תילמשח הייגרנאו ילמשח לאיצנטופ ־ 5 לוגרת

‫תרגול ‪ 5‬־ פוטנציאל חשמלי ואנרגייה חשמלית‬
‫כפי שהשדה החשמלי נותן אינדקציה לכח שיפעל על מטען בוחן שיכנס למרחב‪ ,‬כך‬
‫הפוטנציאל החשמלי נותן אינדקציה לאנרגיית האינטרקציה החשמלית‪.‬‬
‫הפוטנציאל החשמלי מוגדר על פי מינוס אינטגרל מסליתי על השדה החשמלי מאיפה‬
‫שהפוטנציאל מכוייל להיות אפס ) ‪,(r~0‬לנקודה בו אנחנו מעונינים)‪.(~r‬‬
‫‪´ ~r‬‬
‫)‪~ r = φ(~r) − φ(~r0 ) = φ(~r‬‬
‫~‪(1) φ(~r) = − r~0 Ed‬‬
‫תכונה שנובעת מההגדרה‪ :‬אם הפוטנציאל הינו אינטגרל על השדה החשמלי אזי‬
‫הפוטנציאל בהכרח רציף )השדה הינו רציף למקוטעין(‪ ,‬חשוב לבדוק כי התכונה‬
‫הזאת מתקיימת עבור כל פוטנציאל‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬הנקודה בו הפוטנציאל מכוייל להיות אפס הוא נקודה שרירותית‪ ,‬בדר״כ‬
‫אנו נבחר נקודה נוחה להגדיר את הפוטנציאל להיות אפס בו‪.‬‬
‫עבור מטענים בעלי כמות מטען סופית במרחב‪ ,‬נהוג לכייל את הפוטנציאל להיות‬
‫אפס באינסוף )לא חובה(‪ ,‬אך עבור התפלגות מטען אינסופית לא רצוי לכייל‬
‫באינסוף שהפוטנציאל יהיה אפס‪ ,‬מכיוון שלרוב נקבל התבדרות מסויימת בפוטנציאל‪,‬‬
‫בד״כ אין משמעות פיסיקלית לערכים מתבדרים‪ .‬בנוסף אין הרבה משמעות ניסויית‬
‫לפוטנציאל החשמלי אלא למתח החשמלי‪.‬‬
‫מתח חשמלי‪:‬‬
‫‪´ r~b‬‬
‫; ‪~ r = φb − φa‬‬
‫~‪(2) Va→b = − r~a Ed‬‬
‫‪[V ] = Joul‬‬
‫‪C = V olt‬‬
‫הפרש הפוטנציאל )או מתח( בין שני נקודות זה העבודה שצריך ´לבצע כדי להביא מטען‬
‫‪r‬‬
‫בוחן מנקודה ‪ r~a‬לנקודה ‪ r~b‬במרחב )כמו בפיסיקה ‪( W = − r b F~ d~r : 1‬‬
‫‪a‬‬
‫רשת החשמל הינה ]‪.220[V olt‬‬
‫מתקיים גם הקשר ההפוך‪:‬‬
‫∂‬
‫̂‪r)z‬‬
‫~(‪∂z φ‬‬
‫‪−‬‬
‫∂‬
‫̂‪r)y‬‬
‫~(‪∂y φ‬‬
‫~(‪~ r) = −∇φ‬‬
‫‪~ r) = − ∂ φ(~r)x̂ −‬‬
‫~(‪(3) E‬‬
‫‪∂x‬‬
‫עבודה חשמלית‪:‬‬
‫‪F~ d~r = Ub − Ua‬‬
‫‪´ r~b‬‬
‫‪r~a‬‬
‫‪(4) Wa→b = qV = −‬‬
‫פוטנציאל של חלקיק נקודתי כאשר הוא מכוייל כך שבאינסוף יהיה אפס‪:‬‬
‫‪´ ~r‬‬
‫´‬
‫‪~ r = − r kq2 = kq‬‬
‫~‪charge = − r~0 Ed‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪(5) φ(~r)point‬‬
‫עבור הרבה מטענים )עקרון סופרפוזציה(‪:‬‬
‫‪kqi‬‬
‫~| ‪i‬‬
‫| ‪r −r~i‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪(6) φ(~r‬‬
‫ניתן גם להסיק הגדרה נוספת הנגזרת מפוטנציאל של חלקיק נקודתי‪:‬‬
‫´‬
‫´‬
‫‪kq‬‬
‫‪⇒ φ(~r) = dφ = |~rkdq‬‬
‫‪(7) φ(~r) = |~r−‬‬
‫| ‪r~0‬‬
‫| ‪−r~0‬‬
‫כעת כל מה שנותר זה לסכום ע״י אינטגרל בתחום מערכת המטענים שלנו במרחב‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬הגדרה זאת נגזרת ממטען נקודתי בו הפונציאל מוגדר להיות אפס‬
‫באינסוף‪ ,‬לכן עדיין הפוטנציאל הינו אפס באינסוף‪.‬‬
‫כמו כן בדר״כ לא ניתן להשתמש בביטוי הזה עבור מערכת מטענים אינסופית‬
‫)נמצא את השדה }בדר״כ מחוק גאוס{ ואז נבצע אינטגל עבור הפוטנציאל(‪.‬‬
‫לפעמים יהיה יותר קל לחשב את הפוטנציאל בדרך אחת מאשר השנייה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4209‬ספרה ותיל אינסופי‬
‫� נתונה ספירה עם מטען ‪ Q‬ורדיוס ‪ . R‬דרך מרכז הספירה עובר תיל אינסופי עם צפיפות‬
‫אחידה ‪ λ‬מצא פוטנציאל בכל המרחב‬
‫פתרון‪ :‬נפתור לפי סופרפוזציה של תייל אינסופי וקליפה כדורית‪.‬‬
‫מחוק גאוס נקבל את השדה של תייל אינסופי‪:‬‬
‫‪⃗ = 4πkQinside‬‬
‫‪⃗ ds‬‬
‫‪E‬‬
‫{‬
‫̂‪⃗ r) = 2kλ r‬‬
‫⃗(‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫פוטנציאל של תייל אינסופי‪:‬‬
‫) (‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫r‬‬
‫‪⃗ = 2kλ ln‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫r‬‬
‫‪⃗ =−‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪φ(⃗r) = −‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪R‬‬
‫נציין שבאופן שירורתי נבחר נקודת הכיול כרדיוס הספירה ואין זה משנה לבחור כל נקודה‬
‫אחרת במרחב‪ ,‬פרט לאפס ואינסוף עקב התבדרות הלוגריתם‪.‬‬
‫מחוק גאוס נקבל את השדה של הספירה‪:‬‬
‫{‬
‫‪⃗ = 4πkQinside‬‬
‫‪⃗ ds‬‬
‫‪E‬‬
‫{‬
‫‪,r < R‬‬
‫‪⃗ r) = 0‬‬
‫⃗(‪E‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r̂ , r > R‬‬
‫‪r2‬‬
‫פוטנציאל של ספירה‪:‬‬
‫‪,r < R‬‬
‫‪,r > R‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r‬‬
‫{‬
‫‪∫r‬‬
‫= ⃗‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫r‬‬
‫‪⃗ =−‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪φ(⃗r) = −‬‬
‫∞‬
‫‪r0‬‬
‫נבצע סופרפוזציה אבל חשוב לציין שההצגות הינם שונות בין התייל והספירה לכן‪:‬‬
‫)‬
‫‪, x2 + y 2 + z 2 < R 2‬‬
‫‪, x2 + y 2 + z 2 > R 2‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫√ ‪ R + 2kλ ln‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫‪√R‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫א‬
‫(‬
‫‪+ 2kλ ln‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫√‪‬‬
‫‪x2 +y 2 +z 2‬‬
‫= )‪φ(⃗r‬‬
‫שאלה ‪2_4310‬‬
‫נמצא את הפוטנציאל בנקודה כללית כלשהי לאורך ציר הסימטריה של הגליל‪ .‬עקב כך‬
‫שהגוף הוא סופי ניתן להשתמש בנוסחה‪:‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪kdq‬‬
‫= )‪φ(r‬‬
‫)‪(1‬‬
‫| ‪|r − r0‬‬
‫בגלל שאנחנו מעוניינים באינטגרציה על מעטפת הגליל בלבד‪ ,‬אלמנט השטח הוא‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ . σ = 2πRb‬הנקודה‬
‫‪ ds = Rdϕdz‬ואלמנט המטען הרלוונטי הוא‪ dq = σds :‬כאשר‬
‫בה אנחנו מחפשים את הפוטנציאל היא‬
‫) ‪r = (0, 0, z0‬‬
‫)‪(2‬‬
‫והנקודות עליהן אנחנו עושים את האינטגרציה‬
‫)‪r0 = (R cos(ϕ), R sin(ϕ), z‬‬
‫)‪(3‬‬
‫הביטוי לפוטנציאל )ראשית הצירים נבחרה במרכז הגליל(‬
‫‪Z b/2‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪p‬‬
‫‪dϕ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R + (z − z0 )2‬‬
‫‪−b/2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪b/2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪φ(z0 ) = kσR‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−b/2‬‬
‫‪1 + z−z‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫‪b/2‬‬
‫ ‪z − z0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪= 2πkσR sinh‬‬
‫‬
‫‪R‬‬
‫‪−b/2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪kQ‬‬
‫‪z0 + b/2‬‬
‫‪z0 − b/2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫=‬
‫‪sinh‬‬
‫‪− sinh‬‬
‫‪b‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪= 2πkσ‬‬
‫)‪(4‬‬
‫הפוטנציאל במרכז הגליל‬
‫‪2kQ‬‬
‫)‪sinh−1 (b/2R‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪(5‬‬
‫= )‪φ(z0 = 0‬‬
‫הפוטנציאל בקצה העליון של הגליל‬
‫‪kQ‬‬
‫)‪sinh−1 (b/R‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪b‬‬
‫העבודה הדרושה להעביר מטען חיובי ‪ q‬מהקצה העליון של הגליל למרכזו היא‬
‫= )‪φ(z0 = b/2‬‬
‫))‪W = q (φ(0) − φ(b/2‬‬
‫)‪(7‬‬
‫נשים לב כי הביטוי הנ״ל הוא חיובי‪ ,‬כפי שצפוי‪ .‬כי הרי העברה של מטען חיובי בכיוון‬
‫המנוגד לקווי השדה של הגליל (שהוא גם חיובי) דורשת עבודה ביצוע עבודה‪.‬‬
‫‪1‬‬