Comments
Description
Transcript
ןעטמ לש הפיצר תוגלפתהמ ילמשח חכו הדש
שדה וכח חשמלי מהתפלגות רציפה של מטען עבור התפלגות דיסקרטית )מטען נקודתי( הכח והשדה החשמלי ניתנו על ידי: kqQ d 0 ~ = ~F = qE 2 r−r | |~r − ~r0 kQ d 0 = ~ E 2 r−r | |~r − ~r0 אולם כעת ,המטען שלנו Qעשוי להיות מפולג על ישר ,משטח או נפח שאינם נקודתיים ואז החישוב עבור השדה והכח החשמליים הופך יותר מורכב. מה עושים? לוקחים אלמנט קטן של מטען ,dQ0מתייחסים אליו כאל "מטען נקודתי" ומחשבים את השדה ~ dEשהוא יוצר סביבו: 0 ~ = kdQ dE rd − r0 2 | |~r − ~r0 כאשר: • ~r־ וקטור המיקום בו נרצה לחשב שדה/כח חשמלי ~ .F~ /E • ~r0־ וקטור מיקום התפלגות המטען .dQ0 אולם ,יש לנו כמות גדולה של אלמנטי מטען כאלו .נשתמש בעיקרון הסופרפוזיציה ונסכום אותם לקבלת השדה ~ Eמהתפלגות המטען כולה .כיוון שמדובר בהתפלגות רציפה ,הסכימה הופכת לאינטגרציה: ˆ ˆ k ~ = dE = ~ E − r0 dQ0 2 r d 0 ~~r − r נשים לב כי האינטגרציה היא על dQ0ולמעשה על כל מה שמסומן בטאג )'( ,מאחר ואנו "סוכמים" על התפלגות המטען. כעת נציג שיטה מסודרת על פי שלבים לחישוב השדה החשמלי .כדאי להכיר ולהתנסות בדרך זו גם אם אתם מעדיפים להיעזר ב"קיצורי דרך" כפי שהראינו בכיתה. שלבים בפתרון: מתחילים תמיד עם הביטוי: ~r − r~0 0 3 kdQ | |~r − ~r0 rd = − r0 0 kdQ 2 | − ~r0 |~r = ~ dE שלב 1יש לבטא את dQ0באמצעות צפיפות המטען המתאימה: λ־ צפיפות מטען אורכית )באלמנט אורך dQ = λdl0 ← (dl 0 σ־ צפיפות מטען משטחית )באלמנט משטח dQ = σdS 0 ← (dS ρ־ צפיפות מטען נפחית )באלמנט נפח dQ0 = ρdV 0 ← (dV )הערה :חשוב להקפיד לא לשכוח את הטאג ' מכיוון שעליו בלבד אתם מבצעים אינטגרציה( 0 1 שלב 2יש לבחור מערכת קורדינטות נוחה )קרטזיות/גליליות/כדוריות( .שאלו את עצמכם: האם קיימת סימטריה בבעיה? כלומר ,האם השדה/הכח החשמלי בלתי תלויים בקורדינטה כלשהי )כמו זווית ,מרחק מהראשית ,מרחק מהציר וכו'(. האם התפלגות המטען נוחה לתיאור בקורדינטות מסויימות? )כמו דיסקה וגליל בקוא' גליליות ,קליפה כדורית בקוא' כדוריות וכו'(. שלב 3לבטא את כל הפרמטרים dQ0 , ~r, r~0בנוסחה באמצעות הקורדינטות שנבחרו: x, y, z־ עבור קרטזיות r, θ, ϕ־ עבור כדוריות/ספריות ρ, ϕ, z־ עבור גליליות/צילנדריות )בשני מימדים 2Dיש לבחור בין קרטזיות ) (x, yלבין פולריות ).((r, θ שלב 4אם נתבקשתם לחשב שדה/כח חשמלי בכיוון מסויים בלבד או לחילופין זיהתם שאחד מרכיבי השדה/כח או יותר מתאפסים ← ניתן פשוט להטיל את ~ dEבכיוון הרכיב הרצוי .איך עושים זאת? באמצעות מכפלה סקלרית. לדוגמא :נניח ואנו יודעים שמסימטריה השדה הוא בכיוון ̂ ,zאז נכפול סקלרית בכיוון זה: 0 kdQ = ̂~ · z ̂d 0 · z dEz = dE 2 r−r | |~r − ~r0 r −ˆ r0 · ẑ = r d − r0 |ẑ| cos α = cos α אולם עליכם לזכור כי αלא בהכרח מתוארת על ידי הקורדינטות שנבחרו בשלב 2 )לרוב לא( ,לכן יהיה עליכם לבטא גם את cos αבשלב 3בנוסף. שלב 5כל שנותר כעת הוא לבצע אינטגרציה .זכרו ,מספר האינטגרלים יהיה כמספר המימדים של התפלגות המטען )אינטגרל יחיד על התפלגות אורכית ,אינטגרל כפול על התפלגות משטחית ואינטגרל משולש על התפלגות נפחית(. בחירה נכונה של קורדינטות תוביל לכך שקורדינטה אחת אינה תלויה בשניה )גבולות האינטגרציה(. במקרה של אינטגרל כפול/משולש ־ אין זה משנה הסדר בו אתם מחשבים את האינטגרלים השונים. משתנה שאינו מופיע בטאג ,או לחילופין ,האינטגרל אינו מבוצע עליו ספציפי ־ מתייחסים אליו כאל קבוע. זכרו ,השדה החשמלי הוא וקטור בעל 3רכיבים .במידה ולא ביצעתם הטלה לכיוון מסויים ־ יהיה עליכם לעשות אינטגרל על כל רכיב ורכיב בנפרד. חישוב כח הפועל על גוף רציף F~ = q Eהנחנו כי המטען Qשיוצר את השדה ~ בביטוי ~ Eהוא בעל התפלגות רציפה .אולם, יתכן מצב בו נרצה לחשב כח כולל על גוף רציף שמצוי בשדה חשמלי .במקרה כזה: ~ dq E ˆ ~ Edq ! dq rd − r0 dQ0 k 2 | |~r − ~r0 2 ˆ = ~dF = ~F ˆ = ~F האינטגרל הפנימי הוא פשוט השדה ~ Eשחושב .האינטגרל החיצוני הוא פשוט לקחת אלמנט מטען dqשמצוי במיקום ~rולכפול את השדה )~ (~r Eבאותה נקודה ־ ואז לבצע אינטגרציה על מימדי אותו גוף. תמיד אפשר לחשב קודם את השדה ולהציב את הביטוי המתקבל באינטגרל על הכח .אך גם פה ,הסדר אינו משנה .הקפדה על סימון ) ~rו־ (r~0חשוב ביותר! 3 שאלה 2 2200 נתונה דיסקה דקה ברדיוס aהנמצאית במישור ,x − yכך שמרכזה נמצא בראשית הצירים. הדיסקה טעונה בהתפלגות מטען אחידה .σחשבו את הכח שפועל על מטען qהנמצא על ציר zכתוצאה מהמטען בדיסקה. פתרון הכח הפועל על המטען qהוא פשוט ~ F~ = q E כאשר ~ Eהוא השדה החשמלי אותו יוצרת הדיסקה .מדובר בהתפלגות רציפה ,על כן נחשב ~ את השדה החשמלי dEשיוצר מטען dQהמצוי על הדיסקה: ~ = kdQ ~0 dE ~ r − r 3 | |~r − ~r0 כעת נבטא את כל הפרמטרים בביטוי לעיל באמצעות קורדינטות גליליות ) .(ρ, ϕ, zנזכור כי ~rהוא הוקטור המיקום בו נרצה לחשב את השדה החשמלי ,עבור השאלה שלנו מדובר בציר zבלבד .וכן r~0הוא וקטור המיקום של התפלגות המטען ,עבור השאלה שלנו המטען מצוי רק במישור .x − yלפיכך: )(0, 0, z = ~r )(ρ0 cos ϕ0 , ρ0 sin ϕ0 , 0 = ~r0 )(−ρ0 cos ϕ0 , ρ0 sin ϕ0 , z q = ρ02 cos2 ϕ0 + ρ02 sin2 ϕ0 + z 2 p = ρ02 + z 2 = ~r − r~0 ~r − r~0 המטען dQפרוש על גבי משטח של דיסקה: dQ = σdS = σρ0 dρ0 dϕ0 נציב בביטוי עבור ~ dE )(−ρ0 cos ϕ0 , ρ0 sin ϕ0 , z kσρ0 dρ0 dϕ0 3/2 ) (ρ02 + z 2 = ~ dE על מנת למצוא את השדה ,עלינו לבצע אינטגרציה על dρו־ .dϕרכיבי השדה: ˆ2π cos ϕ0 dϕ0 ρ02 dρ0 ˆa = −kσ 3/2 0 ) (ρ02 + z 2 ˆ2π sin ϕ0 dϕ0 ρ02 dρ0 0 ˆa = −kσ 3/2 0 ) (ρ02 + z 2 1 Ex 0 Ey ˆ2π dϕ0 zρ0 dρ0 3/2 0 נשים לב ש־ sin ϕ0 dϕ0 = 0 #a 0 1 ´ 2π 0 ˆa = kσ ) (ρ02 + z 2 = cos ϕ0 dϕ0 " = 2πkσz − p ρ02 + z 2 ´ 2π 0 Ez 0 ולכן אנחנו נשארים רק עם רכיב :z ˆa ρ0 dρ0 2πkσz = z √ 2πkσ 1 − z 2 + a2 = 3/2 ) (ρ02 + z 2 Ez 0 Ez לסיכום ̂~ = Ez z Eוהכח הפועל על מטען המצוי על גבי ציר zהוא: z ~ √ F = 2πkqσ 1 − ̂z z 2 + a2 לשם הרחבה ,נסתכל מה קורה אם אנו לוקחים 2מקרי קיצון :רחוק מאוד מהדיסקה וקרוב מאוד אליה: רחוק מאוד מהדיסקה :z a a 2 z z 1 √ E = 2πkσ 1 − = 2πkσ 1 − q 2 2 z +a 1+ נעזר בקירוב טיילור עבור :∆x 1 )d2 f (x )df (x 2 ∆x + · · · (∆x) + f (x) = f (x0 + ∆x) u f (x = x0 ) + dx x=x0 dx2 x=x0 עבור המקרה שלנו: 1 √= 2 x a z 1 q 1+ 1 a 2 z a 2 z 1+ = )f (x = x0 = ∆x = x כעת נחשב את 2האיברים הראשונים בטור .סדר 0הוא פשוט להציב בפונקציה שלנו :x = x0 = 1 f (x0 ) = 1 אם נסתפק רק בסדר ,0הקירוב יהיה גס מדי והצבה בשדה החשמלי יתן אפס .על כן נחשב את סדר ) 1האיבר השני בפיתוח לטור טיילור(. 2 קודם עלינו לבצע נגזרת ראשונה ← רק אז להציב x = x0 = 1ולבסוף ← לכפול ב־ 2 :∆x = az )df (x d 1 1 1 √ = = − 3/2 dx dx 2x x 1 )df (x = − dx x=x0 2 )df (x 1 a 2 ∆x = − dx 2 z x=x0 ומקבלים: 1 a 2 z 2 u1− 1 f (x) = q 1+ a 2 z נציב כעת עבור הביטוי של השדה: 1 1 a 2 kσπa2 q E = 2πkσ 1 − u 2πkσ 1 − 1 − = 2 2 z z2 1 + az kQ ←̂z 2 z שימו לב כי השדה רחוק מאוד מהדיסקה מתנהג כמו מטען נקודתי Q = πa2 הדבר הגיוני ,שכן רחוק מאוד הדיסקה "נראית" כמו נקודה )מטען נקודתי(. קרוב מאוד לדיסקה :z a z z 1 √ E = 2πkσ 1 − = 2πkσ 1 − q z 2 + a2 z 2 a 1+ a = ~ .E הפעם מספיק רק סדר ) 0כי השדה לא יתאפס עבורו(: 1 √= x 1 z 2 a 1+ q 1 z 2 = x0 = ∆x 1+ = x 1 = ) f (x0 a z 2 a = )f (x הצבה תיתן לנו: z E = 2πkσ − 2πkσ a כאשר z u 0קרוב מאוד לדיסקה ,הדיסקה היא כמו "משטח אינסופי" ואז אנו מקבלים את התוצאה המוכרת: 2πσ σ = E u 2πkσ = 4π0 20 3