02 Gradi di libertà della radiazione Ci occuperemo del campo

Gradi di libertà della radiazione
02 Gradi di libertà della radiazione
Ci occuperemo del campo elettromagnetico in una regione (grande) dello spazio
priva di cariche e correnti e lo chiameremo campo di radiazione. È evidente che il campo
di radiazione, essendo un sistema continuo, ha infiniti gradi di libertà. Tuttavia vedremo
che in una regione finita essi sono numerabili.
Prima di tutto notiamo che, come si sa dalla teoria classica, il campo di radiazione
può essere rappresentato mediante il solo potenziale vettore E, che dev'essere
solenoidale. Quest'ultima condizione dimostra soltanto che due componenti di E possono
essere scelte come indipendenti, mentre la terza risulta determinata da esse. Per esempio
scegliamo Ex e Ey , mentre Ez ne rimarrà determinata di conseguenza.
Cominciamo con l'osservare che Ax è una funzione scalare di B,C,D ,>, che
obbedisce alla equazione delle onde
..
™ 2 EB  EB /- 2 œ !
Poiché si tratta di un'equazione del secondo ordine rispetto al tempo, Ax rimarrà
determinata quando siano assegnati i valori suoi e della sua derivata prima rispetto al
tempo all'istante > œ !, in tutta la regione che ci interessa. Infatti, prendendo di mira un
punto qualsiasi interno alla regione detta, conosciamo in esso il valore di EB e della sua
derivata prima all'istante > œ ..!. Ma, per l'equazione delle onde, conosciamo anche il
valore
.. della derivata seconda EB in tale istante. Allora è possibile ricavare il valore di EB
e di EB in ogni istante .> successivo. Ripetendo l'operazione per successivi incrementi .>
del tempo, conosceremo EB in qualsiasi istante.
Una soluzione particolare dell'equazione delle onde è rappresentata
dall'espressione E! -9=Ð5 † <  =>  9Ñ, cioè da un'onda piana che si propaga nella
direzione individuata dal vettore 5 e ha la lunghezza d'onda - œ #1/5 e la fase 9
nell'origine. Vogliamo rappresentare il campo E come una somma di onde piane di
questo tipo.
Effettivamente ciò è possibile al di dentro di un cubo di spigolo P, che potremo
scegliere grande quanto vogliamo. Basta per questo prendere per i vettori d'onda delle
varie onde le espressioni
5B œ 6
#1
#1
#1
; 5C œ 7
; 5D œ 8
P
P
P
Ð3.46Ñ
dove 6, 7, 8 sono numeri interi che assumono tutti i valori da  _ a  _. Infatti,
distinguendo ciascuna onda piana con gl'indici 6, 7, 8 che le competono, scriveremo
EÐB,C,D ,>Ñ œ " E/ -9= Ð5/
_
†<
 =/ >  9/ Ñ
Ð3.47Ñ
_ /
dove l'indice / rappresenta l'insieme dei tre indici 6ß 7ß 8. La (3.47) è una serie di Fourier
di periodo P in tutte e tre le direzioni B, C, D . Come è noto ciascuna di esse permette di
rappresentare qualsiasi funzione (fisica) arbitraria all'interno del cubo. È quindi possibile
determinare le E678 e le 9678 . D'altra parte è chiaro che restano soddisfatte le equazioni
di Maxwell. Pertanto la decomponibilità di E in onde piane è dimostrata.
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Anno accademico 2011/2012
Gradi di libertà della radiazione
Dunque per ciascuna delle due componenti di E scelte come indipendenti, il
numero dei gradi di libertà o modi del campo, è uguale al numero delle terne (6,7,8) di
numeri interi positivi o negativi. Si tratta quindi di infiniti gradi di libertà, ma numerabili.
Dalle (3.46) segue che il valore del modulo di 5 :
5œ
#1 È 2
6  72  82
P
a cui corrisponde la frequenza = œ -5
=678 œ =678 œ
#1- È #
6  72  82
P
Ð3.48Ñ
Ð3.49Ñ
Per avere il numero di modi corrispondenti a frequenze minori o uguali a =, bisogna
contare quante terne (6,7,8) danno
62  72  82 Ÿ
=2 P#
%12 - 2
Ð3.50Ñ
ovvero quanti punti con coordinate intere sono contenuti nella sfera di raggio =P/#1- .
Con riferimento alla Figura 3.6, dato che ciascuno di tali punti corrisponde a un cubo
unitario, il numero cercato è uguale al volume della sfera, cioè (%1/$)(=P/#1- )$ . Poiché
le componenti indipendenti di E sono due, otteniamo infine per il numero R di modi di
frequenza minore o eguale a =
Rœ
=3 P3
$12 - 3
Ð3.51Ñ
Differenziando si ha
.R œ
=2
Z .=
12 - $
Ð3.52Ñ
essendo V il volume del cubo. Si suol dire che i modi sono in numero =2 /12 - 3 per unità
di volume e per unità di banda di frequenza.
kz
Figura 3.6
k
ky
kx
2
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