סואג קוח

‫חוק גאוס‬
‫חוק קולון הוא החוק היסודי של האלקטרוסטטיקה‪.‬‬
‫חוק גאוס מניב את אותם התוצאות כחוק קולון אולם הוא נחשב‬
‫לכללי יותר‪.‬‬
‫חוק גאוס הוא פורמליזם מתמטי המאפשר לנו לחשב את השדה החשמלי‬
‫של התפלגויות מטען סימטריות בקלות רבה‪.‬‬
‫חוק גאוס קושר בין השדה החשמלי למקורותיו‪ ,‬דהיינו למטענים‬
‫החשמליים היוצרים אותו‪.‬‬
‫נעיר כי מספר הבעיות שניתן לפותרם בעזרת חוק גאוס קטן והוא מוגבל‬
‫לבעיות בעלות סימטריה גבוהה‪.‬‬
‫מושג עקרוני בחוק גאוס הוא משטח גאוסי‪ .‬זהו תמיד משטח סגור בעל צורה‬
‫כלשהי‪ .‬אבל הוא שמושי מאוד אם המשטח משקף את הסימטריה של הבעיה‪.‬‬
‫נתון משטח גאוסי בעל צורת כדור‪ .‬השדה על פני‬
‫המשטח רדיאלי בכיוונו ושווה בגודלו‪ .‬מה ניתן‬
‫לומר על המטען בתוך המשטח?‬
‫האינטואיציה שלנו‪ ,‬ללא ידיעת חוק גאוס‪ ,‬אומרת‬
‫שחייב להיות מקור לשדה החשמלי בתוך המשטח‬
‫הגאוסי‪ .‬חוק גאוס יאמר בדיוק כמה מטען צריך‬
‫להיות בתוך המשטח‪.‬‬
‫השטף של שדה וקטורי‬
‫השטף (‪ )Flux‬הוא תכונה פיסיקלית של כל שדה וקטורי והיא מספקת‬
‫מידה לזרימתו או לחדירתם של קווי השדה דרך משטח הנמצא בשדה‪.‬‬
‫בדוגמא הבאה נתייחס לשטף של שדה מהיריות של זרם כלשהוא‪.‬‬
‫נתייחס לנוזל כלשהוא הזורם בצורה אחידה‪ .‬את הזרימה נייצג ע"י‬
‫שדה מהיריות‪ .‬נדמיין לעצמנו כי אנו שמים תייל שכופף בצורת לולאה‬
‫ריבועית בניצב לכיוון הזרימה (ציור ‪.)a‬‬
‫אנו מגדירים את השטף של שדה המהירות דרך שטח הלולאה הניצבת‬
‫למהירות ע"י‪:‬‬
‫‪  vA‬‬
‫כאשר ‪ v‬היא המהירות ו‪ A -‬הוא השטח של המשטח דרכו השטף מחושב‪.‬‬
‫לשטף יש יחידות של נפח מחולק בזמן‪ ,‬כלומר הוא מהווה מידה לקצב החדירה‬
‫של הנוזל דרך הלולאה הניצבת לשדה‪ .‬יהיה זה נוח להתייחס לשטף כמידה‬
‫למספר קווי השדה החודרים את הלולאה בניצב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ומה קורה אם משטח הלולאה מהווה זווית כלשהיא עם כיוון השדה ? פשוט ניקח את‬
‫ההיטל של המשטח בכיוון המאונך כמוראה ב ‪ .b‬במקרה זה השטף יהיה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫שימו לב‪ :‬מספר קווי השדה החודרים דרך המשטח הנטוי זהה למספר קווי השדה‬
‫החודרים את היטלו בכיוון המאונך‪.‬‬
‫בציור ‪ c‬משטח הלולאה מקביל למהירות‪ ,‬אין קווי שדה החודרים את משטח הלולאה‪,‬‬
‫והשטף הוא אפס‪.‬‬
‫חוק גאוס דן בשטף דרך משטח סגור ולפיכך נצטרך להבחין בין שטף חיובי לשטף שלילי‪.‬‬
‫לפי הסכמה שטף הנכנס לצורה הסגורה נלקח כשלילי ושטף יוצא מן הצורה הוא חיובי‪.‬‬
‫נגדיר את השטף באמצעות מכפלה סקלרית באופן הבא‪:‬‬
‫‪  vA cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  vA‬‬
‫שטף של שדה חשמלי‬
‫חישוב השטף של שדה חשמלי נעשה בצורה‬
‫דומה‪ .‬נתון שדה חשמלי לא אחיד ובו משטח‬
‫גאוסי לא סימטרי‪ .‬מחלקים את המשטח‬
‫הגאוסי לטלאים קטנים שגודל כל אחד ‪.dA‬‬
‫הטלאי ‪ dA‬מספיק קטן כך שניתן להסתכל עליו‬
‫כעל מישור והוקטור ‪ dA‬מאונך לו‪.‬‬
‫בטלאי ‪ 1‬הזווית בינו לבין השדה החשמלי‬
‫גדולה מ‪ 90º-‬והשטף שלילי‪.‬‬
‫בטלאי ‪ 2‬הזווית בת ‪ 90º‬והשטף אפס‪.‬‬
‫בטלאי ‪ 3‬הזווית קטנה מ‪ 90º -‬השטף חיובי‪.‬‬
‫השטף הכולל דרך המשטח הגאוסי הוא הסכום‬
‫האלגברי של השטפים דרך הטלאים‪.‬‬
‫הסכום יכול להיות חיובי‪ ,‬שלילי או אפס‪ .‬החלוקה‬
‫לטלאים תהיה יותר ויותר מדויקת אם שטח הטלאי ילך‬
‫ויקטן‪ .‬בגבול בו שטח הטלאי שואף לאפס (ומספר‬
‫הטלאים שואף לאינסוף) השטף יהיה‬
‫משטח גאוסי בצורת גליל נמצא‬
‫בשדה חשמלי אחיד לאורך ציר‬
‫הגליל‪.‬‬
‫מהו השטף החשמלי דרך הגליל?‬
‫‪ E A‬‬
‫‪ EdA‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫המשטח הסגור מורכב משני‬
.b ‫ ומעטפת‬c -‫ ו‬a ‫בסיסים‬

 E d A   E d A  E d A  E d A
a
0
E
 d A  E cos180 dA  -EA


a
b
c
0
E
 d A  E cos 0 dA  EA


c
0
E
 d A  E cos90 dA  0


b
  a   b  c  EA  0  EA  0
.‫התאפסות השטף הכולל משמעותה שהשטף הנכנס שווה לשטף היוצא‬
‫מטען נקודתי ‪ +q‬נמצא ברחק ‪ d‬מעל‬
‫מישור אינסופי‪ .‬חשבו את שטף השדה‬
‫החשמלי דרך המישור‪.‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E ‬‬
‫‪2 0‬‬
‫חוק גאוס‬
‫השטף החשמלי דרך משטח גאוסי בעל צורה כלשהי‬
‫פרופורציוני למטען הכללי בתוך המשטח‪ .‬כל מטען‬
‫מחוץ למשטח אינו משפיע‪.‬‬
‫‪ 0  E  d A  qenc‬‬
‫‪0  q enc‬‬
‫המטען הכללי ‪ qenc‬הוא הסכום האלגברי של כל המטענים בתוך המשטח‪.‬‬
‫השדה החשמלי על פני המשטח יכול להיות תוצאה של מטענים אחרים מחוץ‬
‫למשטח אבל השטף תלוי רק במטען בתוך המשטח הגאוסי‪.‬‬
‫הסיבה לכך ששדה שנוצר ע"י מטענים מחוץ למשטח אינם תורמים לשטף‪ .‬כל קו‬
‫שדה חשמלי שנכנס למשטח גם יוצא ממנו ולכן התרומה הנקייה לשטף היא אפס‪.‬‬
0
‫חוק גאוס וחוק קולון‬
‫ניתן לקבל את חוק קולון מחוק גאוס‪.‬‬
‫נתון מטען חיובי ‪ .q‬נבנה מסביבו משטח גאוסי כדורי שרדיוסו ‪ r‬ובמרכזו נמצא‬
‫המטען‪ .‬אנו בוחרים משטח כדורי ולא צורה אחרת כיון שלשדה של מטען נקודתי‬
‫יש סימטריה כדורית‪ .‬סימטריה כדורית משמעותה שסיבוב בזווית כלשהיא סביב‬
‫ציר העובר דרך המטען לא משנה שום דבר‪.‬‬
‫הסימטריה אומרת שקווי השדה החשמלי הם‬
‫רדיאליים ולכן מאונכים למשטח הגאוסי ועל‬
‫פניו ערכם קבוע‪ .‬השדה אינו יכול להשיק‬
‫למשטח כי השטף שלו אפס וסותר את חוק‬
‫גאוס‪.‬‬
‫חלוקה לאלמנטי שטח ‪ dA‬של פני‬
‫המשטח הגאוסי מראה כי ‪ E‬ו‪dA -‬‬
‫מקבילים אחד לשני‪.‬‬
‫‪dA‬‬
‫‪0 E(4r )  q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 E  dA  q‬‬
‫‪ 0  E  d A   0  EdA  q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪4 0 r 2‬‬
‫בחירה של משטח גאוסי בעל צורה אחרת לא תשנה את השטף העובר דרכו אלא‬
‫שאיננה מאפשרת חישוב השדה החשמלי‪.‬‬
‫כדי להשתמש בחוק גאוס לחישוב השדה החשמלי בונים משטח גאוסי המקיים‬
‫לפחות את התנאי הראשון מבין שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬השדה החשמלי קבוע על פניו ואז ניתן להוציא את השדה החשמלי מחוץ‬
‫לאינטגרל ולחשב את האינטגרל‪.‬‬
‫‪ .2‬אלמנט השטח של חלק מהמשטח הגאוסי מאונך לשדה החשמלי והתרומה‬
‫לאינטגרל מתאפסת‪.‬‬
‫יישומו של חוק גאוס‬
‫‪‬‬
‫‪ .1‬השדה של תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען ‪‬‬
‫שטף אפס‬
‫‪ ‬מטעמי סימטריה השדה עובר דרך המעטפת‬
‫הגלילית בניצב‪.‬‬
‫‪ ‬בתור משטח גאוסי נבחר גליל בעל רדיוס ‪r‬‬
‫שהמוט עובר דרך ציר הסימטריה שלו‬
‫אין חדירת קווי שדה דרך כיפות הגליל ולכן‪:‬‬
‫‪E  d A  E 2 rh‬‬
‫‪‬‬
‫‪envelope‬‬
‫‪EdA ‬‬
‫‪‬‬
‫‪   EdA‬‬
‫‪bases‬‬
‫‪‬‬
‫‪2k ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 0 r‬‬
‫‪r‬‬
‫שטף אפס‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .2‬השדה של מישור מטען אינסופי בעל צפיפות‬
‫‪‬‬
‫מטעמי סימטריה נובע כי השדה ניצב‬
‫למישור‪.‬‬
‫בתור משטח גאוסי נבחר בגליל בעל שטח חתך‪ A‬הניצב למשור המטען‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0  E  d A   0 ( EA  EA)  qenc   A‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ 2 k‬‬
‫‪2 0‬‬
‫שטף אפס דרך מעטפת גלילית‬
‫‪ .3‬השדה של קליפה כדורית הטעונה אחידות במטען כללי ‪q‬‬
‫בתור משטח גאוס נבחר בכדור‬
‫קונצנטרי (משותף מרכז) עם הקליפה‪.‬‬
‫בגלל הסימטריה הכדורית הזווית‬
‫בין השדה לווקטור השטח היא אפס‬
‫כמו כן השדה החשמלי זהה בכל‬
‫נקודה על פני מעטפת גאוס ומכאן‪:‬‬
‫‪. 1‬עבור האזור החיצוני משטח ‪S1‬‬
‫(מחוץ לקליפה)‬
‫‪ 0E (4r 2 )  q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E‬‬
‫) ‪ k 2 (r  R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 0 r‬‬
‫‪r‬‬
‫קיבלנו תוצאה חשובה המראה כי בנקודות חיצוניות הקליפה הטעונה מתנהגת‬
‫כאילו כל מטענה רוכז במרכז הכדור‪ ,‬דהיינו היא מתנהגת כמטען נקודתי‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫עבור האזור הפנימי (משטח ‪ (S2‬נקבל שהשדה מתאפס כי לא כלוא כל‬
‫מטען בתוך המשטח ושדה אם היה קיים הוא היה רדיאלי ובעל אותו‬
‫ערך על פני מעטפת גאוס‪.‬‬
‫‪rR‬‬
‫‪E 0‬‬
‫מסקנה‪ :‬כל מטען שיושם בתוך החלל הכדורי לא יחוש כל כוח‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נסכם את התוצאות שקיבלנו בשני משפטי הקליפה‪:‬‬
‫משפטי הקליפה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫קליפה טעונה (בצורה אחידה) מתנהגת בנקודות חיצוניות‬
‫כאילו כל מטענה מרוכז במרכז הקליפה‪.‬‬
‫קליפה טעונה (בצורה אחידה) אינה מפעילה כל כוח על‬
‫מטען המוצב בנקודה כלשהיא בתוך הקליפה‪.‬‬
‫‪ .4‬השדה של התפלגות מטען כדורית‬
‫כאשר צפיפות המטען היא פונקציה של הרדיוס‬
‫‪     r ‬אנו אומרים שלהתפלגות המטען‬
‫בלבד‬
‫סימטריה כדורית‪ .‬גם כאן חוק גאוס הוא פשוט במיוחד‪.‬‬
‫מחוץ להתפלגות המטען השדה מתנהג כשדה של מטען‬
‫נקודתי הנמצא במרכז מהסיבה שהשדה רדיאלי ובעל ערך‬
‫קבוע על פני המעטפת הגאוסית‪ .‬אגף שמאל של חוק גאוס‬
‫זהה לזה שבדוגמא הקודמת‪ .‬מאחר והמשטח הגאוסי הוא‬
‫מחוץ להתפלגות הוא מכיל בתוכו את כל כמות המטען‪.‬‬
‫ומכאן נקבל עבור השדה החיצוני‪:‬‬
‫) ‪(r  R‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 0 r‬‬
‫‪r‬‬
‫כדי לחשב את השדה בפנים ההתפלגות נבחר משטח גאוסי כדורי שרדיוסו קטן מרדיוס ההתפלגות‪ .‬אגף‬
‫שמאל של חוק גאוס זהה לזה של האיזור החיצוני פרט לעובדה שכעת ‪ . r  R‬אולם השוני הוא באגף‬
‫הימני‪ .‬אם במקרה הקודם כל המטען היה כלוא בתוך המשטח הגאוסי הרי שכעת רק חלק ממנו כלוא‪.‬‬
‫נסמן מטען זה ב ‪. q ' -‬‬
‫‪‬נפעיל את חוק גאוס ונקבל עבור השדה הפנימי את התוצאה ‪:‬‬
‫'‪q‬‬
‫)‪E  k 2 rˆ ( r  R‬‬
‫‪r‬‬
‫ואיך נחשב את ' ‪? q‬‬
‫לצורך כך עלינו לדעת את התפלגות המטען ואז‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫' ‪q '     r '  dV     r '   4 r '  dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫בתור דוגמא הבה ונחשב את השדה של כדור טעון בצפיפות נפחית קבועה בנקודות פנימיות‪.‬‬
‫היות הצפיפות קבועה נוכל להוציאה אל מחוץ לסימן האינטגרל‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫נציב את המטען בנוסחא (‪ )2‬ונקבל‪:‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪q '     4 r '  dr '   r ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר המעבר האחרון התקבל ע"י הצבת צפיפות המטען‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪E‬‬
‫‪r 3r‬‬
‫‪3 0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫נסכם את התוצאות שקיבלנו עבור כדור הטעון בצפיפות מטען אחידה‬
‫‪0rR‬‬
‫‪rR‬‬
‫‪ q‬‬
‫‪ k R 3 r‬‬
‫‪E (r )  ‬‬
‫‪k q‬‬
‫‪ r 2‬‬
‫השדה גדל ליניארית בפנים הכדור וצונח כ אחד חלקי ריבוע המרחק מחוץ לכדור‪.‬‬
‫מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף של מוליכים‬
‫‪‬‬
‫משפט ‪ :1‬השדה החשמלי בקרבו (בכל נקודה פנימית) של מוליך‬
‫אלקטרוסטטי הוא אפס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחה (בדרך השלילה)‪ :‬אילו היה קיים שדה חשמלי בקרבו של המוליך‬
‫הוא היה מפעיל כוח על אלקטרוני ההולכה וגורם לתזוזתם‪ ,‬בסתירה להנחה‬
‫כי המוליך במצב אלקטרוסטטי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫משפט ‪ :2‬מטענו העודף של מוליך מתפרס על שפתו החיצונית של המוליך‪.‬‬
‫לא קיים מטען עודף בתוך פנימו של המוליך‪.‬‬
‫נניח שמטען עודף ניתן למוליך גם בחלקו הפנימי‪ .‬בתחילה קיים שדה‬
‫חשמלי בקרבו של המוליך שנוצר כתוצאה מהמטען העודף‪ .‬שדה זה מפעיל‬
‫כוח על המטענים והם מסתדרים מחדש כך שהמרחק ביניהם יהיה‬
‫מקסימלי‪ .‬במהרה ‪ 10  9 s‬השדה החשמלי בתוך המוליך מתאפס והמטענים‬
‫מגיעים לשיווי משקל אלקטרוסטטי‪.‬‬
‫ומה קורה אם בתוך המוליך קיים חלל ?‬
‫אם לא קיים מטען בתוך החלל ניתן להראות באותו האופן כי לא קיים מטען עודף על שפת החלל‪.‬‬
‫ומה קורה אם קיים מטען ' ‪ q‬‬
‫בתוך החלל ?‬
‫השדה החשמלי בקרבו של המוליך עדיין אפס ומכאן שהשטף‬
‫דרך משטח גאוס עודנו אפס‪ .‬לפיכך המטען הנקי הכלוא בתוך‬
‫המשטח הגאוסי חייב להיות אפס‪.‬‬
‫מכאן שעל משטח החלל יופיע מטען מושרה שלילי ' ‪. q‬‬
‫היות ומטען מושרה לא משנה את המטען הכללי הרי שמטען ' ‪ q‬‬
‫יופיע על שפתו החיצונית של המוליך שיצטרף למטען המקורי‬
‫שהיה קיים שם‪.‬‬
‫השדה החשמלי בסמוך לפניו של מוליך טעון‬
‫מעשית צפיפות המטען בדרך כלל אינה קבועה אלא פונקציה של המקום‪ .‬נוכל‬
‫להשתמש בחוק גאוס על מנת למצוא קשר בין השדה החשמלי בנקודה מסוימת‬
‫בסמוך לפניו של המוליך וצפיפות המטען באותה הנקודה‪.‬‬
‫משפט ‪ : 3‬השדה החשמלי בסמוך‬
‫לפניו החיצונים של המוליך ניצב לו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם השדה לא היה ניצב לפני המוליך אז היה לו רכיב המקביל לפני‬
‫המוליך‪ .‬רכיב זה היה גורם למטען המצוי על פני המוליך לנוע בסתירה להנחת‬
‫האלקטרוסטטיות‪.‬‬
‫דוגמא ‪:‬‬
‫מוליך צינורי חלול וארוך מאוד בעל רדיוסים פנימי וחיצוני ‪ a‬ו‪ b-‬נתון בתוך‬
‫מוליך צינורי ארוך קואקסיאלי (משותף ציר) בעל רדיוסים פנימי וחיצוני ‪c‬‬
‫ו‪ .d -‬המוליך הפנימי נושא מטען ‪  2q‬והמוליך החיצוני נושא מטען ‪ 3q‬‬
‫כיצד מופלג המטען על פני משטחי המוליכים ?‬
‫ממשפט הקליפה ידוע לנו שכל מטען שיהיה על הגליל‬
‫החיצוני לא ישפיע על הגליל הפנימי‪ .‬הווה אומר נוכל‬
‫להתייחס לגליל הפנימי כאל מערכת מבודדת‪ .‬היות‬
‫והשדה החשמלי בקרבו של המוליך הוא אפס הדבר‬
‫מחייב שמטען של ‪ 2q‬יימצא על השפה ‪ ,b‬ועל השפה ‪a‬‬
‫לא יהיה כל מטען‪ .‬כעת‪ ,‬גם בקרבו של המוליך החיצוני‬
‫השדה אפס‪ ,‬הרי שמתחייב מחוק גאוס שמטען של ‪ 2q‬‬
‫חייב להימצא על השפה ‪ c‬על מנת שסך כל המטען‬
‫שיימצא בתוך משטח גאוסי גלילי בעל רדיוס‬
‫יהיה אפס‪ .‬על השפה ‪ d‬חייב להיות מטען ‪ –q‬עלמנת‬
‫לקיים את שימור המטען‪.‬‬
‫‪crd‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪q‬‬
‫דוגמא ‪:‬‬
‫בין שני כדורים קונצנטריים רדיוס פנימי ‪ ,a‬קיים איזור המכיל מטען המפוזר‬
‫בצפיפות נפחית ‪   r   A‬ב ‪( r=0‬מרכז המערכת) מצוי מטען נקודתי ‪.q‬‬
‫‪r‬‬
‫מצא מה צריך להיות הקבוע המספרי ‪ A‬על מנת שגודל השדה בין הכדורים‬
‫יהיה בלתי תלוי ב –‪.r‬‬
‫בתור משטח גאוס נבחר כדור משותף מרכז בעל רדיוס ‪.r‬‬
‫)*( ‪ 0 E (4 r )  q  q‬‬
‫'‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 0  E  d A  q enc ‬‬
‫כאשר ’‪ q‬הוא המטען בנפח הכדורי‪ .‬נחשב אותו‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪A‬‬
‫) ‪q '    ( r ' ) dV   ( 4 r ' 2 ) dr '  2 A ( r 2  a 2‬‬
‫'‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫הצבה של התוצאה האחרונה ב (* ) ודרישה לשדה קבוע נותנת ‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2a 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+q‬‬
‫‪r‬‬
‫א) נתונים שני מישורים אינסופיים טעונים בצפיפות אחידה ‪+σ‬‬
‫ו ‪ .-σ‬חשב‪/‬י את השדה החשמלי באיזורים ‪a b c‬‬
‫ב) חזור‪/‬י על שאלה א' כאשר המישור העליון טעון בצפיפות אחידה ‪σ+‬‬
‫והתחתון ‪.+2σ‬‬
‫ג) כעת‪ ,‬במקום שני מישורים יש שכבה אינסופית בעובי ‪ h‬הטעונה בצפיפות‬
‫אחידה ‪ .‬מצא‪/‬י את השדה במרחב‪.‬‬
‫)‪ (2 x  h‬‬
‫‪Eb ‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪Ec  ‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪Ea ‬‬
‫‪2 0‬‬
‫כדור מלא שרדיוסו ‪ R‬נושא מטען חשמלי בצפיפות נפחית אחידה‪. ,‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬הראו כי השדה החשמלי בתוך הכדור נתון בביטוי‬
‫‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא הווקטור ממרכז בכדור לנקודה כלשהיא בתוך ‪3 0‬‬
‫הכדור‪.‬‬
‫ב‪ .‬קודחים חלל כדורי שרדיוסו ‪ a‬בתוך הכדור‪ .‬הראו כי השדה החשמלי‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫בכל נקודות החלל הכדורי הוא אחיד ונתון בביטוי ‪a‬‬
‫‪3 0‬‬
‫כאשר ‪ a‬הוא הווקטור המחבר בין מרכז הכדור למרכז החלל‪.‬‬
‫נתון כדור בראשית הצירים‪ .‬רדיוס הכדור הוא ‪ R‬והוא טעון‬
‫הומוגנית במטען ‪ .Q‬בכדור חלל כדורי שקוטרו ‪( R‬ראה ציור)‪.‬‬
‫חשב את השדה בנקודות ‪A, B, O‬ועל ציר ה ‪ x‬במרחק ‪.x >> R‬‬
‫‪17kQ‬‬
‫‪18R 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪EA  ‬‬
‫‪kQ  7‬‬
‫‪R‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  8‬‬
‫‪16 x‬‬
‫‪E ( x) ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪E0  k 2‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪2R2‬‬
‫‪EB ‬‬