סואג קוח ־ 4 לוגרת :סואג קוח הרוגס תיחפנ תפטעמ .תפטעמה התוא
by user
Comments
Transcript
סואג קוח ־ 4 לוגרת :סואג קוח הרוגס תיחפנ תפטעמ .תפטעמה התוא
תרגול 4־ חוק גאוס חוק גאוס: אינטגרל על מעטפת נפחית סגורה של השדה החשמלי שווה לסה"כ המטען הכלואה בתוך אותה המעטפת. ‚ ~ S ~ = 4πkQinside )(1 Ed ניתן מהמשפט לבטא שני דברים: (1באופן טריוואלי בהינתן שדה במרחב ניתן לחשב, את המטען הנמצא בכל נפח שנבחר. (2בהינתן התפלגות מטען מסויימת ,כאשר ניתן להניח מתוך שיקולי סימטריה כי ישנו משטחים שווי שדה במבנה של מעטפת סגורה ,אזי ניתן לחלץ את השדה החשמלי. כלומר באופן פורמלי אם נניח כי השדה קבוע במשטחים של נפח מסויים אזי: ~ S ~ = Σ|E~i | · Si (n̂i · sˆi ) = 4πkQinside Ed ‚ )(2 ואז נצליח לקבוע בקלות את גודל וכיוון השדה החשמלי, כאשר: Si־ שטח המשטח i ~i E־ השדה החשמלי על משטח i n~i־ כיוון השדה החשמלי i ~־ כיוון המאונך למשטח iכך שיהיה מחוץ למעטפת si בהאתם למערכות הקוארדינטות שלנו כך גם יהיו השיקולי הסימטריה שנבסס אותם כדי להשתמש במשפט בכיוון השני שלו. 1 3201 ישנן שתי קליפות קוצנטריות )כלומר בעלות מרכז משותף( כמו בתמונה: קליפה אחת היא ברדיוס ,והיא טעונה באופן אחיד במטען כולל .הקליפה מוכלת בתוך קליפה שניה ,בעלת רדיוס ומטען כולל . :מצא את השדה החשמלי בכל התחומים )בתוך שתי הקליפות ,מחוץ לקליפה אחת ובתוך השניה ,מחוץ לשתי הקליפות( ,וצייר סכמטית גרף של השדה כפונקציה של הרדיוס. פתרון חוק גאוס: ~ S ~ = 4πkQinside Ed ‚ )(1 הסימטריה היא כדורית ולכן עבור קליפה עם רדיוס :Ri (2) 4πr2 Er = 4πkQinside ( kQi r > Ri r2 = (3) Er 0 r < Ri כעת נבצע סופרפוזציה של שני קליפות: r > r2 r1 < r < r2 r < r1 1 kq1 +kq2 r2 kq1 r2 0 = (4) Er 3406 א( נתונים שני מישורים אינסופיים טעונים בצפיפות אחידה σ+ו־ . σהמישורים מקבילים ורחוקים אחד מן השני ב־ .dבעזרת חוק גאוס חשב/י את השדה החשמלי בכל המרחב. ב( חזור/י על שאלה א' רק ששני המישורים טעונים בצפיפות מטען אחידה . σ פתרון סעיף א נפתור עבור לוח אחד ואז נבצע סופרפוזציה בין שניהם: הסימטריה של הבעיה היא קרטזית ,המעטפת הנפחית שלנו תיהיה קוביה כך שרק שני הפאות הרחוקות יתנו לנו תרומה לשדה. חוק גאוס: ‚ ~ S ~ = 4πkQinside )(1 Ed (2) Ez ẑ · Aẑ + Ez (−ẑ) · A(−ẑ) = 4πkAσ σ 2ε0 = (3) Ez = 2πkσ לכן קיבלנו כי: ̂· sign(z) · z σ 2ε0 = ̂~ = 2πkσ · sign(z)z (4) E התוצאה מראה כי השדה קבוע בכל המרחב )תלוי אם אנחנו מעל או מתחת ללוח(. כעת בחיבור שני לוחות נקבל תוצאה פשוטה )נניח כי הלוח החיובי הוא התחתון באפס והשני מעליו במרחק :(d σ ε0 ẑ 0 < z < d = ~ (5) E 0 else זו היא התוצאה של השדה של קבל לוחות. סעיף ב ,0 < z < d ,z > d ,z < 0 1 0 σ ̂ε0 z −σ ̂ε0 z = ~ (6) E 3301 נתון גליל חלול אינסופי ,אשר טעון רק בתחום r1 < ρ < r2באופן הבא: ρ(ρ) = ρ0 Rρ0 .1מהו השדה של חוט דק אחיד )אינסופי( הטעון בצפיפות מטען אורכיתλ .2מצא את צפיפות המטען האורכית כתלות ברדיוס ,עבור הגליל החלול שתואר. .3מצא את השדה בכל התחומים. פתרון .1 חוק גאוס: ~ S ~ = 4πkQinside Ed ‚ )(1 הסימטריה היא גלילית ולכן גם השדה יהיה בכיוון רדיאלי גלילי החוצה. המעטפת הנפחית תיהיה של גליל ,אך התרומה תיהיה מהמשטח האונך לתייל בלבד. עבור תייל כללי עם צפיפות מטען אחידה :λ (2) Eρ 2πρl = 4πklλ 2kλ ̂ρ ρ = ~ (3) E .2 צפיפות המטען האורכית: בתחוםρ < r1 : (4) λcylinder (ρ) = 0 בתחום r1 < ρ < r2 : ) − r13 2πρ0 3 3R0 (ρ בתחוםρ > r2 : 1 = ρ0 Rρ0 ρdρdϕ ´ 2π ´ ρ r1 0 = )(5) λcylinder (ρ ) − r13 2πρ0 3 3R0 (r2 = ρ0 Rρ0 ρdρdϕ ´ 2π ´ r2 r1 0 = )(6) λcylinder (ρ .3 חוק גאוס: הסימטריה היא דומה בדומה לתייל והמעטפת הינה אותו הדבר ,אך , ρ < r1 , r1 < ρ < r2 , ρ > r2 Qinsideשונה. ‚ ~ S ~ = 4πkQinside )(7 Ed 0 2k 2πρ0 3 ~ (ρ ̂− r13 )ρ · = (8) E ρ 3R0 )2kλcylinder (ρ ̂ρ ρ אפשר גם לרשום באופן מפורש כי: )2kλcylinder (ρ ̂ρ ρ יש לשים לב לא להתבלבל בין קוארדינטה ρלבין צפיפות המטען ρ0 וצפיפות המטען כפונקציה של הקוארדינטה הגלילית במרחב ).ρ(ρ 2 = ~ (9) E 3402 נתון מישור אינסופי הטעון בצפיפות מטען אחידה σהנמצא ב־ .z = 0במישור קיים חור עגול ברדיוס r0שמרכזו בראשית הצירים .מצא את השדה החשמלי לאורך ציר .z פתרון נשתמש בשיטת ה"מטען החסר" .נתייחס למשטח אינסופי טעון בצפיפות מטען, ובסופרפוזציה של דיסקה טעונה באופן אחיד .−σ עבור המשטח בלבד ניתן להשתמש בחוק גאוס. חוק גאוס: ~ S ~ = 4πkQinside Ed ‚ )(1 הסימטריה של הבעיה היא קרטזית ,המעטפת הנפחית שלנו תיהיה קוביה כך שרק שני הפאות הרחוקות יתנו לנו תרומה לשדה. (2) Ez ẑ · Aẑ + Ez (−ẑ) · A(−ẑ) = 4πkAσ σ 2ε0 = (3) Ez = 2πkσ לכן קיבלנו כי: ̂· sign(z) · z σ 2ε0 = ̂~ = 2πkσ · sign(z)z (4) E כעת נפתור שדה של דיסקה הטעונה בצפיפות מטען −σבציר :z ) − ~r0 kdq 0 r ~| ~r − ~( r 0 |3 ´ = ~ (5) E (6) dq 0 = σρ0 dρ0 dϕ0 ̂(7) ~r = z z )(8) ~r0 = ρρ̂ = ρ(cosϕ, sinϕ, 0 מסימטריה של הדיסקה נטען כי התרומה של השדה היא רק בכיוון z kσρ0 dρ0 dϕ0 )(z (ρ02 +z 2 )3/2 ρ0 z = xכך ש xהיינו חסר יחידות. 0 xdx (1+x2 )3/2 נשנה את משתנה האינטגרציה h ir0 /z 1 1 √ √ = 2πkσ − 1+x2 = −2πkσ 1 − 2 )1+(r0 /z ´ 2π ´ r0 0 ´ r0 /z 0 0 = (9) Ez Ez = −2πkσ )(10 כעת לבסוף נחבר את השדות לפי עקרון סופרפוזציה: 1 ~ √ (10) E = 2πkσ − 2πkσ 1 − ̂· sign(z)ẑ = √ 2πkσ 2 · sign(z)z 2 )1+(r0 /z )1+(r0 /z 1 3501 בכדור מלא שרדיוסו Rהטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה קודחים מגרעת כדורית. רדיוס מגרעת Bומרכזו במרחק Aממרכז הכדור המלא .מהו השדה החשמלי בתוך המגרעת? פתרון הגישה לפתרון הוא לפי עקרון ה״מטען החסר״ ,נביע את חוסר המטען במגרעת ע״פ כדור מלא עם צפיפות מטען אחידה ρוכדור קטן בתוכו עם צפיפות מטען אחידה .−ρ אז נוכל לפתור עבור כל כדור בנפרד ונבצע סופרפוזציה בין הכדורים ונשים לב כי אחד לא נמצא במרכז הסימטרי שלו. חוק גאוס: ‚ ~ S ~ = 4πkQinside )(1 Ed הסימטריה היא כדורית ולכן גם השדה יהיה בכיוון רדיאלי החוצה. עבור כדור כללי עם רדיוס Riעם צפיפות מטען אחידה :ρ (2) Er 4πr2 = 4πkQinside ( 4πRi3 ~ 3r 2 kρr̂ , r > Ri = (3) E 4π r , r < Ri ~3 kρ 4πR3 אפשר להשים לב כי הערך 3 i ρהינו סך המטען של הכדור ואם נסמן אותו ב Qאפשר לראות התנהגות שווה לחלוטין למטען נקודתי מחוץ לכדור. כעת נותר להשתמש בעקרון סופרפוזציה רק להשים לב כי את המגרעת יש להזיז בווקטור ~aמהראשית: 3 3 4πb 4πR 3r2 kρr̂ − 3|~r−~a|3 kρ · (~r − ~a) , outside the spheres 3 ~ 4π = (4) E kρ~r − 3|~4πb )r − ~a , inside R outside b ~r − ~( · a|3 kρ 4π 3 4π 4π r − 3 kρ(~r − ~a) = 3 kρ~a , inside the spheres ~3 kρ קיבלנו תוצאה מאוד מרשימה ולא אינטואיטיבית כי בתוך המגרעת ישנו שדה קבוע. 1 3506 A r = ).ρ(r קליפה כדורית עם רדיוס פנימי aורדיוס חיצוני bנושאת מטען נפחי לא אחיד מה היחידות של ?A במרכז החלל הכדורי ישנו מטען נקודתי . q מה ערכו של הקבוע המספרי כך שהשדה בתוך הקליפה לא יהיה תלוי במרחק ? פתרון c m3 לצפיפות המטען יש יחידות של: לכן ל Aיש יחידות של ] [ mc2וזה היחידות של צפיפות מטען משטחית. נשתמש בעיקרון סופרפוזציה ונמצא את השדה של הכדור ללא המטען הנקודתי, שימוש בחוק גאוס עבור סימטרייה כדורית )נתעניין בתחום בין שני הרדיוסים בלבד(: ‚ ~ S ~ = 4πkQinside )(1 Ed עבור ) a < r < bאינגרל על שני הזויוית יתן :(4π h 2 ir ´r = 2πA r2 − a2 = 4π a Ar r2 dr = 4πA r2 a (2) Qinside מעטפת כדורית הינה 4πr2 (3) 4πr2 Er = 4πk2πA r2 − a2 h i 2 (4) Er = 2πkA 1 − ar2 שדה של מטען נקודתי הינו ̂~ = kq2 r E r כדי לבטל את התלות ברדיוס נרצה שיוון בין: kq r2 2 = (5) 2πkA ar2 מכאן מקבלים כי: q 2πa2 = (6) A ואז השדה בין הקליפות יהיה: f or a < r < b 1 kq ;̂a2 r = ~ (7) E