סואג קוח ילמשח ףטש

‫חוק גאוס‬
‫שטף חשמלי‬
‫שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים‪ .‬שטף‬
‫חשמלי מוגדר כך‪:‬‬
‫ˆ‬
‫~‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪ΦE = E‬‬
‫‪S‬‬
‫´‬
‫כאשר הסימון ‪ S‬מסמל אינטגרל משטחי כלשהו )אינטגרל כפול( והביטוי בתוך האינטגרל‬
‫הוא מכפלה סקלרית בין וקטור השדה ~‬
‫‪ E‬בנקודה כלשהי על המשטח לבין אלמנט שטח קטן‬
‫~‬
‫‪.dS‬‬
‫~‬
‫̂‪ dS = dS n‬כאשר ̂‪ n‬הוא וקטור יחידה המצביע לכיוון המאונך למישור אלמנט השטח‪.‬‬
‫חוק גאוס‬
‫חוק גאוס הוא חוק יסודי באלקטרוסטטיקה‪ .‬הוא קושר בין שדה חשמלי לבין התפלגות‬
‫מטענים חשמליים‪.‬‬
‫חוק גאוס סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא‬
‫במעטפת‪.‬‬
‫איור ‪Φ 6=0 ←Qin 6= 0 :1‬‬
‫איור ‪Φ = 0 ←Qin = 0 :2‬‬
‫נציג את החוק בצורתו האינטגרלית‪:‬‬
‫‪~ = 4πkQin = Qin‬‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪E‬‬
‫‪0‬‬
‫˛‬
‫‪S‬‬
‫¸‬
‫הסימון ‪ s‬הוא אינטגרל על משטח סגור )כזה המכיל נפח(‪ .‬בנוסף‪ Qin ,‬הוא כמות המטען‬
‫בתוך המעטפת הסגורה ‪ S‬בלבד )גם אם המרחב מכיל התפלגות מטען נוספת מחוץ למעטפת(‪.‬‬
‫אנו נעשה ‪ 2‬שימושים בחוק גאוס‪:‬‬
‫‪ .1‬כאשר נדע את התפלגות המטען ‪ q/λ/σ/ρ‬ונרצה למצוא את השדה החשמלי במרחב‬
‫~‬
‫‪.E‬‬
‫‪ .2‬כאשר נדע את השדה החשמלי ‪ E‬ונרצה למצוא את התפלגות המטען במרחב ‪.q/λ/σ/ρ‬‬
‫‪1‬‬
‫חוק גאוס תמיד נכון‪ ,‬אולם נוכל להשתמש בו רק במקרים בהם קיימת סימטריה כך שניתן‬
‫לבחור מעטפת משטחית סגורה )משטח גאוס( שעל גביה ‪ E‬אינו תלוי בקורדינטות המתארות‬
‫את ‪ dS‬של המעטפת‪.‬‬
‫הנחיות לחישובי שדה חשמלי באמצעות חוק גאוס‬
‫‪ .1‬הגדירו משטח סגור )משטח גאוסי( העובר באזור בו אנו רוצים לחשב את השדה‪.‬‬
‫‪ .2‬על המשטח להיות כזה ש‪:‬‬
‫)א( השדה החשמלי יהיה בעל ערך קבוע על פני המשטח הגאוסי‪.‬‬
‫)ב( כיוון השדה החשמלי יהיה ניצב או מקביל למשטחים המרכיבים את המשטח‬
‫הגאוסי‪.‬‬
‫‪ .3‬אם המשטח שנבחר עונה על הדרישות הנ"ל‪ ,‬תוכלו להוציא את ‪ E‬אל מחוץ לאינטגרל‬
‫המופיע בחוק גאוס‪.‬‬
‫בהן קיימת התפלגות‬
‫‪ .4‬חשבו את כמות המטען הכלואה בתוך‬
‫המשטח הגאוסי‪˜ .‬בבעיות ´‬
‫˝‬
‫= ‪.Qin = λdl0 = σdS 0‬‬
‫מטען רציפה‪ ,‬החישוב נעשה על ידי ‪ρdV 0‬‬
‫‪ .5‬הציבו‪ ,‬ומצאו את השדה‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬מטען נקודתי יוצר שדה התלוי רק במרחק‬
‫‪kq‬‬
‫̂‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫= )‪E ~(r‬‬
‫‪.‬במקרה כזה‪ ,‬נוכל לבחור מעטפת כדורית ברדיוס ‪~ = r2 sin θdθdϕr̂ :r‬‬
‫‪ dS‬מה שיוביל ל־‬
‫˛‬
‫˛‬
‫˛‬
‫= ~‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E (r) r2 sin θdθdϕ = E (r) dS = E (r) S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪s‬‬
‫‪˛S‬‬
‫)‪~ = 4πr2 E (r‬‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪E‬‬
‫‪S‬‬
‫˛‬
‫‪~ = 4πkQin‬‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪E‬‬
‫‪S‬‬
‫‪4πkq‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪r2‬‬
‫=‬
‫)‪4πr2 E (r‬‬
‫=‬
‫)‪E (r‬‬
‫קיבלנו את התוצאה הצפויה‪ ,‬אך שימו לב שכדי להגיע אליה נעזרנו רק בידיעה שגודל השדה‬
‫תלוי רק במרחק מהמטען ושכיוונו ̂‪.r‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה ‪2 3304‬‬
‫נתון גליל אינסופי בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען אחידה ‪.ρ (~r) = ρ0‬‬
‫‪ .1‬מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב‪.‬‬
‫‪ .2‬מה צריכה להיות צפיפות המטען בגליל )‪ ρ (~r) = ρ (r‬על מנת שבתוך הגליל השדה‬
‫החשמלי יהיה קבוע‪ ,‬והשדה בחוץ כפי שהתקבל בסעיף ‪.1‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב‪.‬‬
‫הגליל אינסופי וטעון בצפיפות מטען אחידה‪ .‬אם נסובב את הגליל )כלומר‪ ,‬נשנה את ‪(φ‬‬
‫או לחילופין נזיז את הגליל לאורך ציר ̂‪ z‬־ המערכת תיראה אותו הדבר‪ .‬כיוון שכך‪ ,‬השדה‬
‫החשמלי שנוצר מהתפלגות המטען אינו תלוי בקורדינטות ‪ ϕ‬ו־‪ z‬וכל שנותר הוא תלות‬
‫‪~ (~r) = E‬‬
‫‪~ (r, ϕ, z) = E‬‬
‫במרחק מציר הגליל ‪~ (r) :r‬‬
‫‪ E‬ובגלל האינסופיות של הגליל‪ ,‬כיוונו‬
‫̂‪ .r‬בגלל הסימטריה נשתמש בחוק גאוס‪:‬‬
‫˛‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪~ = 4πQin‬‬
‫‪E‬‬
‫כאשר מעטפת הגאוס שנבחר תהיה גליל ברדיוס ‪ r‬כלשהו וגובה ‪ .h‬הגליל מורכב ממעטפת‬
‫גלילית ו־‪ 2‬בסיסים‪ ,‬אלמנט השטח הקטן‪:‬‬
‫̂‪~ = (rdϕ × dz) r̂ + (rdϕ × dr) z‬‬
‫‪dS‬‬
‫אך הביטוי האינטגרלי מכיל מכפלה סקלרית‪ ,‬ולכן‬
‫‪ˆ2πˆR‬‬
‫)̂‪rdrdϕ (r̂ · z‬‬
‫‪ˆh ˆ2π‬‬
‫‪E (r) rdϕdz (r̂ · r̂) +‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆh‬‬
‫‪dz + 0‬‬
‫˛‬
‫~‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪E‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆ2π‬‬
‫‪dϕ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= E (r) r‬‬
‫‪0‬‬
‫˛‬
‫)‪2πrhE (r‬‬
‫=‬
‫~‬
‫‪~ · dS‬‬
‫‪E‬‬
‫אגף ימין הוא המטען המוכל בתוך הגליל בלבד‪ .‬נחלק את הבעיה לשני מקרים‪r < R :‬‬
‫ו־‪ r > R‬כיוון שאנו מצפים לביטויים שונים עבור השדה בין שני תחומים אלו‪.‬‬
‫תחום ‪:r < R‬‬
‫ˆ‬
‫ ‬
‫‪ρ r~0 dV 0‬‬
‫=‬
‫‪Qin‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫=‬
‫) ‪ρ (~r0‬‬
‫‪dr0 × r0 dϕ0 × dz 0‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dV‬‬
‫נזכור כי עבור תחום זה כמות המטען קטנה מהמטען הכולל במרחב‪ ,‬וזה יתבטא בגבולות‬
‫האינטגרציה‪.‬‬
‫‪ˆh‬‬
‫‪dz 0‬‬
‫‪ˆ2π‬‬
‫‪dϕ0‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪ρ0 r0 dr0‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪Qin‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪ρ0 πr h‬‬
‫כמובן שבגלל צפיפות המטען האחידה יכולנו פשוט לכפול בנפח כדי לקבל את המטען‪ .‬כעת‬
‫נשווה בין שני האגפים ונקבל‪:‬‬
‫‪4πρ0 πr2 h‬‬
‫=‬
‫)‪2πrhE (r‬‬
‫‪2ρ0 πr‬‬
‫=‬
‫)‪⇒ E (r‬‬
‫תחום ‪:r > R‬‬
‫כמות המטען בתוך מעטפת גאוס הגלילית אינה משתנה עבור כל ‪ r‬בתחום זה והיא שווה ל־‬
‫‪Qin = ρ0 πR2 h‬‬
‫על כן‪ ,‬השדה החשמלי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2πrhE (r‬‬
‫=‬
‫‪4πρ0 πR h‬‬
‫‪2ρ0 πR2‬‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫)‪⇒ E (r‬‬
‫לסיכום‪:‬‬
‫‪,r < R‬‬
‫‪2ρ0 π~r‬‬
‫‪,r > R‬‬
‫‪2ρ0 πR2‬‬
‫̂‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫(‬
‫= )‪~ (r‬‬
‫‪E‬‬
‫נשים לב שבתוך הגליל השדה החשמלי גדל ליניארית עם המרחק ‪ r‬ואילו מחוץ לגליל השדה‬
‫החשמלי קטן כמו ‪ 1r‬עם המרחק‪ ,‬בדיוק כמו במקרה של תיל אינסופי עם צפיפות מטען‬
‫אורכית ‪) λ = ρ0 πR2‬בדקו!(‪.‬‬
‫‪ .2‬מה צריכה להיות צפיפות המטען בגליל )‪ ρ (~r) = ρ (r‬על מנת שבתוך הגליל השדה‬
‫החשמלי יהיה קבוע‪ ,‬והשדה בחוץ כפי שהתקבל בסעיף ‪.1‬‬
‫כדי שהשדה יהיה קבוע‪ ,‬המטען בפנים צריך להיות תלוי במרחק בצורה ליניארית ‪.Qin ∝ r‬‬
‫נחשב במפורש‪ ,‬לשם כך נסתכל שוב על אגף ימין‪:‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪ρ (r0 ) rdr0‬‬
‫‪ˆh‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dz = 2πh‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆ2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dϕ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ρ (r ) rdr‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪Qin‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪ρ (r0 ) r0 dr0‬‬
‫‪4π2πh‬‬
‫=‬
‫)‪2πrhE (r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪ρ (r0 ) r0 dr0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪r‬‬
‫=‬
‫)‪E (r‬‬
‫כלומר‬
‫‪ˆr‬‬
‫‪ρ (r0 ) r0 dr0 = Ar‬‬
‫‪0‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ ( dr‬ונקבלּ‬
‫כאשר ‪ A‬הוא קבוע כלשהו‪ .‬נגזור עתה את שני האגפים לפי ‪) r‬כלומר‬
‫‪ρ (r) r‬‬
‫‪= A‬‬
‫‪A‬‬
‫= )‪ρ (r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪⇒ E (r) = 4πA = Constant‬‬
‫קיבלנו שצפיפות המטען הנפחית צריכה להיות תלויה במרחק כמו ‪ 1/r‬על מנת שהשדה‬
‫בתחום ‪ r < R‬יהיה קבוע‪ .‬בחירה זו אינה משנה את השדה בחוץ‪ ,‬כיוון שבתחום ‪r > R‬‬
‫כמות המטען נשארת קבועה ככל שמתרחקים‪.‬‬
‫‪3‬‬