Esercizi vari di Analisi I

N. Fusco
1
ESERCIZI DI ANALISI I
Prof. Nicola Fusco
1
Determinare l’insieme in cui sono definite le seguenti funzioni:
(1)
s
(3)
q
tg 1 − log2π4 (x + 1)
(5)
p
100sen2 x−cos2 x − 10tg2 x−2
log1/2
(7)
arctg
(9)
s
(10)
r
x−π
arctg
x−4
|x2 − 2| + 1
x2 − 1
(4)
s√
2x3 − x log π6 arcsen
−1
2
sen2 x − sen x − sen x
tg2 x − 3
(6)
" p√
(8)
2x2 − 16x + 28 − x
p 1
1
π − 2 arctg 3 x − 2 x
x
# 1−cos
x
| cos x| − sen 2x
log r
√ π 2 − 9 arctan2 xx+13 | tg x| − | sen x|
x − e log x
q
1
2
√
tg x + sen x + π 2 − 4x2
√
arcsen( x2 − x − |x|)
− log3
1
2
(11)
1
arccos log2 (− cos x) − log4 sen x + ))
2
(12)
p
2k
logsenk+1 x (log(x − 3))
1
(2)
r
(13)
s
1 − log3
3 − |x| √
√
− x
x+2
Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Napoli “Federico II”
2
(14)
N. Fusco
q
arcsen 1 − log21 (sen x)
(15)
r
(17)
q
(21)
log
arccos log2 (sen e x ) −
2
(16)
s
1 + log2/π
x
arccos
x−1
2
(18)
(19)
(20)
(22)
log2 arcsen
3
3x − x
+
2
s
2π
3
log π2 (2 arcsen x) − 1
3 tg 2 ( x2 ) − 1
cos x − sen x + 1
q
p
log3
x2 − 1 − 3x + 4 + log 19 (x2 + 2x + 1)
7/2
(x − 9)(sen x + cos x − 1)
q√
( 3 + 2) cos x − sen x − 1
s
log1/2
2 + cos x
4 − 2 sen x − cos x
| tg x| − | sen x| √
1 + x2 − x
Calcolare i seguenti limiti:
(23)
lim
x→0
1
x
"s
3
√
1− 1−x
√
−1
1+x−1
#
(24)
(25)
arctg 2 sen x − log(1 + x)
lim
√
x→0
(2x − 1) 1 + tg x − 1
(26)
(27)
[log(1 + x sen x)] · arctg 2 (e x − 1)
√
4
x→0
1 + 3x4 − 1
(28)
(29)
1
1
1 + sen x + sen 2 x x − 1 + sen x x
lim
x→0
x
(30)
x4 sen 2 (π − 2 arctg x)
lim
x→+∞
3 + x2
lim
x→0
log(1 + x) − log(1 − sen x)
x + sen x
2
lim
2
(31)
! tg1x
lim
1 + sen x
1−x
lim
1 − cos x − sen 2x
√ 3
π 2 − 9 arctg 2 1+x
x→0
x→0+
lim
x→0
4
arccos 2
1
1+x2
−1
log4 (1 + x)
N. Fusco
(32)
√
4 sen x − 2 tg 3 3 3x
lim
x→0 cos x + sen x − 1
(34)
1
lim+
x→0 x
"
log(1 − x)
−
log(1 + x)
α
3
(33)
lim
x→0+
hπ
2
+ tg x − arctg
1 i log1 x
x
#
−1 , α∈ R
Derivare le seguenti funzioni:
(35)
1
x
(36)
(38)
√
3
x3 x2
(39)
(41)
5 sen x + 4 tg x
(42)
(44)
√
1
+ arctg x − 5 x
2
x
(45)
(46)
√
7 arccos x − 10x + cotg x + x 3 x
(48)
x log3 x
(51)
x3 arcsen x + cos x log3 x
(53)
x cos x log4 x
(56)
(59)
(62)
(65)
(68)
1
sen x
x+2
x3 − 1
arctg x
x + arcsen x
1 + cos x
cos x
8
x − 3x5 + 1
x3
(49)
(54)
(57)
(60)
(63)
(66)
(69)
1
x2
1
√
4
x3
√
x + 2 cos x
(37)
(40)
1
xn
1
√
3
x2 x2
(43)
5x + arcsen x + log3 x
(47)
sen x arcsen x
(50)
2x log2 x
(52)
5x tg x + e 7 arctg x
1
tg x − 2 arcsen x + √
x
(1 + x2 ) arctg x
7x arcsen x tg x
π
x + arcsen x
x + log x
arcsen x
x sen x
x2 + arcsen x
π 2 + x log x
1 + sen x
3
x − 2x + 1
√
4
x
(55)
(58)
(61)
(64)
(67)
1
log2 x
3
x log x
√
4x + x
√
1+ x
1 + tg x
1 − tg x
√
1+ x
√
1− x
(70)
sen 2x
(71)
tg 3x
(72)
cotg 4x
(73)
e 5x
(74)
log |x|
(75)
sen 3 x
(76)
(78)
p
4
(79)
tg 2 x
p
3
x2 − 1
(77)
√
sen x
log2 x
4
N. Fusco
(80)
p
x2 + x + 1
(81)
√
6
(83)
arcsen 4 x
(84)
log35 x
(86)
π cos x
(87)
e
(89)
(92)
5− x2
q
4
log2 x − log x
(95)
(98)
1
tg x
(82)
√
(85)
7x
x
(88)
(90)
e tg x
(91)
3arcsen x
p
52x − 5x + 1
(93)
log2 (x2 − x)
(94)
log3 arcsen x
(96)
(97)
log log x
(99)
log(e 2x − e x − 6)
q
log 12 arcsen x
(102)
cos(x2 + x + 1)
(103)
(105)
tg(x2 + 1)
(106)
1
arcsen x
√
2
+x+1
log sen x
log2 | sen x|
x
(100) logtg 2
cos 2x
(101)
sen log2 x
(104)
sen(1 −
(107)
sen arctg x
(108)
tg 3 arcsen x
(109)
(110)
arcsen log x
(111)
arctg(x2 + π)
(112)
arcsen
(113)
arctg 3 log2 x
(114)
arctg sen x
(115)
arccos 4− log x
(117)
p
1 − x2
p
log(1 − 1 − x2 )
p
4
tgh x
(118)
3
(121)
cosh log x
(124)
settsenh(x2 + x − π)
(127)
(arccos log x) · 3sen x
(116)
(119)
√
x)
1+x
arctg
1−x
p
sen 3 1 + log x
(120)
arcsen
√
cotg x
p
sen log x
√
(122)
√
tgh x
(123)
(125)
setttgh 2 log x
(126)
settcosh e x
(129)
(cos π x ) · arcsen log x
(131)
log log log x
(132)
√
5
(128)
(130)
1−x
1+x
1
arcsen √
1 + x2
arcsen
√
arcsen
x
1
x
2
arctg 3sen x
(133)
settsenh 2 4log x
(134)
logx (x2 − 1)
(135)
logx sen x
(136)
log1+√x (1 + 2x )
(137)
logarctg x (x2 + π)
(138)
arctg tgh x
(139)
√ √
( x) x
(140)
(arcsen x)x
(141)
(1 − sen x)x
N. Fusco
√
x)sen x
5
2
(143)
(2 − x4 )x
(146)
(arctg x)x
(142)
(1 +
(145)
xarccos x
(147)
Determinare quante soluzioni ha l’equazione
(144)
(cos x)sen x
6 sen x − 6x + x3 = 0 .
(Si osservi che x = 0 è soluzione dell’equazione).
(148)
Determinare il numero delle soluzioni reali dell’equazione:
3x2 + 3 cos2 x − x4 = 1
(149)
Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
1
x + log(1 + x) − x2 log 1 +
= 1,
x
x>0 .
(Sugg.: si ricordi che log(1 + t) < t se t > 0)
(150)
Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
x x ∈ IR .
x2 − 1 + x = 2
(151)
Trovare il massimo e minimo della funzione
|x2 − 1| − |x|
x+2
nell’intervallo [-1,2].
Studiare i grafici delle funzioni seguenti:
x−1
x+1
(152)
p
3
x2 (x − 1)
(153)
e
(155)
x2 sen x
(156)
(x − 1)2 (x − 3)2
(157)
(158)
1
1 + x4
(159)
x2 − 1
x2
(160)
(154)
x| log x|
1−x
1+x
2 − 3x − 2x2
x
6
N. Fusco
(161)
x2
x2 − x − 2
(162)
x3 (x2 + 2)
x4 + x2 + 1
(163)
(164)
|x2 − 2x|
(165)
|x| + |x2 − x|
(166)
(168)
p
3
x(x2 − 1)
(169)
(171)
x+
x
(167)
(170)
√
x+ x+2
√
√
3
x+1+ 3x−1
√
√
3
x+1− 3x−1
1
(173)
xe x
(174)
(176)
x log x
(177)
(179)
log arctg x
(180)
(182)
x + cos x
(183)
(185)
x2
x−1
[x]
1 − [x]
(186)
p
x2 − 1
1 − 2x
1 + 2x
1
log x
1
+ log x
x
x+1
arcsen
x
x 1 − x2
(172)
(175)
2
x4 + 2x3
x3 − 1
√
3
x x2
r
x3 − 1
x+2
p
|x| − |x − 1|
1
1
x
(2 − 2)2
(178)
log log x
(181)
1
x log x
(184)
xx
(187)
[x]
x
(190)
e − x3
1
1
(189)
ex
(192)
e 1−x
(193)
x e 1−|x|
(195)
log arcsen x
(196)
(197)
2 +2
log | arctg x|
x
log x
(198)
2x + cos x
(199)
x2 + cos x
(200)
sen 2 x
(201)
sen |x|
(202)
cotg |x|
(203)
2cos x
(204)
x2 e − cos x
(205)
log | cos x|
(206)
arctg x −
(207)
arcsen x
x
(208)
arcsen log x
(209)
arcsen |x|
√
√
3
1+x− 31−x
x
(210)
arccos(cos
(211)
tg x
x
(213)
arctg
(188)
(191)
(194)
(212)
e−e
−x
1
1
x
1
1−x
x
1 + x2
Calcolare i seguenti limiti:
x
√
3
x2
|x − 1|
x)
x
N. Fusco
"s
#
√
1− 1−x
√
−1
1+x−1
(214)
1
lim
x→0 x
(216)
arctg 2 2 sen x − log(1 + x)
lim
√
x→0
(2x − 1) 1 + tg x − 1
(218)
[log(1 + x sen x)] · arctg 2 (e x − 1)
√
4
x→0
1 + 3x4 − 1
(219)
3
7
(215)
(217)
lim+
lim
x→0
! tg1x
1 − cos x − sen 2x
√ 3
π 2 − 9 arctg 2 1+x
(220)
1
1
1 + sen x + sen 2 x x − 1 + sen x x
lim
x→0
x
(221)
x4 sen 2 (π − 2 arctg x)
lim
x→+∞
3 + x2
(222)
(223)
√
4 sen x − 2 tg 3 3 3x
lim
x→0 cos x + sen x − 1
(224)
1
lim+
x→0 x
"
log(1 − x)
−
log(1 + x)
α
arccos 2
lim
lim+
x→0
#
−1
(226)
√
e x cos x − log2 (1 + x) − 1
√
lim
x→0+
sen x − x cos x
(227)
(1 + sen2 x) x − e sen x
lim
x→0
x3
con α > 0
1
lim
x→0
√
√
√
3
3
x + 2x − x2 10 1 + x − 1
√ √
log2 1 + x + x x − sen x
12 log 1 + sen
√
3
x−
4
x→0
Calcolare i seguenti limiti usando la formula di Taylor:
(228)
1 + sen 2 x
1−x
lim
x→0
(225)
log2 (1 + x) − log2 (1 + sen x)
x→0
x(x − sen x)
lim
1
1+x2
−1
log4 (1 + x)
hπ
2
+ tg x − arctg
1 i log1 x
x
8
N. Fusco
(229)
arctg2 ex − 1 − x3 − log(1 + x sen x)
√
lim
x→0
1 + 3x4 − 1
(230)
√
24 arcsen(1 − cos x) − 12 log(1 + x) − 5x2
lim
x→0
(1 + sen2 x)tgx − 1
(231)
2+x
1 + x 2x − e
lim
x→0 log(1 + x) + sen2 x − x
sen x
e
(232)
lim
+ cos x − 2 1 + sen
x
2
3 tg x − sen 3x
x→0
√
√
arctg 3 x + 1 − arctg 3 x − 1
(233)
1
lim x log 1 + √
3
x→+∞
x2
(234)
(x2 + 2)2 log x + 2x3 − x4 log(x + 2)
x→+∞
x2 log(1 + x arctg x)
(235)
arccos log(e −x4 )
2
x→0 π − 2 arccos(1 + e x − 2 cos x)
(236)
2
lim
lim
limx→0
π − 2 arcsen[log(e −x4 )]
π − arccos[x sen x − log(1 + x2 ) − 1]
Z
(237)
(238)
tg t
dt − x
t
0
lim
x→0 log(1 + tg 2 x)cotg x − x
lim+
(1 + x3 )1/x − cos x
√
√
√
sen 2 x − log2 (1 + x) − x x
lim
2 arctg x + tg 1 x
x→0
(239)
x
x
π
x→+∞
x
sen t
dt
t
0
lim √
x→0 x 5 1 + 5x − x2 − sen x
x−
(240)
Z
N. Fusco
(241)
9
arctg 2 (x2 + x + 1) − arctg 2 x2
x→+∞
1
1
1
sen
+ 3 − sen
x x
x
lim
Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0 e la parte principale di:
(242)
log (1 + sen x) − log (1 + x) + x − sen x
(244)
(1 + tg 2 x) x − etg x
(246)
(1 − x3 ) 2x − cos x
(248)
(250)
1
(243)
(245)
1
(247)
3 arctg x − 2x cos x − x
1
1/x
log2 3 + 4 + 2
x
(249)
(251)
(252)
e x − e sen x
(254)
tan2 x − sen 2 xarcsen 2 x
(253)
sen 3x − x cos 3x − 2x
!α
√
1− 1−x
√
− 1,
−1 + 1 + x
α∈R
e 3x − cos x − 9x2 − sen 3x
1
π log 1 − tg x +
x2
2
1
π − 2 arctg x2
sen 4x
2
√
e x − e 1+2x−1
Calcolare i seguenti integrali immediati:
(255)
Z
dx
(2 + 3x)4
(258)
Z
−x2
(261)
Z
(264)
Z
(267)
Z
(270)
Z
(273)
Z
xe
dx
dx
sen x cos x
log x
dx
x
sen 3 x
dx
cos5 x
sen x cos x
dx
sen 4 x + cos4 x
dx
√
x 1 + x2
(256)
Z
dx
√
5
3x + 4
(259)
Z
dx
2
arctg 3x · (1 + 9x2 )
(262)
Z
(265)
Z
(268)
(271)
(274)
sen x cos x dx
dx
√
2x
e −4
Z
2tg x
dx
1 + cos 2x
Z
dx
√
x − x2
Z
dx
2
x +x+2
(257)
Z
cotg x dx
(260)
Z
p
x 1 − x2 dx
(263)
Z
sen 4 x cos x dx
(266)
Z
(269)
(272)
(275)
dx
1 − sen x
Z
x2
√
dx
1 − x6
Z
dx
x cos2 log x
Z
dx
2
x −x−2
10
(276)
N. Fusco
Z
dx
√
2
x − 5x + 6
Z
(277)
dx
√
1 − x − x2
Z
(278)
dx
dx
1 + cos2 x
Calcolare i seguenti integrali per decomposizione in somma:
(279)
(282)
(285)
(288)
(290)
(293)
Z
3x + 1
dx
2x − 3
Z r
x−2
dx
x+2
Z
dx
1 + e 2x
Z
cos 4x cos 5x dx
Z
sen 3 x dx
Z
dx
sen 2 x cos2 x
(280)
Z
(283)
Z
3x + 2
dx
4 + 5x2
(281)
Z
dx
x(4 + x2 )
Z
3x − 2
x+2
√
dx
(284)
dx
2
x − 4x + 3
−x2 − x + 2
Z
Z √ 2
x +1
dx
(287)
sen x cos 3x dx
x
Z
sen x cos 2x sen 3x cos 4x dx
Z
Z
dx
4
4
sen x cos x dx
(292)
sen 3 x cos x
Z
Z
dx
(295)
tg 4 x dx
sen x cos3 x
(286)
(289)
(291)
(294)
Calcolare i seguenti integrali per parti:
(296)
Z
(299)
Z
(302)
Z p
(305)
Z
(308)
Z
x cos x dx
(311)
Z
arctg x
dx
x2
x sen x dx
log x dx
1 − x2 dx
e
arcsen x
dx
3
(297)
Z
(300)
Z
(303)
Z p
(304)
(306)
Z
x sen 2 x dx
(307)
(309)
Z
log 2 x dx
(310)
(312)
Z
dx
(1 + x2 )3
x log x dx
arctg x dx
x2 + x + 3 dx
Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali:
(298)
Z
(301)
Z
x sen x cos x dx
x arcsen x
√
dx
1 − x2
Z
x2 e x cos x dx
Z
x2 e 2x dx
Z
arcsen 2 dx
N. Fusco
(313)
Z
(316)
Z
(319)
Z
(321)
Z
(323)
Z
(325)
Z
(327)
Z
(330)
Z
dx
(314)
2
x −4
x
dx
(317)
1 + x3
2x2 +3x+4
dx
1 − x6
2x2 +x+1
dx
x2 (x2 +x+1)
dx
3
x − 7x + 6
dx
2
(x +1)(x2 +2)
dx
(328)
1 − x4
2x3 + 3
dx
x5 − 9x
x4 + 1
dx
x3 − x2 + x − 1
Z
x2
dx
(x2 − 1)(x + 2)
Z
Z
dx
x4 − 7x2 − 12
11
(315)
Z
(318)
Z
(320)
Z
(322)
Z
(324)
Z
(326)
Z
(329)
Z
x
dx
1 + x3
dx
1 + x4
x3 +5x+2
dx
x4 (2x2 +3x+2)
x4
dx
(x2 − 1)3
x
dx
4
x − x2 − 2
dx
(x − 1)2 (x − 2)
x2
dx
x4 + x2 − 2
Calcolare i seguenti integrali per sostituzione:
(331)
Z
(334)
Z
(337)
(340)
(343)
3
x e
−x2
dx
(332)
sen x+cos x
dx
2 sen x−3 cos x
√
Z
1+ 6x
√
√ dx
3
x(1 + 4 x)
Z
dx
√
(x+1) x2 +x+1
Z
cos2 x
dx
sen 4 x + cos2 x
(335)
(338)
(341)
x3
√
dx
1 − x2
Z √
x
dx
x−1
Z
dx
2
2x +2x+3
√
Z
1+ x
√ dx
1+ 3x
Z
Calcolare i seguenti integrali:
(344)
Z
e
−x
√
1+
ex
dx
(345)
Z
e x cos3 x dx
(333)
(336)
(339)
(342)
e 3x + e x
dx
1 + e 2x
Z
dx
√
x2 x + 1
Z √ 2
x −1
dx
x
Z
1+cos2 x
dx
(1+cos x) sen x
Z
12
N. Fusco
Calcolare i seguenti integrali definiti:
(346)
1
√
3
Z
− √1
3
π
2
(349)
(351)
x2
dx
x4 − 1
(347)
Z
(354)
(357)
Z
(359)
Z
(362)
(365)
Z
(353)
Z
4
sen x dx
0
1
Z
(352)
2
2
3
2
x (1−x ) dx
Z 1 √
1 − x2
dx
−1 2 − x
0
π
2
4
3
sen x cos xdx
π
2
(355)
dx
1 + x2
+∞
3
x e
−x2
Z
dx
(363)
0
+∞
dx
2
2
0 (x +1)(x +4)
Z +∞
dx
x
e + 3 e −x
0
(366)
(356)
(358)
Z
(361)
Z 41
0
2
√
0
(364)
Z
(367)
Z
dx
x|x − 1|α
Calcolare
Z
1
√
√
16 x arcsen x dx .
0
(371)
Calcolare
Z
1
(372)
+∞
(3 + x2 )(arctan2 x − arctan x)
dx .
x4
Dire per quali α ∈ IR è finito l’integrale
Z +∞
x
dx
(1 + x3 )α
0
tg 4 x dx
π
2
π
sen x − cos x
dx
1+sen x cos x
dx
sen 5 x
log x dx
+∞
0
è finito e calcolarne il valore per α = 1/2.
(370)
dx
√
1+ x2 −1
0
Dire per quali valori di α ∈ IR
Z
π
2
Z
+∞
dx
1 + x3
0
Z +∞
dx
√
e 2x +e x +1
0
Z +∞
dx
√
x x2 − 1
1
(360)
π
4
2
0
2
sen x
dx
2
2 sen x+3 cos2 x
+∞
p
1 − x2 dx
1
π
0
Z
(350)
Z
1
√
0
0
(348)
Z
0
(1−cos x) tg x2
dx
2x
1
+
cos
−π
2
Z
(369)
sen 3x cos x dx
Z
0
(368)
π
Z
0
1
3
dx
1 + x4
x 2 log x dx
N. Fusco
13
e calcolarne il valore per α = 1 .
(373)
Sia α ∈ R; dire per quali valori di α la funzione
√
x(x − 4)
α
x (1 + x)2
è sommabile sull’intervallo (0, +∞); calcolare il valore dell’integrale per α = 1.
Studiare la convergenza delle seguenti serie a termini positivi:
(374)
(377)
(380)
(383)
(386)
(389)
(392)
(395)
(398)
(401)
(403)
(405)
∞
X
2n + 1
2n
n=1
∞
X
1
sen
n
n=1
∞
X 1 + 2 sen 2 n
n2
n=1
∞
X
1
2n(2n + 2)
n=1
∞
X 1
n=2
∞
X
n=1
∞
X
log n
3n2
n
−n−1
1
(log n)n
n=2
∞
X
1
n=1
∞
X
n=1
∞
X
1 + n2
1
p
n(1 + n2 )
(375)
(378)
(381)
(384)
(387)
(390)
(393)
(396)
(399)
1
(402)
3
n
+
5
log
n
n=1
∞
X
n+1
log 1+ 3
n +n+3
n=1
∞
X
1
(406)
1
n=1 n log 1 +
n
∞
X
n
en
n=1
∞
X
(376)
n
3 n!
nn
n=1
∞ X
1
1 − cos
n
n=1
∞
X
3 − 2 cos n
2n
n=1
∞
X
nn
(2n)!
n=1
∞
X 3n − 2
n=1
∞
X
n3
−
n2
+2
1
(log n)log n
n=2
∞
X
5n
n=1
∞
X
nn
n!
nn
n=1
∞
X
1
(log n)α
n=2
∞
X
2n n5
3n
n=1
(379)
(382)
(385)
(388)
(391)
(394)
(397)
(400)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
sen 2
√
n
1
n
n
n−1
n
(n + 1)3
n=1
∞
X
1
√
n+5
n=1
∞
X
1
n=3
∞
X
n2 − n − 5
1
√
n
+
n
n=1
∞
X
1
√
n(1 + n)
n=1
∞
X
1
p
n(n + 1)
n=1
∞
X 1
√
n
n
n
n=1
, α>0
∞ X
1
1
√ −sen √
(404)
n
n
n=1
∞
X
(407)
n3 e −n
n=1
14
(408)
(411)
(413)
N. Fusco
∞
X
n 3
2 n e
n=1
∞
X
n
∞ X
n+2
(409)
3n + 1
n=1
∞
X
1
(412)
, α>0
α
n(log
n)
n=2
−n
1
n log (n2 + 1)
n=1
∞
X
1
2
n log n(log log n)α
n=3
(410)
∞ X
n=3
log n
1
log log n
, α>0
Studiare la convergenza assoluta delle seguenti serie:
(414)
(417)
(420)
∞
X
2 + (−1)n n
2n
n=1
∞
X
sen nx
n=1
∞
X
∞
X
sen n
n2
n=1
∞
X
2n xn
(415)
(418)
n2
n2 +1
n=1
(416)
, x ∈ IR
(419)
∞
X
1 + (−1)n n
n4 + 1
n=1
∞
X
nxn , x ∈ IR
n=1
(n + 1)xn
, x ∈ IR
n!
n=1
Studiare la convergenza delle seguenti serie a segni alterni:
(421)
(424)
(427)
∞
X
1
(−1) sen
n
n=1
∞
X
n+1
(−1)n n
4
n=1
n
(422)
(425)
∞
X
(−1)n arctg
n=1
∞
X
1
2n+1
(−1)n
(n + 1)2
n=1
Studiare la serie:
Z
∞
X
n
n=1
0
1
n
(426)
√
sinα (t t)
dt
t
dove α > 0.
(428)
Data la successione
a1 = α > 0,
an+1 =
(423)
n
an
1 + 2n
∞
X
(−1)n
p
n+(−1)n
n=1
∞
X
(−1)n
log 1+
n
n=2
N. Fusco
15
mostrare che
(i) la successione {an } è decrescente e infinitesima ;
∞
X
an è convergente.
(ii) la serie
n=1
(429)
Dire per quali valori di α ≥ 0 converge la serie
∞
X
1 1
n2 sen α − α
.
n
n
+
1
n=1
(430)
Dire per quali valori di α ∈ IR converge la serie
1 2
+∞
X log 1 + α
n
2
log
n
log
log
n
n=2
(431)
Studiare la serie
∞ p
X
1
n2 + n − n n tg − 1
n
n=1
(432)
Studiare la convergenza della serie
+∞ n
X
e n!
nn
n=1
.
(Sugg.: si provi che la successione che genera la serie è monotòna)
(433)
Studiare la convergenza della serie
+∞ X
1
1
n log 1 +
− sin
n
n
n=1
.
Integrare le seguenti equazioni differenziali lineari:
(434)
(437)
xy + 1
x2
1
y
y0 = 2 −
x
x
y0 =
(435)
y 0 = y − x2
(438)
y 0 + (1 + cotg x)y+
(436)
x
sen x
y0 =
1−y
x
16
N. Fusco
0
(439)
y = y + ex
(440)
(442)
y 0 = y tg x
(443)
(445)
y 0 +y cos x =
(447)
y 0 + 2y = e x
(450)
y0 −
1
sen 2x
2
y
y = 2
+x
x −1
x+y
y0 =
x
0
(441)
(444)
ex − y
y =
x
2
y0 − y = 1
x
0
cos3 x
sen 2 x + 1
(446)
y 0 + y cotg x =
(448)
y 0 + y cotg x = x3
(449)
xy 0 −y = −log x
xy
=x
−1
x2
Integrare le seguenti equazioni a variabili separabili:
(451)
x
y =
y
(452)
2
y =
xy
(453)
(454)
p
y 0 = sen x y+1
(455)
y 0 = e x−y
(456)
(457)
y0 = x e y
(458)
(1 + x2 )y 0 + 1+y 2 = 0
(459)
p
p
y0 = y + 1 + y − 1
(461)
xy 0 = y(1 + y 2 )
p
1 + y2
y0 =
x
(464)
0
0
y2
1 + x2
x2 + 1
y = 2
(x − 1)xy
1 − y2
y0 =
1 − x2
0
(460)
p
1 − y2
y0 = − √
1 − x2
(463)
y 0 = x tg y
(462)
y0 =
(465)
(x2 − 1)y 0 + (1 − y 2 ) = 0
(466)
y 0 sen x cos y+1 = 0
(467)
(1−x2 )y 0 = xy
(468)
(469)
x2 y 0 + y = 1
(470)
y0 =
y 2 −y+1
x2 +x+1
(471)
(472)
y 0 = sen x cos y
1
tg x tg y
sen x
y0 +
=0
sen y
y0 =
Integrare le seguenti equazioni differenziali lineari:
(473)
y 00 − y = 0
(474)
y 00 + y 0 = 0
(475)
y 00 − y 0 + 2y = 0
(476)
y 00 + 2y 0 + y = 0
(477)
y 00 − 2y 0 + 5y = 0
(478)
y 00 + y 0 + y = 0
N. Fusco
17
(479)
y 00 + y 0 − 6 = 0
(480)
y 00 + ω 2 y = x2
(481)
y 00 +y 0 +y = sen 2x
(482)
y 00 − y = x e −x
(483)
y 00 − y 0 + y = e x
(484)
y 00 + y = cos 2x
(485)
y 00 + ω 2 y = sen ωx
(486)
y 00 − 2y = 3 e 2x
(487)
y 00 + y =
Risolvere i seguenti problemi di Cauchy:

 y 0 = y − e −x
(488)

y(0) = 1
(490)
 00
 y − y 0 − 2y = 0

(492)
(489)

(491)
0
y(0) = 0, y (0) = 1

x
 y 00 − 2y 0 + y = e
x

y(1) = 0, y 0 (1) = 0

 y 0 = e x+y
 00
 y + y0 + y = x

(493)
y(1) = 0
y(0) = −1, y 0 (0) = 1

 y 00 + y = x2

y(0) = −2, y 0 (0) = 0
1
sen x