fragile (improvviso, accompagnato da piccole
deformazioni), quindi estremamente pericoloso: occorre dunque
rendere la resistenza a taglio degli elementi maggiore di quella a
flessione.
Il comportamento a taglio
• Materiale con comportamento elastico-lineare
Le tensioni tangenziali si possono calcolare con
la relazione derivata mediante la teoria
approssimata di Jourawski:
τ(y) = V S(y) / I b(y)
τmax = V / z b
• Materiale con comportamento elastico-lineare
Le tensioni tangenziali si possono ancora
calcolare con la relazione derivata mediante la
teoria approssimata di Jourawski.
Sotto il baricentro le tensioni restano costanti
perché il cls teso viene trascurato. Le tensioni
poi si annullano in corrispondenza dell’armatura
tesa.
2
Interazione taglio-flessione
La comprensione del comportamento di una trave soggetta a taglio e
flessione richiede l’analisi della trave nella sua interezza (la sezione
non è più sufficiente).
•
Resistenza a trazione raggiunta: formazione di una fessura verticale
(perpendicolare all’asse della trave)
• Crescita del carico: la fessura si propaga e per effetto delle tensioni
tangenziali si inclina verso l’asse
⇒ si deve rinunciare al semplice schema della sezione fessurata
normalmente all’asse ed esaminare dei conci di lunghezza infinita
entro cui, nella parte tesa, si estendono delle fessure inclinate.
Principali meccanismi di resistenza al taglio
Dall’equazione indefinita dell’equilibrio, esprimente il taglio come
derivata del momento flettente,
V =
dM
dx
e dalla equivalenza tra momento flettente e prodotto della
risultante delle tensioni di trazione T (o compressione) per il
braccio della coppia interna z si ottiene:
V =
d
dT
dz
+T
(Tz ) = z
dx
dx
dx
effetto trave
effetto arco
travi snelle
travi tozze
3
Il comportamento delle travi in cemento armato
fessurate per l’azione della flessione e del taglio è
piuttosto complesso e la stima dell’entità dei contributi
forniti dai diversi meccanismi non sempre si può
dedurre sulla base della sola legge tensione–
deformazione del materiale; spesso si deve ricorrere a
formule empiriche, giustificate dai risultati di
esperimenti di laboratorio e dal loro utilizzo pratico.
Sperimentazione di laboratorio
Modello fisico
Per travi senza
armatura a taglio
il rapporto M/Vd
corrisponde a
a/d con d = altezza
utile della sezione F
F
M
Fa
+
M/V=a
V
+
-
F
4
Resistenza
travi sollecitate a flessione e taglio
(tratto da R. Park and T. Paulay: Reinforced Concrete Structures)
Modalità di collasso
travi sollecitate a flessione e taglio
1
Tipo 1. Collasso del meccanismo di trave
al momento o immediatamente dopo l’applicazione del carico
corrispondente alla fessurazione diagonale (3< a/d <7)
5
Modalità di collasso
travi sollecitate a flessione e taglio
2
1
Tipo 2. Collasso del meccanismo ad arco
per compressione o trazione di origine flessionale della zona
compressa corrispondente ad un carico superiore a quello relativo
alla fessurazione diagonale (2< a/d <3)
Modalità di collasso
travi sollecitate a flessione e taglio
3 2
1
Tipo 3. Collasso del meccanismo ad arco
per schiacciamento o splitting del calcestruzzo (a/d <2.0)
6
Modalità di collasso
travi sollecitate a flessione e taglio
1
3 2
4
Tipo 4. Meccanismo puramente flessionale
al raggiungimento della capacità resistente flessionale (a/d >7.0)
Comportamento sperimentale
travi sollecitate a flessione e taglio
Tipo di
collasso
320 mm
270 mm
190 mm
a/d
1
1.0
1
1.5
1
2.0
2
2.5
2
3.0
7
Comportamento sperimentale
travi sollecitate a flessione e taglio
Tipo di
collasso
320 mm
a/d
270 mm
190 mm
2
4.0
3
5.0
3
6.0
4
8.0
4
7.0
(tratto da R. Park and T. Paulay: Reinforced Concrete Structures)
Valutazione
delle direzioni principali di tensione
1
τ
σξ=τxy
σ
I stadio
II stadio
P
(tratto da G. Toniolo: Cemento Armato)
Caso 1: elemento infinitesimo posto in corrispondenza dell’asse neutro,
o anche - nel caso di sezione parzializzata - elemento posto tra l’asse
neutro e l’armatura tesa.
Il cerchio di Mohr mostra che la direzione principale di trazione è a
45° e che la tensione principale di trazione σξ è uguale in valore alla τxy
8
Valutazione teorica delle direzioni principali
di tensione
τ
2
σξ
I stadio
σ
II stadio
P
(tratto da G. Toniolo: Cemento Armato)
Caso 2: elemento posto al di sopra dell’asse neutro
la presenza contemporanea di una tensione di compressione sulla
faccia verticale, unita alla riduzione del valore delle τxy, aumenta
l’inclinazione rispetto all’asse della trave e riduce il valore della
tensione principale di trazione
Valutazione teorica delle direzioni principali
di tensione
3
τ
σξ
σ
I stadio
II stadio
P
(tratto da G. Toniolo: Cemento Armato)
Caso 3. Nel caso di calcestruzzo reagente a trazione la presenza di
tensioni normali di trazione riduce l’inclinazione rispetto all’asse ed
aumenta il valore della tensione principale di trazione negli elementi
situati al di sotto dell’asse neutro
9
Definizione dei meccanismi di collasso
(tratto da G. Toniolo: Cemento Armato)
Valori limite
La normativa (EC2) definisce tre valori limite per il taglio V:
• VRd1
Resistenza di calcolo dell’elemento privo di armatura a
taglio
• VRd2
Massima forza di taglio di calcolo che può essere
sopportata senza rottura delle bielle compresse
convenzionali di calcestruzzo
• VRd3
Forza di taglio di calcolo che può essere sopportata da
un elemento con armatura a taglio
Alle tensioni ammissibili erano richieste le tre verifiche:
τ < τco
per controllare se le tensioni nel cls sono molto basse e
quindi è possibile non calcolare espressamente
l’armatura a taglio
τ < τc1
per controllare se la sezione è accettabile (cls in grado
di sopportare le tensioni indotte dal taglio)
σ < σs
per l’armatura a taglio, per controllare se è sufficiente
10
Se …
Vsd < VRd1
non è richiesta armatura a taglio
(deve essere previsto un minimo di normativa)
Vsd>VRd1
deve essere prevista una opportuna armatura a taglio
tale che Vsd ≤ VRd3
A tal proposito sono possibili due metodi di calcolo:
il metodo normale ed il metodo dell’inclinazione variabile
del traliccio.
INOLTRE:
In nessuna sezione di qualunque elemento la forza di taglio di calcolo
deve essere maggiore di VRd2
Vsd < VRd2
Nel caso del taglio, i risultati ottenuti nella verifica alle
T.A. possono essere anche notevolmente differenti da
quelli dello stato limite ultimo, a causa della differenza
tra i modelli usati nei due casi.
Si può ritenere che il metodo allo stato limite ultimo sia
più rispondente al reale comportamento delle
strutture, mentre le formulazioni usate nel metodo alle
T.A. sono in genere (ma non sempre) più cautelative.
11
Elementi non armati a taglio
modello resistente
corrente compresso
(costola del pettine)
puntone inclinato
(dente del pettine)
armatura a flessione
Evidenza sperimentale
Modello meccanico
Il modello a pettine nasce dall’osservazione che una trave fessurata
a taglio può vedersi come costituita da un corrente compresso,
corrispondente alla costola del pettine, e dagli elementi compresi tra
le lesioni, corrispondenti ai denti del pettine, inclinati a 45 gradi
rispetto alla costola. I denti del pettine sono attraversati, nella parte
inferiore, dall’armatura disposta per la flessione.
N.B. la figura si riferisce ad una trave appoggiata agli estremi, sollecitata da un
momento flettente positivo.
Modello a pettine
Le fessure che attraversano la zona tesa della trave la separano in
tanti blocchi di calcestruzzo che si comportano come mensole
incastrate nella parte superiore compressa dell’elemento.
Quando agisce il meccanismo resistente del comportamento a trave,
la mensola è sollecitata dalla forza ∆N = N1 - N2, prodotta dalla
variazione della forza di trazione dell’armatura. A questa
sollecitazione si oppongono le seguenti azioni resistenti:
1.
Le tensioni tangenziali τa che agiscono sulle superfici delle
fessure, dovute all’ingranamento degli inerti.
2. Le forze di taglio Vd, prodotte dall’effetto spinotto (dowel action)
delle armature longitudinali.
3. Il momento Mc agente nella sezione di incastro della mensola di
calcestruzzo nel corrente compresso.
12
Modello a pettine
Analisi della sollecitazione
V
x
V
Nc+ ∆Nc
Nc
d
45°
z
d-x
Ns + ∆Ns
Ns
∆x
In un modello lineare, in assenza di fessurazione, la variazione di Ns
è bilanciata dalle τ di aderenza. In presenza di fessurazione la
variazione di Ns diventa invece un’azione orizzontale ∆Ns sul dente.
Ricordando che la variazione del momento flettente è legata al
taglio (∆M = V ∆x), si ha
∆M V ∆x
∆Ns =
=
z
z
Sezione di scorrimento
analisi della sollecitazione
V
x
V
Nc+ ∆Nc
Nc
d
45°
z
d-x
N0
d−x−∆x/4
M0
Ns
∆x
Ns + ∆Ns
Le caratteristiche della sollecitazione provocate dalla forza ∆Ns
nella sezione di incastro del dente valgono:
N0 = -
∆Ns
V ∆x
=2
2 z
∆x ⎞ V ∆x ⎛
∆x ⎞
⎛
M0 = -∆Ns ⎜ d - x ⎟=- z
⎜ d-x- 4 ⎟
4
⎝
⎠
⎝
⎠
13
Verifica della sezione di scorrimento
La sezione resistente ha base b ed altezza ∆x / 2 ; la sua area è
quindi A = b ∆x / 2 ed il modulo di resistenza W = b ∆x / 2 2 / 6 .
(
)
La massima tensione di trazione è di conseguenza pari a:
σ=
N
6 M
V 12 V (d − x − ∆x / 4)
−
=−
+
2
b z
b z ∆x
b (∆x / 2) b (∆x / 2 )
In base a considerazioni sperimentali si può assumere:
∆x = d
x = 0.2 d e quindi d − x = 0.8 d
Si ottiene così
σ=
5.6 V 6.2 V
=
b z
b d
e, considerando la resistenza a trazione per flessione pari a
1.6 f ctd si ottiene:
VRd = 0.25 b d fctd
Corrente compresso
analisi della tensione
V
x
P
Nc
d
z
d-x
45°
z
Ns
Se si prende in esame il concio di estremità della trave in
corrispondenza dell’appoggio, delimitato dalla prima lesione a
taglio, si ricava dall’equilibrio alla rotazione:
Nc =V
14
Corrente compresso
analisi della tensione
La sezione del corrente è soggetta a sforzo normale di
compressione e taglio. Supponendo per semplicità che le tensioni
dovute a ciascuna delle caratteristiche di sollecitazione siano
costanti nella sezione, si ha:
V
N
τ=
σ= C
b
x
b x
e quindi σ = τ.
Il cerchio di Mohr corrispondente è caratterizzato da:
σ
centro C = ⎛⎜ , 0 ⎞⎟
⎝2
⎠
; raggio R =
tens. princ. di trazione
2
⎛σ⎞
2
⎜ ⎟ +τ
⎝2⎠
τ
2
σξ =
σ
⎛σ⎞
2
⎜ ⎟ +τ −
2
⎝2⎠
σ
P
Verifica del corrente compresso
Sostituendo nell’espressione della tensione principale di trazione i
valori delle tensioni normali e tangenziali prima determinati si ha:
V
σξ = 0.62 τ = 0.62
b x
Se, inoltre, si impone che la tensione principale di trazione sia
uguale al valore di resistenza a trazione del calcestruzzo si ottiene
un valore limite del taglio pari a:
VRd =1.6 b x fctd
Nota: Confrontando il valore ora determinato con quello fornito dalla verifica del
dente, si ha che la resistenza del corrente compresso è minore di quella del dente se:
ovvero
1.6 x < 0.25 d
x < 0.156 d
Questa situazione normalmente non si verifica in sezioni soggette a flessione
semplice, a meno che l’armatura a flessione non sia estremamente bassa; diventa
invece molto probabile se la sezione è soggetta a tensoflessione.
15
Altri contributi alla resistenza del dente
Ingranamento degli inerti
Le lesioni non sono mai perfettamente lisce; quando i denti si
deformano a pressoflessione, lo scorrimento tra le due facce
della fessura viene limitato dall’attrito dovuto alla scabrosità
delle superfici e soprattutto dal contatto diretto tra gli inerti.
Le azioni mutue così generate riducono l’entità del momento
flettente e limitano la deformazione del dente. Questo effetto,
detto di ingranamento degli inerti, è particolarmente rilevante
per travi basse, per le quali le fessure sono particolarmente
strette; al crescere dell’altezza della trave l’ampiezza della
lesione aumenta e l’effetto dell’ingranamento si riduce.
Altri contributi alla resistenza del dente
Effetto spinotto
Lo scorrimento tra le due facce di una fessura comporta anche
una deformazione dell’armatura flessionale, mostrata in maniera
esageratamente accentuata nella figura. Anche le barre di
armatura esercitano quindi un’azione mutua che riduce il momento
flettente nel dente e ne aumentano la resistenza (effetto
spinotto, o effetto bietta). L’azione delle barre longitudinali è
però limitata dalla possibilità che salti il copriferro ed il suo
contributo può essere quantizzato proprio valutando la resistenza
del calcestruzzo di ricoprimento.
16
Altri contributi alla resistenza del dente
Effetto dello sforzo assiale
La presenza di uno sforzo assiale di compressione incrementa la
resistenza a taglio di una sezione non armata. Esso infatti aumenta
le dimensioni del corrente superiore rendendone più difficile la
rottura; contemporaneamente i denti del modello a pettine vengono
accorciati e si riduce in essi l’effetto flettente. Il contrario
accade in presenza di trazione: la diminuzione di dimensione del
corrente compresso e l’incremento di flessione nel dente riducono
sensibilmente la capacità di portare taglio, rendendo quasi sempre
necessaria la disposizione di specifiche armature per il taglio.
Resistenza di elementi
non armati a taglio
1
2
COMPORTAMENTO
AD
ARCO
Resistenza del corrente
del modello a pettine
+ contributi:
ingranamento inerti
spinotto
Splitting/schiacciamento del cls
3
COMPORTAMENTO
A
TRAVE
Resistenza del dente
del modello a pettine
+ contributi:
ingranamento inerti
spinotto
17
Elementi non armati a taglio
La resistenza a taglio di calcolo VRd1 è data da:
[
]
VRd1 = τ Rd k (1,2 + 40 ρl ) + 0,15 σcp b w d
τRd
resistenza unitaria a taglio di calcolo di riferimento (0,25 fctk0,05) / γc
Il valore di γc. deve di regola essere assunto pari a | 1,5 |
(I : | 1,5 | o | 1,6 |).
k
| 1 | per elementi in cui più del 50% dell’armatura inferiore è
interrotta. In caso contrario vale | 1,6−d ≥ 1 | (d in metri);
A sl
≤ | 0,02 |;
bw d
ρ
con Asl area delle armature di trazione che si
estende per non meno di d+lb,net oltre la sezione
considerata.
bw
larghezza minima della sezione lungo l’altezza efficace;
σcp
NSd / Ac, con NSd forza longitudinale nella sezione dovuta ai carichi o
alla precompressione (compressione positiva).
Elementi non armati a taglio
Vicino agli appoggi, dove la configurazione di carichi concentrati e
la reazione di appoggio è tale che una parte dei carichi può essere
trasferita all’appoggio per compressione diretta (appoggio
diretto), si può ammettere un incremento della resistenza a
taglio VRd1.
Il raggiungimento di VRd1 dipende in modo significativo da un
appropriato ancoraggio delle armature tese da una parte e
dall’altra di ogni possibile piano di rottura.
EFFETTO ARCO
18
Elementi non armati a taglio
Perché si tenga conto dell’incremento della resistenza a taglio
devono, di regola, essere soddisfatte le seguenti condizioni:
a) il carico e le reazioni di appoggio sono tali da creare una
compressione diagonale nell’elemento (appoggio diretto);
b) a un appoggio di estremità tutta l’armatura tesa richiesta
alla distanza pari a 2,5 d dall’appoggio deve, di regola,
essere ancorata all’interno dell’appoggio;
c) a un appoggio intermedio l’armatura tesa richiesta al filo
dell’appoggio deve di regola proseguire per almeno 2,5 d +
lb,net nella campata.
Applicazione
Dati:
- Trave a sezione rettangolare
- b = 30 cm
- h = 60 cm
- Asl = 5φ20 = 15.7 cm2
- c = 3 cm
- V = 75 kN
- Cls: Rck = 30 N/mm2
- Acciao: Fe B 44 k
19
Applicazione
Tensioni ammissibili
- Calcolo tensioni tangenziali ammissibili
R ck − 15
30 − 15
= 0 .4 +
= 0.6 N / mm 2
75
75
R − 15
30 − 15
τc1 = 1.4 + ck
= 1.4 +
= 1.83 N / mm 2
35
35
τc0 = 0.4 +
σs = 255 N / mm 2
- Tensione max nel cls:
τcm =
75000
= 0.49 N / mm 2 < τc0
0.9 ⋅ 570 ⋅ 300
- Solo armatura minima da normativa:
A sw
V
= 0.1 ⋅ b* = 0.1 ⋅
= 2.44 cm 2 / m
s
0.9 ⋅ d ⋅ τc0
Applicazione
Stati limite
- Valori di calcolo
[
]
VRd1 = τ Rd k (1,2 + 40 ρl ) + 0,15 σcp b w d
Vd = γ V = 1.5 x 75 = 112.5 kN
τRd = 0.25 x 0.7 x 0.27 Rck 2/3 /1.6 = 0.308
k = 1.6 – d = 1 – 0.57 = 1.03
ρ = Asl /bd = 15.70 / 30 x 57 = 0.0092
VRd1 = 0.308 x 1.03 x (1.2 + 40 x 0.0092) x 300 x 570 = 85061 N < Vd
⇒ La trave deve essere armata a taglio!!!!!!
20
Elementi con armatura a taglio
osservazioni generali
• La presenza dell’armatura a taglio non muta sostanzalmente il
meccanismo di resistenza al taglio precedentemente
descritto.
• Le mensole di calcestruzzo (denti del modello a pettine),
principali elementi del comportamento a trave, sono tuttavia
ora vincolate dall’armatura trasversale.
Elementi con armatura a taglio
importanza delle armature trasversali
La presenza delle armature trasversali:
1.
2.
3.
4.
5.
Migliora l’effetto spinotto;
Diminuisce le tensioni di trazione da flessione nelle sezioni di
incastro delle mensole (denti del pettine);
Limita l’apertura delle fessure diagonali in campo elastico,
dunque preservando e migliorando il trasferimento del taglio
per effetto ingranamento deglli inerti;
Confina e dunque aumentando la resistenza a compressione
di zone sollecitate da comportamento ad arco;
Impedisce il cedimento dell’ancoraggio, allorché fessure da
splitting si sviluppano nelle zone di ancoraggio.
21
Meccanismi resistenti
travi con armatura al taglio
La resistenza della trave in presenza di armatura trasversale
risulta governata dal:
comportamento
a trave
comportamento
ad arco
+
comportamento
a trave reticolare
Modello resistente
travi con armatura trasversale
Il comportamento a collasso a taglio-flessione degli elementi con
armatura al taglio risulta individuato dal modello reticolare.
Esso è costituito da:
•
•
•
•
un corrente superiore (calcestruzzo);
elementi diagonali compressi (calcestruzzo);
elementi diagonali tesi (armatura trasversale);
un corrente inferiore (armatura flessionale);
a
P
P
a
z
22
Elementi con armatura a taglio
osservazioni
• Il modello di traliccio, proposto da Mörsch ed utilizzato per
il metodo delle tensioni ammissibili, fa in realtà riferimento
ad una situazione ben diversa da quella di materiale
omogeneo ed isotropo, perché le diagonali compresse
(puntoni inclinati di calcestruzzo) sono individuate dalle
fessure provocate dal taglio. Appare quindi logico utilizzare
tale modello anche nell’ambito delle verifiche allo stato limite
ultimo.
• Occorre però notare che il modello proposto da Mörsch è un
traliccio isostatico, nel quale tutte le aste sono incernierate
nei nodi. Nella realtà il puntone diagonale compresso è
incastrato al corrente superiore; appare quindi più corretto
tenere conto di tale vincolo utilizzando un modello di traliccio
iperstatico.
Calcolo del taglio resistente
di travi armate a taglio
SE
Vsd › VRd1
è richiesta armatura a taglio
Il calcolo del taglio resistente di elementi armati a taglio e’
basato sui valori:
- VRd2 Massima forza di taglio di calcolo che può essere
sopportata senza rottura delle bielle compresse
convenzionali di calcestruzzo
-VRd3
Forza di taglio di calcolo che può essere sopportata
da un elemento con armatura a taglio, il cui collasso è
attivato dallo snervamento dell’armatura a taglio
23
Calcolo del taglio resistente
di travi armate a taglio
Metodi di normativa per il calcolo di VRd2 e VRd3
- Metodo normale
- Metodo dell’inclinazione variabile del
traliccio
Il taglio resistente di elementi armati a taglio e’
fornito dal minore tra VRd2 e VRd3 .
Metodo Normale
Il cosiddetto “metodo normale” per la valutazione della
resistenza a taglio di una trave dotata di specifica armatura per
il taglio consiste nell’analizzare il modello di traliccio
iperstatico, con puntoni compressi inclinati a 45° ed incastrati
nel corrente compresso. Le diagonali tese possono essere
costituite da ferri sagomati o da staffe
N.B. nella trattazione si indicherà genericamente con α l’inclinazione di
tali elementi rispetto all’orizzontale, essendo quindi α=45° per i
sagomati e α=90° per le staffe
P
θ=45°
P
z
α
24
Metodo Normale
Schiacciamento del puntone
Lo schema è iperstatico, ma nel valutare la resistenza a
compressione del puntone si può ritenere trascurabile il
momento flettente, data la piccola entità delle deformazioni ed
il fatto che la rigidezza estensionale è molto maggiore di quella
flessionale. La forza di compressione nel puntone è quindi data,
in base alla condizione di equilibrio, da
N pun =
V
= 2 V
sin 45°
Poiché la distanza tra i puntoni, misurata in orizzontale, è pari a
z (1+cot α), la loro sezione trasversale ha altezza z (1+cot α) e
larghezza b.
Metodo Normale
Schiacciamento del puntone
La rottura per schiacciamento si avrà quando la tensione
raggiunge il valore ν fcd, essendo ν un opportuno fattore di
riduzione che per l’Eurocodice 2 vale
ν = 0,7 −
f ck
≥ 0,5
200
con fck in N/mm2
La rottura a compressione si ha quindi quando
σc =
2 V
= ν f cd
b z (1 + cot α) / 2
cioè per un valore del taglio, che indicheremo col simbolo VRd2
VRd 2 =
1
⋅ υ ⋅ f cd ⋅ b ⋅ z ⋅ (1 + cot α )
2
N.B. L’Eurocodice 2, nell’imporre questa formula, precisa che si deve utilizzare
cautelativamente il valore α=90° (e quindi cot α=0) in presenza di sagomati, perché la piega
della sagomatura induce localmente valori più elevati di tensione nel calcestruzzo.
25
Metodo Normale
Snervamento dell’armatura
Al crescere delle azioni sullo schema di traliccio iperstatico,
inizialmente sono preponderanti le azioni assiali ed è molto
piccolo il momento flettente nel puntone. Quando nell’armatura
a taglio si raggiunge la tensione di snervamento, gli ulteriori
incrementi di carico producono un incremento della
sollecitazione flessionale nel puntone inclinato, fino alla sua
rottura, mentre l’armatura si deforma a tensione costante. Il
valore del taglio che porta alla rottura, che indichiamo con VRd3,
è quindi somma del valore Vwd che si avrebbe in uno schema
iperstatico e dell’aliquota Vcd dovuta alla resistenza del puntone
compresso
VRd3 = Vwd + Vcd
Metodo Normale
Snervamento dell’armatura
La forza di trazione nella diagonale tesa del traliccio è data, in
base alle condizioni di equilibrio, da
N diag =
V
sen α
Se si indica con Asw l’area di armatura a taglio disposta in un
tratto ∆x, l’area della diagonale tesa è
A diag =
A sw
z (1 + cot α )
∆x
ed imponendo che la tensione nella diagonale, Ndiag / Adiag , sia
pari a fyd si determina il taglio che provoca lo snervamento
dell’armatura
Vwd =
A sw
⋅ z ⋅ f yd ⋅ (1 + cot α ) ⋅ senα
∆x
26
Metodo Normale
•
La resistenza a taglio di una sezione con armature a taglio è data
dall’equazione:
VRd3 = Vcd + Vwd
Vcd è il contributo del calcestruzzo ed è uguale a VRd1
Vwd è il contributo delle armature a taglio.
•
Il contributo delle armature verticali a taglio è dato
dall’equazione:
Vwd =
A sw
z f ywd
s
Asw è l’area della sezione trasversale delle staffe;
s
è il passo delle staffe;
fywd è lo snervamento di calcolo delle armature a taglio.
Metodo Normale
•
Nella verifica a schiacciamento del puntone compresso,
VRd2 è data dall’equazione:
VRd 2 =
ν fcd b z
2
La tensione nel puntone di calcestruzzo deve, di regola, essere
limitata a σc≤ ν fcd, dove ν è il fattore di efficienza dato da:
ν = 0,7 −
f ck
≥ 0,5
200
(fck in N/mm2)
Il braccio di leva z può essere assunto pari a 0,9 d.
27
Metodo dell’inclinazione variabile
del traliccio
Le prove di carico condotte su travi, fino alla rottura per
taglio, mostrano che l’inclinazione delle isostatiche di
compressione tende ad aumentare dopo lo snervamento
dell’armatura a taglio. Ciò può essere giustificato teoricamente
pensando che quando le armature sono snervate tendono ad
esserci sensibili scorrimenti lungo le lesioni a taglio e che per
l’ingranamento degli inerti viene così trasmessa una tensione
tangenziale τ1.
Nc
Nc
Nst
Nst
θΙ
θΙ
Nst
Ns
θ
Nst
Ns
Metodo dell’inclinazione variabile
del traliccio
Il metodo detto “di inclinazione variabile del traliccio” consiste
nell‘analizzare
un
modello
di
traliccio
isostatico,
generalizzazione di quello di Mörsch, nel quale si considera una
generica inclinazione θ del puntone compresso ed una
inclinazione α (compresa tra 45° e 90°) dell’armatura a taglio.
28
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio
Schiacciamento del puntone
Il contributo del puntone di calcestruzzo è valutato non
rendendo lo schema iperstatico bensì considerando variabile
l’inclinazione del puntone stesso.
La resistenza a schiacciamento del puntone può essere valutata
immediatamente, generalizzando l’espressione determinata per il
metodo normale. Si ha infatti:
N pun =
V
sen θ
e l’altezza della sezione del puntone è z (cot θ + cot α ) sen θ .
Quindi il taglio che porta a rottura il puntone è
VRd 2 =
υ ⋅ f cd ⋅ b ⋅ z ⋅ (cot θ + cot α )
1 + cot 2 θ
essendo 1 + cot 2 θ = 1 sen 2 θ
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio
Snervamento dell’armatura
La forza che agisce nell’armatura inclinata vale ancora
N diag =
V
sen α
mentre l’area della diagonale tesa è, in funzione dell’area di
armatura a taglio Asw disposta in un tratto ∆x,
A diag =
A sw
z (cot θ + cot α )
∆x
Il taglio che provoca lo snervamento dell’armatura è quindi
VRd3 =
A sw
⋅ z ⋅ f yd ⋅ (cot θ + cot α ) ⋅ senα
∆x
29
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio
Osservazioni
Dalle due espressioni
VRd 2 =
ν f cd b z (cot θ + cot α )
1 + cot 2 θ
VRd 3 =
Asw
z f yd (cot θ + cot α ) sen α
∆x
si può notare che se, partendo da un’inclinazione del puntone θ=45°
(cioè cot θ=1), si riduce il valore di θ (e cresce cot θ) si ha una
riduzione di VRd2 ed un aumento di VRd3. Si può allora pensare che
nelle fasi iniziali del processo di carico le isostatiche di
compressione siano a 45°. Quando, dopo aver raggiunto lo
snervamento, si incrementano ulteriormente i carichi iniziano a
verificarsi grosse deformazioni e scorrimenti tra le fessure e le
isostatiche di compressione si inclinano. In questo modo l’armatura
può portare un taglio maggiore. Contemporaneamente si riduce la
resistenza del puntone compresso ed il collasso sarà sempre
raggiunto per quel valore di θ per il quale VRd2 e VRd3 diventano
uguali.
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio
Osservazioni
Nelle applicazioni pratiche occorre però mettere un limite
inferiore a θ, ovvero un limite superiore a cot θ
Eurocodice 2
•
L’angolo θ tra il puntone compresso e l’asse longitudinale è
limitato a:
| 0,4 | < cot θ < | 2,5 | (I: | 1,0 | < cot θ < | 2,0 | )
per travi con armature longitudinali non interrotte, e a:
| 0,5 | < cot θ < | 2,0 | (I: | 1,0 | < cot θ < | 2,0 | )
per travi con armature longitudinali interrotte.
Altri valori di θ possono essere usati a condizione che
possano essere giustificati.
30
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio
•
Per elementi con armature a taglio verticali, le resistenze a
taglio sono definite da:
VRd3 =
Asw
s
fywd
A sw
z f ywd cot θ
s
è l’area della sezione trasversale delle staffe;
è il passo delle staffe;
è lo snervamento di calcolo delle armature a
taglio.
Metodo dell’inclinazione variabile del traliccio
•
Per elementi con armature a taglio verticali, le resistenze a taglio
sono definite da:
VRd 2 =
con la condizione
b w z ν f cd
cot θ + tan θ
A sw f ywd
bw s
≤
1
ν f cd
2
La tensione nel puntone di calcestruzzo deve, di regola, essere
limitata a σc≤ ν fcd, dove ν è il fattore di efficienza dato da:
ν = 0,7 −
f ck
≥ 0,5
200
(fck in N/mm2)
Il braccio di leva z può essere assunto pari a 0,9 d.
31
Calcolo dell’armatura a taglio
•
Per determinare il minimo quantitativo di armature a taglio,
per tensioni di taglio basse o medie, i limiti superiori dati per
cot θ in precedenza governano di norma il progetto. Per
tensioni di taglio più elevate, il più grande valore di cot θ
(corrispondente al minimo quantitativo di armatura) può
essere determinato uguagliando la forza di taglio di progetto
VSd a VRd2. Il valore di cot θ può anche essere scelto in modo
da ottimizzare il progetto, per esempio riducendo al minimo il
quantitativo totale di armatura.
Progetto dell’armatura a taglio
(Metodo Inclinazione Variabile)
Dopo aver accertato che è necessaria armatura a taglio (VSd>VRd1), si
calcola il valore di VRd2, resistenza del puntone di calcestruzzo in
presenza di armatura a taglio realizzata mediante staffe, per
controllare se la sezione è sufficiente per sopportare il taglio
utilizzando cotθ=2:
VRd 2 =
b z ν f cd
(cot θ + tan θ)
Se VRd2 > VSd, si calcola VRd3 per diversi valori dell’armatura a taglio
(con cotθ=2) e si sceglie l’armatura nei diversi tratti di trave:
VRd 3 =
A sw
z f ywd cot θ
s
32
Applicazione
Calcolo dell’armatura a taglio
Stati limite
- Verifica del puntone compresso
VRd 2 =
Vd = γ V = 1.5 x 75 = 112.5 kN
ν = 0.7 – 0.83 Rck / 200 = 0.575
fcd = 0.83 Rck / 1.6 = 15.56 N/mm2
z = 0.9 d = 0.9 x 570 = 513
ν fcd b z
2
fyd = 430/1.15 = 374 N/mm2
VRd2 = 0.575 x 15.56 x 300 x 513 /2 = 688.5 kN >>> Vd
- Taglio portato dal cls
Vcu = VRd1 = 85061 N
- Calcolo staffe
Vwd = Vd – Vcu = 112500-85061 = 27439 N < Vd /2 = 56250 N
Asw/s = Vwd/z fywd = 56250 / 513 x 374 = 0.294 mm2/mm = 2.94 cm2/m
- staffe φ 8 a 2 bracci con passo 33 cm (3 staffe al metro)
Applicazione
Calcolo dell’armatura a taglio
Consideriamo il caso di una sezione fortemente
sollecitata a taglio (VSd prossimo a VRd2):
VSd = 680.0 kN
Tensioni ammissibili
Asw Vsd / 1.5
=
= 34.6 cm 2 / m
s
z ⋅ σs
Stati limite
Asw Vd − VRd1
=
= 31.06 cm 2 / m
s
z ⋅ f ywd
Staffe φ8/5
a 4 bracci
Staffe φ8/6
a 4 bracci
33
Limiti per l’armatura a taglio
Eurocodice2
Elementi che richiedono armature a taglio (VSd>VRd1)
Generalità
P(1) Nelle travi le armature rialzate non devono essere utilizzate
come armature a taglio se non in combinazione con staffe.
Almeno il 50% del valore di VSd deve essere assorbito da
staffe verticali.
P(2) Dove siano impiegate armature a taglio inclinate, l’angolo tra
le armature e l’asse longitudinale della trave non deve, di
regola, essere minore di 45°.
P(3) Dove il carico non agisca all’estradosso della trave, o quando
l’appoggio non sia all’intradosso della trave, si devono
disporre ulteriori armature per riportare gli sforzi
all’estradosso del traliccio resistente.
Limiti per l’armatura a taglio
Elementi di altezza costante
P(1)
Per la verifica a taglio si considera l’elemento come costituito
da membrature compresse e tese separate da una distanza
pari al braccio di leva interno z. La zona di taglio ha
profondità z e larghezza bw. Il braccio di leva è calcolato
perpendicolarmente alle armature longitudinali ignorando
l’effetto delle armature rialzate.
(2-3)
….
(4)
Alla disposizione delle armature a taglio si applicano le
seguenti prescrizioni:
- percentuale minima di armatura a taglio;
- limitazione delle aperture delle fessure nell’anima;
- disposizione delle armature a taglio.
34
Limiti per l’armatura a taglio
Armature a taglio delle travi
(1)
L’armatura a taglio deve di regola formare un angolo compreso
tra 45° e 90° con il piano medio dell’elemento strutturale.
(2)
L’armatura a taglio può essere costituita da una combinazione
di:
- staffe che racchiudono le armature longitudinali tese e la
zona compressa;
- barre rialzate;
- assemblaggi di armature a taglio in forma di gabbie, graticci,
ecc., realizzati con barre ad aderenza migliorata, messi in
opera senza contenere le armature longitud., ma che devono
essere adeguatamente ancorati in zona tesa e compressa.
(3)
Le staffe saranno ancorate in modo efficace. Sono ammesse
giunzioni per sovrapposizione di bracci vicini alla superficie
dell’elemento solo per armature ad aderenza migliorata.
Limiti per l’armatura a taglio
Armature a taglio delle travi
(4)
Di regola almeno il | 50% | dell’armatura a taglio necessaria
deve essere realizzata mediante staffe.
(5)
Il rapporto di armatura a taglio è dato dall’equazione:
ρ w = A sw / s⋅ b w ⋅ sin α
ρw
è il rapporto di armatura a taglio;
Asw
è l’area dell’armatura a taglio sulla lunghezza s;
s
è il passo dell’armatura a taglio;
bw
è la larghezza dell’anima dell’elemento;
a
è l’angolo tra l’armatura a taglio e l’armatura principale
(per staffe verticali a=90° e sin a=1).
35
Limiti per l’armatura a taglio
Armature a taglio delle travi
(5)
I valori minimi del rapporto di armatura a taglio ρw sono
forniti dal prospetto:
Prospetto 5.5 - Valori minimi di ρW
Classi di calcestruzzo*
Classi di acciaio
S220
S400
S500
Da C12/15 a C20/25
0,0016
0,0009
0,0007
Da C25/30 a C35/45
0,0024
0,0013
0,0011
Da C40/50 a C50/60
0,0030
0,0016
0,0013
* Come assunto in progetto.
Limiti per l’armatura a taglio
Armature a taglio delle travi
(5) Quando le armature a taglio sono realizzate con barre tonde
lisce il loro diametro non deve di regola essere maggiore di
| 12 mm |.
(7) Il massimo passo longitudinale smax di insiemi successivi di
staffe o di armature dalle seguenti condizioni:
- se :
- se :
- se :
VSd ≤ 1/5 VRd2
1/5 VRd2 < VSd ≤ 2/3 VRd2
VSd > 2/3 VRd2
smax = 0,8 d ≤ 300 mm
smax = 0,6 d ≤ 300 mm
smax = 0,3 d ≤ 200 mm
36
Limiti per l’armatura a taglio
Armature a taglio delle travi
(8) La massima distanza longitudinale fra barre rialzate è data
dall’equazione:
smax = | 0.6 | d(1 + cot a)
(9) La distanza trasversale dei bracci di un insieme di staffe a
taglio non deve di regola essere maggiore di:
- se :
VSd ≤ 1/5 VRd2
smax ≤ d o | 800 mm |
- se :
VSd > 1/5 VRd2
si applicano le eq. 5.18 o 5.19
Limiti per l’armatura a taglio
Armature trasversali nei pilastri
(1) Il diametro delle armature trasversali (staffe, risvolti o
armature elicoidali) deve, di regola, essere non minore di | 6
mm | o di | un quarto | del diametro massimo delle barre
longitudinali, assumendo il valore maggiore fra i due; il diametro
dei fili delle reti elettrosaldate formanti armature trasversali
deve, di regola, essere non minore di | 5 mm |.
(2) Le armature trasversali
adeguatamente ancorate.
devono,
di
regola,
essere
37
Limiti per l’armatura a taglio
Armature trasversali nei pilastri
(3) La distanza tra le armature trasversali di un pilastro non deve
di regola essere maggiore della minore delle tre seguenti:
- 12 volte il minimo diametro delle barre longitudinali;
- il lato minore della sezione del pilastro;
- 300 mm.
(4) La distanza sarà ridotta secondo un fattore | 0,6 |:
i) in sezioni posizionate al di sopra o al di sotto di una trave o di
una piastra per un tratto pari alla maggiore dimensione della
sezione del pilastro;
ii) in prossimità delle giunzioni per sovrapposizione se il massimo
diametro delle barre è maggiore di | 14 mm |.
Limiti per l’armatura a taglio
Armature trasversali nei pilastri
(5) Dove le barre longitudinali cambiano direzione (per esempio
nelle variazioni di sezione) la distanza tra le armature
trasversali sarà calcolata considerando le forze trasversali che
si generano.
(6) Ciascuna barra longitudinale (o gruppo di barre longitudinali)
posta in uno spigolo deve essere tenuta in posizione da una
armatura trasversale.
(7) Un massimo di | 5 | barre situate in uno spigolo o in prossimità
di esso può essere assicurato contro l’instabilità da ciascuna
serie di armature trasversali dello stesso tipo.
38