teoria delle onde

Appunti di fisica
Il concetto di onda e le sue proprietà fondamentali
Si può definire un’onda come una qualunque perturbazione che si
propaga nello spazio trasportando energia.
Un’onda trasporta energia ma non trasporta materia.
Esempi di onde
Le onde del mare, una corda che vibra, una molla che oscilla, il suono, la luce.
Vi sono onde che si propagano in un mezzo materiale (l’acqua o la molla) e
onde che si propagano nel vuoto (la luce).
Tipologia di onda
A seconda delle caratteristiche le onde si possono classificare in vari modi.
In relazione al mezzo in cui si propagano e della caratteristica fisica che usiamo
per rappresentarla:
− onde elastiche
− radiazione elettromagnetica
Riguardo alla loro direzione vettoriale di propagazione, si suddividono in:
- onde trasversali
- onde longitudinali
Riguardo alla propagazione, si hanno:
− onde piane
− onde sferiche
− onde cilindriche
Riguardo alle dimensioni del mezzo in cui si propagano:
− Onde unidimensionali o lineari
− Onde bidimensionali
− Onde tridimensionali
prof.ssa Caterina Vespia
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Appunti di fisica
Onde elastiche e onde eletromagnetiche
Onde elastiche
Le onde che per propagarsi hanno bisogno di un mezzo materiale si dicono
onde elastiche (si chiamano così perché si propagano grazie alle proprietà
elastiche del mezzo materiale in cui hanno origine) o anche onde meccaniche
(perché consistono nella propagazione di vibrazioni meccaniche del mezzo
considerato). Le onde elastiche possono propagarsi nei solidi e nei fluidi.
Sono esempi di onde elastiche, le onde che si formano scuotendo l’estremità di
una molla o di una corda tesa, le onde sonore, le onde sismiche.
Onde elettromagnetiche
Le onde che per propagarsi non richiedono la presenza di un mezzo materiale
si dicono onde elettromagnetiche. Le onde elettromagnetiche viaggiano nel
vuoto alla velocità c pari a 299 792 458 m/s (velocità della luce).
Esempi di onde elettromagnetiche sono la luce, i raggi ultravioletti, i raggi X, le
onde radio.
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Appunti di fisica
Onde longitudinali e onde trasversali
Onda trasversale
Un’ onda si dice trasversale quando la direzione della perturbazione è
perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda (sono onde trasversali
quelle elettromagnetiche, quelle generate in una corda tesa della quale si
scuota un estremo, quelle che si propagano nelle corde di un violino o di una
chitarra).
Onda longitudinale
Un’ onda si dice longitudinale quando la direzione della perturbazione è
parallela alla direzione di propagazione dell’onda (per es., le onde sonore si
propagano producendo compressioni e rarefazioni dell'aria nella direzione in cui
si stanno muovendo).
Nei solidi si possono avere sia onde trasversali che onde longitudinali, nei fluidi
si possono trasmettere solo onde longitudinali.
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Appunti di fisica
Onde periodiche
Un’onda si dice periodica se si ripete identica dopo un intervallo di tempo
costante.
Le grandezze utilizzate per caratterizzare un'onda periodica, in particolare di
tipo armonico, sono:
1. Periodo T: è il più piccolo intervallo di tempo (quello di un'oscillazione
completa) dopo il quale il moto riassume le stesse caratteristiche in ogni
punto del mezzo in cui si propaga l'onda.
2. Frequenza f: rappresenta il numero di vibrazioni complete che avvengono
in un secondo.
La relazione fra periodo e frequenza è la seguente:
f=
1
T
L'unità di misura della frequenza rappresentata da un'oscillazione al
secondo, si chiama hertz (Hz).
Rappresentazione temporale dell’onda
3. Lunghezza d'onda λ: è la distanza percorsa dall'onda in un periodo o
anche la distanza minima fra due punti in cui lo spostamento dalla
configurazione di equilibrio assume lo stesso valore.
4. Ampiezza: rappresenta il massimo spostamento dalla posizione di
equilibrio ed è uguale sia per gli spostamento positivi che per quelli
negativi.
Se l'onda è armonica si ottiene una sinusoide che rappresenta il diagramma
orario del moto.
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Appunti di fisica
Rappresentazione spaziale dell’onda
Nella figura che segue è rappresentata la configurazione assunta in un certo
istante da una molla lungo la quale si propaga un'onda trasversale di tipo
armonico nella direzione dell'asse orizzontale; le coppie di punti A e B si dicono
in fase, nel senso che si trovano nelle stesse condizioni spaziali ed
energetiche; i punti come B e C sono invece in opposizione di fase, ossia
sfasati di mezzo periodo l'uno rispetto all'altro.
La velocità di propagazione di un'onda di lunghezza d'onda λ, e di periodo T
viene espressa dal rapporto:
υ=
λ
T
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Appunti di fisica
Fronte d’onda e raggi
Si chiama fronte d’onda l’insieme di tutti
simultaneamente raggiunti dalla perturbazione.
i
punti
che
vengono
A seconda della forma del fronte d’onda le onde si dividono in:
ONDE CIRCOLARI: se i fronti d’onda sono delle circonferenze. E’ il caso di
delle onde prodotte sulla superficie dell’acqua quando la sorgente è
puntiforme.
ONDE RETTILINEE: se i fronti d’onda sono linee parallele. E’ il caso di onde
circolari che a grande distanza dalla sorgente possono essere considerate
rettilinee.
ONDE SFERICHE: se i fronti d’onda sono superfici sferiche concentrata. E’
il caso delle onde sonore prodotte da una piccola sorgente in un fluido
omogeneo.
ONDE PIANE: se i fronti d’onda sono piani fra loro paralleli. E’ il caso delle
onde sferiche che, a grandi distanze dalla sorgente, possono essere
considerate piane per una limitata regione di spazio.
Si chiamano raggi dell’onda l’insieme delle semirette uscenti dalla sorgente e
perpendicolari al fronte d’onda.
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Appunti di fisica
Equazione delle onde armoniche
Per descrivere un’onda periodica in movimento bisogna considerare una
funzione di due variabili, la posizione orizzontale x e il tempo t.
La rappresentazione analitica di tale funzione è:
 t x
y = a⋅ cos 2π  − 
T λ 
Essa esprime lo spostamento dalla posizione di equilibrio in funzione del tempo
e della distanza dalla sorgente.
Propagazione delle onde
Ogni qualvolta un treno di onde periodiche si propaga in un mezzo il moto
vibratorio si mantiene finché l'onda o incontra un ostacolo a causa del quale
non può più progredire oppure raggiunge un oggetto o una fenditura o un altro
mezzo, che perturba il suo moto e ne muta la velocità. Quando si verifica
questa situazione l'onda continuare a propagarsi.
In genere, qualunque sia il tipo di onde, l'ulteriore propagazione può avvenire
con tre modalità distinte corrispondenti a tre fenomeni diversi: la riflessione,
la rifrazione e la diffrazione, che in certe particolari condizioni possono
anche verificarsi simultaneamente.
Riflessione
Dato un sistema di onde, ci proponiamo di studiare la riflessione provocata da
un ostacolo che delimita i confini del mezzo dove si propaga la perturbazione.
1° Esempio
Consideriamo una corda tesa rigidamente saldata per un estremo a un gancio
fissato a una parete che rappresenta l'ostacolo. Applichiamo all'altro estremo
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Appunti di fisica
un rapido impulso in modo da provocare un'oscillazione verso l'alto, chiamata
cresta; si origina così un'onda che si propaga con una certa velocità lungo la
corda.
Arrivata all'estremo fisso, l'oscillazione si riflette in modo che
l'ampiezza e la velocità rimangono all'incirca costanti, mentre il profilo
dell'onda appare capovolto.
2° Esempio
Consideriamo le onde che si possono formare sulla superficie di un liquido. A
tal fine immaginiamo di avere un ondoscopio (dispositivo costituito da un
recipiente di forma rettangolare avente per fondo una lastra di vetro
perfettamente trasparente).
Facendo vibrare con frequenza uniforme mediante un motorino una leggera
sbarretta o una punta è possibile produrre un sistema di onde.
Con la sbarretta si produrranno onde piane, con la punta si otterrà un sistema
di onde circolari, ma saranno ambedue periodiche e di tipo armonico.
Se, dopo aver disposto sotto il fondo trasparente un foglio di carta bianca che
funge da schermo, si illumina la vaschetta dall'alto, le onde possono essere
visualizzate attraverso una successione di zone alternativamente chiare e
scure: le zone chiare corrispondono alle creste delle onde, quelle scure alle
gole.
Ciò premesso, si può osservare che un'onda, qualunque sia la natura e la
forma, quando incontra un ostacolo viene in parte riflessa, tornando
indietro come se provenisse da un'altra sorgente.
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Appunti di fisica
Esempi
1.
Riflessione da parte di una superficie piana di un
treno di onde piane, rappresentate da una
successione di superfici d'onda e da un insieme di
raggi perpendicolari alle superfici d'onda.
2.
Riflessione di un'onda circolare. Le onde
riflesse, sempre circolari e aventi per centro il
punto S', simmetrico di S rispetto alla
superficie riflettente, appaiono come una
successione di onde provenienti da una
sorgente fittizia posta in S'.
3.
In questa figura, per semplicità, è stata
identificato il treno d’onde con un solo
raggio incidente a cui corrisponde un
solo raggio riflesso.
i
r
A
In ogni caso, si trova sperimentalmente che il fenomeno della riflessione segue
due leggi:
1a legge: il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla
superficie di incidenza giacciono nello stesso piano.
2a legge: l'angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione.
Per angolo di incidenza si intende quello formato dal raggio incidente con la
normale alla superficie nel punto di incidenza e per angolo di riflessione quello
formato dal raggio riflesso con la stessa normale.
Nel caso di un'onda piana si vede chiaramente che,
dall'uguaglianza dell'angolo i di incidenza con
l'angolo i' di riflessione, segue anche l'uguaglianza
degli angoli che l'onda incidente e l'onda riflessa
formano con la superficie di riflessione e viceversa.
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Appunti di fisica
Conseguenze della 2a legge
(nel caso di un'onda circolare o sferica.)
Nella figura che segue, S è una sorgente puntiforme e SI è un raggio incidente
su una superficie di riflessione.
S' è l'intersezione del prolungamento del raggio riflesso con la normale SA alla
superficie. I triangoli rettangoli SAI e S'AI hanno il cateto AI in comune e gli
angoli acuti in I uguali in quanto complementari degli angoli uguali i e i'.
Essi sono perciò uguali e di conseguenza SA è uguale a S'A, cioè S' è il punto
simmetrico di S rispetto alla superficie di riflessione.
Poiché il ragionamento è stato fatto per un generico raggio incidente SI,
possiamo concludere: al fascio omocentrico di raggi incidenti uscenti da S
corrisponde dopo la riflessione un fascio di raggi ancora omocentrico con
centro in S', precisamente un fascio di raggi i cui prolungamenti passano tutti
per S'.
Quindi a un treno di onde circolari o sferiche emesse da S corrisponde dopo la
riflessione un treno di onde ancora circolari o sferiche con centro nel punto S',
simmetrico di S rispetto alla superficie di riflessione.
A queste conclusioni siamo pervenuti tenendo conto che l'angolo di incidenza i
è uguale all'angolo di riflessione i'.
Viceversa, dal fatto che un'onda circolare o sferica si riflette generando ancora
un'onda circolare o sferica con centro in S', simmetrico a S, segue che l'angolo
di incidenza è uguale all'angolo di riflessione.
Rifrazione
Quando un'onda elastica attraversa la superficie di separazione di due mezzi
caratterizzati da una diversa velocità di propagazione della perturbazione, essa
(se l'angolo di incidenza è diverso da zero) cambia direzione.
Tale fenomeno si indica con il nome di rifrazione.
Per verificare il fenomeno disponiamo sul fondo di un ondoscopio una lastra di
plexiglass, in modo che l'acqua risulti meno profonda nella zona in
corrispondenza della lastra.
Produciamo un treno di onde piane il cui fronte d'onda sia parallelo alla linea di
divisione delle due zone di acqua.
Si nota che nella seconda zona, dove l'acqua è meno profonda, le onde sono
ancora parallele a quelle della prima zona, però sono più vicine fra loro rispetto
alle onde incidenti.
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Appunti di fisica
Questo fatto evidenzia che, con il diminuire della profondità, diminuisce la
lunghezza d'onda.
Poiché
con
l'ausilio
di
uno
stroboscopio
è
possibile
fermare
"contemporaneamente" il movimento delle onde nelle due zone di acqua,
possiamo affermare che le onde incidenti e quelle rifratte hanno la stessa
frequenza. Tale proprietà è una conseguenza del fatto che le frequenze delle
onde nelle due zone di acqua dipendono solo dalla frequenza della sorgente.
Indicando con λ1 , v1 e λ 2 , v 2 i parametri che caratterizzano rispettivamente
l'onda incidente e quella rifratta si ha:
λ1 ⋅ f = v1 e λ 2 ⋅ f = v2
che possiamo anche scrivere facendo il rapporto ed eliminando la frequenza:
λ1 v1
=
λ 2 v2
Se
v2 < v1 ⇒ λ 2 < λ1 .
Ossia, la velocità di propagazione delle onde di una determinata
frequenza è minore dove l'acqua è meno profonda ed è maggiore dove
l'acqua è più profonda.
Disponiamo ora la lastra di plexiglass sul fondo
r
dell'ondoscopio in modo che la linea di divisione
formi un angolo non nullo con le onde incidenti.
Considerando come prima un treno di onde piane,
si vede chiaramente che le onde rifratte, oltre ad
i
essere più vicine tra loro nella zona d'acqua meno
profonda a causa della minore velocità di
propagazione, sono anche diversamente inclinate rispetto al fascio incidente.
Indichiamo con i l’angolo di incidenza e con r, l’ angolo di rifrazione
(l'angolo che il corrispondente raggio rifratto forma con la stessa normale).
Si può osservare che ogni qualvolta un treno di onde passa da una zona più
profonda a una meno profonda, l'angolo di rifrazione risulta più piccolo
dell'angolo di incidenza; ciò è connesso al fatto che al diminuire della velocità
di propagazione della perturbazione, caratterizzata sempre da un trasporto di
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Appunti di fisica
energia, i fronti d'onda tendono ad assumere una direzione parallela alla linea
di separazione.
Ripetendo più volte le misure per diversi valori dell'angolo di incidenza, senza
modificare la frequenza delle onde né la profondità delle due zone di acqua, si
trova che il rapporto:
sen i
= costante
sen r
al variare dell'angolo di incidenza.
Possiamo affermare che tutti i fenomeni di rifrazione sono regolati dalle
seguenti due leggi:
1a legge: il raggio incidente, la normale alla superficie di separazione
dei due mezzi e il raggio rifratto giacciono nello stesso piano;
2a legge: il rapporto tra il seno dell'angolo di incidenza e il seno
dell'angolo di rifrazione è costante al variare dell’angolo di incidenza,
cioè:
sen i
= n12
sen r
dove n12 è definito indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto al
primo e dipende dalla particolare coppia di mezzi considerati.
Se l’angolo di rifrazione è più piccolo di quello di incidenza n12 > 1 e il
secondo mezzo è più frangente del primo.
Un fascio di onde piane incide sulla superficie AB di separazione di due mezzi
trasparenti e viene in parte riflesso e in parte rifratto, nella seconda figura il
fascio è rappresentato mediante raggi normali ai rispettivi fronti d’onda, nella
terza figura si è considerato, per semplicità, un solo raggio incidente, riflesso e
rifratto.
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Diffrazione
Esaminiamo infine il terzo tipico fenomeno, indicato col nome di diffrazione,
che caratterizza la propagazione delle onde dopo che queste incontrano un
oggetto o qualche ostacolo munito di un piccolo foro o di una stretta fenditura.
In ogni caso, a seguito del processo, la forma geometrica dell'onda viene
alterata; così, se per esempio consideriamo un treno di onde piane che
attraversano un foro, le cui dimensioni sono paragonabili alla lunghezza d'onda
del fascio, al di là del foro l'onda muta la sua configurazione: essa infatti tende
ad assumere la caratteristica forma sferica come se fosse prodotta da una
sorgente puntiforme posta nell'apertura stessa.
In genere, gli effetti diffrattivi sono tanto più rilevanti quanto più le dimensioni
dei fori o degli ostacoli sono confrontabili con la lunghezza d'onda del fascio
incidente.
Utilizzando la vaschetta a onde liquide si può verificare sperimentalmente
l'entità e la modalità della diffrazione, ponendo sul cammino di un'onda piana
di una data lunghezza d'onda o una sbarretta o uno schermo parallelo alle
onde incidenti e munito di una fenditura.
Nel caso in cui le dimensioni della fenditura sono più grandi della lunghezza
d'onda del fascio, il fronte d'onda dopo la diffrazione, all'incirca ancora
rettilineo, è delimitato dalle dimensioni del fascio con i bordi leggermente
incurvati e piuttosto sfumati.
Nel caso in cui l’apertura sia paragonabile alla lunghezza d'onda del fascio, il
fronte d'onda rifratto si restringe, mentre le onde incominciano a invadere la
zona di ombra geometrica.
Nel caso in cui le dimensioni dell'apertura sono ancora più piccole della
lunghezza d'onda, il fronte d'onda al di là dell'ostacolo assume l'aspetto
circolare e la figura di diffrazione tende a occupare tutto lo spazio dietro lo
schermo.
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Fenomeni connessi con la propagazione di due onde
distinte
Principio di sovrapposizione
Vogliamo ora occuparci di alcuni fenomeni connessi con la propagazione di due
onde distinte allorché si incontrano nella stessa regione di spazio. Come
semplice esempio vediamo cosa accade quando due onde, raffigurate
attraverso le creste, si incontrano durante la loro propagazione nello stesso
mezzo costituito da una fune.
Nell'istante in cui le onde si sovrappongono, le ampiezze si sommano, cosicché
ogni spostamento, in modo indipendente l'uno dall'altro, porta il proprio
contributo alla perturbazione risultante.
Dopo l'interazione le onde, senza essersi reciprocamente disturbate,
continuano il loro moto ondoso senza mutare forma e velocità. L'effetto di
ciascuna perturbazione rimane lo stesso di quello che si avrebbe se essa si
propagasse da sola lungo la fune.
Questo fenomeno si verifica per qualsiasi tipo di onde qualunque sia la natura
del mezzo.
La proprietà additiva delle onde costituisce il cosiddetto principio di
sovrapposizione, che può essere enunciato come segue: lo spostamento
prodotto da più moti ondulatori in un punto e in un certo istante è pari
alla somma vettoriale degli spostamento prodotti dalle onde
componenti in quel punto e in quell'istante.
Abbiamo parlato di "somma vettoriale" per contemplare il caso in cui gli
spostamento delle singole onde hanno direzioni distinte. Quando invece gli
spostamento hanno tutti la stessa direzione, consideriamo positivi gli
spostamenti verso l'alto e negativi quelli verso il basso.
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Appunti di fisica
Interferenza
Una notevole applicazione del principio di sovrapposizione si ha ogni qualvolta
si compongono due o più moti ondulatori, praticamente quando due onde che
si propagano nello stesso mezzo (superficie d'acqua, corda, aria, ecc.) si
incontrano in una data regione dello spazio. Questo fenomeno, chiamato
interferenza, si verifica non solo per le onde elastiche, ma, come vedremo nel
seguito, anche per le onde elettromagnetiche.
Consideriamo a tal proposito due sistemi di onde periodiche longitudinali o
trasversali, aventi, per semplicità, la stessa frequenza e la stessa ampiezza.
Interferenza costruttiva
Esaminiamo l'interferenza prodotta da due onde che si propagano sulla
superficie dell'acqua nell'ipotesi che le due sorgenti emittenti vibrino in fase,
nel senso che nello stesso istante le onde sono caratterizzate dagli stessi
spostamenti.
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Appunti di fisica
Figura A
Siano S1 e S2 le due sorgenti; i sistemi di circonferenze con centri in questi
punti rappresentano superfici d'onda che si osservano in un istante arbitrario.
Tanto per fissare le idee, possiamo supporre che ciascuna circonferenza a
tratto intero rappresenti una cresta dell'onda, cioè il luogo dei punti in cui
l'acqua è più alta. La distanza tra due creste, pari alla differenza dei raggi di
due circonferenze consecutive, è la lunghezza d'onda λ.
Le circonferenze con centri in S1 e S2, tratteggiate, sono altrettante superfici
d'onda: precisamente, le gole d'onda, cioè i luoghi dei punti in cui l'acqua è più
bassa.
Le configurazioni riportate nella figura interferenziale non sono immobili, ma si
riferiscono solo a un certo istante. Nella figura i pallini neri sono i punti in cui
vengono a trovarsi due creste o due gole, cioè i punti dove le onde
interferiscono positivamente, in quanto le vibrazioni sono in fase e come tali si
rafforzano a, vicenda.
Figura B
Se riuniamo fra loro i pallini neri allineati l'uno sopra l'altro, si ottengono le
linee L0, L1, L2, …
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Appunti di fisica
Lungo queste linee si formano le cosiddette frange di interferenza
costruttiva, in quanto le vibrazioni giungono in fase.
In particolare L0, asse del segmento di estremi S1 e S2, rappresenta il luogo dei
punti aventi ugual distanza da S1 e S2, mentre le linee L1, L2, ecc. sono luogo
dei punti in cui la differenza delle distanze da S1 e S2, in valore assoluto, è
costantemente uguale a una, due, ... lunghezze d'onda e, come tali, sono
iperboli di fuochi S1 e S2. Poiché lungo le frange di interferenza costruttiva le
vibrazioni giungono in ogni istante in fase e gli spostamenti prodotti dalle due
onde si sommano, l'ampiezza dell'onda risultante è il doppio dell'ampiezza di
ciascuna delle due onde componenti.
Possiamo allora generalizzare i risultati ottenuti affermando che:
le frange di interferenza costruttiva sono il luogo dei punti tali che la
differenza in valore assoluto delle distanze da S1 e S2 è costantemente
pari a un multiplo intero della lunghezza d'onda λ.
Interferenza distruttiva
Sempre considerando la figura A, i puntini rossi indicano il luogo dove
giungono una cresta da una sorgente e una gola dall'altra sorgente. Poiché in
tali punti le perturbazioni sono in opposizione di fase, l'acqua è praticamente
immobile e l'ampiezza risultante è nulla, avendo supposto le onde con la stessa
ampiezza. Questi punti, chiamati nodi e distribuiti su linee, rappresentano il
luogo ove si formano le cosiddette frange di interferenza distruttiva, dette
anche linee nodali.
Precisamente le frange sono luogo dei punti tali che la differenza in valore
assoluto delle distanze da S1 e S2, è uguale a una, tre, ecc. mezze lunghezze
d'onda.
Anche qui possiamo generalizzare, affermando che:
le frange di interferenza distruttiva sono luogo dei punti tali che la
differenza in valore assoluto delle distanze da S, e S2è uguale ad un
multiplo dispari di λ/2.
Questi risultati sono validi se le onde componenti hanno la stessa ampiezza.
Se invece le ampiezze delle onde emesse dalle sorgenti, che vibrano in fase e
con lo stesso periodo, sono diverse, anche lungo le linee nodali si ha una
perturbazione che si propaga con ampiezza uguale alla differenza delle due
ampiezze.
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