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Le onde sismiche
Le onde sismiche Propagazione delle onde sismiche Ingredienti: •Sforzo, deformazione •Legge di Hooke (comportamento elastico) •Equazione del moto Ipotesi semplificative: •gli spostamenti associati alla propagazione delle onde sono di piccola entità •Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo “elastico” (ritorno alla posizione di equilibrio una volta rimossa la sollecitazione esterna) Definizione di sforzo sforzo normale f lim A0 A sforzo di taglio Definizione di deformazione DEFORMAZIO NE Variazione di lunghezza (volume) lunghezza (volume) totale ΔL ε L Relazione sforzo-deformazione Per un corpo elastico: rottura t = m . e m = rigidità Legge di Hooke Onde elastiche (sforzo normale) d n x dx n ( 2 m ) e u n n σ n Δσ n L u du eu L x dx F ma con d d 2u 2 dx dt d d F x A V dx dx d 2u a 2 dt 2m d u d u 2 2 dx dt 2 Equazione d’onda 2 Onde P L’equazione 2m d u d u 2 2 dx dt 2 2 Descrive un’onda che si propaga con velocità 2m VP Con polarizzazione longitudinale Tali onde sono chiamate Onde P (o di pressione, o primarie) Soluzione dell’equazione delle onde e velocità di propagazione 2 2 d u d u 2 V 2 2 dx dt La soluzione generale dell’equazione delle onde è: u ( x, t ) f ( x Vt ) f ( x Vt ) viola il principio di causalità x0 Vt0 ( x0 x) V (t0 t ) x Vt Onde elastiche (sforzo di taglio) d t x dx t m ev t t σ t Δσ t F ma con d d F x A V dx dx d 2v a 2 dt v dv ev x dx d d 2v 2 dx dt md v d v 2 2 dx dt 2 2 Equazione d’onda Onde S L’equazione md v d v 2 2 dx dt 2 2 Descrive un’onda che si propaga con velocità m VS Con polarizzazione trasversale Tali onde sono chiamate Onde S (o di taglio (shear), o secondarie) Fronte d’onda - Raggio La soluzione dell’equazione d’onda è: u ( x, t ) f ( x Vt ) fase Le superfici in cui la fase è costante sono dette fronti d’onda Le curve punto per punto ortogonali ai fronti d’onda sono dette raggi Onde P e onde S Polarizzazione onda P Polarizzazione onda S v p vs In un mezzo poissoniano v p vs 3 Onde di volume Onde P (polarizzazione longitudinale) Onde S (polarizzazione trasversale) Il sismogramma: fasi P e fasi S Campi Flegrei 23/02/1984 Attenuazione geometrica delle onde sferiche Flusso di energia per unità di superficie ed unità di tempo: E cost A2 Il flusso totale di energia che attraversa i fronti d’onda ad istanti successivi deve conservarsi: E S t t 1 A( r ) r E S t t0 t 0 A2 (r1 )4r1 A2 (r2 )4r2 2 A(r1 ) r2 A(r2 ) r1 2 Propagazione delle onde sismiche in mezzi complessi Esempio di traiettoria dei raggi sismici in un modello di Terra a strati piano-paralleli Dromocrone x t v1 1 v1 x v1 t 1 v2 2 x v1 h x 2 h 2 t2 v1 2h v1 x x l 2 h l h x 2 t2 2 v1 v2 v1 v2 2 x h v1 l v2 lx Distanza critica L’onda rifratta non esiste per tutti gli angoli di incidenza, ma a partire dall’angolo critico xc v1 h ic 90° v2 sin ic 1 v1 v2 ic arcsin sin ic xc 2h 2h cos ic v1 v2 v1 /v 2 v1 1 v2 2 2h v1 v22 v12 Onde di superficie In un mezzo omogeneo e illimitato si generano e propagano solo onde P ed S (onde di volume) In un mezzo stratificato l’impatto delle onde di volume con le superfici di discontinuità genera onde di superficie che si propagano lungo l’interfaccia: Non si ha trasmissione di onde al di là della superficie libera perché le costanti elastiche dell’atmosfera sono di alcuni ordini di grandezza inferiori a quelle delle rocce (o degli oceani) Onde di superficie Onde di Rayleigh (moto ellittico retrogrado) Onde di Love (moto trasversale orizzontale) Fenomeno della dispersione Per un’onda di Rayleigh: ω=2πf=2π s ω,z µA o e-ωαz =A o e-2πf z |s ,z | è lo spettro di ampiezza z ha le dimensioni dell'inverso di una lunghezza vf vf velocità di propagazione nel mezzo λ Si definisce profondità di penetrazione dell’onda il v alore Z0 della profondità per il quale l’ampiezza dell’onda si riduce di 1/e ωµz 0 =1 2π vf λ αz 0 =1 zo= λ 2πfα Velocità di fase e di gruppo • Velocità di fase: Lo spazio percorso da un piano di uguale fase dell’onda di pulsazione fissata nell’unità di tempo vf = ω 2π con k= numero d'onda k λ • Velocità di gruppo: Rappresenta la velocità di una superficie dell’onda di ampiezza fissata dω dk dalla definizione della velocità di gruppo e tenendo conto che per le varie fasi: vg = v ω=2πf=2π =vk λ 1 dv vg =v+ λ d 1/λ dv <0 allora vg <v dk Caso delle onde superficiali in mezzo dispersivo se Attenuazione geometrica delle onde di superficie E cost A2 E S t t E S t t t 0 0 A2 (r1 )2r1Z A2 (r2 )2r2 Z 1 A(r ) r r2 A(r1 ) A(r2 ) r1 Onde di superficie nella registrazione di un telesisma Taiwan 20/9/1999 Ms=7.6 D=10000Km S P Onde di superficie Attenuazione anelastica delle onde sismiche La non perfetta elasticità della Terra produce un’attenuazione nell’ampiezza delle onde con la distanza. Per un’onda monocromatica, si ha: A( x, Q, ) A0e ωx 2VQ Q è detto fattore di qualità ed è legato alla quantità di energia dissipata per ciclo d’onda: 1 E Q 2E Sviluppo in serie di Fourier È possibile dimostrare che una funzione periodica, di periodo T, che soddisfa certe condizioni, può essere rappresentata come la sovrapposizione di un numero (infinito) di funzioni seno e coseno con frequenze 1/T, 2/T, 3/T, … Sia f(t) una funzione periodica di periodo T f (t ) a0 an cos( nt ) bn sin( nt ) n 1 2n T 1 T a0 f (t )dt T 0 1 T an f (t ) cos( nT )dt T 0 1 T bn f (t ) sin( nT )dt T 0 n Sviluppo in serie di Fourier e ix e ix sin x 2i e ix e ix cos x 2 f (t ) C n n e int Trasformata di Fourier Data una funzione continua f(t), la sua trasformata di Fourier è: 1 F ( ) 2 it f (t ) e dt Tale trasformata è reversibile, ovvero esiste un’operazione di antitrasformata di Fourier: f (t ) F ( ) e it d Spettro di ampiezza e spettro di fase La trasformata di Fourier è in generale una quantità complessa: F ( ) A( ) iB ( ) F ( ) A2 ( ) B 2 ( ) spettro di ampiezza B( ) spettro di fase ( ) arctan A( ) Un esempio