ילמשח ה לופידה (electric dipole)

‫הדיפול החשמלי )‪(electric dipole‬‬
‫‬
‫‬
‫מערך של שני מטענים חשמליים השווים בגודלם‪ ,‬הפוכים בסימנם‬
‫ומופרדים מרחק מסוים זה מזה נקרא מערך דיפולי או דיפול חשמלי‪.‬‬
‫בעברית דו‪-‬קוטב חשמלי‪.‬‬
‫לדוגמא על מולקולת מלח הבישול במצב גזי ניתן לחשוב כמורכבת‬
‫מיוני הנתרן )‪ (Na‬והכלור )‪ (Cl‬המופרדים זה מזה‪ -‬דו‪-‬קוטב חשמלי‪.‬‬
‫ המכפלה ‪ qd‬חוזרת על עצמה בחישובים רבים והיא מכונה מומנט הדיפול החשמלי‬
‫)‪ (electric dipole moment‬המסומן ב ‪p. = qd -‬‬
‫ נחשב את השדה החשמלי בנקודה הנמצאת על האנך האמצעי לקו המחבר בין שני‬
‫המטענים‪.‬‬
‫ מאחר והנקודה ‪ p‬נמצאת‬
‫באותו המרחק משני המטענים‬
‫הזהים בגודלם הרי שהשדות‬
‫שיוצרים שני המטענים הם‬
‫שווי גודל‪ ,‬כלומר ‪. E = E‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫כמו כן בגלל ששני השדות‬
‫יוצרים את אותו הכיוון עם‬
‫ציר ה –‪ z‬הרי שרכיב ה ‪ x -‬של השדה השקול מתאפס‪.‬‬
‫‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪Ez = − E+ cosθ − E− cosθ = −2 E+ cosθ‬‬
‫‪q‬‬
‫עבור עצמת השדה נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d /2‬‬
‫ מהציור נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫)‪x + ( d / 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E− = E+ = k‬‬
‫= ‪cosθ‬‬
‫)‪x + ( d / 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ובסיכומו של דבר נקבל עבור השדה החשמלי הדיפולי‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2 3/ 2‬‬
‫‪ x + ( d / 2) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E = −k‬‬
‫‬
‫לפעמים מעניין השדה במרחקים גדולים שבהם ‪ x‬גדול בהרבה מ – ‪ .d‬כיצד‬
‫נראה השדה במקרה זה ? כדי לענות על שאלה זו נשתמש בפיתוח הבינום‪:‬‬
‫‪n ( n − 1) 2‬‬
‫‪= 1 + nα +‬‬
‫‪α + ... +‬‬
‫!‪2‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫) ‪(1 + α‬‬
‫כאשר ‪ α‬הוא פרמטר קטן מ ‪ 1‬נוכל לעצור באיבר השני בפיתוח‪ .‬במקרה‬
‫שלנו נקבל‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ez = −k 3‬‬
‫=‬
‫‪3/‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 1 + ( d / 2 x) 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p 3‬‬
‫‪2 −3/ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−k 3 1 + (d / 2 x) ‬‬
‫‪= −k 3 1 − (d / 2 x) ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x  2‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫כעת אם ‪ x>>d‬נוכל להזניח את האיבר השני בפיתוח ולקבל את‬
‫התוצאה המקורבת עבור שדה הדיפול במרחקים גדולים‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪Ez = −k 3‬‬
‫‪x‬‬
‫נשים לב כי במרחקים גדולים שדה הדיפול מתנהג כ ‪3‬‬
‫‪1/ r‬‬
‫בשונה מהמטען הנקודתי שמתנהג כ‪. 1/ r 2 -‬‬
‫חוק גאוס‬
‫כדי למצוא את מרכז המסה של גוף כלשהו‪ ,‬יש צורך לערוך סדרת ניסויים‬
‫או חישובים מסובכים‪ .‬לעומת זאת אם הגוף הוא סימטרי ניתן להשתמש‬
‫בסימטריה ולפשט את מציאת מרכז המסה‪.‬‬
‫חוק קולון הוא החוק היסודי של האלקטרוסטטיקה‪ .‬אולם הניסוח שלו‬
‫לא מאפשר לפשט את המצב אם המערכת סימטרית‪ .‬חוק גאוס מאפשר‬
‫לנו לפשט את החישובים אם המערכת היא סימטרית‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫חוק גאוס הוא פורמליזם מתמטי המאפשר לנו לחשב את השדה‬
‫החשמלי של התפלגויות מטען סימטריות בקלות רבה‪.‬‬
‫חוק גאוס מניב את אותם התוצאות כחוק קולון אולם הוא נחשב לכללי‬
‫יותר והוא ישים גם למקרה בו המטענים אינם סטטיים‪.‬‬
‫חוק גאוס קושר בין השדה החשמלי למקורותיו‪ ,‬דהיינו למטענים‬
‫החשמליים היוצרים אותו‪.‬‬
‫נעיר כי מספר הבעיות שניתן לפותרם בעזרת חוק גאוס קטן והוא מוגבל‬
‫לבעיות בעלות סימטריה גבוהה‪.‬‬
‫מושג עקרוני בחוק גאוס הוא משטח גאוסי‪ .‬זהו תמיד משטח סגור בעל צורה‬
‫כלשהי‪ .‬אבל הוא שמושי מאוד אם המשטח משקף את הסימטריה של הבעיה‪.‬‬
‫נתון משטח גאוסי בעל צורת כדור‪ .‬השדה על פני‬
‫המשטח רדיאלי בכיוונו ושווה בגודלו‪ .‬מה ניתן‬
‫לומר על המטען בתוך המשטח?‬
‫האינטואיציה שלנו‪ ,‬ללא ידיעת חוק גאוס‪ ,‬אומרת‬
‫שחייב להיות מקור לשדה החשמלי בתוך המשטח‬
‫הגאוסי‪ .‬חוק גאוס יאמר בדיוק כמה מטען צריך‬
‫להיות בתוך המשטח‪.‬‬
‫השטף של שדה וקטורי‬
‫‬
‫השטף )‪ (Flux‬הוא תכונה פיסיקלית של כל שדה וקטורי והיא מספקת‬
‫מידה לזרימתו או לחדירתם של קווי השדה דרך משטח )צורה דו‪-‬‬
‫ממידית( הנמצא בשדה‪ .‬בדוגמא הבאה נתייחס לשטף שדה מהיריות‬
‫של זורם כלשהו‪ .‬נתייחס לנוזל כלשהוא הזורם בצורה אחידה‪ .‬את‬
‫הזרימה נייצג ע"י שדה מהיריות‪ .‬נדמיין לעצמנו כי אנו שמים תיל‬
‫שכופף בצורת לולאה ריבועית בניצב לכיוון הזרימה )ציור ‪.(a‬‬
‫‪Φ = vA‬‬
‫אנו מגדירים את השטף של שדה המהירות דרך שטח הלולאה הניצבת‬
‫למהירות ע"י‪:‬‬
‫‪Φ = vA‬‬
‫‬
‫‬
‫כאשר ‪ v‬היא המהירות ו‪ A -‬הוא השטח של המשטח דרכו השטף מחושב‪.‬‬
‫לשטף יש יחידות של נפח מחולק בזמן כלומר הוא מהווה מידה לקצב‬
‫החדירה של הנוזל דרך הלולאה הניצבת לשדה‪ .‬יהיה זה נוח להתייחס‬
‫לשטף כמידה למספר קווי השדה החודרים את הלולאה בניצב‪.‬‬
‫‬
‫ומה קורה אם משטח הלולאה מהווה זווית כלשהיא עם כיוון השדה ? פשוט‬
‫ניקח את ההיטל של המשטח בכיוון המאונך כמוראה ב ‪ .b‬במקרה זה‬
‫השטף יהיה‪:‬‬
‫‬
‫שימו לב‪ :‬מספר קווי השדה החודרים דרך המשטח הנטוי זהה למספר קווי‬
‫השדה החודרים את היטלו בכיוון המאונך‪ .‬אולם‪ ,‬הוא קטן יותר מהמקרה‬
‫הקודם‪ ,‬פשוט כי המשטח נטוי‪.‬‬
‫בציור ‪ c‬משטח הלולאה מקביל למהירות אין קווי שדה החודרים את משטח‬
‫הלולאה והשטף הוא אפס‪.‬‬
‫כפי שנראה להלן חוק גאוס דן בשטף דרך משטח סגור ולפיכך נצטרך‬
‫להבחין בין שטף חיובי לשטף שלילי‪ .‬לפי הסכמה שטף הנכנס לצורה‬
‫הסגורה נלקח כשלילי ושטף יוצא מן הצורה הוא שלילי‪.‬‬
‫נגדיר את השטף באמצעות המכפלה הסקלרית באופן הבא‪:‬‬
‫‪Φ = vA cos θ‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪(1‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪Φ = v• A‬‬
‫שטף של שדה חשמלי‬
‫חישוב השטף של שדה חשמלי נעשה בצורה‬
‫דומה‪ .‬נתון שדה חשמלי לא אחיד ובו משטח‬
‫גאוסי לא סימטרי‪ .‬מחלקים את המשטח‬
‫הגאוסי לטלאים קטנים שגודל כל אחד ‪.∆A‬‬
‫הטלאי ‪ ∆A‬מספיק קטן כך שניתן להסתכל עליו‬
‫כעל מישור והוקטור ‪ ∆A‬מאונך לו‪.‬‬
‫בטלאי ‪ 1‬הזווית בינו לבין השדה החשמלי‬
‫גדולה מ‪ 90º-‬והשטף שלילי‪.‬‬
‫בטלאי ‪ 2‬הזווית בת ‪ 90º‬והשטף אפס‪.‬‬
‫בטלאי ‪ 3‬הזווית קטנה מ‪ 90º -‬השטף חיובי‪.‬‬
‫השטף הכולל דרך המשטח הגאוסי הוא הסכום‬
‫האלגברי של השטפים דרך הטלאים‪.‬‬
‫הסכום יכול להיות חיובי‪ ,‬שלילי או אפס‪ .‬החלוקה‬
‫לטלאים תהיה יותר ויותר מדויקת אם שטח הטלאי ילך‬
‫ויקטן‪ .‬בגבול בו שטח הטלאי שואף לאפס אבל מספר‬
‫הטלאים שואף לאיסוף השטף יהיה‬
‫משטח גאוסי בצורת גליל נמצא‬
‫בשדה חשמלי אחיד לאורך ציר‬
‫הגליל‪ .‬מהו השטף החשמלי דרך‬
‫הגליל?‬
‫‪Φ = ∑ E • ∆A‬‬
‫‪Φ = ∫ E • dA‬‬
‫המשטח הסגור מורכב משני‬
‫בסיסים ‪ a‬ו‪ c -‬ומעטפת ‪.b‬‬
‫‪Φ = ∫ E • dA = ∫ E • dA + ∫ E • dA + ∫ E • dA‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪∫ E • d A = ∫ E cos 0 dA = EA‬‬
‫‪∫ E • d A = ∫ E cos180 dA = -EA‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪∫ E • d A = ∫ E cos 90 dA = 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Φ = Φ a + Φ b + Φ c = − EA + 0 + EA = 0‬‬
‫התאפסות השטף הכולל משמעותה שהשטף הנכנס שווה לשטף היוצא‪.‬‬
‫חוק גאוס‬
‫‬
‫השטף החשמלי דרך משטח גאוסי בעל צורה כלשהי‬
‫פרופורציוני למטען הכללי בתוך המשטח‪ .‬כל מטען‬
‫מחוץ למשטח אינו משפיע‪.‬‬
‫‪ε 0 ∫ E • d A = q enc‬‬
‫‪ε 0 Φ = q enc‬‬
‫המטען הכללי ‪ qenc‬הוא הסכום האלגברי של כל המטענים בתוך המשטח‪.‬‬
‫השדה החשמלי על פני המשטח יכול להיות תוצאה של מטענים אחרים מחוץ‬
‫למשטח אבל השטף תלוי רק במטען בתוך המשטח הגאוסי‪.‬‬
‫הסיבה לכך ששדה שנוצר ע"י מטענים מחוץ למשטח אינם תורמים לשטף‪ .‬כל קו‬
‫שדה חשמלי שנכנס למשטח גם יוצא ממנו ולכן התרומה הנקייה לשטף היא אפס‪.‬‬
‫חוק גאוס וחוק קולון‬
‫כיון שחוק גאוס וחוק קולון הם שווי ערך‪ ,‬ניתן לקבל את חוק קולון מחוק גאוס‪.‬‬
‫נתון מטען חיובי ‪ .q‬נבנה מסביבו משטח גאוסי כדורי שרדיוסו ‪ r‬ובמרכזו נמצא‬
‫המטען‪ .‬אנו בוחרים משטח כדורי ולא צורה אחרת כיון שלמטען נקודתי יש‬
‫סימטריה כדורית‪ .‬סימטריה כדורית משמעותה שסיבוב בזווית כלשהי סביב ציר‬
‫העובר דרך המטען לא משנה שום דבר‪.‬‬
‫הסימטריה אומרת שקווי השדה החשמלי הם‬
‫רדיאליים ולכן מאונכים למשטח הגאוסי ועל‬
‫פניו ערכם קבוע‪ .‬השדה אינו יכול להשיק‬
‫למשטח כי השטף שלו אפס וסותר את חוק‬
‫גאוס‪.‬‬
‫חלוקה לאלמנטי שטח ‪ dA‬של פני‬
‫המשטח הגאוסי מראה כי ‪ E‬ו‪dA -‬‬
‫מקבילים אחד לשני‪.‬‬
‫‪dA‬‬
‫‪ε 0 E(4πr ) = q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε 0 E ∫ dA = q‬‬
‫‪ε 0 ∫ E • d A = ε 0 ∫ EdA = q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪4πε0 r 2‬‬
‫בחירה של משטח גאוסי בעל צורה אחרת לא תשנה את השטף העובר דרכו אלא‬
‫שאיננה מאפשרת חישוב השדה החשמלי‪.‬‬
‫כדי להשתמש בחוק גאוס לחישוב השדה החשמלי בונים משטח גאוסי המקיים‬
‫לפחות את התנאי הראשון מבין שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬השדה החשמלי קבוע על פניו ואז ניתן להוציא את השדה החשמלי מחוץ‬
‫לאינטגרל ולחשב את האינטגרל‪.‬‬
‫‪ .2‬אלמנט השטח של חלק מהמשטח הגאוסי מאונך לשדה החשמלי והתרומה‬
‫לאינטגרל מתאפסת‪.‬‬
‫יישומו של חוק גאוס‬
‫‬
‫‪ .1‬השדה של תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען ‪λ‬‬
‫‬
‫מטעמי סימטריה השדה עובר דרך המעטפת‬
‫הגלילית בניצב‪.‬‬
‫בתור משטח גאוסי נבחר גליל בעל רדיוס ‪r‬‬
‫שהמוט עובר דרך ציר הסימטריה שלו‬
‫אין חדירת קווי שדה דרך כיפות הגליל ולכן‪:‬‬
‫שטף אפס‬
‫‬
‫‪∑ E • ∆A = ∑ E • ∆A + ∑ E • ∆A = E2πrh‬‬
‫‪envelope‬‬
‫‪bases‬‬
‫‪λ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪2πε 0 r‬‬
‫=‪Φ‬‬
‫‪cylinder‬‬
‫שטף אפס‬
‫‬
‫‪ .2‬השדה של מישור מטען אינסופי בעל צפיפות‬
‫‬
‫מטעמי סימטריה נובע כי השדה ניצב‬
‫למישור‪.‬‬
‫בתור משטח גאוסי נבחר בגליל בעל‬
‫שטח חתך ‪ A‬הניצב למשור המטען‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪σ‬‬
‫‪ε0 ∫ E⋅ dA =ε0 (EA+ EA) = qenc = σA‬‬
‫שטף אפס דרך מעטפת‬
‫‪σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫גלילית‬
‫‬
‫‪ .3‬השדה של קליפה כדורית הטעונה‬
‫אחידות במטען כללי ‪q‬‬
‫בתור משטח גאוס נבחר בכדור‬
‫קונצנטרי )משותף מרכז( עם הקליפה‪.‬‬
‫בגלל הסימטריה הכדורית הזווית‬
‫בין השדה לווקטור השטח היא אפס‬
‫כמו כן השדה החשמלי זהה בכל‬
‫נקודה על פני מעטפת גאוס ומכאן‪:‬‬
‫‪ .1‬עבור האזור החיצוני משטח ‪s1‬‬
‫)מחוץ לקליפה(‬
‫‪ε 0 E(4πr 2 ) = q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪E‬‬
‫)‪= k 2 (r > R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫קיבלנו תוצאה חשובה המראה כי בנקודות חיצוניות הקליפה הטעונה‬
‫מתנהגת כאילו כל מטענה רוכז במרכז הכדור‪ ,‬דהיינו היא מתנהגת‬
‫כמטען נקודתי‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫עבור האזור הפנימי )משטח ‪ (s2‬נקבל שהשדה מתאפס כי לא כלוא כל‬
‫מטען בתוך המשטח ושדה אם היה קיים הוא היה רדיאלי ובעל אותו‬
‫ערך על פני מעטפת גאוס‪.‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪E =0‬‬
‫מסקנה‪ :‬כל מטען שיושם בתוך החלל הכדורי לא יחוש כל כוח‪.‬‬
‫‬
‫נסכם את התוצאות שקיבלנו בשני משפטי הקליפה‪:‬‬
‫משפטי הקליפה‬
‫‪ .1‬קליפה טעונה )בצורה אחידה( מתנהגת בנקודות‬
‫חיצוניות כאילו כל מטענה מרוכז במרכז הקליפה‪.‬‬
‫‪ .2‬קליפה טעונה )בצורה אחידה( אינה מפעילה כל כוח‬
‫על מטען המוצב בנקודה כלשהיא בתוך הקליפה‪.‬‬
‫‬
‫‪ .4‬השדה של התפלגות מטען כדורית‬
‫כאשר צפיפות המטען היא פונקציה של הרדיוס בלבד ) ‪ ρ = ρ ( r‬אנו אומרים‬
‫שלהתפלגות המטען סימטריה כדורית‪ .‬גם כאן חוק גאוס הוא פשוט במיוחד‪.‬‬
‫מחוץ להתפלגות המטען השדה‬
‫מתנהג כשדהו של מטען נקודתי‬
‫הנמצא במרכז מהסיבה שהשדה‬
‫רדיאלי ובעל ערך קבוע על פני‬
‫המעטפת הגאוסית‪ .‬אגף שמאל‬
‫של חוק גאוס זהה לזה שבדוגמא‬
‫הקודמת‪ .‬מאחר והמשטח הגאוסי‬
‫הוא מחוץ להתפלגות הוא מכיל בתוכו‬
‫אם כל כמות המטען‪.‬‬
‫‬
‫ומכאן נקבל עבור השדה החיצוני‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‬
‫)‪(r > R‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪=k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫כדי לחשב את השדה בפנים ההתפלגות נבחר משטח גאוסי כדורי שרדיוסו‬
‫קטן מרדיוס ההתפלגות‪ .‬אגף שמאל של חוק גאוס זהה לזה של האיזור‬
‫החיצוני פרט לעובדה שכעת ‪ . r < R‬אולם השוני הוא באגף הימני‪ .‬אם‬
‫במקרה הקודם כל המטען היה כלוא בתוך המשטח הגאוסי הרי שכעת רק‬
‫חלק ממנו כלוא‪ .‬נסמן מטען זה ב ‪ . q ' -‬נפעיל את חוק גאוס ונקבל עבור‬
‫השדה הפנימי את התוצאה ‪:‬‬
‫'‪q‬‬
‫)‪E = k 2 (r < R) (2‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫ואיך נחשב את ' ‪q‬‬
‫? לצורך כך עלינו לדעת את התפלגות המטען ואז‪:‬‬
‫)‪q ' = ∫ ρ ( r ) dv = ∫ ρ ( r ) ( 4π r 2 ) dr (3‬‬
‫‬
‫בתור דוגמא הבה ונחשב את השדה של כדור טעון בצפיפות נפחית קבועה‬
‫בנקודות פנימיות‪ .‬היות הצפיפות קבועה נוכל להוציאה אל מחוץ לסימן‬
‫‪r‬‬
‫האינטגרל‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫נציב את המטען בנוסחא )‪ (2‬ונקבל‪:‬‬
‫‪q ' = ρ ∫ ( 4π r '2 ) dr ' = π r 3 ρ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪kq‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪r= 3r‬‬
‫‪3ε 0‬‬
‫‪R‬‬
‫כאשר המעבר האחרון התקבל ע"י הצבת צפיפות המטען‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪ρ‬‬
‫‬
‫נסכם את התוצאות שקיבלנו עבור כדור הטעון בצפיפות מטען אחידה‬
‫‪ q‬‬
‫‪k R 3 r‬‬
‫‪E (r ) = ‬‬
‫‪k q‬‬
‫‪ r 2‬‬
‫‪0<r <R‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫השדה גדל ליניארית בפנים הכדור וצונח כ אחד חלקי ריבוע המרחק מחוץ‬
‫לכדור‪.‬‬
‫)‪E (r‬‬
‫שפת הכדור‬
‫‪r‬‬