ילמשח לאיצנטופ

‫פוטנציאל חשמלי‬
‫עבודה ואנרגיה פוטנציאלית‬
‫העבודה שמבצע כוח כלשהוא כאשר הוא מזיז גוף מנקודה תחילית ‪ a‬לנקודה סופית ‪ b‬היא‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪Wa  b   F  d s‬‬
‫‪a‬‬
‫נזכור כי העבודה היא גודל סקלרי‪.‬‬
‫האינטגרל האחרון קרוי אינטגרל מסלול או אינטגרל קווי והוא מבוצע לאורך מסלול מסוים‬
‫המקשר בין ‪ a‬ל‪.b -‬‬
‫אם הכוח האו כוח משמר (כזה שעבודתו בלתי תלויה במסלול) ניתן להביע את העבודה‬
‫כשינוי בפונקציית אנרגיה פוטנציאלית‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪W ab    U  U a  U b‬‬
‫כאשר ‪ U‬היא פונקציית האנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬
‫שימו לב ! כאשר כוח מבצע עבודה חיובית גוף "נופל" מאנרגיה פוטנציאלית גבוהה לנמוכה‬
‫כפי שקורה בשדה כבידה‪.‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית‬
‫‪ ‬נביט בשני מטענים ‪ q1‬ו‪ q2 -‬שווי סימן‪ ,‬כאשר ‪ q1‬מוחזק במקומו כמתואר‬
‫בציור‪ .‬נחשב את עבודתו של הכוח החשמלי לאורך קו רדיאלי‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪F dr   k 2 dr  k q1q2     k q1q2   ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ r a‬‬
‫‪ ra rb ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ U a  Ub  0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Wa  b  ‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ra rb ‬‬
‫‪q1 q 2‬‬
‫‪Ua Ub ‬‬
‫‪4 0‬‬
‫‪ ‬בנוסחא האחרונה יש לקחת את המטענים עם סימנם!‬
‫‪‬הנוסחא פותחה עבור המקרה בו המטענים שווי סימן אבל היא כללית ונכונה תמיד‪.‬‬
‫‪‬הנוסחא פותחה עבור הזזה רדיאלית אולם היא נכונה עבור מסלול כלשהוא מאחר‬
‫והכוח האלקטרוסטטי הוא כוח משמר ומכאן שגם השדה האלקטרוסטטי הוא שדה משמר‬
‫שעבודתו בלתי תלויה במסלול‪.‬‬
‫‪ ‬נעיר כי העבודה שחישבנו היא עבודתו של הכוח החשמלי‪ .‬ניתן גם לדבר על עבודה של‬
‫כוחות כנגד השדה החשמלי‪ .‬זו היא השלילית של הקודם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סימן חיובי לעבודה פירושו שהשדה החשמלי מבצע את העבודה "עבורנו"‪ ,‬וסימן שלילי‬
‫פירושו שנעשית עבודה חיובית על ידי כוח אחר כנגד הכוח החשמלי‪.‬‬
‫נכתוב את הנוסחא האחרונה באופן‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ rb ra ‬‬
‫‪‬‬
‫‪q1 q 2‬‬
‫‪Ub  Ua ‬‬
‫‪4 0‬‬
‫הנוסחא האחרונה מראה כי כדי לדעת את האנרגיה הפוטנציאלית בנקודה ‪ b‬עלינו לדעת‬
‫את זו ש ב ‪ .a‬נקודה ‪ a‬נקראת נקודת ייחוס וניתן לייחס לה אנרגיה פוטנציאלית כלשהיא‬
‫(בדרך כלל אפס)‪ ,‬מאחר ומבחינה פיסיקלית‪:‬‬
‫רק להפרשים של האנרגיה הפוטנציאלית יש משמעות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נוח מאוד להגדיר את נקודת הייחוס כאשר שני המטענים במרחק אינסופי זה מזה‬
‫(אך זה לא תמיד אפשרי !!‬
‫)‪.‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית של מערכת מטענים‬
‫‪ ‬נניח כי יש ברשותנו שלושה מטענים הנמצאים במרחק אינסופי זה מזה‪.‬‬
‫מהי האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת כאשר הם מובאים למצב‬
‫המתואר בציור?‬
‫‪‬‬
‫כאשר המטען הראשון מובא האנרגיה הפוטנציאלית היא אפס כי המטענים עדיין במרחק‬
‫אינסופי זה מזה‪ .‬המטען השני שיובא כבר ירגיש את השני (עבודה תתבצע) וכאשר המטען‬
‫השלישי יובא הוא ירגיש את שני האחרים כלומר‪:‬‬
‫‪q1q3‬‬
‫‪q 2 q3‬‬
‫‪q1q 2‬‬
‫‪U k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪r12‬‬
‫‪r13‬‬
‫‪r23‬‬
‫‪‬‬
‫מהנוסחא האחרונה ברור כי האנרגיה הפוטנציאלית היא תכונה של מערכת המטענים‬
‫ולא של מטען בודד!!‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית הכללית בלתי תלויה בסדר בו מובאים המטענים‪.‬‬
‫אם האנרגיה הפוטנציאלית חיובית הרי שהעבודה שמבצע השדה החשמלי היא שלילית‬
‫וקיים כוח חיצוני שמבצע עבודה‪ .‬במקרה זה הכוח החיצוני אגר אנרגיה במערכת‪ .‬אם‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית היא שלילית הרי שקורה ההפך‪.‬‬
‫הפוטנציאל החשמלי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נניח כי ברשותנו מטען ‪ q‬ומטען בוחן ‪ .q0‬האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת שני‬
‫המטענים פרופורציונית למטענו של המטען הבוחן‪ .‬אם ניקח מטען בוחן כפול גם‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית תוכפל‪.‬‬
‫בניסוח אחר הגודל ‪ U q 0‬בלתי תלוי בגודלו של מטען הבוחן ‪ q0‬והוא‬
‫מאפיין את המטען ‪ q‬בלבד‪.‬‬
‫נגדיר את הפוטנציאל כאנרגיה פוטנציאלית ליחידת מטען (זהו גודל סקלרי כמובן)‪:‬‬
‫או בהקשר לעבודה‪:‬‬
‫‪U‬‬
‫‪V‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪Wa b‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ V  Vb  Va ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪‬‬
‫היחידה של הפוטנציאל נקראת וולט )‪(Volt‬‬
‫‪‬‬
‫את נוסחא (‪ )8‬נוכל לכתוב באופן ‪:‬‬
‫‪J‬‬
‫‪V   V‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪W a   b    U   q  V  q  V a  V b  (9‬‬
‫‪‬‬
‫ממשוואה (‪ )9‬נובע כי מטען חיובי נע מפוטנציאל גבוה לנמוך‬
‫(השדה החשמלי יסיע אותו) ולהפך לגבי מטען שלילי‪.‬‬
‫‪ ‬מנוסחא זו משתמע באופן ברור כי בין שתי נקודות הנמצאות בפוטנציאל‬
‫שונה קיים שדה חשמלי‪ .‬הנ"ל מכוון לכיוון של פוטנציאל פוחת!‬
‫חישוב הפוטנציאל מהשדה‬
‫‪ ‬מנוסחא (‪ )8‬נקבל‪:‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Wab‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪V  ‬‬
‫‪   F  ds    E  ds‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪q0 a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫או‪:‬‬
‫‪‬‬
‫המינוס בנוסחא האחרונה מראה שכיוון השדה הוא לכיוון פוטנציאל קטן‪.‬‬
‫‪‬‬
‫האינטגרל המגדיר את הפוטנציאל נקרא אינטגרל קווי‪ .‬באופן כללי השדה‬
‫החשמלי יכול להשתנות מנקודה לנקודה‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪Vb  Va    E  d s (11‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫על מנת למצוא פוטנציאל בנקודה מסוימת ‪ P‬עלינו לייחס פוטנציאל אפס לנקודה אחרת‪.‬‬
‫ניקח את נקודת הייחוס ‪ a‬באינסוף ( אך לא תמיד זה אפשרי !! ) ונייחס לה‬
‫פוטנציאל אפס‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪V p    E  ds (12‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תרגיל‬
‫חשב את הפוטנציאל במרכז ריבוע המטענים הנח כי ‪q3  31nc .d=1.3m‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪q1  12nc ,‬‬
‫‪q2  24 nc , q4  17 nc‬‬
‫‪q1  q2  q3  q4‬‬
‫‪V k‬‬
‫‪ 350V‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪2‬‬
p( y, z)
‫ פוטנציאל של דיפול חשמלי‬: ‫תרגיל‬
 q q 
Vp  k  

r
r
 
 
:‫ הוא‬p ‫הפוטנציאל בנקודה‬
2
2
d
d


r  y 2   z    y 2  z 2  dz 
 r 2  dz
4
 2
2
2
d
d


r  y 2   z    y 2  z 2  dz 
 r 2  dz
2
4

‫על מנת לקבל את הפוטנציאל בנקודות רחוקות בהם‬
‫‪ r>>d‬לכתוב‪:‬‬
‫והפוטנציאל של דיפול חשמלי‪:‬‬
‫מומנט דיפול חשמלי‪:‬‬
‫‪p  qd‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 zd‬‬
‫‪‬‬
‫‪  3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r 2  zd r 2r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 zd‬‬
‫‪‬‬
‫‪  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r  zd r 2r‬‬
‫‪zd‬‬
‫‪qd z‬‬
‫‪p cos ‬‬
‫‪Vp  kq 3  k 2  k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫פוטנציאל של התפלגויות מטען רציפות‬
‫שיטת החישוב כאן דומה לזו שהשתמשנו בה בחישובי שדה חשמלי פרט לעובדה‬
‫שהפוטנציאל הוא גודל סקלרי‪ .‬מהגדרת הפוטנציאל של מטען נקודתי נקבל עבור אלמנט‬
‫מטען דיפרנציאלי ‪:dq‬‬
‫‪1 1 ‬‬
‫‪1 1 1 ‬‬
‫‪dV  k    dq ‬‬
‫)‪  dq (16‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 0  r r0 ‬‬
‫‪ r r0 ‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק בין אלמנט המטען ‪ dq‬לנקודה בה אנו מחשבים את הפוטנציאל‪.‬‬
‫את הפוטנציאל נמצא ע"י סכימה על כל אלמנטי המטען‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1 1‬‬
‫)‪V ( r )  k     dq (17‬‬
‫‪r0  r ' r0 ‬‬
‫הפוטנציאל של טבעת הטעונה בצפיפות אורכית אחידה‬
‫‪dq   ds   Rd ‬‬
‫א‪ .‬נביע את אלמנט המטען‪:‬‬
‫‪z2  R2‬‬
‫‪ Rd ‬‬
‫ב‪ .‬מהגיאומטריה נקבל‪:‬‬
‫ג‪ .‬נציב ל (‪ )17‬לקבלת‪:‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪z2  R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪dV  k‬‬
‫‪z2  R2‬‬
‫נחשב את האינטגרל‪:‬‬
‫‪2 R‬‬
‫‪z2  R2‬‬
‫‪d  k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪z2  R2‬‬
‫‪V k‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.8‬‬
‫המעבר האחרון התבסס על כתיבת כמות המטען הכללית‪.‬‬
‫עבור ‪ z >> R‬נקבל‪:‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪V ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪V‬‬
‫‪E‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬הפוטנציאל של דסקה אחידה‬
‫נשתמש בתוצאה של טבעת‪ .‬ניקח מטען ‪ dq‬על טבעת‬
‫שרדיוסה ‪ w‬ועובייה ‪dw‬‬
‫א‪ .‬אלמנט המטען הוא‪dq   dA    2 wdw  :‬‬
‫‪kdq‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dV ‬‬
‫נציב לנוסחת הפוטנציאל ונבצע אינטגרציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)‪z 2  R 2  | z | (20‬‬
‫‪‬‬
‫‪dw ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪z w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V  2 k ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 2 k  z  w   2 k‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מישור הטבעת‬
‫)‪V(r‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫ הפוטנציאל של תיל הטעון בצפיפות אורכית אחידה‬.
dq   dz
r z y
2
:‫ נביע את אלמנט המטען‬.‫א‬
L /2
V k

 L /2
 k 
L /2
 L /2
:‫ מהגיאומטריה נקבל‬.‫ב‬
2
 dz
z2  y2
:)17( ‫ נציב ל‬.‫ג‬


L /2
dz
 k   ln z  z 2  y 2 

  L /2
2
2
z y
 L / 2  y 2  L2 / 4 
 k  ln 

2
2
  L / 2  y  L / 4 
(18)
‫דרך אחרת לחשב פוטנציאל של תיל הטעון בצפיפות אחידה‬
E
WRONG ?

kL
2
L
y y 2
4
dy
y
V    Edy '
ln y


2
2
a
y y a
y0

ln a 2  a y 2  a 2

 L2  L L2  4 y 2
y0
V  k   2ln  ln 
 L2  L L2  4 y 2
y

0

V  2k  ln
y0
y
:) L >> y ( ‫ועבור תייל אינסופי‬
a





‫דרך נוספת לחשב פוטנציאל של תיל הטעון בצפיפות אחידה‬
1 1 
V   kdq   
 r r0 
dq   dz :‫ נביע את אלמנט המטען‬.‫א‬
2
2
r  z  y :‫ מהגיאומטריה נקבל‬.‫ב‬

dz
y z
2
2

 ln y 2  y y 2  z 2
2



4y
4 y02
 1 
 1   1 
1 
2
2


L
L
 


V  k  ln 

2
2
  1  4 y0  1  1  4 y  1  

 
2
2
 

L
L




y0
V  2k  ln
y
:) L >> y ( ‫ועבור תייל אינסופי‬

‫שתי דוגמאות כאשר לבחור אפם של פוטנציאל במרחק‬
‫אינסופי בלתי אפשרי ‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪V ()  0‬‬
‫‪ .1‬פוטנציאל של תיל אינסופי טעון בצפיפות מטען אחידה‬
‫‪2k ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫' ‪dr‬‬
‫‪ r0 ‬‬
‫‪V (r )  2k  ‬‬
‫‪ 2k  ln  ‬‬
‫'‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ .2‬פוטנציאל של מישור אינסופי טעון בצפיפות מטען אחידה‬
‫‪‬‬
‫‪V (r ) ‬‬
‫) ‪(r0  r‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2 0‬‬
‫חישוב השדה מהפוטנציאל‬
‫‪‬‬
‫נביט במטען בוחן חיובי ‪ q0‬הנע מנקודה ‪ a‬בה הפוטנציאל הוא ‪V‬‬
‫לנקודה ‪ b‬בה הפוטנציאל הוא ‪ .V+dV‬מצד אחד העבודה שווה ל –‬
‫‪W a   b  q 0 E s ds‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪Es‬‬
‫מצד שני‪:‬‬
‫הוא הרכיב של השדה החשמלי בכיוון ‪.ds‬‬
‫‪W a   b   q 0 dV‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ds‬‬
‫נשווה ונקבל‪:‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪Es  ‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪V V+dV‬‬
‫סימן ה (‪ )-‬קובע שהשדה החשמלי שווה לערך השלילי של שינוי‬
‫הפוטנציאל‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫במקרה כללי נקבל את הנוסחאות לחישוב השדה מהפוטנציאל‪:‬‬
‫)‪(21‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪Ex   , E y  ‬‬
‫‪, Ez  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E   gradV  V‬‬
‫‪      ‬‬
‫‪ i ‬‬
‫‪j k‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫אם ‪ V‬היא פונקציה ידועה הרי שניתן לקבל ממנה את רכיבי השדה‬
‫החשמלי באמצעות הנגזרת החלקית לפי הקואורדינאטה המתאימה‪.‬‬
V  z   2 k

: ‫תרגיל‬
:‫פוטנציאל של דסקה על ציר הסימטריה שלה‬
.‫ של השדה‬z ‫חשב את רכיב ה‬
z R z
2
2

Ex  E y  0


V
z
Ez  
 2 k 1 

2
2
z
z R 


ˆ
z
E  2 k 1 
k

2
2
z R 

‫תרגיל ‪:‬‬
‫חישבנו קודם את הפוטנציאל של הדיפול‪ .‬נחשב ממנו את השדה‪.‬‬
‫בנוסחא (‪ )15‬קיבלנו עבור הפוטנציאל‪:‬‬
‫ראשית נביע את הפוטנציאל בקואורדינאטות‬
‫קרטזיות‪:‬‬
‫‪r  x2  y2  z 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪x2  y2  z 2‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪( x 2  y 2  z 2 ) 3/2‬‬
‫‪V  kp‬‬
‫‪p cos ‬‬
‫‪V k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
V  kp
z
‫ של השדה נגזור‬x,y,z -‫לקבלת רכיבים ה‬
x,y,z ‫לפי‬
(x  y  z )
2
2
2 3/2
V
3xz
Ex  
 kp
2
2
2 5/2
x
x  y  z 
V
3 yz
Ey  
 kp
2
2
2 5/2
y
x  y  z 
3 2
2
2 1/2
( x  y  z )  z  x  y  z  (2 z )
2
2
2
V
2
z

x

y
2
Ez  
  kp
 kp
3
2
2
2
2
2
2 5/2
Z
x  y  z 
x  y  z 
2
E
x
kp
2
y z
2
2
2 3/2

2 5/2
3xz i  3 yz j   x 2  y 2  2 z 2  k 


‫קירוב דיםולי לפוטנציאל של התפלגות מטענים‬
p eˆ
V k 2
r
qi
Vi  k
ri
ri  R  d i eˆ
1 1 d i eˆ
  2
ri R R
Vtotal
  qi  qi d i eˆ 
k


2
 R
R


 Q P eˆ 
k  2 
R R 
HYDROGEN
dipole
moment

p
OXYGEN
Vneutral
P   qi d i
P eˆ
k 2
R
‫תרגיל‬
‫כדור מלא לא מוליך ברדיוס ‪ a‬ממוקם באמצע קליפה מוליכה שרדיוסה הפנימי ‪ b‬והחיצוני ‪.c‬‬
‫הכדור הפנימי טעון במטען ‪ +q‬המפוזר באופן שווה והקליפה החיצונית המוליכה מכילה מטען‬
‫‪ .–q‬חשב את השדה ואת הפוטנציאל בכל מקום במרחב‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫השדה החשמלי בתוך הטבעת המוליכה הוא‬
‫אפס ולכן על השפה הפנימית יושרה מטען‬
‫‪ -q‬ועל השפה החיצונית של הטבעת לא יהיה‬
‫מטען (מדוע ?)‪ .‬מחוק גאוס נקבל ‪:‬‬
‫‪0r a‬‬
‫‪ar b‬‬
‫‪brc‬‬
‫‪rc‬‬
‫‪ kq‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ kq‬‬
‫‪E (r )   2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q  (q)  0‬‬
:‫נבצע את האינטגרל מאינסוף פנימה‬
c

r
V (r  c)    E  ds  0
b

a
V  b  r  c     0 ds   0 ds  0
c
r

c
kq
1 1
V  a  r  b     0 ds   0 ds   2 dr  kq   

c
r
r b
b
c
b
a kq
r kq
V  r  a     0 ds   0 ds   2 dr   3 rdr

c
b r
a a
kqr 2
 3 1
  3  kq   
2a
 2a b 
c
b
r