Indipendenza e dipendenza logica

Indipendenza e dipendenza logica
Indipendenza logica. Un evento A si dice logicamente indipendente da altri eventi
B, C, . . . se, assegnando in tutti i modi possibili il valore logico (vero o falso) agli eventi
B, C, . . ., l’evento A rimane incerto, potendo risultare sia vero che falso.
Se A non è logicamente indipendente da B, C, . . . si possono presentare vari tipi di
dipendenza logica.
Data una famiglia di n eventi F = {E1, E2, . . . , En}, gli eventi di F si dicono
logicamente indipendenti se il numero m di costituenti è pari a 2n.
Esempio 22 Estrazioni con restituzione da un’urna contenente 1 pallina bianca e 1
nera.
Gli eventi Ei= “la i-ma pallina estratta è bianca”, i = 1, 2, . . . , 5, sono logicamente
indipendenti.
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
79
Esempio 23 Si e↵ettuano 5 estrazioni senza restituzione da un’urna contenente 2 palline bianche e 3 nere. Gli eventi E1, E2, E3 sono logicamente indipendenti? La risposta
è no. Infatti se ad esempio E1, E2 sono entrambi veri (cioè le prime due palline estratte
sono bianche) allora la terza pallina è certamente nera e quindi E3 è necessariamente
falso.
Se invece E1 è vero ed E2 è falso, E3 può essere sia vero che falso, e cosı̀ via.
L’evento E5 è logicamente dipendente da E1, . . . , E4, nel senso che il suo valore logico
è univocamente determinato da quello dei primi quattro.
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
80
Coerenza e proprietà della probabilità
Verifichiamo che le tre Proprietà fondamentali della probabilità
• P1.
• P2.
• P3.
P (E)
0, per ogni evento E ;
P (⌦) = 1 ;
se AB = ;, allora P (A _ B) = P (A) + P (B).
sono condizioni necessarie per la coerenza .
Sia E un evento, ricordiamo che il guadagno aleatorio associato alla valutazione
P (E) = p, è dato da
G=
⇢
S(1 p) ,
pS ,
E vero
E falso.
La condizione di coerenza
M in G · M ax G  0, 8S 6= 0
diventa S(1 p)( pS) = p(1 p)S 2  0, che è soddisfatta se e solo se 0  p  1.
Pertanto la Proprietà P1 è condizione necessaria (ma anche sufficiente) per la coerenza di
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
81
una valutazione di probabilità su un evento.
Se E = ⌦, si ha
M in G = M ax G = G = S(1
p) .
La condizione di coerenza
S(1
p) · S(1
p)  0, 8S 6= 0
ovvero S 2(1
p)2  0 8S 6= 0 richiede G = S(1
p) = 0, per ogni S 6= 0.
Pertanto, la condizione di coerenza richiede p = P (⌦) = 1, ovvero la Proprietà P2 è
condizione necessaria per la coerenza. Essa è anche sufficiente, infatti P (⌦) = 1 è una
valutazione coerente poichè implica G = 0 per ogni S .
Analogamente si prova che condizione necessaria e sufficiente per la coerenza di una
valutazione su un evento impossibile è P (;) = 0.
Per quanto riguarda la dimostrazione della necessità della proprietà additiva (P3) consideriamo dapprima una partizione di ⌦, costituita da n eventi {H1, . . . , Hn}, di probabilità
p1, . . . , pn e dimostriamo che condizione necessaria per la coerenza di p1, . . . , pn è che
p1 + p2 + . . . + pn = 1. (In realtà la condizione è anche sufficiente)
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
82
Il guadagno totale relativo ad n scommesse simultanee sugli eventi H1, . . . , Hn, con
importi S1, . . . , Sn, è
G = S1(|H1|
p1) + · · · + Sn(|Hn|
pn).
Poichè |H1| + · · · + |Hn| = 1, per S1 = · · · = Sn = S si ottiene
M in G = M ax G = G = · · · = S[1
(p1 + · · · + pn)].
Per la condizione di coerenza, dev’essere G = 0. Allora, segue p1 + · · · + pn = 1, ovvero
P (H1) + · · · + P (Hn) = 1.
(19)
Dim. che la proprietà additiva è condizione necessaria per la coerenza:
dati due eventi incompatibili A, B , per la partizione {A _ B, (A _ B)c} deve essere
soddisfatta la condizione
c
P (A _ B) + P [(A _ B) ] = 1 .
D’altra parte, per la partizione {A, B, (A _ B)c} deve valere
c
P (A) + P (B) + P [(A _ B) ] = 1 ,
da cui si ottiene :
P (A _ B) = P (A) + P (B) .
(20)
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
83
La formula (20) nel caso di n eventi E1, . . . , En a due a due incompatibili diventa
(Teorema delle probabilità totali)
P (E1 _ · · · _ En) = P (E1) + · · · + P (En) .
(21)
Dimostrate le proprietà fondamentali del calcolo classico delle probabilità, ne
scende che tutti i risultati di tale calcolo non sono che conseguenze della definizione
che abbiamo data della coerenza. Un individuo che nel giudicare delle probabilità di
certi eventi contraddice un teorema del calcolo delle probabilità non è coerente: un
competitore potrebbe scommettere con lui assicurandosi la vincita a colpo sicuro.5
Osservazione 2 (criterio classico di valutazione)
Se in un dato esperimento aleatorio si hanno m casi possibili C1, . . . , Cm giudicati
ugualmente probabili, poichè
P (C1) + · · · + P (Cm) = 1 ,
segue
1
P (Ck ) =
,
m
k = 1, . . . , m.
5 Bruno de Finetti, Sul significato soggettivo delle probabilità, Fundamenta Mathematica (1931), pp.298-329
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
84
Allora, considerato un evento E con r casi favorevoli, ad esempio E = C1 _ · · · _ Cr ,
dalla formula ( 21) si ottiene
P (E) = P (C1) + · · · + P (Cr ) =
r
,
m
cioè la probabilità di E è pari al rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di
casi possibili.
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
85
Esempio 24 Dati tre eventi A, B, C , con A ^ C = ;, verificare se la valutazione
P (A) = P (B) = P (C) = 0.4, P (A ^ B) = P (B ^ C) = 0.2 è coerente.
Soluzione. I costituenti sono
C1 = AB cC c
C4 = AcBC
C2 = ABC c
C5 = Ac B c C
C3 = AcBC c
C6 = Ac B c C c .
Osserviamo che si ha
A = C1 _ C2
AB = C2
B = C2 _ C3 _ C4
BC = C4,
C = C4 _ C5
pertanto il sistema (S) diviene
8
P (A) = 0.4 = x1 + x2
>
>
>
< P (B) = 0.4 = x2 + x3 + x4
P (C) = 0.4 = x4 + x5
>
>
P (AB) = 0.2 = x , P (BC) = 0.2 = x
>
: x + x + x + x 2+ x + x = 1, x 4 0, i = 1 . . . 6
1
2
3
4
5
6
i
Tale sistema ammette la soluzione (0.2, 0.2, 0, 0.2, 0.2, 0.2) quindi la valutazione data
è coerente.
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
86
Esercizio 9 Provare che il sistema relativo alla valutazione di probabilità P =
(0.4, 0.3, 0.2) su F = {A, B, AcB c} non ammette soluzioni.
Esempio 25 Siano A, B, C tre eventi tali che A e B siano incompatibili, inoltre (A _
B) ^ C = ;. Determinare se la valutazione di probabilità P (A) = 23 , P (B) =
1
1
12 , P (C) = 4 è coerente, e in caso a↵ermativo calcolare i valori di probabilità coerenti
p per l’evento Ac ^ B c ^ C c.
Soluzione Esempio 25. Si ha A ^ B = A ^ C = B ^ C = ; e quindi i costituenti
sono
c
c
c
c
C1 = A ^ B ^ C = A, C2 = A ^ B ^ C = B,
c
c
c
c
c
C3 = A ^ B ^ C = C, C4 = A ^ B ^ C .
Allora, per la coerenza, dev’essere: P (A) + P (B) + P (C)  1, ed essendo
P (A) + P (B) + P (C) = 1 l’assegnazione è coerente. Inoltre, dalla relazione
c
c
c
P (A) + P (B) + P (C) + P (A ^ B ^ C ) = 1 ,
segue: p = P (Ac ^ B c ^ C c) = 0.
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
87
Esercizio 10 L’architettura di un software è costituita da 3 moduli M1, M2, M3. Sia
Ai l’evento “il modulo Mi funziona”. E’ noto che se M1 funziona allora M2 funziona,
se M2 funziona allora M3 funziona. Determinare l’insieme C dei costituenti generati
dagli eventi Ai con i = 1, 2, 3 (tenendo conto dei vincoli logici dati). Supposto che
6
P (A1) = 14 , P (A3) = 10
, determinare i valori di probabilità coerenti p per A2.
Esercizio 11 In base a un indagine sanitaria condotta su una fabbrica di carta viene
valutata pari a 0.1 la probabilità dell’evento E , che una persona che vi lavora da
almeno 5 anni so↵ra di disturbi polmonari, 0.15 la probabilità dell’evento H che so↵ra
di cefalea, e 0.8 la probabilità dell’evento S che sia sana. E’ coerente tale assegnazione?
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
88
Condizioni sulla probabilità dell’Unione. Dati due eventi A e B e due valutazioni
di probabilità P (A) e P (B), consideriamo l’evento unione A _ B . Dalla proprietà di
monotonia segue che
P (A)  P (A _ B) ,
P (B)  P (A _ B) ,
(22)
quindi
P (A _ B)
max {P (A), P (B)} .
(23)
Osservando, inoltre, che P (A _ B)  1 e che
P (A _ B) = P (A) + P (B)
P (AB)  P (A) + P (B) ,
segue
P (A _ B)  min {1, P (A) + P (B)} .
(24)
La (23) e la (24), assegnati P (A) e P (B), stabiliscono delle limitazioni per P (A _ B).
Esempio 26 (03-Aprile-2012-N.1) Dati due eventi A, B logicamente indipendenti e
assegnata una valutazione di probabilità (x, y) 2 [0, 1] ⇥ [0, 1] con P (A) = x,
P (B) = y determinare, in funzione di (x, y), l’intervallo [z 0, z 00] dei valori coerenti
per z = P (A _ B).
0
00
z =
z =
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
89
..........................
.......
...... ..................................
.....
.....
........
.
.
.
.
...
.
....
.
...
.. .....
..
...
.
...
.
...
... ....
..
..
..
..
.
.
.
C4 .. C2
...C1 .. C3
..
...
... ..
..
..
...
... ...
.
...
.....
..
..
...
....
.....
......
..............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....................
........
.........................
A
B
Figura 1: Costituenti relativi alla famiglia {E, H}.
Figura 16: Costituenti relativi alla famiglia {A, B}
1. Poichè gli eventi A, B sono logicamente indipendenti si hanno 22 = 24 costituenti, ovvero
Poichè gli eventi A, B sono logicamente indipendenti si hanno 2 = 4 costituenti, ovvero
C1 = AB, C2 = AB c , C3 = Ac B, C4 = Ac B c .
c
c
c
c
C1la=
AB, C
, un
C3 assegnazione
= A B, C
= A B . (x, y), con 0 < x < 1,
2 = ABData
Consideriamo
situazione
generale.
di4 probabilità
0 < y < 1, su {A, B}, con x = P (A), y = P (B), studiamo la risolubilità del seguente sistema (S) nelle
Consideriamo
generale. Data un assegnazione di probabilità (x, y), con
incognite 1 ,la
. . .situazione
, 4.
0  x  1, 0  y 
1, su {A, B}, con x = P (A), y= =
P (B)
, studiamo la
x = 1 + 2;
x
2
1;
risolubilità del seguente sistema
nelle incognite 1, . . . , 34.= y
y = 1 +(S)
3;
1;
(S)
ovvero (S)
(x + y 1);
1 + 2 + 3 + 4 = 1;
4 = 1
8
8
>
>
< x = 1 + i 2; 0, i = 1 . . . 4.
< 2 =ix 0, 1i ;= 1 . . . 4.
y = 1 + 3;
3 =y
1;
(S)
ovvero
(S)
Affinchè
il >
sistema
(S)
sia
risolubile
devono
essere
soddisfatte
le
seguenti
+ 2 + 3 + 4 = 1;
= 1 (xcondizioni:
+ y 1);
1
4
>
:
:
0, i = 1 . . . 4.
i
(i) 2 = x
0)
1
(ii) 3 = y
0)
1
(iii) da (i), (ii) segue che
1
1
1
0, i = 1 . . . 4.
i
x;
y;
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
min{x, y};
90
Affinchè il sistema (S) sia risolubile devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:
(i) 2 = x
0 ) 1  x;
1
(ii) 3 = y
0 ) 1  y;
1
(iii) da (i), (ii) segue che 1  min{x, y};
(iv) 4
0) 1
x + y 1;
(v) 1
0;
(vi) da (iv), (v) segue che 1
max{x + y
1, 0}.
Osserviamo che i valori coerenti per z = P (E _ H) sono i valori
z=
1
+
2
+
3
=
1
+x
1
+y
1
=x+y
1
per il quali il sistema (S) è risolubile, pertanto l’estensione z = P (EH) è coerente se e
solo se z 2 [z 0, z 00] con
0
z =x+y
e
min{x, y} = max{x, y}
00
z = x + y max{x + y 1, 0} = min{x + y, 1}.
Osserviamo che per il calcolo di z 0, poichè z è funzione decrescente di 1, abbiamo usato
il piu’ grande valore coerente per 1, e per il calcolo di z 00 abbiamo usato il piu’ piccolo
valore coerente di 1.
G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 7 del 20 Aprile 2012- pag.
91