ילמשח לאיצנ טופ

‫פוטנציאל חשמלי‬
‫הגדרת האנרגיה הפוטנציאלית‬
‫¾‬
‫העבודה שמבצע כוח כלשהוא כאשר הוא מזיז גוף מנקודה תחילית ‪a‬‬
‫לנקודה סופית ‪ b‬היא‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫∫ = ‪Wa −>b‬‬
‫‪a‬‬
‫נזכור כי העבודה היא גודל סקלרי‪.‬‬
‫האינטגרל האחרון קרוי אינטגרל מסלול או אינטגרל קווי והוא מבוצע‬
‫לאורך מסלול מסוים המקשר בין ‪ a‬ל‪.b -‬‬
‫אם הכוח הוא גם משמר )כזה שעבודתו בלתי תלויה במסלול( ניתן להביע‬
‫את העבודה כשינוי בפונקצית אנרגיה פוטנציאלית באופן‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫¾‬
‫‪r r‬‬
‫‪F ⋅ds‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Wa −>b = −∆U = U a − U b‬‬
‫כאשר ‪ U‬היא פונקצית האנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬
‫שימו לב ! כאשר כוח מבצע עבודה חיובית גוף "נופל" מאנרגיה‬
‫פוטנציאלית גבוהה לנמוכה כפי שקורה בשדה כבידה‪.‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית‬
‫¾‬
‫נביט בשני מטענים ‪ q1‬ו‪ q2 -‬שווי סימן‪ ,‬כאשר ‪ q1‬מוחזק במקומו כמתואר‬
‫בציור‪ .‬נחשב את עבודתו של הכוח החשמלי לאורך קו רדיאלי‪:‬‬
‫⎞‪⎛1 1‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫⎤‪⎡ 1‬‬
‫⎟ ‪= U a − U b = ∫ F dr = ∫ k 2 dr =k q1q2 ⎢ − ⎥ = k q1q2 ⎜ −‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪⎣ r ⎦a‬‬
‫⎠ ‪⎝ ra rb‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Wa −>b‬‬
‫)‪(3‬‬
‫⎞ ‪q1q2 ⎛ 1 1‬‬
‫= ‪U a − Ub‬‬
‫⎟ ‪⎜ −‬‬
‫⎠ ‪4πε 0 ⎝ ra rb‬‬
‫‪ 9‬בנוסחא האחרונה יש לקחת את המטענים עם סימנם‪.‬‬
‫‪9‬הנוסחא פותחה עבור המקרה בו המטענים שווי סימן אבל היא כללית‬
‫ונכונה תמיד‬
‫‪9‬הנוסחא פותחה עבור הזזה רדיאלית אולם היא נכונה עבור מסלול כלשהוא‬
‫מאחר והכוח האלקטרוסטטי ומכאן שגם השדה האלקטרוסטטי הם שדות‬
‫משמרים שעבודתם בלתי תלויה במסלול‪.‬‬
‫‪ 9‬נעיר כי העבודה שחישבנו היא עבודתו של הכוח החשמלי‪ .‬ניתן גם לדבר על‬
‫עבודה של כוחות כנגד השדה החשמלי‪ .‬זו היא השלילית של הקודם‪.‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫סימן חיובי לעבודה פירושו שהשדה החשמלי מבצע את העבודה "עבורנו"‪,‬‬
‫וסימן שלילי פירושו שנעשית עבודה חיובית על ידי כוח אחר כנגד הכוח‬
‫החשמלי‪.‬‬
‫נכתוב את הנוסחא האחרונה באופן‪:‬‬
‫⎞ ‪q1q2 ⎛ 1 1‬‬
‫‪U a = Ub +‬‬
‫⎟ ‪⎜ −‬‬
‫⎠ ‪4πε 0 ⎝ ra rb‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫הנוסחא האחרונה מראה כי כדי לדעת את האנרגיה הפוטנציאלית בנקודה‬
‫‪ a‬עלינו לדעת את זו ש ב ‪ .b‬נקודה ‪ b‬נקראת נקודת ייחוס וניתן לייחס לה‬
‫אנרגיה פוטנציאלית כלשהיא )בדרך כלל אפס(‪ ,‬מאחר ומבחינה פיסיקלית‬
‫רק להפרשים של האנרגיה הפוטנציאלית יש משמעות‪.‬‬
‫נוח מאוד להגדיר את נקודת הייחוס כאשר שני המטענים במרחק אינסופי‬
‫זה מזה‪.‬‬
‫נגדיר אנרגיה פוטנציאלית של שני המטענים כשהם במרחק ‪ r‬זה מזה באופן‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫‪1 q1q2‬‬
‫=‬
‫‪U (r ) = k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫ברור מהנוסחא האחרונה כי‬
‫∞‪U ((5‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫‪9‬‬
‫כמו בנוסחת העבודה גם כאן יש לקחת את המטענים עם סימנם‪.‬‬
‫‪ 9‬משפט העבודה‪-‬אנרגיה‪:‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪E1 + W = E 2‬‬
‫¾‬
‫כאשר ‪ W‬מייצג את עבודת כל הכוחות פרט לכוח החשמלי וכוח‬
‫הכבידה ו ‪ E -‬היא האנרגיה הכללית )סכום של קינטית ופוטנציאלית‬
‫חשמלית(‪:‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪E = Ek + U‬‬
‫תרגיל‬
‫שני כדורים שמסותיהם ‪ m1=0.0022 kg‬ו‪ m2=0.0039 kg -‬טעונים‬
‫במטענים ‪ q1 = +32µC‬ו‪ q2 = −18µ c -‬נמצאים במנוחה במרחק ‪ 4.6cm‬זה‬
‫מזה‪ .‬כדור ‪ 1‬מוחזק ואילו כדור ‪ 2‬חופשי לנוע‪ .‬מה תהיה מהירותו כאשר‬
‫המרחק ביניהם יהיה ‪? 2.3cm‬‬
‫פתרון‪ :‬במקרה זה ‪ W= 0‬ואנו במצב של שימור אנרגיה כלומר‪:‬‬
‫‪Ek 1 + E p1 = Ek 2 + E p 2‬‬
‫¾‬
‫או בצורה מפורשת‪:‬‬
‫‪q1q2 1‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv1 + k‬‬
‫‪= mv2 + k‬‬
‫‪r1‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⇓‬
‫⎞ ‪2kq1q2 ⎛ 1 1‬‬
‫= ‪v2‬‬
‫⎟ ‪−‬‬
‫⎜‬
‫⎠ ‪m ⎝ r1 r2‬‬
‫¾‬
‫הצבת ערכים מספריים נותנת‪:‬‬
‫‪v = 240m / s‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית של מערכת מטענים‬
‫¾‬
‫נניח כי יש ברשותנו שלושה מטענים הנמצאים במרחק אינסופי זה מזה‪.‬‬
‫מהי האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת כאשר הם מובאים למצב‬
‫המתואר בציור?‬
‫¾‬
‫כאשר המטען הראשון מובא האנרגיה הפוטנציאלית היא אפס כי המטענים‬
‫עדיין במרחק אינסופי זה מזה‪ .‬המטען השני שיובא כבר ירגיש את השני‬
‫)עבודה תתבצע( וכאשר המטען השלישי יובא הוא ירגיש את שני האחרים‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪q1q3‬‬
‫‪q2 q3‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫‪U =k‬‬
‫‪+k‬‬
‫‪+k‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪r12‬‬
‫‪r13‬‬
‫‪r23‬‬
‫¾‬
‫מהנוסחא האחרונה ברור כי האנרגיה הפוטנציאלית היא תכונה של מערכת‬
‫המטענים ולא של מטען בודד!!‬
‫¾‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית הכללית בלתי תלויה בסדר בו מובאים המטענים‪.‬‬
‫אם האנרגיה הפוטנציאלית חיובית הרי שהעבודה שמבצע השדה החשמלי‬
‫היא שלילית וקיים כוח חיצוני שמבצע עבודה‪ .‬במקרה זה הכוח החיצוני‬
‫אגר אנרגיה במערכת‪ .‬אם האנרגיה הפוטנציאלית היא שלילית הרי שקורה‬
‫ההפך‪.‬‬
‫¾‬
‫הפוטנציאל החשמלי ‪ -‬המשך‬
‫¾‬
‫נניח כי ברשותנו מטען ‪ q‬ומטען בוחן ‪ .q0‬האנרגיה הפוטנציאלית של‬
‫מערכת שני המטענים פרופורציונית למטענו של המטען הבוחן‪ .‬אם ניקח‬
‫מטען בוחן כפול גם האנרגיה הפוטנציאלית תוכפל‪.‬‬
‫בניסוח אחר הגודל ‪ U q‬בלתי תלוי בגודלו של מטען הבוחן ‪ q0‬והוא‬
‫‪0‬‬
‫מאפיין את המטען ‪.q‬‬
‫נגדיר את הפוטנציאל כאנרגיה פוטנציאלית ליחידת מטען )זהו גודל‬
‫סקלרי כמובן(‪:‬‬
‫¾‬
‫או בהקשר לעבודה‪:‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪U‬‬
‫=‪V‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪Wa −>b‬‬
‫‪∆U‬‬
‫= ‪∆V = Vb − Va‬‬
‫‪=−‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪q0‬‬
‫¾‬
‫היחידה של הפוטנציאל נקראת וולט )‪(Volt‬‬
‫‪J‬‬
‫‪[V] = = V‬‬
‫‪C‬‬
‫¾‬
‫את נוסחא )‪ (8‬נוכל לכתוב באופן ‪:‬‬
‫)‪Wa −>b = −∆U = −q∆V = q (Va − Vb ) (9‬‬
‫¾‬
‫ממשוואה )‪ (9‬נובע כי מטען חיובי נע "ספונטאנית" )השדה החשמלי יסיע‬
‫אותו( מפוטנציאל גבוהה לנמוך ולהפך לגבי מטען שלילי‪.‬‬
‫¾‬
‫מנוסחא זו משתמע באופן ברור כי בין שתי נקודות הנמצאות בפוטנציאל‬
‫שונה קיים שדה חשמלי‪ .‬הנ"ל מכוון לכיוון של פוטנציאל פוחת!‬
‫חישוב הפוטנציאל מהשדה‬
‫¾‬
‫מנוסחא )‪ (8‬נקבל‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪− ∫ F ds − ∫ q0 E ds‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪= a‬‬
‫‪= a‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Wa −>b‬‬
‫‪∆V = −‬‬
‫‪q0‬‬
‫¾‬
‫או‪:‬‬
‫¾‬
‫המינוס בנוסחא האחרונה מראה שכיוון השדה הוא לכיוון פוטנציאל קטן‪.‬‬
‫)ניתן כמובן לכותבה ללא סימן המינוס בהיפוך גבולות האינטגרל(‪.‬‬
‫¾‬
‫האינטגרל המגדיר את הפוטנציאל נקרא אינטגרל קווי‪ .‬באופן כללי השדה‬
‫החשמלי יכול להשתנות מנקודה לנקודה‪.‬‬
‫‪r r‬‬
‫)‪Vb − Va = − ∫ E ⋅ ds (11‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫¾‬
‫על מנת למצוא פוטנציאל בנקודה עלינו לייחס פוטנציאל אפס לנקודה‬
‫אחרת‪ .‬ניקח את נקודת הייחוס ‪ a‬באינסוף ונייחס לה פוטנציאל אפס‪.‬‬
‫‪r r‬‬
‫)‪E ⋅ ds (12‬‬
‫‪p‬‬
‫∫‪Vp = −‬‬
‫∞‬
‫¾‬
‫תרגיל‬
‫¾‬
‫כדור מלא לא מוליך ברדיוס ‪ a‬ממוקם באמצע קליפה מוליכה שרדיוסה‬
‫הפנימי ‪ b‬והחיצוני ‪ .c‬הכדור הפנימי טעון במטען ‪ +q‬המפוזר באופן שווה‬
‫והקליפה החיצונית המוליכה מכילה מטען ‪ .–q‬חשב את השדה ואת‬
‫הפוטנציאל בכל מקום במרחב‪.‬‬
‫השדה החשמלי בתוך הטבעת המוליכה הוא‬
‫אפס ולכן על השפה הפנימית יושרה מטען‬
‫‪ -q‬ועל השפה החיצונית של הטבעת לא יהיה‬
‫מטען )מדוע ?(‪ .‬מחוק גאוס נקבל ‪:‬‬
‫‪0≤r≤a‬‬
‫‪a≤r≤b‬‬
‫‪b≤r≤c‬‬
‫‪r≥c‬‬
‫‪⎧ kq‬‬
‫‪r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪⎪a‬‬
‫⎪‬
‫‪⎪ kq‬‬
‫‪E (r ) = ⎨ 2‬‬
‫‪r‬‬
‫⎪‬
‫‪⎪0‬‬
‫‪⎪0‬‬
‫⎩‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+q‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪q + (−q) = 0‬‬
:‫נבצע את האינטגרל מאינסוף פנימה‬
c
¾
r r
V ( r ≥ c ) = − ∫ E ds = 0
r
0
b
r r
V ( b ≤ r ≤ c) = −∫ −∫ E ⋅ds = 0
a
V ( a ≤ r ≤ b ) = −∫ −∫ −∫
V ( r ≤ a ) = −∫ −∫ −∫
c
b
a
∞
c
b
c
b
r
∞
c
b
c
r
∞
c
kq
⎛1 1⎞
dr = kq ⎜ − ⎟
2
r
⎝r b⎠
r kq
kq
kqr 2
⎛ 3 1⎞
− ⎟
dr − ∫ 3 rdr = − 3 + kq ⎜
2
a
r
R
2a
⎝ 2a b ⎠
‫‪1.2‬‬
‫פוטנציאל אפס‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫שפת הטבעת‬
‫שפת הכדור ‪V(r) 0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫הפוטנציאל של מטען נקודתי ושל מערכת מטענים‬
‫הפוטנציאל של מטען נקודתי‪:‬‬
‫‪V (∞) = 0‬‬
‫‪U‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫)‪(13‬‬
‫= ‪V = =k‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪r 4πε 0 r‬‬
‫¾‬
‫עבור מערכת של מטענים נקבל מעקרון הסופרפוזיציה‪:‬‬
‫= ‪V = V1 + V2 + ... + VN‬‬
‫‪qN‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪= k + k + ... + k‬‬
‫‪r1‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪rN‬‬
‫או ברישום מקוצר‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪qi‬‬
‫)‪(14‬‬
‫∑‪V = k‬‬
‫‪i =1 ri‬‬
‫¾‬
‫תרגיל‬
‫חשב את הפוטנציאל במרכז ריבוע המטענים הנח כי ‪.d=1.3m‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪q3 = 31nc‬‬
‫‪q1 = 12nc,‬‬
‫‪q2 = −24nc, q4 = 17nc‬‬
‫¾‬
‫מאחר והנקודה במרכז הריבוע נמצאת במצב סימטרי לגבי המטענים הרי‬
‫שנוכל לכתוב‪:‬‬
‫‪q1 + q2 + q3 + q4‬‬
‫‪= 350V‬‬
‫‪V =k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל ‪ :‬פוטנציאל של דיפול חשמלי‬
‫הפוטנציאל בנקודה ‪ p‬הוא‪:‬‬
‫⎞ ‪⎛ q −q‬‬
‫‪Vp = k ⎜ +‬‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ r+ r+‬‬
‫על מנת לקבלאת הפוטנציאל‬
‫בנקודות רחוקות בהם ‪ r>>d‬לכתוב‪:‬‬
‫)*( ) ‪V p = kq ( r+−1 − r−−1‬‬
‫)‪p( y, z‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫) ‪≈ ( r − dz‬‬
‫) ‪= ( y + z − dz + d / 4‬‬
‫) ‪≈ ( r + dz‬‬
‫) ‪= ( y + z + dz + d / 4‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫¾‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 1/ 2‬‬
‫⎛ ‪⎡ 2‬‬
‫⎞‪d‬‬
‫⎟ ‪r+ = ⎢ y + ⎜ z −‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫⎝‬
‫⎣⎢‬
‫‪2 1/ 2‬‬
‫⎛ ‪⎡ 2‬‬
‫⎞‪d‬‬
‫⎟ ‪r− = ⎢ y + ⎜ z +‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫⎝‬
‫⎢⎣‬
‫⎤‬
‫⎥‬
‫⎦⎥‬
‫⎤‬
‫⎥‬
‫⎦⎥‬
‫לאחר הצבה בנוסחא )*( ושימוש במשפט הבינום וטריגונומטריה‬
‫פשוטה נקבל‪:‬‬
‫‪qd ) z‬‬
‫(‬
‫‪dz‬‬
‫‪p cosθ‬‬
‫)‪(15‬‬
‫‪=k‬‬
‫‪V p = kq 3 = k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫פוטנציאל של התפלגויות מטען רציפות‬
‫¾‬
‫¾‬
‫שיטת החישוב כאן דומה לזו שהשתמשנו בה בחישובי שדה חשמלי‬
‫פרט לעובדה שהפוטנציאל הוא גודל סקלרי‪.‬‬
‫מהגדרת הפוטנציאל של מטען נקודתי נקבל עבור אלמנט מטען‬
‫דיפרנציאלי ‪:dq‬‬
‫)‪(16‬‬
‫¾‬
‫‪dq‬‬
‫‪1 dq‬‬
‫=‬
‫‪dV = k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק בין אלמנט המטען ‪ dq‬לנקודה בה אנו מחשבים‬
‫את הפוטנציאל‪ .‬את הפוטנציאל נמצא ע"י סכימה על כל אלמנטי‬
‫המטען‪:‬‬
‫‪dq‬‬
‫∫ ‪V = ∫ dV = k‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪r‬‬
‫¾‬
‫‪ .1‬הפוטנציאל של תיל הטעון בצפיפות אורכית אחידה‬
‫א‪ .‬נביע את אלמנט המטען‪:‬‬
‫‪dq = λ dz‬‬
‫ב‪ .‬מהגיאומטריה נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r= z +y‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬נציב ל )‪:(17‬‬
‫‪λ dz‬‬
‫‪z2 + y2‬‬
‫‪L/2‬‬
‫∫‪V = k‬‬
‫‪−L/ 2‬‬
V = k∫
(
λ dz
:‫ נעריך את האינטגרל‬.‫ד‬
)
¾
L/2
= k λ ⎡ln z + z 2 + y 2 ⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦−L / 2
2
2
z +y
L/2
−L/ 2
⎡ L / 2 + y 2 + L2 / 4 ⎤
= k λ ln ⎢
⎥
2
2
⎣⎢ − L / 2 + y + L / 4 ⎥⎦
(18)
:‫כאשר השתמשנו באינטגרל‬
∫
dx
x +a
2
2
(
= ln x + x 2 + a 2
)
¾
‫¾‬
‫‪ .2‬הפוטנציאל של טבעת הטעונה בצפיפות אורכית אחידה‬
‫א‪ .‬נביע את אלמנט המטען‪:‬‬
‫‪dq = λ ds = λ Rdφ‬‬
‫ב‪ .‬מהגיאומטריה נקבל‪:‬‬
‫‪r = z 2 + R2‬‬
‫ג‪ .‬נציב ל )‪ (17‬לקבלת‪:‬‬
‫‪λ Rdφ‬‬
‫‪z 2 + R2‬‬
‫‪dV = k‬‬
‫¾‬
‫נחשב את האינטגרל‪:‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪2πλ R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dφ = k‬‬
‫‪2π‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪λR‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V =k‬‬
‫¾‬
‫המעבר האחרון התבסס על כתיבת כמות המטען הכללית‪.‬‬
‫¾‬
‫עבור ‪ z>>R‬נקבל‪:‬‬
‫⎛ ‪kq‬‬
‫‪R 2 ⎞ kq‬‬
‫≈‬
‫≈ ⎟ ‪1− 2‬‬
‫⎜‬
‫| ‪| z | ⎝ 2z ⎠ | z‬‬
‫‪−1/ 2‬‬
‫⎞ ‪kq ⎛ R‬‬
‫=‬
‫⎟ ‪1+ 2‬‬
‫⎜‬
‫⎠ ‪z‬‬
‫⎝| ‪| z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V = kq ( z 2 + R 2 ) −1/ 2‬‬
‫¾‬
‫‪ .3‬הפוטנציאל של דסקה אחידה‬
‫¾‬
‫נשתמש בתוצאה של טבעת‪ .‬ניקח‬
‫מטען ‪ dq‬על טבעת שרדיוסה ‪w‬‬
‫ועובייה ‪dw‬‬
‫‪kdq‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +w‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪dV‬‬
‫א‪ .‬אלמנט המטען הוא‪:‬‬
‫) ‪dq = σ dA = σ ( 2π wdw‬‬
‫¾‬
‫נציב לנוסחת הפוטנציאל ונבצע אינטגרציה‪:‬‬
‫= ‪dw‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‪z 2 + R 2 − | z | (20‬‬
‫‪w‬‬
‫‪R‬‬
‫‪z +w‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪V(r‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= 2π kσ ⎡ z 2 + w2 ⎤ = 2π kσ‬‬
‫⎣‬
‫‪⎦0‬‬
‫מישור הטבעת‬
‫‪1‬‬
‫∫ ‪V = 2π kσ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫¾ תרגיל ‪:‬‬
‫נתונה דסקה שרדיוסה ‪ R=4.8cm‬והנושאת מטען ‪ q=+2.5nC‬המפוזר‬
‫בצורה אחידה על פני משטחה‪ .‬אלקטרון משוחרר ממנוחה מנקודה‬
‫הנמצאת על ציר הסימטריה בגובה ‪ d=3cm‬מעל מישור הדסקה‪ .‬מה תהיה‬
‫מהירותו של האלקטרון בעוברו במרכז הדסקה ?‬
‫פתרון‪ :‬נשתמש בחוק שימור האנרגיה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪−eV ( d ) = −eV ( 0 ) + mve (1‬‬
‫‪2‬‬
‫¾‬
‫נחשב את צפיפות המטען‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪σ‬‬
‫=‬
‫‪3.45‬‬
‫×‬
‫‪10‬‬
‫‪C‬‬
‫‪/‬‬
‫‪m‬‬
‫‪π R2‬‬
‫¾‬
‫נחשב את הפוטנציאל בראשית‪:‬‬
‫‪V ( 0 ) = 2π kσ R = 936V‬‬
‫‪V ( d ) = 2π kσ ⎡ d 2 + R 2 − d ⎤ = 519V‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫¾‬
‫נציב ל )‪ (1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪v = 1.21× 10 m / s‬‬
‫‪7‬‬
‫חישוב השדה מהפוטנציאל‬
‫¾‬
‫נביט במטען בוחן חיובי ‪ q0‬הנע מנקודה ‪ a‬בה הפוטנציאל הוא ‪V‬‬
‫לנקודה ‪ b‬בה הפוטנציאל הוא ‪ .V+∆V‬מצד אחד העבודה שווה ל –‬
‫‪Wa −>b = q0 Es ∆s‬‬
‫¾‬
‫כאשר ‪Es‬‬
‫הוא הרכיב של השדה החשמלי‬
‫בכיוון ‪.∆s‬‬
‫מצד שני‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪∆s‬‬
‫‪Wa −>b = − q0 ∆V‬‬
‫נשווה ונקבל‪:‬‬
‫‪∆V‬‬
‫‪Es = −‬‬
‫‪∆s‬‬
‫‪a‬‬
‫‪V+∆V‬‬
‫‪V‬‬
‫סימן ה )‪ (-‬קובע שהשדה החשמלי שווה לערך השלילי של שינוי‬
‫הפוטנציאל‪.‬‬
‫בגבול בו ‪ ∆s‬שואף לאפס נקבל את הנוסחאות לחישוב השדה מהפוטנציאל‪:‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪Ex = − , E y = −‬‬
‫‪, Ez = −‬‬
‫)‪(21‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂z‬‬
‫‪r‬‬
‫‪v‬‬
‫‪E = − gradV = −∇V‬‬
‫‪v‬‬
‫‪∂ r ∂ r ∂ r‬‬
‫‪∇V = i +‬‬
‫‪j+ k‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂z‬‬
‫אם ‪ V‬היא פונקציה ידועה הרי שניתן לקבל ממנה את רכיבי השדה‬
‫החשמלי באמצעות הנגזרת החלקית לפי הקואורדינאטה המתאימה‪.‬‬
‫תרגיל ‪:‬‬
‫בנוסחא )‪ (20‬חישבנו את הפוטנציאל של דסקה על ציר הסימטריה שלה‪.‬‬
‫חשב את רכיב ה ‪ z‬של השדה‪.‬‬