...

רפמא קוחו רבס ויב קוח :יטנגמה הדשה ירצוי ־ 9... ־רבס ויב קוח .ילמשח םרז לש העונת ˝ (

by user

on
Category: Documents
8

views

Report

Comments

Transcript

רפמא קוחו רבס ויב קוח :יטנגמה הדשה ירצוי ־ 9... ־רבס ויב קוח .ילמשח םרז לש העונת ˝ (
‫תרגול ‪ 9‬־ יוצרי השדה המגנטי‪ :‬חוק ביו סבר וחוק אמפר‬
‫חוק ביו סבר־ חוק זה נותן לנו ביטוי מפורש לשדה המגנטי במרחב בעקבות‬
‫תנועה של זרם חשמלי‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪˝ (~jdv)×(~r−~r‬‬
‫~(×‪´ I dl‬‬
‫~‬
‫~‪r −‬‬
‫) ‪r0‬‬
‫‪µ0‬‬
‫‪~ = µ0‬‬
‫‪(1) B‬‬
‫=‬
‫‪4π‬‬
‫~|‬
‫~‪r −‬‬
‫‪r 0 |3‬‬
‫‪4π‬‬
‫~|‬
‫~‪r −‬‬
‫‪r 0 |3‬‬
‫‪sometimes‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ [ m‬כאשר ‪ H‬זה יחידת הנרי‬
‫‪µ0‬־ מקדם הפרמאביליות של הריק ]‬
‫‪ I‬־ זרם חשמלי‬
‫~‬
‫‪B‬־ השדה המגנטי ; יחידות ] ‪T − T esla [T‬‬
‫‪I‬־ הזרם חשמלי‬
‫‪~r‬־ וקטור שמצביע מהראשית לנקודה שבו נמדד השדה‬
‫‪~r0‬־ וקטור שמצביע מהראשית לאלמנט אורך ~‬
‫‪dl‬‬
‫~‬
‫‪dl‬־ אלמנט אורך בכיוון המקביל לכיוון הזרם בהגדרה החיובית שלו‬
‫‪~j‬־ צפיפות זרם‬
‫‪dv‬־ אלמנט נפח של המוליך נושא הזרם‬
‫חוק אמפר־ איננטגרל מסילתי סגור על השדה המגנטי שווה לסה״כ הזרמים שהצלחנו‬
‫לחבוק אותם‪.‬‬
‫¸‬
‫‪~ = µ0 Ienclosed‬‬
‫‪~ dl‬‬
‫‪(2) B‬‬
‫בדומה למשפט גאוס ניתן מהמשפט לבטא שני דברים‪:‬‬
‫‪ (1‬באופן טריוואלי בהינתן שדה מגנטי במרחב ניתן לחשב‪,‬‬
‫את הזרם הנמצא בכל לולאה סגורה‪.‬‬
‫‪ (2‬בהינתן התפלגות זרם מסויימת‪ ,‬כאשר ניתן להניח מתוך שיקולי סימטריה כי ישנו‬
‫קווים שווי שדה במבנה של טבעת סגורה‪ ,‬אזי ניתן לחלץ את השדה המגנטי‪.‬‬
‫כלומר באופן פורמלי אם נניח כי השדה קבוע לאורך קווים מסויימים של מסילות אזי‪:‬‬
‫¸‬
‫‪~ ~l = Σ|B~i | · Li (lˆi · n̂i ) = µ0 Ienclosed‬‬
‫‪(3) Bd‬‬
‫ואז נצליח לקבוע בקלות את גודל וכיוון השדה המגנטי‪,‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪Li‬־ אורך קטע ‪i‬‬
‫‪B‬־ השדה המגנטי על הקטע ‪ i‬בכיוון מקביל ל ‪ˆli‬‬
‫‪~i‬‬
‫‪n̂i‬־ כיוון השדה המגנטי ‪i‬‬
‫‪ˆli‬־ כיוון המקביל לקטע ‪Li‬‬
‫בהאתם למערכות הקוארדינטות שלנו כך גם יהיו השיקולי הסימטריה שנבסס אותם כדי‬
‫להשתמש במשפט בכיוון השני שלו‪.‬‬
‫מקרים נפוצים‪:‬‬
‫א( תייל דק‪/‬תייל עבה אינסופי עם צפיפות זרם משתנה לפי ‪ r‬בלבד‪,‬‬
‫כאשר הזורם בכיוון ̂‪.z‬‬
‫ב( משטחים‪/‬לוחות עבים אינסופיים עם צפיפות זרם משתנה לפי גובה ‪,z‬‬
‫כאשר הזרם זורם בכיוונים ̂‪ x‬ו ̂‪ y‬של הלוח בלבד‪.‬‬
‫ג( סלילים‪/‬גלילים מסתובבים חלולים או מלאים אנסופיים עם צפיפות זרם משתנה לפי ‪r‬‬
‫המרחק הגלילי בלבד‪ ,‬כאשר הזרם זורם בכיוון ̂‪ϕ‬‬
‫ד( טורוס ריבועי )סליל שסגרו אותו במעגל(‪.‬‬
‫בכל המקרים האלא ניתן להשתמש חוק אמפר כדי למצוא את השדה המגנטי שיוצרים‬
‫הגופים המולכים במרחב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תיל מכופף‬
‫הבעיה‬
‫ישנו תיל מכופף‪ ,‬אשר מורכב משני תיילים חצי אינסופים המחוברים בקשת‪ .‬התיל נושא זרם ‪ I‬ורדיוס הקשת‬
‫‪.R‬‬
‫מצא את השדה המגנטי במרכז הקשת‬
‫הפתרון‬
‫כרגיל נפרק את הבעיה לכמה בעיות קלות יותר‪ .‬גודלו של שדה של תיל חצי אינסופי כבר חושב בכיתה‪ ,‬והוא‪:‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫‪4πR‬‬
‫=‪B‬‬
‫גודל השדה של חצי טבעת‪:‬‬
‫‪µ0 Iπ‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪4πR‬‬
‫מכיוון שכל השדות באותו הכיוון ניתן לחבר אותם‪:‬‬
‫‪µ0 Iπ‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫)‪(2 + π‬‬
‫‪4πR‬‬
‫‪4πR‬‬
‫‪4πR‬‬
‫‪1‬‬
‫‪BT = 2‬‬
Magnetic Field
Submitted by: I.D. 036553790
The problem:
There is a infinite wire with a radius a carrying current I. At the distance d from the center of the
wire there is a cylinder cavity with a radius b. Find the magnetic field inside the cavity.
The solution:
First let’s define the constant in SI:
K = µ0 /4π
(1)
Now let’s find the current density:
I = J(πa2 − πb2 )
I
J~ =
ẑ
2
π(a − b2 )
(2)
(3)
Due to the symmetry the magnetic field is in the φ̂ direction.
We use super position with a full wire minus the cavity so inside a full wire the magnetic field is
(where r is the distance from the center of the cylinder)
I
Z
~
~
B1 · d` = 4πK J~ · d~s
(4)
B1 · 2πr = 4πKJπr2
(5)
B1 = 2πKJr
(6)
Therefore, in vector notations
~ 1 = 2πKJ~r × ẑ
B
(7)
The magnetic field inside the cavity is (where r0 is the distance from the center of the cavity):
I
Z
~
~
B2 · d` = 4πK J~ · d~s
(8)
B2 · 2πr0 = 4πKJπr02
B2 = 2πKJr
(9)
0
(10)
Since ~r0 = ~r − d~
~ × ẑ
~ 2 = −2πKJ(~r − d)
B
(11)
so the total magnetic field is:
~ × ẑ = 2πKJ d~ × ẑ
~ total = B
~1 + B
~ 2 = 2πKJ~r × ẑ − 2πKJ(~r − d)
B
(12)
Finally
~ total =
B
µ0
I
µ0
Id
d~ × ẑ =
φ̂
2 π(a2 − b2 )
2 π(a2 − b2 )
1
(13)
Fly UP