4 האצרה ־ הקיזיפב תויטמתמ תוטישל אובמ תיראש םע רולייט רוט

‫מבוא לשיטות מתמטיות בפיזיקה ־ הרצאה ‪4‬‬
‫המחלקה לפיזיקה‪ ,‬אוניברסיטת בן גוריון בנגב‪ ,‬מרצה‪ :‬ד״ר איתן גרוספלד‬
‫‪ 22‬בנובמבר ‪2015‬‬
‫טור טיילור עם שארית‬
‫נוכל לקרב פונקציה באמצעות פיתוח מסדר ‪ ,n‬כך‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪f (x) = c0 + c1 (x0 )∆x + c2 (x0 ) (∆x) 2 + . . . + cn (x0 ) (∆x) n + Rn (∆x‬‬
‫הפיתוח נקרא טור טיילור עם שארית‪ ,‬כאשר איבר השארית נתון על ידי‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x0 ≤ c ≤ x‬‬
‫)‪(∆x)n+1 f (n+1) (c‬‬
‫‪,‬‬
‫!)‪(n + 1‬‬
‫= )‪Rn (∆x‬‬
‫דוגמא לפיתוח לטור טיילור סביב ‪x0 = 0‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪x + x5 + . . .‬‬
‫!‪3‬‬
‫!‪5‬‬
‫‪= x−‬‬
‫)‪sin(x‬‬
‫נראה לדוגמא את השארית בסדר ‪ 3‬של )‪:sin(x‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪x4 f (4) (c‬‬
‫)‪x4 sin(c‬‬
‫=‬
‫!‪4‬‬
‫!‪4‬‬
‫= )‪R3 (x‬‬
‫ולכן‬
‫)‪(5‬‬
‫‪x4‬‬
‫!‪4‬‬
‫≤ |)‪|R3 (x‬‬
‫לכל זווית הקטנה מ־‪ , π4 < 1‬זה יהיה מספר קטן! לדוגמא‪ ,sin(π/6) = 1/2 ,‬באמצעות נוסחת‬
‫טיילור‬
‫‪π 1 π 3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= 0.499674‬‬
‫)‪(6‬‬
‫' )‪sin(π/6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 6‬‬
‫‪|R3 (π/6)| ≤ 0.003131‬‬
‫)‪(7‬‬
‫השגיאה האמיתית היא ‪ ,0.000326‬והיא אכן קטנה מההערכה שלנו לשגיאה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מסילות במרחב‬
‫מסילה כללית‬
‫כאשר התנועה היא במישור אך לא על מעגל‪ ,‬ננסה להגדיר אינטואיטיבית את התנועה בכל נקודה‬
‫כ״תנועה מעגלית עם רדיוס ‪R‬״‪ .‬בהנתן מסילה ‪ ,~r‬נגדיר את המעגל הנושק למסילה בנקודה‬
‫)‪ ~r(t‬כמעגל המקרב באופן הטוב ביותר את צורת המסילה בסביבות הנקודה‪ .‬נגדיר את רדיוס‬
‫העקמומיות )‪ ρ(t‬של המסילה כרדיוס של העיגול הנושק למסילה בנקודה )‪ .~r(t‬העקמומיות‬
‫מוגדרת כ־‬
‫‪1‬‬
‫)‪ρ(t‬‬
‫)‪(8‬‬
‫= )‪κ(t‬‬
‫הגדרה מדויקת יותר של העקמומיות במישור או במרחב היא‬
‫ ‬
‫ ˙~ ‬
‫ ‪T‬‬
‫)‪(9‬‬
‫ = )‪κ(t‬‬
‫ ˙‪~r‬‬
‫כלומר‪ ,‬קצב שינוי המשיק מחולק במהירות‪ .‬ברור שקצב שינוי המשיק מודד כמה רחוקה המסילה‬
‫מלהיות על קו ישר‪ ,‬ולכן קשור לעקמומיות‪ .‬מטרת החלוקה במהירות היא שהתלות בפרמטריזציה‬
‫תצטמצם ־ לא נרצה שתכונה גיאומטרית תהיה תלויה בכמה מהר או לאט אנו עוברים דרך‬
‫המסילה‪ .‬בפרט עבור תנועה מעגלית במישור‪ ,~r(t) = R(cos θ, sin θ, 0) ,‬נקבל‬
‫ ‬
‫ ˙~ ‬
‫)‪(10‬‬
‫‪T = ω‬‬
‫ ‬
‫˙ ‬
‫)‪(11‬‬
‫‪~r = ωR‬‬
‫ולכן העקמומיות היא‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪(12‬‬
‫= )‪κ(t‬‬
‫ואומנם ־ קיבלנו שהתלות במהירות הזוויתית מתבטלת ־ האחרונה היא תכונה פיזיקלית ולא‬
‫גיאומטרית‪ .‬נשים לב שלמסילה כללית מתקיים הקשר הבא‪,‬‬
‫ ‬
‫)‪v 2 (t‬‬
‫˙ ‬
‫= )‪aN (t) = v(t) T~ = v 2 (t)κ(t‬‬
‫)‪(13‬‬
‫)‪ρ(t‬‬
‫לכן נוכל לומר שהתאוצה בכיוון הנורמל היא התאוצה הצנטריפטלית הרגעית עבור תנועה על‬
‫מעגל ברדיוס )‪ ρ(t‬במהירות )‪.v(t‬‬
‫הערך המוחלט של הפיתול )‪ τ (t‬נתון על ידי‬
‫ ‬
‫ ˙~ ‬
‫ ‪B‬‬
‫ = |)‪|τ (t‬‬
‫)‪(14‬‬
‫ ˙‪~r‬‬
‫ניתן לקבוע גם את הסימן וגם את הגודל של הפיתול בעזרת המשוואה שנוכיח בהמשך‬
‫)‪(15‬‬
‫~‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫· )‪(~v × ~a‬‬
‫|‪|~v × ~a‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪τ (t‬‬
‫הפיתול מודד ״כמה רחוקה המסילה מלהיות מישורית״ )כלומר‪ ,‬מלהיות במישור יחיד(‪ .‬העקמומיות‬
‫מודדת ״כמה רחוקה המסילה מלהיות ישרה״ )כלומר‪ ,‬להיות לאורך קו ישר(‪ .‬בדרך הכתיבה הזו‬
‫של משוואות פרנה־סרה אנו מפרידים בין )‪ κ(t‬ו־)‪ τ (t‬שהם תכונות גיאומטריות אינהרנטיות‬
‫של המסילה )ויהיו שווים למסילות שקולות כגון )‪ ~r1 (t‬ו־)‪ ~r2 (t‬מההרצאה הקודמת( לבין‬
‫המהירות )‪ v(t‬שקשורה לפרמטריזציה של המסילה )ותהיה שונה לשתי המסילות השקולות בשל‬
‫הפרמטריזציה השונה(‪ .‬הסימן של הפיתול מוגדר‪ ,‬לפי מוסכמה‪ ,‬כך שהוא חיובי לסליל ימני ושלילי‬
‫לסליל שמאלי‪.‬‬
‫משוואות פרנה־סרה‬
‫כמו בהרצאה הקודם‪ ,‬נגדיר את מערכת הצירים הנעה‪ ,‬מערכת פרנה־סרה‪,‬‬
‫)‪(16‬‬
‫)‪B̂(t) = T̂ (t) × N̂ (t‬‬
‫˙‬
‫)‪T̂ (t‬‬
‫‪,‬‬
‫ = )‪N̂ (t‬‬
‫ ˙‬
‫)‪T̂ (t‬‬
‫)‪~v (t‬‬
‫)‪~v (t‬‬
‫=‬
‫‪,‬‬
‫|)‪|~v (t‬‬
‫)‪v(t‬‬
‫= )‪T̂ (t‬‬
‫וראינו בהרצאה הקודמת שהתאוצה במערכת נעה זו נתונה על ידי‬
‫‬
‫‬
‫ ˙‬
‫)‪(17‬‬
‫)‪~a(t) = v̇(t)T̂ (t) + v(t) T̂ (t) N̂ (t‬‬
‫כדי לחשב את מערכת פרנה־סרה‪ ,‬נשתמש באלגוריתם הבא‪:‬‬
‫‪ .1‬נחשב את המשיק לפי הנוסחא לעיל‪.‬‬
‫‪ .2‬נחשב את הבינורמל באמצעות הנוסחא‬
‫)‪(18‬‬
‫)‪~v (t) × ~a(t‬‬
‫|)‪|~v (t) × ~a(t‬‬
‫= )‪B̂(t‬‬
‫]כאשר ברור שזה הבינורמל מהנוסחא‪ :‬זהו וקטור יחידה שאורתוגונלי ל־)‪ T̂ (t‬ו־)‪N̂ (t‬‬
‫)כאשר החלק של ‪ ~a‬שמקביל למשיק מתבטל במכפלה הוקטורית‪ ,‬והמקדם של )‪N̂ (t‬‬
‫בתאוצה הוא חיובי ממש(‪[.‬‬
‫‪ .3‬לבסוף נחשב את )‪ N̂ (t‬לפי הנוסחא‪. N̂ (t) = B̂(t) × T̂ (t) :‬‬
‫משפט‪ :‬עבור מסילה במרחב מתקיימות משוואות פרנה־סרה‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪FS I: T̂ (t) = v(t) κ(t)N̂ (t‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪FS II: N̂ (t) = v(t) −κ(t)T̂ (t) + τ (t)B̂(t‬‬
‫)‪(20‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪FS III: B̂(t) = v(t) −τ (t)N̂ (t‬‬
‫)‪(21‬‬
‫‪dt‬‬
‫הוכחה‪ :‬משוואת פרנה סרה הראשונה‪ :‬ניקח את המשיק ונגזור לפי ‪:t‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪d ~v (t‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪v̇(t‬‬
‫˙‬
‫= )‪T̂ (t‬‬
‫=‬
‫‪~a(t) −‬‬
‫)‪~v (t‬‬
‫)‪(22‬‬
‫)‪dt v(t‬‬
‫)‪v(t‬‬
‫)‪v(t‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫)‪v̇(t‬‬
‫ ˙‬
‫=‬
‫‪v̇(t)T̂ (t) + v(t) T̂ (t) N̂ (t) −‬‬
‫)‪v(t)T̂ (t‬‬
‫)‪(23‬‬
‫)‪v(t‬‬
‫)‪v(t‬‬
‫‪3‬‬
‫ולכן‬
‫)‪(24‬‬
‫˙‬
‫)‪T̂ (t) = v(t)κ(t)N̂ (t‬‬
‫משוואת פרנה סרה השלישית‪ :‬ניקח את הבינורמל ונגזור לפי ‪:t‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫˙‬
‫= )‪B̂(t‬‬
‫)‪T̂ (t) × N̂ (t) = T̂ (t) × N̂ (t) + T̂ (t) × N̂ (t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪= κ(t)v(t)N̂ (t) × N̂ (t) +T̂ (t) × N̂ (t‬‬
‫)‪(25‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪dt‬‬
‫‪0‬‬
‫˙‬
‫˙‬
‫ולכן )‪ .B̂(t) ⊥ T̂ (t‬כעת‪ ,‬כיוון שלוקטור יחידה תמיד מתקיים )‪,B̂(t) ⊥ B̂(t‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1 d‬‬
‫‪1 d‬‬
‫‪1h‬‬
‫˙‬
‫˙‬
‫=‬
‫=‪1‬‬
‫= ))‪(B̂(t) · B̂(t‬‬
‫)‪B̂(t) · B̂(t) + B̂(t) · B̂(t‬‬
‫‪2 dt‬‬
‫‪2 dt‬‬
‫‪2‬‬
‫˙‬
‫)‪= B̂(t) · B̂(t‬‬
‫)‪(26‬‬
‫נקבל‬
‫)‪(27‬‬
‫˙‬
‫)‪B̂(t) = f (t)N̂ (t‬‬
‫ניקח את הגודל של שני הצדדים ונקבל‪ ,‬באמצעות הגדרת הפיתול‬
‫‬
‫‬
‫ ˙‬
‫)‪(28‬‬
‫|)‪B̂(t) = |f (t)| = v(t)|τ (t‬‬
‫נבחר את הסימן כך ש־‬
‫)‪(29‬‬
‫˙‬
‫)‪B̂(t) = −v(t)τ (t)N̂ (t‬‬
‫בחירה סימן זו תוסבר בהמשך בדוגמא על סליל ימני ושמאלי‪.‬‬
‫משוואת פרנה סרה השנייה‪ :‬ניקח את הנגזרת של הבינורמל‬
‫‪i‬‬
‫‪h‬‬
‫‪d‬‬
‫˙‬
‫= )‪N̂ (t‬‬
‫)‪B̂(t) × T̂ (t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫=‬
‫)‪B̂(t) × T̂ (t) + B̂(t) × T̂ (t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫)‪= −v(t)τ (t)N̂ (t) × T̂ (t) + v(t)κ(t)B̂(t) × N̂ (t‬‬
‫)‪(30‬‬
‫ומכאן‬
‫)‪(31‬‬
‫˙‬
‫)‪N̂ (t) = −v(t)κ(t)T̂ (t) + v(t)τ (t)B̂(t‬‬
‫ביטוי לעקמומיות נחשב את המכפלה הוקטורית של המהירות בתנע‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫ ˙‬
‫= )‪~v (t) × ~a(t‬‬
‫)‪v(t)T̂ (t) × v̇(t)T̂ (t) + v(t) T̂ (t) N̂ (t‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫=‬
‫)‪v(t)T̂ (t) × v̇(t)T̂ (t) + v 2 (t)κ(t)N̂ (t‬‬
‫)‪(32‬‬
‫)‪= v 3 (t)κ(t)B̂(t‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫ניקח את הגודל של שני אגפי השוויון‬
κ(t) =
|~v (t) × ~a(t)|
v 3 (t)
(33)
‫ביטוי לפיתול ניקח נגזרת של התאוצה‬
= v̇(t)T̂ (t) + v 2 (t)κ(t)N̂ (t)
(34)
d 2
˙
˙
~a˙ (t) = v̈(t)T̂ (t) + v̇(t)T̂ (t) +
v (t)κ(t) N̂ (t) + v 2 (t)κ(t)N̂ (t) (35)
dt
~a(t)
‫בעזרת משוואות פרנה־סרה‬
~a˙ (t)
d 2
= v̈(t)T̂ (t) + v̇(t)v(t)κ(t)N̂ (t) +
v (t)κ(t) N̂ (t)
dt
h
i
2
+v (t)κ(t) −v(t)κ(t)T̂ (t) + v(t)τ (t)B̂(t)
d 2
3
2
= v̈(t) − v (t)κ (t) T̂ (t) + v̇(t)v(t)κ(t) +
v (t)κ(t) N̂ (t)
dt
+v 3 (t)κ(t)τ (t)B̂(t)
(36)
‫בנוסף‬
~v (t) × ~a(t)
= v 3 (t)κ(t)B̂(t)
3
|~v (t) × ~a(t)| = v (t)κ(t)
(37)
(38)
‫נקבל‬
(~v (t) × ~a(t)) · ~a˙ (t) = v 6 (t)κ2 (t)τ (t)
(39)
‫קיבלנו אם כן את הביטוי הבא לפיתול‬
τ (t) =
(~v (t) × ~a(t)) · ~a˙ (t)
2
|~v (t) × ~a(t)|
(40)
:~rL (t) ‫~ וסליל שמאלי‬rR (t) ‫ סליל ימני‬,‫דוגמא שני סלילים‬
~rR (t)
=
(r cos t, r sin t, ht),
~rL (t)
=
(r cos t, −r sin t, ht),
(41)
‫ ונקבל את המהירויות המכוונות‬t ‫נגזור לפי פרמטר המסילה‬
~vR (t)
=
(−r sin t, r cos t, h),
~vL (t)
=
(−r sin t, −r cos t, h),
5
(42)
‫והמהירויות המתאימות ‪r2 + h2‬‬
‫)‪(43‬‬
‫√‬
‫= )‪ ,vL (t) = vR (t‬ובעזרת גזירה נוספת‪ ,‬את התאוצות‬
‫‪(−r cos t, −r sin t, 0),‬‬
‫=‬
‫)‪~aR (t‬‬
‫‪(−r cos t, r sin t, 0),‬‬
‫=‬
‫)‪~aL (t‬‬
‫ונגזרת התאוצה )‪(JERK‬‬
‫)‪(44‬‬
‫‪~a˙ R (t) = (r sin t, −r cos t, 0),‬‬
‫‪~a˙ L (t) = (r sin t, r cos t, 0).‬‬
‫נחשב את המכפלות הוקטוריות של המהירות בתאוצה‬
‫‪p‬‬
‫‪~vR (t) × ~aR (t) = (hr sin t, −hr cos t, r2 ), |~vR (t) × ~aR (t)| = r h2 + r2 ,‬‬
‫‪p‬‬
‫‪~vL (t) × ~aL (t) = (−hr sin t, −hr cos t, r2 ), |~vL (t) × ~aL (t)| = r h2 + r2 ,‬‬
‫וניקח מכפלה סקלרית עם נגזרת התאוצה‬
‫)‪(45‬‬
‫‪(~vR (t) × ~aR (t)) · ~a˙ R (t) = hr2‬‬
‫‪(~vL (t) × ~aL (t)) · ~a˙ L (t) = −hr2‬‬
‫ולכן העקמומיות היא‬
‫)‪(46‬‬
‫√‬
‫‪r h2 + r2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪κR/L (t) = 2‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪r + h2‬‬
‫‪(r + h2 )3/2‬‬
‫והפיתול‬
‫)‪(47‬‬
‫‪hr2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪=± 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪r (r + h‬‬
‫‪r + h2‬‬
‫‪τR/L (t) = ±‬‬
‫כאשר ‪ R‬בא עם ‪ .+‬כמוסכמה‪ ,‬לסליל ימני פיתול חיובי ולסליל שמאלי פיתול שלילי‪ ,‬ולכן‬
‫בחירת הסימן שלנו ל ‪ τ‬קונסיסטנטית עם מוסכמה זו‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫איור ‪ :1‬סליל שמאלי )שמאל( וימני )ימין(‪ .‬כיוון ה״זמן״ כלפי מעלה‪.‬‬
‫‪7‬‬