...

ילמשח לאיצנטופ תילמשח תילאיצנטופ היגרנא

by user

on
Category: Documents
18

views

Report

Comments

Transcript

ילמשח לאיצנטופ תילמשח תילאיצנטופ היגרנא
‫פוטנציאל חשמלי‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית‬
‫בפיסיקה ‪ 1‬למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים‪ .‬כח משמר הינו כח‬
‫שהעבודה שהוא מבצע על גוף לאורך דרך אינה תלויה במסלול שנבחר בין נקודת ההתחלה‬
‫לבין נקודת הסיום‪ ,‬או לחילופין‪ ,‬העבודה על מסלול סגור תמיד אפס‪:‬‬
‫˛‬
‫‪~ =0‬‬
‫‪F~ · dl‬‬
‫עבור כח משמר יכולנו להגדיר אנרגיה פוטנציאלית ‪ u‬בכל נקודה במרחב‪ ,‬וכן הפרש האנרגיה‬
‫‪ U‬בין שתי נקודות‪:‬‬
‫‪ˆB‬‬
‫~‬
‫‪F~ · dr‬‬
‫‪= uB − uA = −‬‬
‫‪U‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ˆ~r‬‬
‫~‬
‫‪F~ · dr‬‬
‫‪= −‬‬
‫)‪u (~r‬‬
‫‪r~0‬‬
‫כאשר ‪ r~0‬היא נקודת הייחוס של האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית‪.‬‬
‫הכח החשמלי הינו כח משמר ולכן ניתן להגדיר עבורו אנרגיה פוטנציאלית חשמלית‪ .‬נוכל‬
‫לבטא את הקשר בין אנרגיה זו לשדה החשמלי‪:‬‬
‫‪ˆB‬‬
‫~‬
‫‪~ · dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ˆB‬‬
‫‪~ = −q‬‬
‫‪F~ · dr‬‬
‫‪A‬‬
‫‪U = uB − uA = −‬‬
‫‪A‬‬
‫פוטנציאל חשמלי‬
‫אם נחלק את המשוואה לעיל בגודל המטען‪ ,‬נקבל את המתח החשמלי ‪ V‬שהוא פשוט הפרשי‬
‫פוטנציאל חשמלי ‪ φ‬בין שתי נקודות‪:‬‬
‫‪ˆB‬‬
‫~‬
‫‪~ · dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪= φB − φA = −‬‬
‫‪V‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ˆ~r‬‬
‫~‬
‫‪~ · dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪= −‬‬
‫)‪φ (~r‬‬
‫‪r~0‬‬
‫במילים‪ :‬הפוטנציאל החשמלי בנקודה ‪ ~r‬הוא העבודה הדרושה כדי להביא מטען בוחן מאינסוף‬
‫)או מנק' ייחוס כלשהי אחרת( עד לנקודה ‪.~r‬‬
‫חשוב מאוד‪ :‬הפוטנציאל החשמלי הוא רציף תמיד!‬
‫‪1‬‬
‫הקשר בין האנרגיה הפוטנציאלית לכח החשמלי אנלוגי לקשר בין הפוטנציאל החשמלי‬
‫לשדה החשמלי‪ .‬מהאמור לעיל‪ ,‬קיים הקשר בין מתח לבין הפרשי האנרגיה החשמלית‪:‬‬
‫‪= qV‬‬
‫)‪= qφ (~r‬‬
‫‪U‬‬
‫)‪u (~r‬‬
‫בדיוק כמו הקשר בין כח לשדה חשמלי ~‬
‫‪.F~ = q E‬‬
‫בחירת נק' ייחוס עבור פוטנציאל חשמלי‪/‬אנרגיה חשמלית‬
‫כזכור מפיסיקה ‪ ,1‬נקודת הייחוס היא שרירותית ופיסיקלית יש משמעות רק להפרשי‬
‫אנרגיה‪/‬פוטנציאל‪ .‬לרוב הבחירה של נקודת הייחוס בה הפוטנציאל‪/‬אנרגיה פוטנציאלית‬
‫החשמליים מתאפסים היא האינסוף ∞ = ‪ .r0‬אולם‪ ,‬זאת בחירה נוחה עבור התפלגות מטען‬
‫סופית כיוון שככל שאנו מתרחקים מהתפלגות המטען השדה ולכן גם הפוטנציאל קטן‪ .‬לכן‬
‫הגיוני שהנקודה המרוחקת ביותר תתבטא בשדה ופוטנציאל המתאפסים‪.‬‬
‫במקרה של התפלגות אינסופית )כגון‪ :‬תיל אינסופי‪ ,‬מישור אינסופי וכו'( המטען נמצא גם‬
‫באינסוף ולכן זו לא תהיה בחירה פיסיקלית להגיד שהפוטנציאל הוא אפס‪ .‬במקרה זה‪ ,‬נגדיר‬
‫באופן שרירותי נקודה כזו ‪ r~0‬ולאחר שנקבל ביטוי עבור )‪ φ (~r‬נבחר נקודה כזו שהפוטנציאל‬
‫עבורו "לא יתפוצץ"‪.‬‬
‫דרכים לחישוב הפוטנציאל החשמלי‬
‫‬
‫‪rd‬‬
‫‪− r0‬‬
‫‬
‫‪kQ‬‬
‫‪2‬‬
‫| ‪|~r−r~0‬‬
‫= ~‬
‫‪E‬‬
‫שדה חשמלי היה ניתן לחשב באמצעות ‪ 2‬דרכים‪ :‬הדרך המפורשת‬
‫¸‬
‫או חוק גאוס במידה וקיימת סימטריה נוחה ‪~ = 4πkQin‬‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪ . E‬באותו אופן קיימות שני‬
‫דרכים לחישוב הפוטנציאל החשמלי‪ ,‬דרך מפורשת‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‪0 · dr‬‬
‫‪~ = − kQ r d‬‬
‫~‬
‫‪~ · dr‬‬
‫‪φ (~r) = − E‬‬
‫‪−‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫ ~‪~r − r‬‬
‫השדה החשמלי בהיותו משמר מאפשר לנו בחירת מסלול ~‬
‫‪ dr‬נוחה‪ .‬נבחר אותו כך שיהיה‬
‫בכיוון השדה החשמלי )או מאונך לו בחלקים אחרים( כך שנקבל ביטוי פשוט‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪kQ‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪ +C‬‬
‫ ‪φ (~r) = −‬‬
‫ = ‪2 dr‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪0‬‬
‫~‬
‫‪0‬‬
‫~‬
‫‪r‬‬
‫‪−‬‬
‫‪r‬‬
‫~‬
‫ ‪~r − r‬‬
‫)כדי לראות שאכן זהו הפתרון בצעו החלפת משתנה ‪ ~r̃ = ~r − r~0‬ואז אחרי האינטגרציה‬
‫החזירו את המשתנה כפי שהיה מקודם(‪.‬‬
‫הקבוע ‪ C‬מופיע כיוון שביצענו אינטגרל לא מסויים וגודלו יקבע בהתאם לנקודת הייחוס‬
‫שנבחר!‬
‫הביטוי לעיל נכון עבור מטען נקודתי‪ .‬עבור התפלגות רציפה הביטוי יהיה פשוט‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪kdQ0‬‬
‫‬
‫‬
‫= )‪φ (~r‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪~r − r~0‬‬
‫‪2‬‬
‫זו הנוסחה המפורשת לחישוב פוטנציאל חשמלי‪ .‬הדרך השניה היא על ידי חישוב אינטגרל‬
‫מסלולי של השדה‪:‬‬
‫‪ˆ~r‬‬
‫~‬
‫‪~ · dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪φ (~r) = −‬‬
‫‪r~0‬‬
‫חישוב פוטנציאל במרחב שניתן לחלקו לתחומים‬
‫אם יש לפנינו בעיה שניתנת להפרדה לתחומים כאשר בכל תחום השדה הוא שונה ־ חשוב‬
‫מאוד לשים לב לאופן חישוב הפוטנציאל דרך האינטגרל המסלולי‪ .‬נניח‪:‬‬
‫(‬
‫‪E1 (r) ; r < R‬‬
‫~‬
‫= )‪E (~r‬‬
‫‪E2 (r) ; r > R‬‬
‫דרך אחת‬
‫נניח )בלא הגבלת הכלליות( ש־‪ .r0 > R‬עבור חישוב הפוטנציאל בתחום ‪:r > R‬‬
‫‪ˆ~r‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪~ =−‬‬
‫‪~ · dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E2 (r) dr‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪φ (r > R) = −‬‬
‫‪r~0‬‬
‫עבור חישוב פוטנציאל בתחום ‪:r < R‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪ˆR‬‬
‫‪~ =−‬‬
‫‪~ · dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E2 (r) dr −‬‬
‫‪E1 (r) dr‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ˆ~r‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪φ (r < R) = −‬‬
‫‪r~0‬‬
‫כמובן שזה תלוי היכן בחרתם את נק' הייחוס בבעיה והיכן אתם מעוניינים לחשב את‬
‫הפוטנציאל‪.‬‬
‫דרך שניה‬
‫ניתן לחשב כל תחום בנפרד ע"י אינטגרל לא מסויים )ללא גבולות אינטגרציה( ואז יופיע‬
‫קבוע כל פעם‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪φ (r < R) = − E1 (r) dr = φ1 (r) + C1‬‬
‫ˆ‬
‫‪φ (r > R) = − E2 (r) dr = φ2 (r) + C2‬‬
‫כעת עליכם להשתמש ברציפות של הפוטנציאל על הגבול בין התחומים ובנק' הייחוס שנבחרה‪:‬‬
‫‪r = R ⇒ φ1 (R) + C1‬‬
‫‪= φ2 (R) + C2‬‬
‫) ‪r = 0 ⇒ φ (r0‬‬
‫‪= φ2 (r0 ) + C2 = 0‬‬
‫‪3‬‬
‫מוליך‬
‫בתוך מוליך השדה החשמלי הוא אפס‪ ,‬לכן הפוטנציאל החשמלי הוא קבוע ועלינו למצוא את‬
‫ערכו מתכונת הרציפות של הפוטנציאל‪.‬‬
‫כאשר אנו מחברים ‪ 2‬מוליכים‪ ,‬כל אחד עם פוטנציאל קבוע שונה‪ ,‬באמצעות חוט מוליך‬
‫← לאחר זמן )מועט( כלשהו הפוטנציאל על המערכת כולה )‪ 2‬מוליכים וחוט מוליך( הוא‬
‫קבוע שעשוי )לרוב( להיות שונה מהפוטנציאל של כל אחד מהמוליכים לפני החיבור‪ .‬על מנת‬
‫לאפשר זאת יהיה מעבר מטען ממוליך אחד למשנהו‪.‬‬
‫לסיכום‪ :‬מגע‪/‬חיבור בין ‪ 2‬מוליכים באמצעות מוליך מוביל לשיוויון פוטנציאלים על‬
‫המערכת כולה המתנהגת כמוליך אחד‪.‬‬
‫הארקה‬
‫חיבור בין גוף מוליך כלשהו לבין כדוה"א כך שיש שיוויון פוטנציאלים‪.‬‬
‫לכדוה"א מתייחסים כאל מוליך וכיוון שהרדיוס שלו יחסית מאוד גדול )חשבו פוטנציאל‬
‫של כדור מוליך( ביחס למטען העודף עליו ← הפוטנציאל על גביו הוא אפס‪.‬‬
‫מכאן שכאשר מאריקים מוליך‪ ,‬הפוטנציאל עליו משתווה לזה של כדוה"א וגודלו אפס‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫שאלה ‪ 2 4209‬־ קליפה ותיל אינסופי‬
‫נתונה קליפה כדורית עם מטען כולל ‪ Q‬ורדיוס ‪ .R‬דרך מרכז קליפה עובר תיל אינסופי עם‬
‫צפיפות מטען אחידה ‪.λ‬‬
‫מצאו פוטנציאל בכל המרחב‪.‬‬
‫פתרון‬
‫נשתמש בעקרון הסופרפוזיציה ונפרק את הבעיה לתיל‪+‬קליפה‪ .‬נחשב את הפוטנציאל בנפרד‬
‫עבור כל אחד מהם ולאחר מכן פשוט נחבר כדי לקבל את הפוטנציאל הכולל‪.‬‬
‫תיל אינסופי‬
‫נחשב את הפוטנציאל באמצעות אינטגרל מסלולי על השדה החשמלי‪ .‬את השדה החשמלי‬
‫נחשב בעזרת גאוס כאשר נבחר מעטפת גלילית ברדיוס ‪ ρ‬וגובה ‪ h‬עבור מעטפת הגאוס‪:‬‬
‫˛‬
‫‪~ = Qin = 4πkQin‬‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪E‬‬
‫‪0‬‬
‫˛‬
‫‪~ = E (ρ) 2πρh‬‬
‫‪E (ρ) ρ̂ · dS‬‬
‫‪ˆh‬‬
‫‪λdz = λh‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪λdl‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪dQ‬‬
‫‪Qin‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪λh‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪λ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2kλ‬‬
‫=‪= k‬‬
‫=‬
‫‪2π0 ρ‬‬
‫‪4π0‬‬
‫‪ρ‬‬
‫= ‪E (ρ) 2πρh‬‬
‫)‪⇒ E (ρ‬‬
‫=‬
‫כיוון שמדובר בהתפלגות מטען אינסופית‪ ,‬לא נוכל לבחור את האינסוף כנקודת ייחוס‬
‫לפוטנציאל החשמלי‪ .‬נגיד לעת עתה נקודת ייחוס ‪ r~0‬ולאחר מכן נגדיר אותה ממש‪.‬‬
‫‪ˆ~r‬‬
‫~‬
‫‪~ · dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫)‪φ (~r‬‬
‫‪r~0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dρ‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ˆρ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪~ =− λ‬‬
‫‪ρ̂ · dr‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪2π0‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‪ˆ~r‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2π0‬‬
‫=‬
‫‪r~0‬‬
‫נסביר את השלב האחרון בחישוב‪ :‬שימו לב‪ ,‬מכיוון שהשדה החשמלי הוא שדה משמר‪,‬‬
‫הפוטנציאל אינו תלוי במסלול שנבחר‪ .‬נוכל לבחור מסלול ~‬
‫‪ dr‬בין נקודת הייחוס שלנו‬
‫~‬
‫) ‪ r~0 = (ρ0 , ϕ0 , z0‬לבין )‪ ,~r = (ρ, ϕ, z‬כך שבהתחלה הוא לאורך ציר ‪ (dr = dz ẑ) z‬ולאחר‬
‫מכן אנו נעים במאונך לציר הסימטריה )̂‪~ = dρρ‬‬
‫‪:(dr‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dρ‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ˆρ‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ρ̂ · dρρ̂ = 0 +‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ˆρ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ρ̂ · dz ẑ +‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‪ˆz‬‬
‫‪z0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ~‬
‫‪ρ̂ · dr‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ˆ~r‬‬
‫‪r~0‬‬
‫כשאתם פותרים‪ ,‬אתם לא צריכים להיות מאוד מפורטים בהגדרה של בחירת המסלול ו‪/‬או‬
‫לציין את השורה הנ"ל )כל עוד אתם לא עושים טעויות( ־ אך חשוב להבין שתמיד נוכל לבחור‬
‫מסלול שיהיה בכיוון השדה תמיד או לחילופין מסלול שבחלקו הוא בכיוון השדה ובחלקו‬
‫מאונך לו )כפי שבחרנו כעת(‪.‬‬
‫‬
‫‪,ρ > 0‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‬
‫‪λ‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪φwire (~r) = −‬‬
‫‪2π0‬‬
‫כפי שצפינו‪ ,‬לא נוכל לבחור את ‪ ρ0‬להיות אינסוף‪ .‬בנוסף‪ ,‬גם הבחירה ‪ ρ0 = 0‬אינה מתאימה‬
‫כיוון שבשני המקרים הפוטנציאל מתפוצץ )בגלל תכונות הפונקציה הלוגריתמית(‪ .‬אבל כל‬
‫בחירה אחרת של ‪ ρ0‬יתן תוצאה שבה הפוטנציאל מתאפס‪ .‬שימו לב כי‪ ρ = ρ0 :‬נקבל‬
‫‪λ‬‬
‫‪ln 1 = 0‬‬
‫‪ φ (ρ0 ) = − 2π‬כפי שנדרש‪ .‬נשאיר את ‪ ρ0‬כמו שהוא‪ .‬שימו לב שהפוטנציאל‬
‫‪0‬‬
‫לא מוגדר עבור נקודה שנמצאית על ציר ‪.z‬‬
‫קליפה כדורית‬
‫חישוב השדה של קליפה כדורית מאוד פשוט‪ .‬יש לפנינו ‪ 2‬תחומים‪ :‬עבור ‪ r > R‬מגאוס‬
‫המקרה דומה למקרה של מטען נקודתי‪ .‬עבור ‪ r < R‬מגאוס קל לראות שהשדה הוא אפס‬
‫ולכן‪:‬‬
‫(‬
‫‪;r < R‬‬
‫‪~ (~r) = 0‬‬
‫‪E‬‬
‫‪kQ‬‬
‫̂‪r‬‬
‫‪;r > R‬‬
‫‪r2‬‬
‫נחשב את הפוטנציאל‪:‬‬
‫(‬
‫‪A = const ; r < R‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪;r > R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ˆ~r‬‬
‫= ~‬
‫‪~ · dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪φ (~r) = −‬‬
‫∞‬
‫הפוטנציאל בתוך הקליפה הוא קבוע ועלינו למצוא אותו‪ .‬נשתמש בתכונת הרציפות של‬
‫הפוטנציאל ונשווה את הפוטנציאל בין ‪ 2‬התחומים ב־‪:r = R‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪A‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪;r < R‬‬
‫‪;r > R‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r‬‬
‫(‬
‫= )‪φshell (~r‬‬
‫כל שנותר כעת הוא לסכום את הפוטנציאלים כדי לקבל את הפוטנציאל במרחב‪ ,‬נשים‬
‫לב שיש ‪ 2‬תחומים ובנוסף לכך נזכור ש־‪ r‬הוא המרחק מהראשית ו־‪ ρ‬הוא המרחק מציר‬
‫הסימטריה‪ .‬אפשר ומומלץ לבטא באותה מערכת קורדינטות‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ρ2 + z 2‬‬
‫= ‪r‬‬
‫‪x2 + y 2 + z 2‬‬
‫‪p‬‬
‫=‬
‫‪x2 + y 2‬‬
‫‪p‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ‬‬
‫הפוטנציאל הכולל בקורדינטות גליליות )‪:(ρ, ϕ, z‬‬
‫ ‬
‫‪ln ρρ0 + kQ‬‬
‫‪;r < R‬‬
‫‪R‬‬
‫ ‬
‫‪ln ρρ0 + √ kQ‬‬
‫‪;r > R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ρ +z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪− 2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪− 2π‬‬
‫= )‪φ (~r‬‬
‫או לחילופין‪ ,‬הפוטנציאל הכולל בקורדינטות קרטזיות )‪:(x, y, z‬‬
‫ ‬
‫‪‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪− 2π‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪+ kQ‬‬
‫‪;r < R‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ρ02 2 R‬‬
‫= )‪φ (~r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+y‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪− 2π ln‬‬
‫‪+ √ 2 2 2 ;r > R‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x +y +z‬‬
‫נזכור כי ‪ R‬ו־ ‪ ρ0‬הם פשוט קבועים‪ ,‬המרחק מהראשית והמרחק מציר הסימטריה בהתאמה‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬כאשר אנחנו עושים סופרפוזיציה עלינו לזכור כי הראשית חייבת )!(‬
‫להיות משותפת ל־‪ 2‬הבעיות ואילו בחירת נקודת ייחוס של ‪ 2‬הבעיות אינה חייבת להיות זהה‬
‫)בקליפה בחרנו אינסוף‪ ,‬עבור התיל בחרנו נקודה סופית ‪ .(ρ0 6= 0‬בסופו של דבר‪ ,‬כשנחבר‬
‫את הפוטנציאלים מתמטית תיווצר נקודה חדשה שבה הפוטנציאל הכולל יהיה אפס‪ .‬אין‬
‫צורך להגדיר‪/‬למצוא נקודה זו כאשר אתם מחשבים‪.‬‬
‫‪3‬‬
Fly UP