2203 R סוידר לעב לגעמ יצח רצוי ףופיכהו םיליבקמ ויקלח ינשש... , λ הדיחא ןעטמ תופיפצב ןועט לייתה .טוטרשב ראותמכ

‫‪2203‬‬
‫תייל אינסופי מקופל כך ששני חלקיו מקבילים והכיפוף יוצר חצי מעגל בעל רדיוס ‪,R‬‬
‫כמתואר בשרטוט‪ .‬התייל טעון בצפיפות מטען אחידה ‪ . λ‬מהו הכוח הפועל על מטען‬
‫נקודתי ‪ q‬הנמצא במרכז המעגל?‬
‫פתרון‬
‫השדה החשמלי מוגדר לפי‪:‬‬
‫‪kdq‬‬
‫) ‪· (~r − ~r0‬‬
‫‪|~r − ~r0 |3‬‬
‫)‪(1‬‬
‫ˆ‬
‫= ~‬
‫‪E‬‬
‫לפי עקרון סופרפוזיציה נפרק את הבעייה לשני תיילים וחצי מעגל‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪circle‬‬
‫‪~ half‬‬
‫‪+E‬‬
‫‪wire‬‬
‫‪~ bottom‬‬
‫‪+E‬‬
‫‪wire‬‬
‫‪~ total = E‬‬
‫‪~ top‬‬
‫‪E‬‬
‫נפתור ראשית את התיילים‪ ,‬כל אלמנט מטען בתיילים‪:‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪dq = λdx0‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪~r = 0‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪~r0 = (x0 , ±R‬‬
‫החיובי מייצג את התייל העליון והשלילי מייצג את התחתון‪.‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‪(x0 , ±R)dx0‬‬
‫‪~ = −kλ‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪(x02 + R2 )3/2‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪(7‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪⇒ Rdz = dx0‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫ ∞‬
‫‪(z, ±1)dz‬‬
‫‪−kλ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪±z‬‬
‫√‬
‫√‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪,‬‬
‫‪R‬‬
‫‪(1 + z 2 )3/2‬‬
‫‪1 + z2‬‬
‫‪1 + z2 0‬‬
‫=‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫‪~ = −kλ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪R‬‬
‫נחבר את שני התילים ונקבל את השדה הכולל )כמובן שנקבל אפס בכיוון ציר ‪ y‬מתוך‬
‫שיקולי סמטרייה אפשר לטעון בתחילה ולא לפתור את השלב הזה(‪.‬‬
‫‪~ total = E‬‬
‫‪~+ + E‬‬
‫̂‪~ − = − 2kλ x‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪R‬‬
‫כעט נפתור את חצי המעגל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪kdq‬‬
‫= ~‬
‫) ‪· (~r − ~r0‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪E‬‬
‫‪|~r − ~r0 |3‬‬
‫כל אלמנט מטען בתייל מוגדר‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪dq = λdθ‬‬
‫)‪(12‬‬
‫‪~r = 0‬‬
‫)‪(13‬‬
‫)‪~r0 = Rr̂0 = R(cosθ, sinθ‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪2kλ‬‬
‫‪kλ‬‬
‫‪3π/2‬‬
‫= ‪(sinθ, −cosθ)|π/2‬‬
‫̂‪x‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3π/2‬‬
‫ˆ‬
‫‪(cosθ, sinθ)dθ = −‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪~ = − kλ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪R‬‬
‫קיבלנו את אותה התוצאה רק בכיוון הנגדי )תוצאה לא טריוויאלית‪ ,‬מצד אחד יש לנו‬
‫תייל אינסופי טעון שדורש כמות אינסופית של אנרגיה כדי לטעון אותו ומצד שני‬
‫יש לנו כמות סופית של אנרגיה( לכן השדה הכולל בנקודה הוא אפס‪.‬‬
‫‪2‬‬