תיטרפה תוסחיה תרות ־ #14 לוגרת 2013 ינויב 27 דוסי תונורקע

‫תרגול ‪ #14‬־ תורת היחסות הפרטית‬
‫‪ 27‬ביוני ‪2013‬‬
‫עקרונות יסוד‬
‫‪ .1‬עקרון היחסות ־ חוקי הפיסיקה אינם משתנים כאשר עוברים ממערכת ייחוס אינרציאלית‬
‫)מע' ייחוס שאינה מאיצה( אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת‪.‬‬
‫‪ .2‬אינווריאנטיות מהירות האור ־ מהירות האור קבועה לכל צופה‪ ,‬בלא תלות במהירות‬
‫היחסית שלו ביחס לגוף שפלט את האור‪.‬‬
‫מכך עולה שהסימולטניות היא לא גודל שנשמר בין מערכות ייחוס אינרציאליות הנעות‬
‫במהירויות שונות‪ .‬כלומר‪ ,‬שני צופים הנמצאים בתנועה יחסית ביניהם‪ ,‬ומודדים את אותו‬
‫צמד אירועים‪ ,‬עשויים שלא להסכים ביניהם בשאלה האם אירועים אלו התרחשו בו זמנים‪.‬‬
‫טרנספורמציית גלילאו‬
‫‪0‬‬
‫אם שתי מערכות ייחוס‪ S ,‬ו־ ‪ S‬כאשר האחרונה נעה במהירות ‪ v‬ביחס לראשונה בכיוון ‪,x‬‬
‫ומתלכדים בזמן ‪ ,t = t0 = 0‬אז בזמן ‪:t‬‬
‫‪= x − vt‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪= y‬‬
‫‪y0‬‬
‫‪= z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪= t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫טרנס' זו נכונה עבור מהירויות נמוכות ‪.v c‬‬
‫טרנספורמציית לורנץ‬
‫כאשר המערכת ‪ S 0‬נעה במהירות גבוהה ‪ v‬הקרובה למהירות האור‪ ,‬אז בזמן ‪ t‬במערכת‬
‫ייחוס הנעה ‪:S 0‬‬
‫)‪γ (x − vt‬‬
‫=‬
‫‪x0‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪z‬‬
‫=‬
‫‪z0‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫ ‪v‬‬
‫‪x‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪γ t−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪t‬‬
‫הטרנספורציה ההפוכה‪ ,‬בזמן ‪ t‬במערכת ייחוס ‪:S‬‬
‫) ‪= γ (x0 + vt0‬‬
‫‬
‫ ‪v‬‬
‫‪= γ t0 + 2 x0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x‬‬
‫‪t‬‬
‫למעשה‪ ,‬עדיף לא להיקבע לסימונים של המערכות השונות )עם טאג בלי טאג( ולזכור שאם‬
‫אנחנו רוצים למדוד במערכת כלשהי אירוע )מיקום‪ ,‬זמן או מהירות( שמתרחש במערכת‬
‫שנעה במהירות ‪ ±v‬אליה‪ ,‬אז הסימון לפני הגודל ‪ v‬יהיה ‪ ±‬בהתאמה‪.‬‬
‫טרנספומציה של הפרשים בין קורדינטות של זוג מאורעות‬
‫‪∆x0‬‬
‫)‪= γ (∆x − v∆t‬‬
‫‬
‫‬
‫‪v‬‬
‫‪= γ ∆t − 2 ∆x‬‬
‫‪c‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∆t‬‬
‫) ‪∆x = γ (∆x0 + v∆t0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪v‬‬
‫‪∆t = γ ∆t0 + 2 ∆x0‬‬
‫‪c‬‬
‫בו־זמניות במערכות ייחוס שונות‬
‫אם צופה א' רואה שני אירועים רחוקים זה מזה מתרחשים סימולטנית‪ ,‬אזי צופה ב' הנע‬
‫ביחס לצופה א' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים‪.‬‬
‫אם שתי מאורעות קרו בו־זמנית ב־ ‪ ,S 0‬כלומר ‪ ∆t0 = 0‬אבל לא באותו מקום ‪ ,∆x0 6= 0‬אז‬
‫‪v‬‬
‫‪∆t = γ 2 ∆x0‬‬
‫‪c‬‬
‫התארכות הזמן‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫נניח שתי מאורעות קרו באותו מקום ב־ ‪ ,S‬כלומר ‪ ,∆x = 0‬אבל בזמנים שונים ‪.∆t = 0‬‬
‫אז‬
‫‪∆t = γ∆t0‬‬
‫היות וזה התרחש באותו מקום )כך המצב אם מדובר במערכת המנוחה של הגוף(‪ ,‬אז‬
‫‪ ∆t0 = ∆t0‬הוא זמן עצמי‪.‬‬
‫‪∆t = γ∆t0‬‬
‫כלומר‪ ,‬כל מערכת אחרת הנעה במהירות ‪ v‬ביחס למערכת של הגוף עבורו אנו מודדים‬
‫זמן עצמי )להזכירכם ‪ 2‬הזמנים שאת הפרשם אנו מודדים חייבים להתרחש באותו המקום(‪,‬‬
‫תמדוד זמן יותר ארוך‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫התקצרות האורך‬
‫נניח שישנו מקל הנמצא במנוחה ב־‪ S‬ומקביל לצירים ‪ x‬ו־ ‪ .x0‬האורך שנמדוד במערכת‬
‫המנוחה הוא ‪ .∆x = L0‬במערכת ‪ S 0‬הנעה ימינה במהירות ‪ ,v‬המקל מצוי בתנועה וכדי‬
‫למדוד אורך צריך למדוד את מיקום שתי הקצוות בו־זמנית‪ ,‬כלומר‪ ∆t0 = 0 ,‬ולכן‪:‬‬
‫) ‪γ (∆x0 + v∆t0‬‬
‫= ‪∆x‬‬
‫‪γL‬‬
‫‪L0‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪L0‬‬
‫=‬
‫= ‪L‬‬
‫כלומר כל מערכת אחרת הנעה במהירות ‪ v‬ביחס למערכת המנוחה של המוט תמדוד אורך‬
‫יותר קצר מהאורך העצמי שלו ‪.L0‬‬
‫היחסיות של המהירות‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫אם חלקיק נע במהירות ‪ u‬במערכת ייחוס ‪ .S‬אז מהירותו ‪ u‬במערכת ‪ S‬אשר נעה במהירות‬
‫‪ v‬לאורך ציר ‪ ,x‬למשל‪ ,‬ביחס ל ‪ S‬היא‪:‬‬
‫)‪γ (∆x − v∆t‬‬
‫‪∆x0‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪∆t‬‬
‫‪γ ∆t − cv2 ∆x‬‬
‫‪u0x − v‬‬
‫‪vu0x‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪1−‬‬
‫=‬
‫‪u0x‬‬
‫=‬
‫‪u0x‬‬
‫עבור רכיב מהירות בכיוון ניצב למהירות היחסית בין המע' אנו נקבל מהחלוקה =‬
‫‪∆y‬‬
‫‪: ∆t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∆y 0‬‬
‫‪∆y‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪∆t0‬‬
‫‪γ ∆t − cv2 ∆x‬‬
‫‪1 u0z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪γ 1 − vu2x‬‬
‫‪u0y‬‬
‫= ‪u0z‬‬
‫‪vu0x‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪1−‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪γ‬‬
‫=‬
‫טרנס' הפוכה היא הפיכת הסימן של המהירות מ־‪ v‬ל־‪.−v‬‬
‫תנע )אינו בחומר לבחינה(‬
‫‪p = mvγ‬‬
‫אנרגיה )אינו בחומר לבחינה(‬
‫לכל מסה יש אנרגיה גם ללא תנועה הנקראית אנרגית מנוחה‪:‬‬
‫‪= mc2‬‬
‫‪E0‬‬
‫‪= γmc2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪= E − E0 = (γ − 1) mc2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪3‬‬
‫‪u0y‬‬
‫‪u0y‬‬
‫‪∆y 0‬‬
‫‪∆t0‬‬
‫= ‪u0y‬‬
‫שאלה ‪ 1 8100‬־ ‪Relativistic Sesame‬‬
‫אריק ובנץ נעים במהירות ‪ 0.6c‬האחד ביחס לשני‪ .‬בזמן ‪ t = t0 = 0‬שניהם נמצאים באותו‬
‫המקום‪ .‬כעבור ‪ 5‬שנים לפי שעונו‪ ,‬אריק שולח הבזק אור לבנץ‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן לפי שעונו של אריק דרוש להבזק להגיע לבנץ?‬
‫ב‪ .‬כמה זמן לפי שעונו של בנץ עובר עד ש‪:‬‬
‫‪ .1‬נפלט ההבזק‬
‫‪ .2‬נקלט ההבזק‬
‫ג‪ .‬על פי כל אחד מהם‪ ,‬מהו המרחק ביניהם ברגע קליטת ההבזק?‬
‫פתרון‬
‫נחליט כי אריק נע ימינה ביחס לבנץ במהירות ‪ 0.6c‬במע' ‪ S 0‬ואילו בנץ נמצא במע' ‪.S‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪6 2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪γ=q‬‬
‫נרשום את מיקום והזמן של אריק ובנץ בכל אחד משלושת המאורעות )מומלץ לעשות זאת‬
‫בטבלה(‪:‬‬
‫• ‪ A‬־ רגע המפגש‬
‫• ‪ B‬־ נשלח הבזק מאריק‬
‫• ‪ C‬־ נקלט הבזק אצל בנץ‬
‫עבור אירוע ‪ A‬אריק ובנץ נמצאים באותו המקום ובאותו הזמן‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪x0A = 0‬‬
‫=‬
‫‪xA‬‬
‫‪t0A = 0‬‬
‫=‬
‫‪tA‬‬
‫אירוע ‪ B‬מתרחש במע' ‪ ,S 0‬מאחר והפעולה נעשית על ידי אריק מיקום המאורע הוא הראשית‬
‫‪) x0B = 0‬מיקום אריק( והזמן הוא ‪ 5‬שנים כפי שאריק מדד אותו‪ .‬כדי לחשב את מיקום‬
‫וזמן מאורע ‪ B‬במע' ‪ S‬עלינו להשתמש בטרנס' מתאימה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪x0B‬‬
‫‪5 years‬‬
‫=‬
‫‪t0B‬‬
‫‪10‬‬
‫‪(0 + 0.6c · 5 years) = 0.75 Ly‬‬
‫= ) ‪= γ (x0B + vt0B‬‬
‫‪8‬‬
‫‬
‫‬
‫‪v‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪= γ t0B + 2 x0B‬‬
‫‪· 5 years = 6.25 years‬‬
‫‪c‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪xB‬‬
‫‪tB‬‬
‫כאשר ‪.Ly = light year = 1 year · c = 9.46 × 1015 m‬‬
‫אירוע ‪ C‬מתרחש במע' ‪ ,S‬מאחר והאור נקלט על ידי בנץ מיקום המאורע הוא הראשית‬
‫‪ .xC = 0‬האור נפלט במיקום ‪ xB = 0.75 Ly‬במע' של בנץ ועליו להגיע לנקודה ‪.xC = 0‬‬
‫כלומר‪ ,‬הזמן שלוקח לאור להגיע לבנץ‪:‬‬
‫‪xB‬‬
‫‪0.75 · 5c‬‬
‫=‬
‫‪= 3.75 years‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫= ‪∆tBC‬‬
‫אבל באותה מידה ‪ ∆tBC = tC − tB‬ולכן‪ .‬על כן עבור מאורע ‪:C‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪xC‬‬
‫‪∆tBC + tB = 3.75 + 6.25 = 10 years‬‬
‫=‬
‫‪tC‬‬
‫‪10‬‬
‫= ) ‪= γ (xC − vtC‬‬
‫‪(−0.6c · 10) = −7.5 Ly‬‬
‫‪8‬‬
‫‬
‫‪ 10‬‬
‫‪v‬‬
‫‪· 10 = 12.5 years‬‬
‫= ‪= γ t C − 2 xC‬‬
‫‪c‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x0C‬‬
‫‪t0C‬‬
‫אופן הפתרון הוא לזהות כל אירוע באיזו מערכת הוא התרחש ויש לעשות את הטרנס'‬
‫)להקפיד על הסימן של המהירות( כאשר רוצים לחשב במערכת אחרת אשר בתנועה‪.‬‬
‫מומלץ‪ ,‬כדי למנוע בלבול‪ ,‬ליצור טבלה עבור כל אירוע‪ .‬לשים את הנתונים הידועים ולחשב‬
‫בעזרת הטרנס' את כל השאר‪ .‬ומשם לקחת את מה שנתבקשתם לענות בשאלה‪.‬‬
‫א‪tC = 10 years .‬‬
‫ב‪t0C = 12.5 years .2 , t0B = 5 years .1 .‬‬
‫ג‪ .‬באירוע ‪ C‬חישבנו את מיקום בנץ )קליטת האור( במע' של אריק ולכן מרחקו של בנץ‬
‫מאריק ‪ .x0C = −7.5 Ly‬אולם‪ ,‬אם נרצה לחשב את מיקומו של אריק )מאורע ‪(D‬‬
‫ביחס לבנץ באותו זמן שמאורע ‪ C‬מתרחש עבור אריק )כאשר ‪,(t0D = t0C = 12.5 y‬‬
‫עלינו להציב ‪:x0D = 0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪· 0.6c · 12.5 = 9.38 Ly‬‬
‫‪8‬‬
‫= ‪xD = γ (x0D + vt0D ) = γvt0C‬‬
‫ניתן לראות ששניהם מודדים מרחק שונה אחד מהשני‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫שאלה ‪ 1 8101‬־ ‪Length of a Tilted Bar‬‬
‫מוט באורך ‪ l0‬נמצא במישור ‪) x0 − y 0‬במערכת מנוחתו( ויוצר זווית ‪ θ0‬עם ציר ‪ .x0‬מהו‬
‫האורך של המוט ומהי הזווית שהוא יוצר במערכת המעבדה‪ ,‬בה הוא זז בכיוון ‪ x‬ובמהירות‬
‫‪?v‬‬
‫פתרון‬
‫מערכת ‪ S 0‬היא מערכת המנוחה ולכן היטל האורך בכיוון ‪) x‬כיוון המהירות ‪ (v‬והיטל האורך‬
‫בכיוון ‪:y‬‬
‫‪= l0 cos θ0‬‬
‫‪∆x0‬‬
‫‪= l0 sin θ0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∆y‬‬
‫הטרנספורמציה של כל אלמנט אורך במערכת ‪ S‬היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∆x0‬‬
‫‪= l0 cos θ0‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪∆y 0 = l0 sin θ0‬‬
‫= ‪∆x‬‬
‫=‬
‫‪∆y‬‬
‫כיוון שאפקט התכווצות האורך מתרחש רק עבור הקורדינטה שבכיוונה המהירות היחסית‬
‫בין המערכות‪ .‬שאר קורדינטות האורך נשארות כפי שהן‪.‬‬
‫אורך המוט ‪ l‬והזווית ‪ θ‬במערכת ‪:S‬‬
‫‪s‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∆x + ∆y = l0‬‬
‫‪1 − 2 cos θ0 + sin θ0 = l0 1 − 2 sin2 θ0‬‬
‫= ‪l‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪∆y‬‬
‫‪= γ tan θ0‬‬
‫‪∆x‬‬
‫אורך המוט התקצר והזווית התקרבה ל־ ‪. π2‬‬
‫‪6‬‬
‫=‬
‫‪tan θ‬‬
‫שאלה ‪ 1 8117‬־ שני אופנועים‬
‫שני אופנועים ‪ A‬ו־ ‪ B‬יוצאים מראשית הצירים‪ .‬אופנוע ‪ A‬נוסע בכיוון ̂‪ x‬במהירות ‪0.75c‬‬
‫ואופנוע ‪ B‬נוסע בכיוון ̂‪ −y‬במהירות ‪ 0.9c‬ביחס למערכת המעבדה ‪ .S‬מהי המהירות של ‪B‬‬
‫אותה מודד אופנוע ‪?A‬‬
‫פתרון‬
‫אנו רוצים למדוד את מהירות אופנוע ‪ B‬במערכת המנוחה של אופנוע ‪) A‬זו המשמעות של‬
‫ביחס ל־‪ .(A‬נקרא למערכת זו ‪ .S 0‬מערכת המעבדה אז נעה במהירות ‪) −0.75c‬שמאלה(‬
‫ביחס למערכת המעבדה ‪ .S‬לפי טרנספורמציית המהירויות‪:‬‬
‫‪0 − 0.75c‬‬
‫‪uB,x − v‬‬
‫‪= −0.75c‬‬
‫= ‪vuB,x‬‬
‫‪1 − c2‬‬
‫‪1 − 0.75c·0‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1 uB,y‬‬
‫)‪(−0.9c‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫)‪1 − (0.75‬‬
‫‪= −0.59c‬‬
‫‪γ 1 − vucB,x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 − (−0.75c)·0‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪u0B,x‬‬
‫=‬
‫‪u0B,y‬‬
‫‪c‬‬
‫לפי פיתגורס נקבל שמהירות ‪ B‬ביחס ל־‪ A‬היא‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(−0.75c) + (−0.59c) = 0.96c‬‬
‫=‬
‫‪u0B‬‬
‫◦‪arctan (0.79) = 218.3‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪θ‬‬
‫)לא לשכוח שיש להוסיף ◦‪ 180‬לזווית בגלל ששתי המהירויות בסימן שלילי(‪.‬‬
‫‪7‬‬