Eventi Condizionati

Eventi Condizionati
Dati due eventi E ed H , con H 6=
logico a tre valori
E|H =
, si definisce evento condizionato il seguente ente
8
< vero
falso
:
indeterminato
se E ed H sono entrambi veri
se E è falso e H è vero
se H è falso.
L’evento E si chiama condizionando, mentre l’evento H si chiama condizionante.
Osserviamo che gli eventi (semplici) sono una sottoclasse degli eventi condizionati. Infatti,
se H = ⌦, segue E|H = E|⌦ = E .
Consideriamo un generico evento condizionato E|H , si ha la seguente uguaglianza:
c
c
E|H = (E \ ⌦)|H = E \ (H _ H )|H = [(E \ H) _ (E \ H )]|H = (E \ H)|H.
La forma E \ H|H si dice forma ridotta dell’evento condizionato E|H .
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Probabilità condizionate
La probabilità di E|H (secondo un certo individuo) misura il suo grado di fiducia nel
verificarsi di E assumendo vero H .
Per misurare tale grado di fiducia si può considerare una scommessa (condizionata), che
è valida se H risulta vero ed è annullata se H risulta falso. Pertanto, se tale individuo
valuta P (E|H) = p, significa che egli è disposto a pagare pS per ricevere
Condizione di coerenza
8
< S
0
:
pS
se si verifica
se si verifica
se si verifica
EH
E cH
H c.
(25)
minG|H · maxG|H  0, 8S 6= 0.
dove G = |H|(|E|
Alcune proprietà.
p)S e G|H = (|E|
p)S
• P (H|H) = 1, P (⌦|H) = 1, P (;|H) = 0,
• Se H ✓ E , allora P (E|H) = 1.
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Teorema delle probabilità composte
Teorema 3 (delle probabilità composte) Dati due eventi E ed H ,se le valutazioni di
probabilità P (EH), P (H), P (E|H) sono coerenti si ha
P (EH) = P (E|H)P (H).
(26)
Corollario 1 Se P (H) > 0, si ottiene
P (E|H) =
P (EH)
.
P (H)
(27)
(tale risultato è adottato da molti autori come definizione della probabilità di E
condizionata ad H ).
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Nell’impostazione classica il teorema delle probabilità composte si ottiene con il seguente
ragionamento. Siano m i casi possibili, rH i casi favorevoli ad H ed rEH i casi favorevoli
ad EH . Ovviamente, tra i casi favorevoli ad H , quelli favorevoli ad E sono ancora rEH .
Allora, assumendo rH > 0, si ha
P (H) =
rH
rEH
rEH
, P (EH) =
, P (E|H) =
,
m
m
rH
pertanto
rEH
P (E|H) =
=
rH
rEH
m
rH
m
=
P (EH)
.
P (H)
Corollario 2 Se H = ⌦ allora si ha EH = E
P (E) = P (E|⌦)P (⌦) = P (E|⌦) .
(28)
Esempio. Estrazioni del lotto. Sia
X = 10 numero estratto,
E = (X  45) e H = (X > 30). Calcolare P (E|H).
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Generalizzazione del teorema delle probabilità composte.
Siano E1, E2, . . . , En n eventi arbitrari e vediamo come si può esprimere
P (E1E2 · · · En). Iterando la formula relativa al caso di 2 eventi, si ha:
P (E1 E2 · · · En ) = P [(E1 E2 · · · En 1 ) ^ En ]
= P (En |E1 E2 · · · En 1 )P (E1 E2 · · · En 1 ) =
= ··· =
= P (E1 )P (E2 |E1 ) · · · P (En |E1 E2 · · · En 1 ).
(29)
Formule analoghe alla precedente si ottengono permutando in tutti i modi possibili
l’ordine degli Ei.
Ad esempio, per n = 3 si ha
P (E1 E2 E3 )
=
P (E1 )P (E2 |E1 )P (E3 |E1 E2 ) =
=
P (Ei1 )P (Ei2 |Ei1 )P (Ei3 |Ei1 Ei2 ) ,
dove {i1, i2, i3} è una permutazione di {1, 2, 3}.
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Esempio 27 (Gioco della roulette russa) In una pistola a 6 colpi viene inserito un solo proiettile e il
tamburo viene fatto girare vorticosamente. Quindi 6 prigionieri sono costretti a sottomettersi alla prova
della roulette russa. Considerati gli eventi
Ei = il proiettile esplode all’i-mo colpo, i = 1, . . . , 6, verificare che tali eventi hanno tutti probabilità
1 , cioè che i 6 prigionieri hanno la stessa probabilità di morire.
6
Ovviamente, si ha P (E1 ) = 16 . Inoltre
P (E2 |E1c ) = 15 ,
P (E3 |E1c E2c ) = 14 ,
P (E6 |E1c · · · E5c ) = 1 .
······ ,
Allora, osservando che
c
c
c
c
c
E2 = E1 E2 , E 3 = E1 E2 E3 , · · · , E 6 = E1 · · · E5 E6 ,
applicando la (29) si ha
P (E2 ) = P (E1c )P (E2 |E1c ) = 56 ⇥ 15 = 16 ;
P (E3 ) = P (E1c )P (E2c |E1c )P (E3 |E1c E2c ) = 56 ⇥ 45 ⇥ 14 = 16 ;
....................................................................
P (E6 ) = P (E1c )P (E2c |E1c )P (E3c |E1c E2c ) · · ·
· · · P (E5c |E1c · · · E4c )P (E6 |E1c · · · E5c ) =
= 56 ⇥ 45 ⇥ 34 ⇥ 23 ⇥ 12 ⇥ 1 = 16 .
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