הקיזיפב תויטמתמ תוטישל אובמב עצמא ןחוב

‫בוחן אמצע במבוא לשיטות מתמטיות בפיזיקה‬
‫מספר נבחן‪:‬‬
‫קורס‪ :‬מבוא לשיטות מתמטיות בפיזיקה‬
‫מחלקה‪ :‬פיזיקה‬
‫מספר קורס‪203.1.1141 :‬‬
‫סמסטר‪ :‬סתו תשע״ה )‪ 2016‬א(‬
‫מועד‪ :‬בוחן אמצע‬
‫מרצה‪ :‬ד״ר איתן גרוספלד‬
‫מתרגל‪ :‬דניאל הורוויץ‬
‫תאריך הבחינה‪4.12.2015 :‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות‬
‫הוראות‪ :‬יש לענות על כל השאלות‪ ,‬לפרט את הפתרון על פני טופס הבחינה ולסמן‬
‫תשובות סופיות בריבוע‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪ :‬אין‪ .‬שימוש במחשבון אסור בבחינה זו‪.‬‬
‫בהצלחה לכולם!‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬שאלות בנושאים שונים‬
‫)א( מצא את האינטגרל ‪dx‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪xn e x‬‬
‫´‬
‫ˆ‬
‫‪n+1‬‬
‫‪ex‬‬
‫=‬
‫‪n+1‬‬
‫עבור ‪ n‬חיובי ושלם ]‪ 20‬נקודות[‬
‫‪n+1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪xn+1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪n+1‬‬
‫ˆ‬
‫‪n xn+1‬‬
‫‪x e‬‬
‫)ב( נתון שבנקודה )‪ ,P = (1, 3, 2‬מתקיים‪ f (P ) = 1 :‬והגרדיינט הוא‬
‫)‪ .(−1, 2, 1‬מהו ערך הפונקציה בנקודה )‪ P 0 = (−3/2, 5/2, 2‬בקירוב‬
‫הליניארי? ]‪ 20‬נקודות[‬
‫)‪d~r = P 0 − P = (−5/2, −1/2, 0‬‬
‫‪~ (P ) · d~r = 1 + (−1, 2, 1) · (−5/2, −1/2, 0) = 5/2‬‬
‫‪f (P 0 ) ≈ f (P ) + ∇f‬‬
‫)ג( נתונה הפונקציה ‪ .f (x, y) = x2 + 4y 2 /9‬כתוב פרמטריזציה לקו הגובה‬
‫‪ f (x, y) = 4‬כמסילה שכיוונה בכיוון השעון באמצעות הזווית מראשית‬
‫הצירים‬
‫)כלומר‪ ,‬מצא את )‪ .(~r(θ‬לכל נקודה על המסילה‪ ,‬מצא את הנורמל ומצא‬
‫את הגרדיינט של הפונקציה ‪ .f‬מה היחס ביניהם? הסבר‪ 25] .‬נקודות[‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪= 1 ⇒ ~r = (2 cos θ, 3 sin θ‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪~ = (2x, 8 y) = (4 cos θ, 8 sin θ‬‬
‫‪∇f‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫~‬
‫‪∇f‬‬
‫‪N̂ = −‬‬
‫| ~‬
‫‪|∇f‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה תמיד חיובית‪ ,‬לכן הגרדיאנט מצביע החוצה‪ .‬הנורמל והמשיק‬
‫נמצאים במישור המסילה‪ .‬הנורמל מאונך למשיק למסילה ונמצא גם כן‬
‫במישור המסילה ומצביע פנימה‪.‬‬
‫‪ .2‬עבור הפונקציה )‪ f (x) = log(1 + ax‬נרצה לקבל ערך מקורב למרחק על פני‬
‫גרף הפונקציה בין ‪ x = 0‬ועד ‪ x = 1‬עבור ‪ a‬קטן‪ .‬מצא ביטוי למרחק עד סדר‬
‫‪2‬‬
[‫ נקודות‬35] a4
~r = (x, f (x)), 0 ≤ x ≤ 1
~v = (1, f 0 (x))
|~v | =
q
ˆ
1 + f 02
1
s =
q
1 + f 02 dx =
0
ˆ
1
=
0
v
u
u
t1 +
a2
dx
(1 + ax)2
‫ניעזר בפיתוחי טיילור הבאים‬
x x2
−
2
8
≈ 1 − 2x + 3x2
(1 + x)1/2 ≈ 1 +
(1 + x)−2
a‫ונקבל כי עד סדר רביעי ב‬
ˆ
1
s ≈
0
ˆ
1

1
1
a2
1 +
−
2 (1 + ax)2 8
a2
(1 + ax)2
!2 
 dx
1
1
≈
1 + a2 (1 − 2ax + 3a2 x2 ) − a4 dx
2
8
0
1 2 1 3 3 4
= 1+ a − a + a
2
2
8
3
≈
‫אינטגרלים‬
‫‬
‫‪dx‬‬
‫‪du‬‬
‫‬
‫‪du‬‬
‫החלפת משתנה‬
‫)‪f (u‬‬
‫אינטגרציה בחלקים‬
‫‪u0 (x)v(x)dx‬‬
‫היעקוביאן‬
‫‬
‫ ‪∂x‬‬
‫ ‪∂v‬‬
‫‪∂y du dv‬‬
‫מסילות‬
‫פרמטר האורך‬
‫‪´ t 0 0‬‬
‫~‬
‫‪x˙ (t ) dt‬‬
‫‪0‬‬
‫וקטור הבינורמל‬
‫עקמומיות ופיתול‬
‫טור טיילור‬
‫חקירת פונקציות‬
‫טור טיילור עם שארית‬
‫‪+‬‬
‫= ‪dx dy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂z‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫= ‪dS‬‬
‫‪1+‬‬
‫=‪s‬‬
‫)‪¨ (t‬‬
‫~‬
‫~×)‪x˙ (t‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪B̂(t) = T̂ (t) × N̂ (t‬‬
‫|)‪|~x˙ (t)×~x¨(t‬‬
‫|)‪|~x˙ (t)×~x¨(t‬‬
‫‪,κ = ˙ 3‬‬
‫|)‪|~x(t‬‬
‫)‪(~x˙ (t)×~x¨(t))·∂t ~x¨(t‬‬
‫‪2‬‬
‫|)‪|~x˙ (t)×~x¨(t‬‬
‫∞‪P‬‬
‫=‪τ‬‬
‫)‪1 (n‬‬
‫‪(x0 )(x − x0 )n‬‬
‫‪n=0 n! f‬‬
‫)‪PN 1 (n‬‬
‫)‪(x0 )(x − x0 )n + RN (x‬‬
‫‪n=0 n! f‬‬
‫נוסחא לשארית‬
‫תנאי לנקודות חשודות‬
‫‪~ =0‬‬
‫‪∇f‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (N +1) (ξ)(x‬‬
‫!)‪(N +1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫= )‪RN (x‬‬
‫משפט גאוס לגרביטציה‬
‫לפי סימני ‪ fxx‬ו־ ‪D = fxx fyy − fxy fyx‬‬
‫‬
‫ ˝‬
‫˜‬
‫= ‪~ · F~ dV‬‬
‫∇‬
‫‪F~ · n̂ dS‬‬
‫‪V‬‬
‫‪S‬‬
‫‬
‫¸‬
‫ ˜‬
‫= ‪~ · d~r‬‬
‫‪~ × F~ · n̂ dS‬‬
‫‪F‬‬
‫∇‬
‫‪C‬‬
‫‪S‬‬
‫˜‬
‫‪~g · n̂ dS = −4πGMS‬‬
‫‪S‬‬
‫סדר ראשון‬
‫פתרון‬
‫)‪ẋ(t) = f (t)x(t) + g(t‬‬
‫)‪F (t) = t0 f (t0 )dt0 ,x(t) = v(t)eF (t‬‬
‫סדר שני‬
‫פתרון הומוגני‬
‫פתרון פרטי‬
‫)‪y 00 (t) + p(t)y 0 (t) + q(t)y(t) = g(t‬‬
‫)‪y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t‬‬
‫)‪Y (t) = u1 (t)y1 (t) + u2 (t)y2 (t‬‬
‫)‪´ y2 (t)g(t‬‬
‫‪u1 (t) = − W‬‬
‫‪dt‬‬
‫) ‪1 ,y2‬‬
‫‪´ y1(y‬‬
‫)‪(t)g(t‬‬
‫‪u2 (t) = W (y1 ,y2 ) dt‬‬
‫וורונסקיאן‬
‫‪W (y1 , y2 ) = y1 y20 − y10 y2‬‬
‫משפט הדיברגנס‬
‫משוואות‬
‫דיפרנציאליות‬
‫לינאריות‬
‫‪u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) −‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪T̂ (t) = ~x˙ (t)/ ~x˙ (t‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫˙‬
‫˙‬
‫‬
‫)‪N̂ (t) = T̂ (t)/ T̂ (t‬‬
‫‪− x0 )N +1‬‬
‫סיווג‬
‫אנליזה וקטורית‬
‫‬
‫אלמנט שטח של משטח )‪z(x, y‬‬
‫וקטור המשיק‬
‫´‬
‫‪a‬‬
‫משפט סטוקס‬
‫´‬
‫‪∂u‬‬
‫‪dx dy‬‬
‫וקטור הנורמל‬
‫טור טיילור‬
‫‪2‬‬
‫)‪u(a‬‬
‫‬
‫‪ ∂x‬‬
‫‪ ∂u‬‬
‫‪ ∂y‬‬
‫‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂z‬‬
‫‪∂y‬‬
‫)‪´ u(b‬‬
‫= ))‪dx f (u(x‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪´t‬‬
‫‪4‬‬