תילמשח הייגרנאו ילמשח לאיצנטופ ־ 4 לוגרת

‫תרגול ‪ 4‬־ פוטנציאל חשמלי ואנרגייה חשמלית‬
‫כפי שהשדה החשמלי נותן אינדקציה לכח שיפעל על מטען בוחן שיכנס למרחב‪ ,‬כך‬
‫הפוטנציאל החשמלי נותן אינדקציה לאנרגיית האינטרקציה החשמלית‪.‬‬
‫הפוטנציאל החשמלי מוגדר על פי מינוס אינטגרל מסליתי על השדה החשמלי מאיפה‬
‫שהפוטנציאל מכוייל להיות אפס ) ‪,(r~0‬לנקודה בו אנחנו מעונינים)‪.(~r‬‬
‫‪´ ~r‬‬
‫)‪~ r = φ(~r) − φ(~r0 ) = φ(~r‬‬
‫~‪(1) φ(~r) = − r~0 Ed‬‬
‫תכונה שנובעת מההגדרה‪ :‬אם הפוטנציאל הינו אינטגרל על השדה החשמלי אזי‬
‫הפוטנציאל בהכרח רציף )השדה הינו רציף למקוטעין(‪ ,‬חשוב לבדוק כי התכונה‬
‫הזאת מתקיימת עבור כל פוטנציאל‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬הנקודה בו הפוטנציאל מכוייל להיות אפס הוא נקודה שרירותית‪ ,‬בדר״כ‬
‫אנו נבחר נקודה נוחה להגדיר את הפוטנציאל להיות אפס בו‪.‬‬
‫עבור מטענים בעלי כמות מטען סופית במרחב‪ ,‬נהוג לכייל את הפוטנציאל להיות‬
‫אפס באינסוף )לא חובה(‪ ,‬אך עבור התפלגות מטען אינסופית לא רצוי לכייל‬
‫באינסוף שהפוטנציאל יהיה אפס‪ ,‬מכיוון שלרוב נקבל התבדרות מסויימת בפוטנציאל‪,‬‬
‫בד״כ אין משמעות פיסיקלית לערכים מתבדרים‪ .‬בנוסף אין הרבה משמעות ניסויית‬
‫לפוטנציאל החשמלי אלא למתח החשמלי‪.‬‬
‫מתח חשמלי‪:‬‬
‫‪´ r~b‬‬
‫; ‪~ r = φb − φa‬‬
‫~‪(2) Va→b = − r~a Ed‬‬
‫‪[V ] = Joul‬‬
‫‪C = V olt‬‬
‫הפרש הפוטנציאל )או מתח( בין שני נקודות זה העבודה שצריך ´לבצע כדי להביא מטען‬
‫‪r‬‬
‫בוחן מנקודה ‪ r~a‬לנקודה ‪ r~b‬במרחב )כמו בפיסיקה ‪( W = − r b F~ d~r : 1‬‬
‫‪a‬‬
‫רשת החשמל הינה ]‪.220[V olt‬‬
‫מתקיים גם הקשר ההפוך‪:‬‬
‫∂‬
‫̂‪r)z‬‬
‫~(‪∂z φ‬‬
‫‪−‬‬
‫∂‬
‫̂‪r)y‬‬
‫~(‪∂y φ‬‬
‫~(‪~ r) = −∇φ‬‬
‫‪~ r) = − ∂ φ(~r)x̂ −‬‬
‫~(‪(3) E‬‬
‫‪∂x‬‬
‫עבודה חשמלית‪:‬‬
‫‪F~ d~r = Ub − Ua‬‬
‫‪´ r~b‬‬
‫‪r~a‬‬
‫‪(4) Wa→b = qV = −‬‬
‫פוטנציאל של חלקיק נקודתי כאשר הוא מכוייל כך שבאינסוף יהיה אפס‪:‬‬
‫‪´ ~r‬‬
‫´‬
‫‪~ r = − r kq2 = kq‬‬
‫~‪charge = − r~0 Ed‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪(5) φ(~r)point‬‬
‫עבור הרבה מטענים )עקרון סופרפוזציה(‪:‬‬
‫‪kqi‬‬
‫~| ‪i‬‬
‫| ‪r −r~i‬‬
‫‪P‬‬
‫= )‪(6) φ(~r‬‬
‫ניתן גם להסיק הגדרה נוספת הנגזרת מפוטנציאל של חלקיק נקודתי‪:‬‬
‫´‬
‫´‬
‫‪kq‬‬
‫‪⇒ φ(~r) = dφ = |~rkdq‬‬
‫‪(7) φ(~r) = |~r−‬‬
‫| ‪r~0‬‬
‫| ‪−r~0‬‬
‫כעת כל מה שנותר זה לסכום ע״י אינטגרל בתחום מערכת המטענים שלנו במרחב‪.‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬הגדרה זאת נגזרת ממטען נקודתי בו הפונציאל מוגדר להיות אפס‬
‫באינסוף‪ ,‬לכן עדיין הפוטנציאל הינו אפס באינסוף‪.‬‬
‫כמו כן בדר״כ לא ניתן להשתמש בביטוי הזה עבור מערכת מטענים אינסופית‬
‫)נמצא את השדה }בדר״כ מחוק גאוס{ ואז נבצע אינטגל עבור הפוטנציאל(‪.‬‬
‫לפעמים יהיה יותר קל לחשב את הפוטנציאל בדרך אחת מאשר השנייה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3207‬שדה במרחב‬
‫נתון השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪⃗ r) = kq e−r/R‬‬
‫⃗(‪E‬‬
‫̂‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫א‪ .‬חשבו את המטען הכולל בתוך כדור דמיוני ברדיוס ‪.R‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את המטען הכולל במרחב‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את התפלגות המטען במרחב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נשתמש בחוק גאוס‪:‬‬
‫‪⃗ = 4πkQinside‬‬
‫‪⃗ ds‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪R2 E(R‬‬
‫‪q‬‬
‫=‬
‫‪k‬‬
‫‪e‬‬
‫{‬
‫= ‪4πR2 Er (R) = 4πkQR ⇒ QR‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בחוק גאוס‪:‬‬
‫‪⃗ = 4πkQinside‬‬
‫‪⃗ ds‬‬
‫‪E‬‬
‫)∞ = ‪r2 E(r‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪k‬‬
‫{‬
‫= ∞‪4πr2 Er (r)r=∞ = 4πkQ∞ ⇒ Q‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪⃗ = 4πkQinside‬‬
‫‪⃗ ds‬‬
‫‪E‬‬
‫{‬
‫‪4πr2 Er (r) = 4πkQr ⇒ Qr = qe−r/R‬‬
‫כעת כדי למצוא את התפלגות המטען נרשום כי‪:‬‬
‫‪∫r‬‬
‫‪r2 ρ(r)dr‬‬
‫‪= 4π‬‬
‫‪−r/R‬‬
‫‪Qr = qe‬‬
‫‪0‬‬
‫] ‪d [ −r/R‬‬
‫⇒‬
‫‪qe‬‬
‫)‪= 4πr2 ρ(r‬‬
‫‪dr‬‬
‫[‬
‫(‬
‫])‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−r/R‬‬
‫‪e‬‬
‫‪· −‬‬
‫= )‪⇒ ρ(r‬‬
‫‪4πr2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ρ(r) = −‬‬
‫‪· e−r/R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πRr‬‬
‫ניתן להישם לב כי ההתפלגות המטען תמיד שלילית וקיבלנו כי סך המטען תמיד מונוטוני‬
‫יורד לאפס באינסוף‪ ,‬בנוסף השדה החשמלי תמיד חיובי‪ ,‬לכן התשובה לא שלמה‪ .‬נחפש‬
‫בצורה מפורשת מתוצאה שחישבנו כבר בסעיף א'‪.‬‬
‫מצד אחד קיבלנו כי‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪e‬‬
‫א‬
‫= ‪QR‬‬
‫‪ 3207‬שדה במרחב‬
‫ומצד שני‪:‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪1‬‬
‫‪r ρ(r)dr = q‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪∫R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪QR = 4π‬‬
‫‪0‬‬
‫כדי לקבל תשובה שקיבלנו בסעיף א' עלינו לטעון כי ישנו מטען נקודתי בראשית‪ .‬לכן‬
‫התפלגות המטען הינו כפי שחישבנו וגם מוצב בראשית מטען נקודתי חיובי עם מטען ‪.+q‬‬
‫ב‬
‫‪ 4310‬פוטנציאל של גליל סופי‬
‫נתון גליל חלול בעל רדיוס ‪ R‬וגובה ‪ b.‬על הגליל מפוזר מטען כולל ‪ Q‬באופן אחיד‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי על ציר הסימטריה בקצה העליון של הגליל‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי על ציר הסימטריה במרכז הגליל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהי כמות האנרגיה שיש להשקיע ע"מ להזיז מטען ממרכז הגליל אל קצהו לאורך ציר‬
‫הסימטריה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נשתמש בהגדרה של פוטנציאל חשמלי עבור התפלגות מטען סופית‪:‬‬
‫‪kdq‬‬
‫| ‪|⃗r − ⃗r′‬‬
‫∫‬
‫= )‪Φ(⃗r‬‬
‫‪⃗r = 0‬‬
‫)‪⃗r′ = Rr̂ + z ẑ = (R cos φ, R sin φ, z‬‬
‫‪dq = σRdzdφ‬‬
‫]‪z‬‬
‫‪R‬‬
‫) (‬
‫‪b‬‬
‫‪R‬‬
‫[‬
‫=‪x‬‬
‫‪kσRdzdφ‬‬
‫‪(z 2 + R2 )1/2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪= 2πkRσ sinh−1‬‬
‫‪(1 + x2 )1/2‬‬
‫‪∫2π ∫0‬‬
‫= )‪Φ(⃗r‬‬
‫‪0 −b‬‬
‫‪∫0‬‬
‫‪= 2πkRσ‬‬
‫‪−b/R‬‬
‫ב‪ .‬כדי לפתור בקלות נחליף את הגבולות ואז נקבל‪:‬‬
‫[‬
‫) (‬
‫]) (‬
‫‪dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Φ(⃗r) = 2πkRσ‬‬
‫‪= 2πkRσ sinh‬‬
‫‪− sinh‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1/2‬‬
‫) ‪(1 + x‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪−b/2R‬‬
‫) (‬
‫‪b‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪= 4πkRσ sinh‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪b/2R‬‬
‫∫‬
‫ג‪.‬‬
‫]) (‬
‫‪b‬‬
‫‪− sinh−1‬‬
‫‪R‬‬
‫)‬
‫‪b‬‬
‫‪2R‬‬
‫(‬
‫[‬
‫‪Wcenter→top = qΦtop − qΦcenter = 2πkRqσ 2 sinh−1‬‬
‫א‬