Comments
Description
Transcript
ילמשח לאיצנטופ תילמשח תילאיצנטופ היגרנא
פוטנציאל חשמלי אנרגיה פוטנציאלית חשמלית בפיסיקה 1למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים .כח משמר הינו כח שהעבודה שהוא מבצע על גוף לאורך דרך אינה תלויה במסלול שנבחר בין נקודת ההתחלה לבין נקודת הסיום ,או לחילופין ,העבודה על מסלול סגור תמיד אפס: ˛ ~ =0 F~ · dl עבור כח משמר יכולנו להגדיר אנרגיה פוטנציאלית uבכל נקודה במרחב ,וכן הפרש האנרגיה Uבין שתי נקודות: ˆB ~ F~ · dr = uB − uA = − U A ˆ~r ~ F~ · dr = − )u (~r r~0 כאשר r~0היא נקודת הייחוס של האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית. הכח החשמלי הינו כח משמר ולכן ניתן להגדיר עבורו אנרגיה פוטנציאלית חשמלית .נוכל לבטא את הקשר בין אנרגיה זו לשדה החשמלי: ˆB ~ ~ · dr E ˆB ~ = −q F~ · dr A U = uB − uA = − A פוטנציאל חשמלי אם נחלק את המשוואה לעיל בגודל המטען ,נקבל את המתח החשמלי Vשהוא פשוט הפרשי פוטנציאל חשמלי φבין שתי נקודות: ˆB ~ ~ · dr E = φB − φA = − V A ˆ~r ~ ~ · dr E = − )φ (~r r~0 במילים :הפוטנציאל החשמלי בנקודה ~rהוא העבודה הדרושה כדי להביא מטען בוחן מאינסוף )או מנק' ייחוס כלשהי אחרת( עד לנקודה .~r חשוב מאוד :הפוטנציאל החשמלי הוא רציף תמיד! 1 הקשר בין האנרגיה הפוטנציאלית לכח החשמלי אנלוגי לקשר בין הפוטנציאל החשמלי לשדה החשמלי .מהאמור לעיל ,קיים הקשר בין מתח לבין הפרשי האנרגיה החשמלית: = qV )= qφ (~r U )u (~r בדיוק כמו הקשר בין כח לשדה חשמלי ~ .F~ = q E בחירת נק' ייחוס עבור פוטנציאל חשמלי/אנרגיה חשמלית כזכור מפיסיקה ,1נקודת הייחוס היא שרירותית ופיסיקלית יש משמעות רק להפרשי אנרגיה/פוטנציאל .לרוב הבחירה של נקודת הייחוס בה הפוטנציאל/אנרגיה פוטנציאלית החשמליים מתאפסים היא האינסוף ∞ = .r0אולם ,זאת בחירה נוחה עבור התפלגות מטען סופית כיוון שככל שאנו מתרחקים מהתפלגות המטען השדה ולכן גם הפוטנציאל קטן .לכן הגיוני שהנקודה המרוחקת ביותר תתבטא בשדה ופוטנציאל המתאפסים. במקרה של התפלגות אינסופית )כגון :תיל אינסופי ,מישור אינסופי וכו'( המטען נמצא גם באינסוף ולכן זו לא תהיה בחירה פיסיקלית להגיד שהפוטנציאל הוא אפס .במקרה זה ,נגדיר באופן שרירותי נקודה כזו r~0ולאחר שנקבל ביטוי עבור ) φ (~rנבחר נקודה כזו שהפוטנציאל עבורו "לא יתפוצץ". דרכים לחישוב הפוטנציאל החשמלי rd − r0 kQ 2 | |~r−r~0 = ~ E שדה חשמלי היה ניתן לחשב באמצעות 2דרכים :הדרך המפורשת ¸ או חוק גאוס במידה וקיימת סימטריה נוחה ~ = 4πkQin ~ · dS . Eבאותו אופן קיימות שני דרכים לחישוב הפוטנציאל החשמלי ,דרך מפורשת: ˆ ˆ 0 · dr ~ = − kQ r d ~ ~ · dr φ (~r) = − E − r 2 0 ~~r − r השדה החשמלי בהיותו משמר מאפשר לנו בחירת מסלול ~ drנוחה .נבחר אותו כך שיהיה בכיוון השדה החשמלי )או מאונך לו בחלקים אחרים( כך שנקבל ביטוי פשוט: ˆ kQ kQ +C φ (~r) = − = 2 dr 0 ~ 0 ~ r − r ~ ~r − r )כדי לראות שאכן זהו הפתרון בצעו החלפת משתנה ~r̃ = ~r − r~0ואז אחרי האינטגרציה החזירו את המשתנה כפי שהיה מקודם(. הקבוע Cמופיע כיוון שביצענו אינטגרל לא מסויים וגודלו יקבע בהתאם לנקודת הייחוס שנבחר! הביטוי לעיל נכון עבור מטען נקודתי .עבור התפלגות רציפה הביטוי יהיה פשוט: ˆ kdQ0 = )φ (~r ~r − r~0 2 זו הנוסחה המפורשת לחישוב פוטנציאל חשמלי .הדרך השניה היא על ידי חישוב אינטגרל מסלולי של השדה: ˆ~r ~ ~ · dr E φ (~r) = − r~0 חישוב פוטנציאל במרחב שניתן לחלקו לתחומים אם יש לפנינו בעיה שניתנת להפרדה לתחומים כאשר בכל תחום השדה הוא שונה ־ חשוב מאוד לשים לב לאופן חישוב הפוטנציאל דרך האינטגרל המסלולי .נניח: ( E1 (r) ; r < R ~ = )E (~r E2 (r) ; r > R דרך אחת נניח )בלא הגבלת הכלליות( ש־ .r0 > Rעבור חישוב הפוטנציאל בתחום :r > R ˆ~r ˆr ~ =− ~ · dr E E2 (r) dr r0 φ (r > R) = − r~0 עבור חישוב פוטנציאל בתחום :r < R ˆr ˆR ~ =− ~ · dr E E2 (r) dr − E1 (r) dr R ˆ~r r0 φ (r < R) = − r~0 כמובן שזה תלוי היכן בחרתם את נק' הייחוס בבעיה והיכן אתם מעוניינים לחשב את הפוטנציאל. דרך שניה ניתן לחשב כל תחום בנפרד ע"י אינטגרל לא מסויים )ללא גבולות אינטגרציה( ואז יופיע קבוע כל פעם: ˆ φ (r < R) = − E1 (r) dr = φ1 (r) + C1 ˆ φ (r > R) = − E2 (r) dr = φ2 (r) + C2 כעת עליכם להשתמש ברציפות של הפוטנציאל על הגבול בין התחומים ובנק' הייחוס שנבחרה: r = R ⇒ φ1 (R) + C1 = φ2 (R) + C2 ) r = 0 ⇒ φ (r0 = φ2 (r0 ) + C2 = 0 3 מוליך בתוך מוליך השדה החשמלי הוא אפס ,לכן הפוטנציאל החשמלי הוא קבוע ועלינו למצוא את ערכו מתכונת הרציפות של הפוטנציאל. כאשר אנו מחברים 2מוליכים ,כל אחד עם פוטנציאל קבוע שונה ,באמצעות חוט מוליך ← לאחר זמן )מועט( כלשהו הפוטנציאל על המערכת כולה ) 2מוליכים וחוט מוליך( הוא קבוע שעשוי )לרוב( להיות שונה מהפוטנציאל של כל אחד מהמוליכים לפני החיבור .על מנת לאפשר זאת יהיה מעבר מטען ממוליך אחד למשנהו. לסיכום :מגע/חיבור בין 2מוליכים באמצעות מוליך מוביל לשיוויון פוטנציאלים על המערכת כולה המתנהגת כמוליך אחד. הארקה חיבור בין גוף מוליך כלשהו לבין כדוה"א כך שיש שיוויון פוטנציאלים. לכדוה"א מתייחסים כאל מוליך וכיוון שהרדיוס שלו יחסית מאוד גדול )חשבו פוטנציאל של כדור מוליך( ביחס למטען העודף עליו ← הפוטנציאל על גביו הוא אפס. מכאן שכאשר מאריקים מוליך ,הפוטנציאל עליו משתווה לזה של כדוה"א וגודלו אפס. 4 שאלה 2 4209־ קליפה ותיל אינסופי נתונה קליפה כדורית עם מטען כולל Qורדיוס .Rדרך מרכז קליפה עובר תיל אינסופי עם צפיפות מטען אחידה .λ מצאו פוטנציאל בכל המרחב. פתרון נשתמש בעקרון הסופרפוזיציה ונפרק את הבעיה לתיל+קליפה .נחשב את הפוטנציאל בנפרד עבור כל אחד מהם ולאחר מכן פשוט נחבר כדי לקבל את הפוטנציאל הכולל. תיל אינסופי נחשב את הפוטנציאל באמצעות אינטגרל מסלולי על השדה החשמלי .את השדה החשמלי נחשב בעזרת גאוס כאשר נבחר מעטפת גלילית ברדיוס ρוגובה hעבור מעטפת הגאוס: ˛ ~ = Qin = 4πkQin ~ · dS E 0 ˛ ~ = E (ρ) 2πρh E (ρ) ρ̂ · dS ˆh λdz = λh ˆ = λdl ˆ = dQ Qin = 0 λh 0 λ 1 2kλ == k = 2π0 ρ 4π0 ρ = E (ρ) 2πρh )⇒ E (ρ = כיוון שמדובר בהתפלגות מטען אינסופית ,לא נוכל לבחור את האינסוף כנקודת ייחוס לפוטנציאל החשמלי .נגיד לעת עתה נקודת ייחוס r~0ולאחר מכן נגדיר אותה ממש. ˆ~r ~ ~ · dr E − = )φ (~r r~0 1 dρ ρ ˆρ 1 ~ =− λ ρ̂ · dr ρ 2π0 ρ0 ˆ~r λ − 2π0 = r~0 נסביר את השלב האחרון בחישוב :שימו לב ,מכיוון שהשדה החשמלי הוא שדה משמר, הפוטנציאל אינו תלוי במסלול שנבחר .נוכל לבחור מסלול ~ drבין נקודת הייחוס שלנו ~ ) r~0 = (ρ0 , ϕ0 , z0לבין ) ,~r = (ρ, ϕ, zכך שבהתחלה הוא לאורך ציר (dr = dz ẑ) zולאחר מכן אנו נעים במאונך לציר הסימטריה )̂~ = dρρ :(dr 1 dρ ρ ˆρ ρ0 1 ρ̂ · dρρ̂ = 0 + ρ ˆρ 1 ρ̂ · dz ẑ + ρ ρ0 ˆz z0 1 1 = ~ ρ̂ · dr ρ ˆ~r r~0 כשאתם פותרים ,אתם לא צריכים להיות מאוד מפורטים בהגדרה של בחירת המסלול ו/או לציין את השורה הנ"ל )כל עוד אתם לא עושים טעויות( ־ אך חשוב להבין שתמיד נוכל לבחור מסלול שיהיה בכיוון השדה תמיד או לחילופין מסלול שבחלקו הוא בכיוון השדה ובחלקו מאונך לו )כפי שבחרנו כעת(. ,ρ > 0 ρ ρ0 λ ln φwire (~r) = − 2π0 כפי שצפינו ,לא נוכל לבחור את ρ0להיות אינסוף .בנוסף ,גם הבחירה ρ0 = 0אינה מתאימה כיוון שבשני המקרים הפוטנציאל מתפוצץ )בגלל תכונות הפונקציה הלוגריתמית( .אבל כל בחירה אחרת של ρ0יתן תוצאה שבה הפוטנציאל מתאפס .שימו לב כי ρ = ρ0 :נקבל λ ln 1 = 0 φ (ρ0 ) = − 2πכפי שנדרש .נשאיר את ρ0כמו שהוא .שימו לב שהפוטנציאל 0 לא מוגדר עבור נקודה שנמצאית על ציר .z קליפה כדורית חישוב השדה של קליפה כדורית מאוד פשוט .יש לפנינו 2תחומים :עבור r > Rמגאוס המקרה דומה למקרה של מטען נקודתי .עבור r < Rמגאוס קל לראות שהשדה הוא אפס ולכן: ( ;r < R ~ (~r) = 0 E kQ ̂r ;r > R r2 נחשב את הפוטנציאל: ( A = const ; r < R kQ ;r > R r ˆ~r = ~ ~ · dr E φ (~r) = − ∞ הפוטנציאל בתוך הקליפה הוא קבוע ועלינו למצוא אותו .נשתמש בתכונת הרציפות של הפוטנציאל ונשווה את הפוטנציאל בין 2התחומים ב־:r = R kQ R =A ולכן: ;r < R ;r > R kQ R kQ r ( = )φshell (~r כל שנותר כעת הוא לסכום את הפוטנציאלים כדי לקבל את הפוטנציאל במרחב ,נשים לב שיש 2תחומים ובנוסף לכך נזכור ש־ rהוא המרחק מהראשית ו־ ρהוא המרחק מציר הסימטריה .אפשר ומומלץ לבטא באותה מערכת קורדינטות: p ρ2 + z 2 = r x2 + y 2 + z 2 p = x2 + y 2 p = 2 r ρ הפוטנציאל הכולל בקורדינטות גליליות ):(ρ, ϕ, z ln ρρ0 + kQ ;r < R R ln ρρ0 + √ kQ ;r > R 2 2 ρ +z 0 λ − 2π 0 λ − 2π = )φ (~r או לחילופין ,הפוטנציאל הכולל בקורדינטות קרטזיות ):(x, y, z ρ λ − 2π ln + kQ ;r < R 0 ρ02 2 R = )φ (~r x +y kQ λ − 2π ln + √ 2 2 2 ;r > R ρ0 0 x +y +z נזכור כי Rו־ ρ0הם פשוט קבועים ,המרחק מהראשית והמרחק מציר הסימטריה בהתאמה. הערה חשובה :כאשר אנחנו עושים סופרפוזיציה עלינו לזכור כי הראשית חייבת )!( להיות משותפת ל־ 2הבעיות ואילו בחירת נקודת ייחוס של 2הבעיות אינה חייבת להיות זהה )בקליפה בחרנו אינסוף ,עבור התיל בחרנו נקודה סופית .(ρ0 6= 0בסופו של דבר ,כשנחבר את הפוטנציאלים מתמטית תיווצר נקודה חדשה שבה הפוטנציאל הכולל יהיה אפס .אין צורך להגדיר/למצוא נקודה זו כאשר אתם מחשבים. 3