10 האצרה ־ תויטנגמורטקלא :2 הקיזיפ 2016 יאמב 1 םייטנגמ תוחוכ

‫פיזיקה ‪ :2‬אלקטרומגנטיות ־ הרצאה ‪10‬‬
‫המחלקה לפיזיקה‪ ,‬אוניברסיטת בן גוריון בנגב‪ ,‬מרצה‪ :‬איתן גרוספלד‬
‫‪ 1‬במאי ‪2016‬‬
‫‪1.1‬‬
‫כוחות מגנטיים‬
‫שני חוטים מקבילים זה לזה עם זרם שנע באותו כיוון מושכים זה את זה‪ .‬הכח על אחד החוטים‬
‫)ליחידת אורך( הוא ביחס הפוך למרחק בין שני החוטים‪ .‬שינוי כיוון הזרם באחד החוטים יהפוך‬
‫את הכח להיות כח דוחה‪ .‬אם שמים לוח מתכת בין שני החוטים הכח לא ישתנה‪ .‬כוחות אלה‬
‫אשר נכנסים לפעולה כאשר מטענים נעים בחוטים נקראים כוחות מגנטיים‪.‬‬
‫אם נסתכל על מטענים בודדים במקום חוטים‪ ,‬נגלה תופעה דומה‪ .‬שפופרת קרן קתודית‬
‫היא מיכל מרוקן מאוויר )או מכיל גז דליל( שבתוכו שתי אלקטרודות‪ :‬הקתודה מהווה מקור של‬
‫אלקטרונים שנעים בתוך השפופרת לעבר האנודה‪ .‬קרן האלקטרונים שנוצרת נעה לאורך מסלול‬
‫ישר‪ .‬עם זאת‪ ,‬אם נוסיף חוט נושא זרם בקרבת השפופרת נקבל הסטה של הקרן לכיוון החוט‬
‫או בכיוון ההפוך‪ ,‬כתלות בכיוון הזרם בחוט‪.‬‬
‫באינטראקציה הזו‪ ,‬הפועלת בין חוטים ומטענים נעים אחרים‪ ,‬נטפל באמצעות הגדרה של‬
‫שדה חדש ~‬
‫‪ ,B‬השדה המגנטי‪ .‬נחשוב על הזרם החשמלי כגורם המייצר שדה מגנטי במרחב‪ .‬כל‬
‫חלקיק טעון אשר נמצא בתנועה בתוך השדה המגנטי ירגיש כח מתכונתי לשדה המגנטי‪ .‬הכח‬
‫יהיה תמיד מאונך לכיוון התנועה של החלקיק‪ .‬אם נסמן את המטען על החלקיק ב־‪ q‬הכח הכולל‬
‫על החלקיק הוא‬
‫)‪(1‬‬
‫‪~ + q~v × B‬‬
‫~‬
‫‪F~ = q E‬‬
‫בשלב זה‪ ,‬המשוואה האחרונה תגדיר עבורנו את השדה המגנטי‪ .‬עם זאת‪ ,‬זוהי הגדרה בלבד‪:‬‬
‫חסר לנו הסבר לגבי מדוע קיים כח זה‪ ,‬אשר משפיע רק על מטענים בתנועה‪ ,‬כלומר בעלי מהירות‬
‫‪ ~v‬שאינה אפס‪ .‬מתברר‪ ,‬שההסבר מגיע מתורת היחסות הפרטית‪.‬‬
‫‪1.2‬‬
‫כיצד נמדוד מטען בתנועה‬
‫למדנו כיצד למדוד מטען סטטי ‪ :Q‬באמצעות הכוח שמופעל על מטען בוחן אחר ‪ q‬לפי חוק‬
‫קולומב‪ .‬אך אם המטען ‪ Q‬בתנועה‪ ,‬יתכן שהמהירות שלו תשפיע על הכח‪ :‬המהירות מייצרת כיוון‬
‫מועדף‪ ,‬ולכן יתכן לדוגמא שהכח בין ‪ Q‬ו־‪ q‬תלוי בכיוון ש־‪ q‬נמצא ביחס ל־‪ .Q‬גם הכיוון של הכח‬
‫עלול להיות שלא בכיוון וקטור ההעתק בין שני המטענים‪ .‬נגדיר אם כן את ‪ Q‬אם כן על ידי‬
‫מיצוע על כל הכיוונים באופן הבא‪ :‬נחשוב על קליפה כדורית שעליה מספר גדול של מטעני בוחן‬
‫נקודתיים על פני הקליפה )מוחזקים במנוחה(‪ .‬ברגע שהחלקיק שאנו מבקשים למדוד עובר דרך‬
‫מרכז הקליפה‪ ,‬נמדוד את החלק הרדיאלי של הכח על כל מטען בוחן‪ ,‬והממוצע ישמש לחישוב‬
‫‪ Q‬דרך חוק קולומב‪ .‬נשים לב שהכח על מטען בוחן ‪ q‬ליחידת מטען הוא השדה החשמלי‪ .‬לכן‬
‫שימוש בחוק גאוס כדי להגדיר מטען הוא הטבעי ביותר במצב זה‪ .‬כמות המטען החשמלי באיזור‬
‫במרחב מוגדר על ידי אינטגרל משטחי של השדה החשמלי ~‬
‫‪ E‬על המשטח ‪ S‬שתוחם את האיזור‪.‬‬
‫המשטח ‪ S‬מוגדר במערכת קואורדינטות כלשהי‪ ,‬נסמנה ‪ .F‬השדה החשמלי ~‬
‫‪ E‬נמדד בכל נקודה‬
‫‪1‬‬
‫)‪ (x, y, z‬בזמן ‪ t‬במערכת ‪ F‬על ידי הכח על מטען בוחן במנוחה ב־ ‪ ,F‬בנקודה הנתונה במקום‬
‫ובזמן‪ .‬כלומר ערכי השדה נמדדים באופן סימולטני על ידי צופים המפוזרים על פני כל ‪ .S‬נוכל‬
‫כעת למצוא את האינטגרל המשטחי על השדה ודרכו נגדיר את המטען‬
‫ˆ‬
‫‪~ · dS‬‬
‫~‬
‫‪Q = 0‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪S(t‬‬
‫כאשר הכנסנו לסימון את התלות בזמן ‪ .t‬האם ‪ Q‬תלוי בגודל והצורה של ‪ ?S‬למטענים נחים‬
‫אנו יודעים שלא )זהו חוק גאוס(‪ ,‬ולמטענים נעים התשובה הניסיונית היא שלא‪ :‬כלומר‪ ,‬חוק גאוס‬
‫עובד למטענים נעים‪.‬‬
‫‪1.3‬‬
‫האינבריאנטיות של המטען ביחס לטרנספורמציית לורנץ‬
‫זו עובדה ניסיונית שהמטען החשמלי במערכת אינו משתנה כתוצאה מתנועת ´המטענים )שלא‬
‫‪~ · dS‬‬
‫כמו המסה(‪ .‬התוצאות הניסיוניות מבטיחות לנו שהאינטגרל המשטחי ~‬
‫‪ S E‬תלוי אך ורק‬
‫במטענים בתוך המשטח ולא בתנועתם‪ .‬במערכת יחוס אינרציאלית אחרת ‪ ,F 0‬הנעה ביחס ל־ ‪,F‬‬
‫אם ‪ S 0‬הוא משטח סגור במערכת ‪ F 0‬אשר תוחם בזמן ‪ t0‬את אותם מטענים ש־‪ S‬תמך בזמן ‪,t‬‬
‫אזי מתקיים‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪~ · dS‬‬
‫=~‬
‫‪~ 0 · dS‬‬
‫~‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪(3‬‬
‫) ‪S 0 (t0‬‬
‫)‪S(t‬‬
‫כאשר ‪~ 0‬‬
‫‪ E‬נמדד ב־ ‪ .F 0‬המשוואה היא אמירה על האינבריאנטיות היחסותית של מטען‪ :‬המטען‬
‫הוא אם כן סקלר ביחס לטרנספורמציית לורנץ‪.‬‬
‫‪1.4‬‬
‫תזכורת‪ :‬יחסות פרטית‬
‫המרחב הריק הוא הומוגני ואיזוטרופי‪ .‬מערכת יחוס היא מערכת קואורדינטות עם שעונים בכל‬
‫מקום ועם מקלות למדידת אורך‪ .‬כאשר משהו קורה במקום כלשהו‪ ,‬הזמן נמדד בשעון המקומי‬
‫שהוא נייח במערכת היחוס‪ .‬השעונים במערכת היחוס כולם מסונכרנים‪ .‬אירוע ממוקם במרחב‬
‫ובזמן על ידי הקואורדינטות )‪ (x, y, z, t‬במערכת יחוס כלשהי‪ .‬לדוגמא‪ ,‬חלקיק העובר בזמן ‪t1‬‬
‫דרך נקודה ) ‪ .(x1 , y1 , z1‬ההיסטוריה של תנועת חלקיק היא אוסף של אירועים‪ .‬נניח שהיסטוריה‬
‫זו היא מהצורה ‪ ~r = ~v t‬בכל זמן ‪ ,t‬כאשר ‪ ~v‬קבוע‪ .‬הרי שהחלקיק נע בקו ישר ובמהירות קבועה‬
‫במערכת היחוס‪ .‬מערכת יחוס אינרציאלית היא כזו שבה גוף מבודד‪ ,‬ללא השפעות חיצוניות‪ ,‬נע‬
‫בדרך זו‪ .‬כלומר‪ ,‬מערכת אינרציאלית היא מערכת שבה החוק הראשון של ניוטון פועל‪.‬‬
‫שתי מערכות יחוס ‪ F‬ו־ ‪ F 0‬יכולות להבדל זו מזו במספר דרכים‪ .‬לדוגמא‪ ,‬הראשית שלהם‬
‫יכולה להיות מוסטת זו ביחס לזו‪ .‬או שאחת מסובבת ביחס לשנייה‪ .‬כל עוד ‪ F‬ו־ ‪ F 0‬לא‬
‫נעות אחת ביחס לשנייה‪ ,‬שעון שנייח ב־ ‪ F‬נייח גם ב־ ‪ .F 0‬ולכן‪ ,‬נוכל לדאוג שכל השעונים ב־ ‪F 0‬‬
‫יסכימו עם השעונים ב־ ‪ ,F‬וההבדלים בין המערכות נעשים לא חשובים‪ .‬נעסוק אם כך בעיקר‬
‫במקרה ש־ ‪ F‬אינרציאלית ו־ ‪ F 0‬נעה ביחס ל־ ‪ F‬במהירות קבועה ואינה מסתובבת )כלומר‪ ,‬היא‬
‫גם אינרציאלית(‪.‬‬
‫תורת היחסות דורשת בנוסף שבכל מערכות היחוס מדידה של מהירות האור תתן את אותה‬
‫תוצאה בלי תלות בשאלה האם מקור האור הוא נייח במערכת היחוס או לא‪ .‬מכאן ניתן לגזור‬
‫את טרנספורמציית לורנץ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.4.1‬‬
‫טרנספורמציית לורנץ‬
‫יהיו שני אירועים‪ A ,‬ו־‪ ,B‬שנצפים במערכת יחוס ‪ .F‬כלומר‪ ,‬שהקואורדינטות שלהם במרחב‬
‫ובזמן נקבעים במקלות ובשעונים של ‪) F‬לכל צופה יש עט ונייר והם מוצבים במקום של כל‬
‫אירוע(‪ .‬ההעתק של אירוע אחד מהשני הוא‬
‫)‪(4‬‬
‫‪tB − tA‬‬
‫‪z B − zA ,‬‬
‫‪y B − yA ,‬‬
‫‪xB − xA ,‬‬
‫ניתן להגדיר את אותם שני אירועים במערכת ‪ .F 0‬נניח ש־ ‪ F 0‬נעה ביחס למערכת ‪ F‬במהירות ‪v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x0A , yA‬‬
‫‪, zA‬‬
‫בכיוון ציר ‪ x‬החיובי‪ .‬אירוע ‪ ,A‬כפי שנצפה במערכת ‪ ,F 0‬קורה בקואורדינטות ‪, t0A‬‬
‫)כאשר ‪ t0A‬נמדד בשעון נייח במערכת ‪ .(F 0‬העתק הזמן־מרחב‪ ,‬או האינטרבל‪ ,‬בין האירועים‬
‫‪ A‬ו־‪ B‬ב־ ‪ F 0‬אינו אותו דבר כמו ב־ ‪ ,F‬אלא הרכיבים שלו קשורים לזה של ‪ F‬באמצעות‬
‫טרנספורציית לורנץ‬
‫)‪(5‬‬
‫) ‪= γ(xB − xA ) − βγc(tB − tA‬‬
‫‪x0B − x0A‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪= yB − yA‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪yB‬‬
‫‪− yA‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪= zB − zA‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪zB‬‬
‫‪− zA‬‬
‫‪t0B − t0A‬‬
‫‪= γ(tB − tA ) − βγ(xB − xA )/c‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪p‬‬
‫כאשר ‪ β = v/c‬ו־ ‪ .γ = 1/ 1 − β 2‬ניתן לראות שמתקיים‬
‫)‪(9‬‬
‫‪(xB − xA )2 + (y − yA )2 + (zB − zA )2 − c2 (tB − tA )2‬‬
‫שווה עבור ‪ F‬ו־ ‪ F 0‬ולכן אינבריאנט תחת טרנספורמציית לורנץ‪ .‬שני אירועים עבורם ערך זה חיובי‬
‫נקראים ״דמויי מרחב״‪ ,‬ותמיד ניתן למצוא מערכת ייחוס שבה הם בו זמניים‪ .‬אם האינבריאנט‬
‫שלילי האירועים ״דמויי זמן״‪ ,‬ותמיד אפשר למצוא מערכת ייחוס שבה הם קורים באותה נקודה‬
‫אך בזמנים שונים‪ .‬אם האינבריאנט מתאפס‪ ,‬אזי שני האירועים הם ״דמויי אור״‪.‬‬
‫שני אירועים ‪ A‬ו־‪ B‬הם סימולטניים ב־ ‪ F‬אם ‪ .tB = tA‬אך עובדה זו לא דורשת בדרך‬
‫כלל ‪) t0B = t0A‬אלא אם ‪.(xA = xB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ניקח מוט נייח ב־ ‪ F 0‬המקביל לציר ה־ ‪ x‬וקצוותיו ב־ ‪ xA‬ו־ ‪ .xB‬אורכו ב־ ‪ F‬הוא ‪.xB − xA‬‬
‫אורך המוט ב־ ‪ F‬הוא ‪ xB − xA‬כאשר שתי הנקודות ב־ ‪ F‬הן הנקודות שקצוות המוט נמצאים‬
‫בהם סימולטנית לפי השעונים ב־ ‪ .F‬עבור שני אירועים אלה ‪ .tB = tA‬לפיכך טרנספורמציית‬
‫לורנץ דורשת‬
‫)‪(10‬‬
‫‪xB − xA = (x0B − x0A )/γ‬‬
‫זהו כיווץ לורנץ‪ .‬אורכים בין שתי נקודות נתונות ב־ ‪ ,F 0‬אם הם מקבילים למהירות היחסית בין‬
‫שתי מערכות‪ ,‬נמדדים על ידי צופים ב־ ‪ F‬להיות קצרים יותר‪ ,‬פי ‪ 1/γ‬מהאורך המקורי‪ .‬הטענה‬
‫נשארת אותו דבר אם מחליפים את תפקידי המערכות‪.‬‬
‫יהא שעון כלשהו ב־ ‪ .F 0‬במערכת ‪ F‬הוא נע במהירות קבועה ‪ .v‬נסמן את הזמן שלו ‪t0A‬‬
‫כאשר הוא עובר אחד מהשעונים של ‪ ;F‬השעון של ‪ F‬יראה ‪ .tA‬אחר כך הוא יעבור שעון אחר‬
‫של ‪ ,F‬שיראה ‪ ,tB‬והשעון הנע יראה ‪ .t0B‬שני האירועים מופרדים במערכת ‪ F‬על ידי מרחק‬
‫) ‪ .xB − xA = v(tB − tA‬נקבל‬
‫)‪(11‬‬
‫‪t0B − t0A = γ(tB − tA )(1 − β 2 ) = (tB − tA )/γ‬‬
‫כלומר לפי השעון הנע‪ ,‬זמן קצר יותר עבר בין שני האירועים בהשוואה לשעונים הנייחים ב־ ‪.F‬‬
‫זוהי הרחבת הזמן שבבסיס פרדוקס התאומים‪ .‬לכן הזמן של שעונים בתנועה מתקדם לאט‬
‫בפקטור ‪.1/γ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.4.2‬‬
‫חיבור מהירויות‬
‫נניח שאובייקט נע בכיוון ציר ה־‪ x‬החיובי במערכת ‪ F‬במהירות ‪ .ux‬מהי מהירותו במערכת ‪?F 0‬‬
‫נניח שהאובייקט הנע עובר בראשית ב־‪ .t = 0‬אזי מיקומו בזמן ‪ t‬במערכת ‪ F‬הוא ‪.x = ux t‬‬
‫נניח שהראשית במרחב וזמן של שתי המערכות הם זהים‪ .‬אזי‬
‫)‪(12‬‬
‫‪= γx − βγct‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪= γt − βγx/c‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫נציב ‪ ,x = ux t‬ונחלק‬
‫‪ux − βc‬‬
‫‪x0‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1 − βux /c‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪1.4.3‬‬
‫= ‪u0x‬‬
‫אנרגיה‪ ,‬תנע וכוח‬
‫נגיד שחלקיק נע במהירות ‪ ~u‬במערכת אינרציאלית ‪ .F‬התנע והאנרגיה שלו הם‬
‫)‪(15‬‬
‫‪E = γm0 c2‬‬
‫‪p~ = γm0 ~u,‬‬
‫כאשר ‪ m0‬היא מסת המנוחה של החלקיק ו־)‪ .γ = γ(u‬בהנתן ~‪ p‬ו־‪ E‬במערכת ‪ ,F‬מהו התנע‬
‫של החלקיק והאנרגיה שלו במערכת ‪ ?F 0‬נניח ש־ ‪ F 0‬נעה בכיוון ציר ה־‪ x‬החיובי במהירות ‪v‬‬
‫ביחס ל־ ‪ .F‬אזי‬
‫)‪(16‬‬
‫‪γpx − βγE/c‬‬
‫=‬
‫‪p0x‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪py‬‬
‫=‬
‫‪p0y‬‬
‫)‪(18‬‬
‫‪pz‬‬
‫=‬
‫‪p0z‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪γE − βγcpx‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪E‬‬
‫כאשר ‪ βc‬היא המהירות היחסית בין שתי המערכות במשוואות אלה )וכאן )‪ .(γ = γ(v‬ניתן‬
‫להראות שמתקיים‬
‫)‪(20‬‬
‫‪02‬‬
‫‪02‬‬
‫‪02‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c2 (p02‬‬
‫‪x + py + pz ) − E = c (px + py + pz ) − E‬‬
‫ולכן ‪ c2 p2 − E 2‬אינו משתנה תחת טרנספורמציית לורנץ‪ ,‬וערכו שווה בכל המערכות‪ ,‬כולל‬
‫במערכת המנוחה שבה הוא שווה ‪ m20 c4‬ולכן בכל מערכת ייחוס‬
‫)‪(21‬‬
‫‪E 2 = c2 p2 + m20 c4‬‬
‫הכח קשור לקצב שינוי התנע‪ .‬ניקח חלקיק בעל מסת מנוחה ‪ m0‬אשר מתחיל ממנוחה בראשית‬
‫הצירים של ‪ F 0‬ואז כח ‪ f 0‬פועל עליו זמן קצר ‪ .∆t0‬נמצא את ‪ dp/dt‬במערכת ‪ F‬אשר נעה‬
‫בכיוון ‪ x‬כפי שנראה מ־ ‪ .F 0‬במערכת ‪ ,F 0‬בזמן ‪ p0x ,∆t0‬יגדל מאפס ל־ ‪ ,fx0 ∆t0‬ואילו ‪ x0‬יגדל ב־‬
‫)‪(22‬‬
‫‪1 fx0‬‬
‫‪(∆t0 )2‬‬
‫‪2 m0‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪∆x0‬‬
‫והאנרגיה הקינטית גדלה ב־ ‪ ;∆E 0 = (fx0 ∆t0 )2 /2m0‬זוהי האנרגיה הקינטית שהוא מקבל כפי‬
‫שנצפה ב־ ‪) F 0‬מהירות החלקיק ב־ ‪ F 0‬מספיק קטנה שאפשר להשתמש בביטויים קלאסיים(‪ .‬נקבל‬
‫)‪(23‬‬
‫)‪(24‬‬
‫‪= γ∆p0x + βγ∆E 0 /c‬‬
‫‪∆px‬‬
‫‪∆t = γ∆t0 + βγ∆x0 /c‬‬
‫גם ‪ ∆E 0‬וגם ‪ ∆x0‬הם פרופורציונליים ל־ ‪ ,(∆t0 )2‬ולכן כשניקח את הגבול ‪∆t0 → 0‬‬
‫)‪(25‬‬
‫‪dpx‬‬
‫‪dp0x‬‬
‫‪∆px‬‬
‫) ‪γ(fx0 ∆t0‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪f‬‬
‫=‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∆t→0 ∆t‬‬
‫‪∆t0 →0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪γ∆t0‬‬
‫‪dt0‬‬
‫כח ניצב מתנהג אחרת‪ :‬במערכת ‪ .∆p0y = fy0 ∆t0 ,F 0‬אך כעת ‪ ∆py = ∆p0y‬ו־ ‪∆t = γ∆t0‬‬
‫ולכן‬
‫)‪(26‬‬
‫‪fy0‬‬
‫‪fy0 ∆t0‬‬
‫‪dpy‬‬
‫‪∆py‬‬
‫‪1 dp0y‬‬
‫=‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫=‬
‫‪∆t→0 ∆t‬‬
‫‪∆t0 →0 γ∆t0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ dt0‬‬
‫‪5‬‬