תילמשח הייגרנאו ילמשח לאיצנטופ ־ 5 לוגרת

‫תרגול ‪ 5‬־ פוטנציאל חשמלי ואנרגייה חשמלית‬
‫כפי שהשדה החשמלי נותן אינדקציה לכח שיפעל על מטען בוחן שיכנס למרחב‪ ,‬כך‬
‫הפוטנציאל החשמלי נותן אינדקציה לאנרגיית האינטרקציה החשמלית‪.‬‬
‫הפוטנציאל החשמלי מוגדר על פי מינוס אינטגרל מסליתי על השדה החשמלי מאיפה‬
‫שהפוטנציאל מכוייל להיות אפס ) ‪,(r~0‬לנקודה בו אנחנו מעונינים)‪.(~r‬‬
‫)‪~ r = φ(~r) − φ(~r0 ) = φ(~r‬‬
‫~‪Ed‬‬
‫‪´r‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪(1) φ(~r) = −‬‬
‫תכונה שנובעת מההגדרה‪ :‬אם הפוטנציאל הינו אינטגרל על השדה החשמלי אזי‬
‫הפוטנציאל בהכרח רציף )השדה הינו רציף למקוטעין(‪ ,‬חשוב לבדוק כי התכונה‬
‫הזאת מתקיימת עבור כל פוטנציאל‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬הנקודה בו הפוטנציאל מכוייל להיות אפס הוא נקודה שרירותית‪ ,‬בדר"כ‬
‫אנו נבחר נקודה נוחה להגדיר את הפוטנציאל להיות אפס בו‪.‬‬
‫עבור מטענים בעלי כמות מטען סופית במרחב‪ ,‬נהוג לכייל את הפוטנציאל להיות‬
‫אפס באינסוף )לא חובה(‪ ,‬אך עבור התפלגות מטען אינסופית לא רצוי לכייל‬
‫באינסוף שהפוטנציאל יהיה אפס‪ ,‬מכיוון שלרוב נקבל התבדרות מסויימת בפוטנציאל‪,‬‬
‫בד"כ אין משמעות פיסיקלית לערכים מתבדרים‪.‬‬
‫מתח חשמלי‪:‬‬
‫‪´ rb‬‬
‫; ‪~ r = φb − φa‬‬
‫~‪(2) Vba = − ra Ed‬‬
‫‪[V ] = Joul‬‬
‫‪C = V olt‬‬
‫הפרש הפוטנציאל )או מתח( בין שני נקודות זה העבודה שצריך ´לבצע כדי להביא מטען‬
‫‪r‬‬
‫בוחן מנקודה ‪ r~a‬לנקודה ‪ r~b‬במרחב )כמו בפיסיקה ‪( W = − r b F~ d~r : 1‬‬
‫‪a‬‬
‫רשת החשמל הינה ]‪.220[V olt‬‬
‫מתקיים גם הקשר ההפוך‪:‬‬
‫∂‬
‫̂‪r)z‬‬
‫~(‪∂z φ‬‬
‫‪−‬‬
‫∂‬
‫̂‪r)y‬‬
‫~(‪∂y φ‬‬
‫~(‪~ r) = −∇φ‬‬
‫‪~ r) = − ∂ φ(~r)x̂ −‬‬
‫~(‪(3) E‬‬
‫‪∂x‬‬
‫עבודה חשמלית‪:‬‬
‫‪F~ d~r = Ub − Ua‬‬
‫‪´ rb‬‬
‫‪ra‬‬
‫‪(4) Wa→b = qV = −‬‬
‫פוטנציאל של חלקיק נקודתי כאשר הוא מכוייל כך שבאינסוף יהיה אפס‪:‬‬
‫‪´r‬‬
‫´‬
‫‪~ r = − r kq2 = kq‬‬
‫~‪charge = − r0 Ed‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪(5) φ(~r)point‬‬
‫עבור הרבה מטענים )עקרון סופרפוזציה(‪:‬‬
‫‪kqi‬‬
‫~| ‪i‬‬
‫| ‪r −r~i‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪(6) φ(~r‬‬
‫ניתן גם להסיק הגדרה נוספת הנגזרת מפוטנציאל של חלקיק נקודתי‪:‬‬
‫´‬
‫´‬
‫‪kq‬‬
‫‪(7) φ(~r) = |~r−‬‬
‫‪⇒ φ(~r) = dφ = |~rkdq‬‬
‫| ‪r~0‬‬
‫| ‪−r~0‬‬
‫‪1‬‬
‫כעת כל מה שנותר זה לסכום ע"י אינטגרל בתחום מערכת המטענים שלנו במרחב‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬הגדרה זאת נגזרת ממטען נקודתי בו הפונציאל מוגדר להיות אפס‬
‫באינסוף‪ ,‬לכן עדיין הפוטנציאל הינו אפס באינסוף‪.‬‬
‫כמו כן בדר"כ לא ניתן להשתמש בביטוי הזה עבור מערכת מטענים אינסופית‬
‫)נמצא את השדה }בדר"כ מחוק גאוס{ ואז נבצע אינטגל עבור הפוטנציאל(‪.‬‬
‫לפעמים יהיה יותר קל לחשב את הפוטנציאל בדרך אחת מאשר השנייה‪.‬‬
‫מוליך‪ :‬במוליך המטענים מסתדרים כך שהשדה החשמלי בתוכו יהיה אפס‪,‬‬
‫ושקול לומר כי הפוטנציאל עליו היינו קבוע‪ .‬חיבור שני מולכים זה לזה‬
‫משווה בינהם את הפוטנציאל‪.‬‬
‫הארקה‪ :‬חיבור בין גוף מוליך לבין "כדור הארץ" )מקום בו הפוטנציאל שווה לאפס(‪,‬‬
‫כלומר הפונציאל על המוליך הינו אפס‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4103‬‬
‫נתונה מערכת מטענים ) ‪ (q1 , q2 , q3‬היושבים בקדקטדי משולש שווה צלעות שאורך כל‬
‫צלע בו הוא ‪ l‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי העבודה הדרושה לבניית המערכת?‬
‫ב‪ .‬מהו הפוטנציאל החשמלי בנקודה ‪ A‬הנמצאת האמצע הצלע התחתונה?‬
‫ג‪ .‬כמה עובדה יש להשקיע על מנת להעביר מטען של ‪ q‬מאינסוף לנקודה ‪? A‬‬
‫פתרון‬
‫סעיף א‪:‬‬
‫העבודה הנדרשת עבור מטענים נקודתיים היא העבודה הנדרשת לבהיא כל זוג מטענים‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪kqi qj‬‬
‫‪(1) W = 12 i,j φi→j qi = 21 i,j‬‬
‫~‬
‫~|‬
‫| ‪r i −rj‬‬
‫) ‪+ q2 q3 + q1 q3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪L (q1 q2‬‬
‫= ‪(2) W = W1+2 + W2+3 + W1+3‬‬
‫סעיף ב‪:‬‬
‫לפי עקרון סופרפוזציה‪:‬‬
‫‪(3) φA = φ1 + φ2 + φ3‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪1‬‬
‫‪√ 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 L‬‬
‫= ‪(4) φ1‬‬
‫‪kq2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2L‬‬
‫= ‪(5) φ2‬‬
‫‪kq3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2L‬‬
‫= ‪(6) φ3‬‬
(7) φA =
2k
L
q1
√
3
+ q2 + q3
:‫סעיף ג‬
(8) Wq→A = qφA =
2kq
L
q1
√
3
+ q2 + q3
2
‫‪4103‬‬
‫נתונה טבעת דקה בעלת רדיוס ‪ R‬הטעונה במטען ‪ Q,‬כמתואר בציור‪:‬‬
‫א‪ .‬מהו הפוטנציאל בנקודה ‪ P‬הנמצאת במרחק ‪ z‬ממרכז בטבעת‪ ,‬על הציר הניצב למישור‬
‫הטבעת והעובר במרכזה?‬
‫ב‪ .‬מהי העבודה הדרושה להעתקת מטען ‪ q‬מהנקודה ‪ P‬לנקודה ‪ O‬הנמצאת במרכז‬
‫הטבעת?‬
‫פתרון‬
‫סעיף א‪:‬‬
‫´‬
‫‪kdq‬‬
‫~|‬
‫| ‪r −r~0‬‬
‫= )‪(1) φ(~r‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2π dϕ‬‬
‫= ‪(2) dq‬‬
‫̂‪(3) ~r = z z‬‬
‫)‪(4) r~0 = Rr̂ = R(cosϕ, sinϕ, 0‬‬
‫‪√ kQ‬‬
‫‪R2 +z 2‬‬
‫=‬
‫‪k Q dϕ‬‬
‫‪√ 2π‬‬
‫‪R2 +z 2‬‬
‫‪´ 2π‬‬
‫‪0‬‬
‫= )‪(5) φ(~r‬‬
‫סעיף ב‪:‬‬
‫‪√ 1‬‬
‫)‬
‫‪R2 +z 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(6) WP →O = q(φO − φP ) = kQq( R1 −‬‬
‫‪4206‬‬
‫נתונות שתי קליפות מוליכות קונצנטריות ברדיוס ‪ R2 ,R1‬טעונות ‪.Q2 ,Q1‬‬
‫מחברים את הקליפות בחוט מוליך דק‪ ,‬כמה מטען יעבור בין הקליפות?‬
‫פתרון‬
‫אם נחבר שני מוליכים יהיה להם פוטנציאל שווה‪,‬‬
‫לכן נשווה בין הפוטנציאלים שלהם כדי לדעת מהו סך המטען העובר‪.‬‬
‫נמצא את הפוטנציאל דרך השדה‪ ,‬שדה של קליפה טעונה‪:‬‬
‫‪kQi‬‬
‫̂‪r 2 r‬‬
‫‪r > Ri‬‬
‫‪r < Ri‬‬
‫(‬
‫= ~‬
‫‪(1) E‬‬
‫‪0‬‬
‫פוטנציאל של קלפיה כאשר נכייל את האינסוף להיות אפס‪:‬‬
‫(‬
‫‪kQi‬‬
‫‪´r‬‬
‫‪´ r kQi‬‬
‫‪r > Ri‬‬
‫‪r‬‬
‫‪~ r=−‬‬
‫=‬
‫~‪(2) φ(~r) = − r0 Ed‬‬
‫‪kQi‬‬
‫‪∞ r2‬‬
‫‪r < Ri‬‬
‫‪Ri‬‬
‫כעת עבור שני הקליפות הפוטנציאל ולפי עקרון סופרפוזציה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪kQ1‬‬
‫‪kQ2‬‬
‫‪‬‬
‫‪r < R1‬‬
‫‪ R1 + R2‬‬
‫‪´r‬‬
‫‪´ r kQi‬‬
‫‪kQ1‬‬
‫‪kQ2‬‬
‫‪~ r=−‬‬
‫=‬
‫~‪(3) φ(~r) = − r0 Ed‬‬
‫‪+‬‬
‫‪,‬‬
‫‪R‬‬
‫‪< r < R2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪ kQ1 + kQ22‬‬
‫‪,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪> R2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫כעת לאחר החיבור הפוטנציאלים יהיו שווים והמטען שימצא‬
‫בכל אחד מהקליפות יהיה שונה נסמן את המטען החדש ‪Qi → Q̃i‬‬
‫‪(4) φR1 = φR2‬‬
‫‪kQ˜2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪kQ˜1‬‬
‫‪R2‬‬
‫=‬
‫‪kQ˜2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪kQ˜1‬‬
‫‪R1‬‬
‫)‪(5‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪Q˜1‬‬
‫‪R2‬‬
‫=‬
‫‪Q˜1‬‬
‫‪R1‬‬
‫)‪(6‬‬
‫לא ייתכן כי הרדיוסים שווים לכן המטען ‪ Q̃1‬הוא אפס‪,‬‬
‫וכל המטען הכולל עבר לקליפה החיצונית‪.‬‬
‫‪(7) Q̃2 = Q2 + ∆Q = Q2 + Q1‬‬
‫המטען שעבר הינו מסומן ב ‪∆Q‬‬
‫‪(8) ∆Q = Q1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4304‬‬
‫נתונה מערכת של ארבעה לוחות טעונים באופן אחיד‪.‬‬
‫נתונים‪) σ2 ,σ1 :‬חיוביים(‪ a ,‬ו־ ‪ .b‬ניתן להניח כי המרחק בין הלוחות‬
‫קטן מאוד ביחס למימדים שלהם וגם כי ‪.σ1 < σ2‬‬
‫א‪ .‬מהו השדה החשמלי בכל אחד מחמשת האיזורים?‬
‫ב‪ .‬משחררים פרוטון )מטען ‪ ( +e‬מהלוח ‪ . −σ1‬כמה אנרגיה הוא "ירוויח"‬
‫מהמערכת בהנחה שהוא מסוגל לעבור דרך הלוחות מבלי לאבד בהם אנרגיה?‬
‫ג‪ .‬מה תהיה מהירותו כשיצא מהמערכת?‬
‫פתרון‬
‫סעיף א‪:‬‬
‫שדה חשמלי של לוח הטעון ליחידת שטח ‪ σi‬אינסופי שנמצא ב)‪:(0, y, z‬‬
‫‪σi‬‬
‫̂‪20 sign(x)x‬‬
‫= ~‬
‫‪(1) E‬‬
‫לכן לפי עקרון סופרפוזציה )נמקם את הראשית בלוח ‪:(+σ2‬‬
‫‪, a + b < x < 2a + b‬‬
‫‪,a < x < a + b‬‬
‫‪,0 < x < a‬‬
‫‪, else‬‬
‫‪1‬‬
‫̂‪E2 x̂ = σ02 x‬‬
‫̂‪E3 x̂ = − σ01 x̂ + σ02 x‬‬
‫= ~‬
‫‪(2) E‬‬
‫̂‪E4 x̂ = σ02 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E1 x̂ = E5 x̂ = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סעיף ב‪:‬‬
‫כעת נמצא כמה אנרגייה ירוויח הפרוטון‪:‬‬
‫= ) ‪(5) ∆U = −(U f − Ui ) = −e(φf − φi‬‬
‫‪E4 dx‬‬
‫‪b + e σ02 a‬‬
‫‬
‫‪σ1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪σ2‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪´ 2a+b‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪E3 dx + e‬‬
‫‪(2a + b − (a + b)) = e‬‬
‫‪eσ2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪´ a+b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪~ =e‬‬
‫)‪~ dx‬‬
‫‪E‬‬
‫‪(a + b − a) +‬‬
‫‬
‫‪´ xf‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪σ1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪(6) −e(−‬‬
‫‪σ2‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪(7) e‬‬
‫דגש חשוב‪ :‬העבודה שמבצע הגוף עצמו כדי להגיע ממקום למקום‬
‫היא מינוס העבודה שיש להשקיע עליו )לכן פקטור הסימן(‪.‬‬
‫סעיף ג‪:‬‬
‫שימור אנרגייה ‪:Ei = Ef‬‬
‫‪(8) Ei = Ki + Ui‬‬
‫‪(9) Ef = Kf + Uf‬‬
‫הגוף מתחיל ממנוחה לכן אין אנרגייה קינטית התחלתית‬
‫‪(10) Kf = Ui − Uf‬‬
‫אנרגייה קינטית‬
‫‪mv 2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪K‬‬
‫‪b + e σ01 a‬‬
‫‬
‫‪σ2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪σ1‬‬
‫‪0‬‬
‫]‪[b (σ2 − σ1 ) + σ2 a‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪=e‬‬
‫‪2e‬‬
‫‪mp 0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪mp vf2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(11‬‬
‫= ‪(12) vf‬‬