תילמשח הייגרנאו ילמשח לאיצנטופ ־ 5 לוגרת

‫תרגול ‪ 5‬־ פוטנציאל חשמלי ואנרגייה חשמלית‬
‫כפי שהשדה החשמלי נותן אינדקציה לכח שיפעל על מטען בוחן שיכנס למרחב‪ ,‬כך‬
‫הפוטנציאל החשמלי נותן אינדקציה לאנרגיית האינטרקציה החשמלית‪.‬‬
‫הפוטנציאל החשמלי מוגדר על פי מינוס אינטגרל מסליתי על השדה החשמלי מאיפה‬
‫שהפוטנציאל מכוייל להיות אפס ) ‪,(r~0‬לנקודה בו אנחנו מעונינים)‪.(~r‬‬
‫‪´ ~r‬‬
‫)‪~ r = φ(~r) − φ(~r0 ) = φ(~r‬‬
‫~‪(1) φ(~r) = − r~0 Ed‬‬
‫תכונה שנובעת מההגדרה‪ :‬אם הפוטנציאל הינו אינטגרל על השדה החשמלי אזי‬
‫הפוטנציאל בהכרח רציף )השדה הינו רציף למקוטעין(‪ ,‬חשוב לבדוק כי התכונה‬
‫הזאת מתקיימת עבור כל פוטנציאל‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬הנקודה בו הפוטנציאל מכוייל להיות אפס הוא נקודה שרירותית‪ ,‬בדר״כ‬
‫אנו נבחר נקודה נוחה להגדיר את הפוטנציאל להיות אפס בו‪.‬‬
‫עבור מטענים בעלי כמות מטען סופית במרחב‪ ,‬נהוג לכייל את הפוטנציאל להיות‬
‫אפס באינסוף )לא חובה(‪ ,‬אך עבור התפלגות מטען אינסופית לא רצוי לכייל‬
‫באינסוף שהפוטנציאל יהיה אפס‪ ,‬מכיוון שלרוב נקבל התבדרות מסויימת בפוטנציאל‪,‬‬
‫בד״כ אין משמעות פיסיקלית לערכים מתבדרים‪ .‬בנוסף אין הרבה משמעות ניסויית‬
‫לפוטנציאל החשמלי אלא למתח החשמלי‪.‬‬
‫מתח חשמלי‪:‬‬
‫‪´ r~b‬‬
‫; ‪~ r = φb − φa‬‬
‫~‪(2) Va→b = − r~a Ed‬‬
‫‪[V ] = Joul‬‬
‫‪C = V olt‬‬
‫הפרש הפוטנציאל )או מתח( בין שני נקודות זה העבודה שצריך ´לבצע כדי להביא מטען‬
‫‪r‬‬
‫בוחן מנקודה ‪ r~a‬לנקודה ‪ r~b‬במרחב )כמו בפיסיקה ‪( W = − r b F~ d~r : 1‬‬
‫‪a‬‬
‫רשת החשמל הינה ]‪.220[V olt‬‬
‫מתקיים גם הקשר ההפוך‪:‬‬
‫∂‬
‫̂‪r)z‬‬
‫~(‪∂z φ‬‬
‫‪−‬‬
‫∂‬
‫̂‪r)y‬‬
‫~(‪∂y φ‬‬
‫~(‪~ r) = −∇φ‬‬
‫‪~ r) = − ∂ φ(~r)x̂ −‬‬
‫~(‪(3) E‬‬
‫‪∂x‬‬
‫עבודה חשמלית‪:‬‬
‫‪F~ d~r = Ub − Ua‬‬
‫‪´ r~b‬‬
‫‪r~a‬‬
‫‪(4) Wa→b = qV = −‬‬
‫פוטנציאל של חלקיק נקודתי כאשר הוא מכוייל כך שבאינסוף יהיה אפס‪:‬‬
‫‪´ ~r‬‬
‫´‬
‫‪~ r = − r kq2 = kq‬‬
‫~‪charge = − r~0 Ed‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪(5) φ(~r)point‬‬
‫עבור הרבה מטענים )עקרון סופרפוזציה(‪:‬‬
‫‪kqi‬‬
‫~| ‪i‬‬
‫| ‪r −r~i‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪(6) φ(~r‬‬
‫ניתן גם להסיק הגדרה נוספת הנגזרת מפוטנציאל של חלקיק נקודתי‪:‬‬
‫´‬
‫´‬
‫‪kq‬‬
‫‪⇒ φ(~r) = dφ = |~rkdq‬‬
‫‪(7) φ(~r) = |~r−‬‬
‫| ‪r~0‬‬
‫| ‪−r~0‬‬
‫כעת כל מה שנותר זה לסכום ע״י אינטגרל בתחום מערכת המטענים שלנו במרחב‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬הגדרה זאת נגזרת ממטען נקודתי בו הפונציאל מוגדר להיות אפס‬
‫באינסוף‪ ,‬לכן עדיין הפוטנציאל הינו אפס באינסוף‪.‬‬
‫כמו כן בדר״כ לא ניתן להשתמש בביטוי הזה עבור מערכת מטענים אינסופית‬
‫)נמצא את השדה }בדר״כ מחוק גאוס{ ואז נבצע אינטגל עבור הפוטנציאל(‪.‬‬
‫לפעמים יהיה יותר קל לחשב את הפוטנציאל בדרך אחת מאשר השנייה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4209‬ספרה ותיל אינסופי‬
‫� נתונה ספירה עם מטען ‪ Q‬ורדיוס ‪ . R‬דרך מרכז הספירה עובר תיל אינסופי עם צפיפות‬
‫אחידה ‪ λ‬מצא פוטנציאל בכל המרחב‬
‫פתרון‪ :‬נפתור לפי סופרפוזציה של תייל אינסופי וקליפה כדורית‪.‬‬
‫מחוק גאוס נקבל את השדה של תייל אינסופי‪:‬‬
‫‪⃗ = 4πkQinside‬‬
‫‪⃗ ds‬‬
‫‪E‬‬
‫{‬
‫̂‪⃗ r) = 2kλ r‬‬
‫⃗(‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫פוטנציאל של תייל אינסופי‪:‬‬
‫) (‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∫r‬‬
‫‪⃗ = 2kλ ln‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫r‬‬
‫‪⃗ =−‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪φ(⃗r) = −‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪R‬‬
‫נציין שבאופן שירורתי נבחר נקודת הכיול כרדיוס הספירה ואין זה משנה לבחור כל נקודה‬
‫אחרת במרחב‪ ,‬פרט לאפס ואינסוף עקב התבדרות הלוגריתם‪.‬‬
‫מחוק גאוס נקבל את השדה של הספירה‪:‬‬
‫{‬
‫‪⃗ = 4πkQinside‬‬
‫‪⃗ ds‬‬
‫‪E‬‬
‫{‬
‫‪,r < R‬‬
‫‪⃗ r) = 0‬‬
‫⃗(‪E‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r̂ , r > R‬‬
‫‪r2‬‬
‫פוטנציאל של ספירה‪:‬‬
‫‪,r < R‬‬
‫‪,r > R‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r‬‬
‫{‬
‫‪∫r‬‬
‫= ⃗‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪∫r‬‬
‫‪⃗ =−‬‬
‫‪⃗ dr‬‬
‫‪E‬‬
‫‪φ(⃗r) = −‬‬
‫∞‬
‫‪r0‬‬
‫נבצע סופרפוזציה אבל חשוב לציין שההצגות הינם שונות בין התייל והספירה לכן‪:‬‬
‫)‬
‫‪, x2 + y 2 + z 2 < R 2‬‬
‫‪, x2 + y 2 + z 2 > R 2‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫√ ‪ R + 2kλ ln‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫‪√R‬‬
‫‪x2 +y 2‬‬
‫א‬
‫(‬
‫‪+ 2kλ ln‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫√‪‬‬
‫‪x2 +y 2 +z 2‬‬
‫= )‪φ(⃗r‬‬
‫‪ 4301‬תייל‬
‫תייל דק באורך ‪ L‬מונח לאורך ציר ‪ ,x‬מ‪ −L/2-‬עד ‪ .+L/2‬התייל טעון בצורה לא אחידה‬
‫כך שצפיפות המטען האורכית ‪λ(x) = λ0 Lx‬‬
‫א‪ .‬מהו סך המטען בתייל?‬
‫ב‪ .‬מהו הפוטנציאל החשמלי על ציר ‪ x‬עבור ‪?x > L/2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪λ0 dx = 0‬‬
‫‪L‬‬
‫∫‬
‫‪∫L/2‬‬
‫= ‪Qtotal‬‬
‫= ‪dq‬‬
‫‪−L/2‬‬
‫מספיק לטעון כי הפונקציה היא אנטיסימטרית על קטע סימטרי לכן סה"כ המטען הינו‬
‫אפס‪.‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בהגדרה של פוטנציאל חשמלי עבור התפלגות מטען סופית‪:‬‬
‫‪kdq‬‬
‫| ‪|⃗r − ⃗r′‬‬
‫∫‬
‫= )‪Φ(⃗r‬‬
‫̂‪⃗r = xx‬‬
‫̂‪⃗r′ = x′ x‬‬
‫‪dq = λ(x′ )dx′‬‬
‫[‬
‫(‬
‫])‬
‫‪(x′ + x − x)dx′‬‬
‫‪x + L/2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= kλ0 −1 + ln‬‬
‫) ‪(x − x′‬‬
‫‪L‬‬
‫‪x − L/2‬‬
‫‪∫L/2‬‬
‫‪−L/2‬‬
‫‪kλ0 x′ dx′‬‬
‫‪kλ0‬‬
‫=‬
‫‪′‬‬
‫) ‪L(x − x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪∫L/2‬‬
‫= )‪φ(⃗x‬‬
‫‪−L/2‬‬
‫מכיוון שסה"כ המטען הינו אפס נצפה לקבל התנהגות של דיפול כאשר הנקודה הנמדדת‬
‫רחוקה מאוד יחסית לקצה של התייל כלומר‪x >> L/2 :‬‬
‫‪ln(1 ± t) ≈ ±t − t2 /2 ± t3 /3‬‬
‫‪L‬‬
‫=‪t‬‬
‫‪2x‬‬
‫[‬
‫])‬
‫(‬
‫‪x L‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪L3‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪L3‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪φ(⃗x) ≈ kλ0 −1 +‬‬
‫‪− 2+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪kλ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L 2x 8x‬‬
‫‪24x3 2x 8x2 24x3‬‬
‫‪12x2‬‬
‫בהתאם להתנהגות של דיפול‪ ,‬לפי הפונציאל הוא קטן באופן ריבועי‪.‬‬
‫א‬