...

ןעטמ לש הפיצר תוגלפתהמ ילמשח חכו הדש

by user

on
Category: Documents
11

views

Report

Comments

Transcript

ןעטמ לש הפיצר תוגלפתהמ ילמשח חכו הדש
‫שדה וכח חשמלי מהתפלגות רציפה של מטען‬
‫עבור התפלגות דיסקרטית )מטען נקודתי( הכח והשדה החשמלי ניתנו על ידי‪:‬‬
‫ ‪kqQ d 0‬‬
‫~‬
‫= ~‪F‬‬
‫‪= qE‬‬
‫‪2 r−r‬‬
‫| ‪|~r − ~r0‬‬
‫ ‪kQ d 0‬‬
‫= ~‬
‫‪E‬‬
‫‪2 r−r‬‬
‫| ‪|~r − ~r0‬‬
‫אולם כעת‪ ,‬המטען שלנו ‪ Q‬עשוי להיות מפולג על ישר‪ ,‬משטח או נפח שאינם נקודתיים ואז‬
‫החישוב עבור השדה והכח החשמליים הופך יותר מורכב‪.‬‬
‫מה עושים? לוקחים אלמנט קטן של מטען ‪ ,dQ0‬מתייחסים אליו כאל "מטען נקודתי"‬
‫ומחשבים את השדה ~‬
‫‪ dE‬שהוא יוצר סביבו‪:‬‬
‫‬
‫ ‪0‬‬
‫‪~ = kdQ‬‬
‫‪dE‬‬
‫‪rd‬‬
‫‪− r0‬‬
‫‪2‬‬
‫| ‪|~r − ~r0‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫• ‪ ~r‬־ וקטור המיקום בו נרצה לחשב שדה‪/‬כח חשמלי ~‬
‫‪.F~ /E‬‬
‫• ‪ ~r0‬־ וקטור מיקום התפלגות המטען ‪.dQ0‬‬
‫אולם‪ ,‬יש לנו כמות גדולה של אלמנטי מטען כאלו‪ .‬נשתמש בעיקרון הסופרפוזיציה ונסכום‬
‫אותם לקבלת השדה ~‬
‫‪ E‬מהתפלגות המטען כולה‪ .‬כיוון שמדובר בהתפלגות רציפה‪ ,‬הסכימה‬
‫הופכת לאינטגרציה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫‪~ = dE‬‬
‫= ~‬
‫‪E‬‬
‫‪− r0 dQ0‬‬
‫‬
‫‪2 r d‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫ ~‪~r − r‬‬
‫נשים לב כי האינטגרציה היא על ‪ dQ0‬ולמעשה על כל מה שמסומן בטאג )'(‪ ,‬מאחר ואנו‬
‫"סוכמים" על התפלגות המטען‪.‬‬
‫כעת נציג שיטה מסודרת על פי שלבים לחישוב השדה החשמלי‪ .‬כדאי להכיר ולהתנסות‬
‫בדרך זו גם אם אתם מעדיפים להיעזר ב"קיצורי דרך" כפי שהראינו בכיתה‪.‬‬
‫שלבים בפתרון‪:‬‬
‫מתחילים תמיד עם הביטוי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪~r − r~0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪kdQ‬‬
‫| ‪|~r − ~r0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪rd‬‬
‫= ‪− r0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪kdQ‬‬
‫‪2‬‬
‫| ‪− ~r0‬‬
‫‪|~r‬‬
‫= ~‬
‫‪dE‬‬
‫שלב ‪ 1‬יש לבטא את ‪ dQ0‬באמצעות צפיפות המטען המתאימה‪:‬‬
‫‪ λ‬־ צפיפות מטען אורכית )באלמנט אורך ‪dQ = λdl0 ← (dl‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ σ‬־ צפיפות מטען משטחית )באלמנט משטח ‪dQ = σdS 0 ← (dS‬‬
‫‪ ρ‬־ צפיפות מטען נפחית )באלמנט נפח ‪dQ0 = ρdV 0 ← (dV‬‬
‫)הערה‪ :‬חשוב להקפיד לא לשכוח את הטאג ' מכיוון שעליו בלבד אתם מבצעים‬
‫אינטגרציה(‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫שלב ‪ 2‬יש לבחור מערכת קורדינטות נוחה )קרטזיות‪/‬גליליות‪/‬כדוריות(‪ .‬שאלו את עצמכם‪:‬‬
‫האם קיימת סימטריה בבעיה? כלומר‪ ,‬האם השדה‪/‬הכח החשמלי בלתי תלויים‬
‫בקורדינטה כלשהי )כמו זווית‪ ,‬מרחק מהראשית‪ ,‬מרחק מהציר וכו'(‪.‬‬
‫האם התפלגות המטען נוחה לתיאור בקורדינטות מסויימות? )כמו דיסקה וגליל בקוא'‬
‫גליליות‪ ,‬קליפה כדורית בקוא' כדוריות וכו'(‪.‬‬
‫שלב ‪ 3‬לבטא את כל הפרמטרים ‪ dQ0 , ~r, r~0‬בנוסחה באמצעות הקורדינטות שנבחרו‪:‬‬
‫‪ x, y, z‬־ עבור קרטזיות‬
‫‪ r, θ, ϕ‬־ עבור כדוריות‪/‬ספריות‬
‫‪ ρ, ϕ, z‬־ עבור גליליות‪/‬צילנדריות‬
‫)בשני מימדים ‪ 2D‬יש לבחור בין קרטזיות )‪ (x, y‬לבין פולריות )‪.((r, θ‬‬
‫שלב ‪ 4‬אם נתבקשתם לחשב שדה‪/‬כח חשמלי בכיוון מסויים בלבד או לחילופין זיהתם שאחד‬
‫מרכיבי השדה‪/‬כח או יותר מתאפסים ← ניתן פשוט להטיל את ~‬
‫‪ dE‬בכיוון הרכיב‬
‫הרצוי‪ .‬איך עושים זאת? באמצעות מכפלה סקלרית‪.‬‬
‫לדוגמא‪ :‬נניח ואנו יודעים שמסימטריה השדה הוא בכיוון ̂‪ ,z‬אז נכפול סקלרית בכיוון‬
‫זה‪:‬‬
‫‬
‫ ‪0‬‬
‫‪kdQ‬‬
‫= ̂‪~ · z‬‬
‫̂‪d 0 · z‬‬
‫‪dEz = dE‬‬
‫‪2 r−r‬‬
‫| ‪|~r − ~r0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪r −ˆ r0 · ẑ = r d‬‬
‫‪− r0 |ẑ| cos α = cos α‬‬
‫אולם עליכם לזכור כי ‪ α‬לא בהכרח מתוארת על ידי הקורדינטות שנבחרו בשלב ‪2‬‬
‫)לרוב לא(‪ ,‬לכן יהיה עליכם לבטא גם את ‪ cos α‬בשלב ‪ 3‬בנוסף‪.‬‬
‫שלב ‪ 5‬כל שנותר כעת הוא לבצע אינטגרציה‪ .‬זכרו‪ ,‬מספר האינטגרלים יהיה כמספר‬
‫המימדים של התפלגות המטען )אינטגרל יחיד על התפלגות אורכית‪ ,‬אינטגרל כפול‬
‫על התפלגות משטחית ואינטגרל משולש על התפלגות נפחית(‪.‬‬
‫בחירה נכונה של קורדינטות תוביל לכך שקורדינטה אחת אינה תלויה בשניה )גבולות‬
‫האינטגרציה(‪.‬‬
‫במקרה של אינטגרל כפול‪/‬משולש ־ אין זה משנה הסדר בו אתם מחשבים את‬
‫האינטגרלים השונים‪.‬‬
‫משתנה שאינו מופיע בטאג‪ ,‬או לחילופין‪ ,‬האינטגרל אינו מבוצע עליו ספציפי ־‬
‫מתייחסים אליו כאל קבוע‪.‬‬
‫זכרו‪ ,‬השדה החשמלי הוא וקטור בעל ‪ 3‬רכיבים‪ .‬במידה ולא ביצעתם הטלה לכיוון‬
‫מסויים ־ יהיה עליכם לעשות אינטגרל על כל רכיב ורכיב בנפרד‪.‬‬
‫חישוב כח הפועל על גוף רציף‬
‫‪ F~ = q E‬הנחנו כי המטען ‪ Q‬שיוצר את השדה ~‬
‫בביטוי ~‬
‫‪ E‬הוא בעל התפלגות רציפה‪ .‬אולם‪,‬‬
‫יתכן מצב בו נרצה לחשב כח כולל על גוף רציף שמצוי בשדה חשמלי‪ .‬במקרה כזה‪:‬‬
‫~‬
‫‪dq E‬‬
‫ˆ‬
‫~‬
‫‪Edq‬‬
‫!‬
‫‪dq‬‬
‫‬
‫‪rd‬‬
‫‪− r0 dQ0‬‬
‫‪k‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫| ‪|~r − ~r0‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫=‬
‫~‪dF‬‬
‫=‬
‫~‪F‬‬
‫ˆ‬
‫=‬
‫~‪F‬‬
‫האינטגרל הפנימי הוא פשוט השדה ~‬
‫‪ E‬שחושב‪ .‬האינטגרל החיצוני הוא פשוט לקחת אלמנט‬
‫מטען ‪ dq‬שמצוי במיקום ‪ ~r‬ולכפול את השדה )‪~ (~r‬‬
‫‪ E‬באותה נקודה ־ ואז לבצע אינטגרציה‬
‫על מימדי אותו גוף‪.‬‬
‫תמיד אפשר לחשב קודם את השדה ולהציב את הביטוי המתקבל באינטגרל על הכח‪ .‬אך‬
‫גם פה‪ ,‬הסדר אינו משנה‪ .‬הקפדה על סימון )‪ ~r‬ו־ ‪ (r~0‬חשוב ביותר!‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪2 2200‬‬
‫נתונה דיסקה דקה ברדיוס ‪ a‬הנמצאית במישור ‪ ,x − y‬כך שמרכזה נמצא בראשית הצירים‪.‬‬
‫הדיסקה טעונה בהתפלגות מטען אחידה ‪ .σ‬חשבו את הכח שפועל על מטען ‪ q‬הנמצא על‬
‫ציר ‪ z‬כתוצאה מהמטען בדיסקה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫הכח הפועל על המטען ‪ q‬הוא פשוט‬
‫~‬
‫‪F~ = q E‬‬
‫כאשר ~‬
‫‪ E‬הוא השדה החשמלי אותו יוצרת הדיסקה‪ .‬מדובר בהתפלגות רציפה‪ ,‬על כן נחשב‬
‫~‬
‫את השדה החשמלי ‪ dE‬שיוצר מטען ‪ dQ‬המצוי על הדיסקה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪~ = kdQ‬‬
‫‪~0‬‬
‫‪dE‬‬
‫~‬
‫‪r‬‬
‫‪−‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫| ‪|~r − ~r0‬‬
‫כעת נבטא את כל הפרמטרים בביטוי לעיל באמצעות קורדינטות גליליות )‪ .(ρ, ϕ, z‬נזכור‬
‫כי ‪ ~r‬הוא הוקטור המיקום בו נרצה לחשב את השדה החשמלי‪ ,‬עבור השאלה שלנו מדובר‬
‫בציר ‪ z‬בלבד‪ .‬וכן ‪ r~0‬הוא וקטור המיקום של התפלגות המטען‪ ,‬עבור השאלה שלנו המטען‬
‫מצוי רק במישור ‪ .x − y‬לפיכך‪:‬‬
‫)‪(0, 0, z‬‬
‫=‬
‫‪~r‬‬
‫)‪(ρ0 cos ϕ0 , ρ0 sin ϕ0 , 0‬‬
‫=‬
‫‪~r0‬‬
‫)‪(−ρ0 cos ϕ0 , ρ0 sin ϕ0 , z‬‬
‫‪q‬‬
‫=‬
‫‪ρ02 cos2 ϕ0 + ρ02 sin2 ϕ0 + z 2‬‬
‫‪p‬‬
‫=‬
‫‪ρ02 + z 2‬‬
‫=‬
‫‪~r − r~0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪~r − r~0‬‬
‫המטען ‪ dQ‬פרוש על גבי משטח של דיסקה‪:‬‬
‫‪dQ = σdS = σρ0 dρ0 dϕ0‬‬
‫נציב בביטוי עבור ~‬
‫‪dE‬‬
‫)‪(−ρ0 cos ϕ0 , ρ0 sin ϕ0 , z‬‬
‫‪kσρ0 dρ0 dϕ0‬‬
‫‪3/2‬‬
‫) ‪(ρ02 + z 2‬‬
‫= ~‬
‫‪dE‬‬
‫על מנת למצוא את השדה‪ ,‬עלינו לבצע אינטגרציה על ‪ dρ‬ו־‪ .dϕ‬רכיבי השדה‪:‬‬
‫‪ˆ2π‬‬
‫‪cos ϕ0 dϕ0‬‬
‫‪ρ02 dρ0‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪= −kσ‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪(ρ02 + z 2‬‬
‫‪ˆ2π‬‬
‫‪sin ϕ0 dϕ0‬‬
‫‪ρ02 dρ0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪= −kσ‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪(ρ02 + z 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ex‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Ey‬‬
‫‪ˆ2π‬‬
‫‪dϕ0‬‬
‫‪zρ0 dρ0‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‪0‬‬
‫נשים לב ש־ ‪sin ϕ0 dϕ0 = 0‬‬
‫‪#a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪´ 2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪= kσ‬‬
‫) ‪(ρ02 + z 2‬‬
‫= ‪cos ϕ0 dϕ0‬‬
‫"‬
‫‪= 2πkσz − p‬‬
‫‪ρ02 + z 2‬‬
‫‪´ 2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Ez‬‬
‫‪0‬‬
‫ולכן אנחנו נשארים רק עם רכיב ‪:z‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪ρ0 dρ0‬‬
‫‪2πkσz‬‬
‫=‬
‫‬
‫‬
‫‪z‬‬
‫√ ‪2πkσ 1 −‬‬
‫‪z 2 + a2‬‬
‫=‬
‫‪3/2‬‬
‫) ‪(ρ02 + z 2‬‬
‫‪Ez‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Ez‬‬
‫לסיכום ̂‪~ = Ez z‬‬
‫‪ E‬והכח הפועל על מטען המצוי על גבי ציר ‪ z‬הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪z‬‬
‫~‬
‫√‬
‫‪F = 2πkqσ 1 −‬‬
‫̂‪z‬‬
‫‪z 2 + a2‬‬
‫לשם הרחבה‪ ,‬נסתכל מה קורה אם אנו לוקחים ‪ 2‬מקרי קיצון‪ :‬רחוק מאוד מהדיסקה וקרוב‬
‫מאוד אליה‪:‬‬
‫רחוק מאוד מהדיסקה ‪:z a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪a 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫√ ‪E = 2πkσ 1 −‬‬
‫‪= 2πkσ 1 − q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +a‬‬
‫‪1+‬‬
‫נעזר בקירוב טיילור עבור ‪:∆x 1‬‬
‫‬
‫‬
‫ )‪d2 f (x‬‬
‫ )‪df (x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∆x‬‬
‫‪+‬‬
‫· · · ‪(∆x) +‬‬
‫‪f (x) = f (x0 + ∆x) u f (x = x0 ) +‬‬
‫‪dx x=x0‬‬
‫‪dx2 x=x0‬‬
‫עבור המקרה שלנו‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫√=‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ a 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ a 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1+‬‬
‫=‬
‫)‪f (x‬‬
‫=‬
‫‪x0‬‬
‫=‬
‫‪∆x‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫כעת נחשב את ‪ 2‬האיברים הראשונים בטור‪ .‬סדר ‪ 0‬הוא פשוט להציב בפונקציה שלנו‬
‫‪:x = x0 = 1‬‬
‫‪f (x0 ) = 1‬‬
‫אם נסתפק רק בסדר ‪ ,0‬הקירוב יהיה גס מדי והצבה בשדה החשמלי יתן אפס‪ .‬על כן נחשב‬
‫את סדר ‪) 1‬האיבר השני בפיתוח לטור טיילור(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫קודם עלינו לבצע נגזרת ראשונה ← רק אז להציב ‪ x = x0 = 1‬ולבסוף ← לכפול ב־‬
‫‪2‬‬
‫‪:∆x = az‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪df (x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫√‬
‫=‬
‫‪= − 3/2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫ )‪df (x‬‬
‫‪= −‬‬
‫‪dx x=x0‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫ )‪df (x‬‬
‫‪1 a 2‬‬
‫‪∆x‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫ ‪dx‬‬
‫‪2 z‬‬
‫‪x=x0‬‬
‫ומקבלים‪:‬‬
‫‪1 a 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u1−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x) = q‬‬
‫‪1+‬‬
‫‬
‫‪a 2‬‬
‫‪z‬‬
‫נציב כעת עבור הביטוי של השדה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1 a 2‬‬
‫‪kσπa2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪E = 2πkσ 1 −‬‬
‫‪u‬‬
‫‪2πkσ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2 z‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪1 + az‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫←̂‪z 2 z‬‬
‫שימו לב כי השדה רחוק מאוד מהדיסקה מתנהג כמו מטען נקודתי ‪Q = πa2‬‬
‫הדבר הגיוני‪ ,‬שכן רחוק מאוד הדיסקה "נראית" כמו נקודה )מטען נקודתי(‪.‬‬
‫קרוב מאוד לדיסקה ‪:z a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫√ ‪E = 2πkσ 1 −‬‬
‫‪= 2πkσ 1 − q‬‬
‫‬
‫‪z 2 + a2‬‬
‫‪z 2 a‬‬
‫‪1+ a‬‬
‫= ~‬
‫‪.E‬‬
‫הפעם מספיק רק סדר ‪) 0‬כי השדה לא יתאפס עבורו(‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫√=‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪z 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ z 2‬‬
‫=‬
‫‪x0‬‬
‫=‬
‫‪∆x‬‬
‫‪1+‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫) ‪f (x0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ z 2‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫)‪f (x‬‬
‫הצבה תיתן לנו‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪E = 2πkσ − 2πkσ‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר ‪ z u 0‬קרוב מאוד לדיסקה‪ ,‬הדיסקה היא כמו "משטח אינסופי" ואז אנו מקבלים את‬
‫התוצאה המוכרת‪:‬‬
‫‪2πσ‬‬
‫‪σ‬‬
‫= ‪E u 2πkσ‬‬
‫=‬
‫‪4π0‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3‬‬
Fly UP