רפמא קוחו רבס ויב קוח :יטנגמה הדשה ירצוי ־ 11... ־רבס ויב קוח .ילמשח םרז לש העונת ´
by user
Comments
Transcript
רפמא קוחו רבס ויב קוח :יטנגמה הדשה ירצוי ־ 11... ־רבס ויב קוח .ילמשח םרז לש העונת ´
תרגול 11־ יוצרי השדה המגנטי :חוק ביו סבר וחוק אמפר חוק ביו סבר־ חוק זה נותן לנו ביטוי מפורש לשדה המגנטי במרחב בעקבות תנועה של זרם חשמלי. ~ ~(×I dl ~r − ) r0 ~| ~r − r 0 |3 H m ´ µ0 4π = ~ (1) B = ] [µ0כאשר Hזה יחידת הנרי µ0־ מקדם הפרמאביליות של הריק I־ זרם חשמלי ~ B־ השדה המגנטי ; יחידות T − T esla ~r־ וקטור שמצביע מהראשית לנקודה שבו נמדד השדה ~r0־ וקטור שמצביע מהראשית לאלמנט אורך ~ dl ~ dl־ אלמנט אורך בכיוון המקביל לכיוון הזרם בהגדרה החיובית שלו חוק אמפר־ איננטגרל מסילתי סגור על השדה המגנטי שווה לסה״כ הזרמים שהצלחנו לחבוק אותם. ¸ ~ = µ0 Ienclosed ~ dl (2) B בדומה למשפט גאוס ניתן מהמשפט לבטא שני דברים: (1באופן טריוואלי בהינתן שדה מגנטי במרחב ניתן לחשב, את הזרם הנמצא בכל לולאה סגורה. (2בהינתן התפלגות זרם מסויימת ,כאשר ניתן להניח מתוך שיקולי סימטריה כי ישנו קווים שווי שדה במבנה של טבעת סגורה ,אזי ניתן לחלץ את השדה המגנטי. כלומר באופן פורמלי אם נניח כי השדה קבוע לאורך קווים מסויימים של מסילות אזי: ~ ~l = Σ|B~i | · Li (lˆi · n̂i ) = µ0 Ienclosed Bd ¸ )(3 ואז נצליח לקבוע בקלות את גודל וכיוון השדה המגנטי, כאשר: Li־ אורך קטע i B־ השדה המגנטי על הקטע iבכיוון מקביל ל ˆli ~i n̂i־ כיוון השדה המגנטי i ˆli־ כיוון המקביל לקטע Li בהאתם למערכות הקוארדינטות שלנו כך גם יהיו השיקולי הסימטריה שנבסס אותם כדי להשתמש במשפט בכיוון השני שלו. מקרים נפוצים: א( תייל דק/תייל עבה אינסופי עם צפיפות זרם משתנה לפי rבלבד, כאשר הזורם בכיוון ̂.z ב( משטחים/לוחות עבים אינסופיים עם צפיפות זרם משתנה לפי גובה ,z כאשר הזרם זורם בכיוונים ̂ xו ̂ yשל הלוח בלבד. ג( סלילים/גלילים מסתובבים חלולים או מלאים אנסופיים עם צפיפות זרם משתנה לפי r המרחק הגלילי בלבד ,כאשר הזרם זורם בכיוון ̂ϕ ד( טורוס ריבועי )סליל שסגרו אותו במעגל(. בכל המקרים האלא ניתן להשתמש חוק אמפר כדי למצוא את השדה המגנטי שיוצרים הגופים המולכים במרחב. 1 7309 זרם זורם בגיאומטריה הבאה )ראה ציור( .מה צריכה להיות הזווית בשביל שבמרכז הקשת )הנקודה (Pהשדה המגנטי יתאפס ? פתרון ־ נפרק את הבעיה לפי עקרון סופרפוזציה לשלוש ,שניי תיילים וקשת. חוק ביו סבר: ´ ~ ~(×I dl ~r − ) r0 ~| ~r − r 0 |3 µ0 4π = ~ (1) B עבור חצי הקשת נשים את הנקדוה Pבראשית הצירים: (2) ~r = 0 ̂(3) ~r0 = R(cosϕ, sinϕ, 0) = Rr ̂~ = −R(−sinϕ, cosϕ, 0)dϕ = −Rdϕϕ (4) dl נפתור את המכפלה הווקטורית בנפרד: ̂~ × (~r − ~r0 ) = −R2 dϕz (5) dl Iµ0 = − 4πR ̂θz R2 I ̂R3 dϕz θ/2 ´ −θ/2 ~ = − µ0 (6) B 4π נפתור עבור תייל זשורם מימין לשמאל אחד ונציב אותו ככה שהוא יהיה מונח על ציר .x ̂(7) ~r = Ry ̂(8) ~r0 = xx ̂~ = dxx (9) dl נפתור את המכפלה הווקטורית בנפרד: ̂~ × (~r − ~r0 ) = Rdxz (10) dl = 1 RIdx ̂z (x2 +R2 )3/2 ∞ ´ 0 µ0 4π = ~ (11) B החלפת משתנים x R =ψ Iµ0 ̂4πR z ∞ = ̂· z 0 √ ψ2 ψ +1 Iµ0 4πR = dψ ̂z (1+ψ 2 )3/2 ∞ ´ 0 Iµ0 4πR = ~ (12) B נראה כי אם נזיז את למערכת צירים מסובבת נקבל אותה התשובה לכן גם עבור התייל השני נקבל בדיוק אותה התוצאה לכן: ̂− θ)z Iµ0 4πR (2 = ̂+ 1 − θ)z Iµ0 4πR (1 = ~ total (13) B כדי לקבל אפס זאם בנקודה Pעל הזויות להיות ] θ = 2[radבראדינאנים. 2 טבעת מסתובבת הבעיה dθ dt טבעת מבודדת ברדיוס Rטעונה באופן אחיד במטען כולל .Qהטבעת מסתובבת סביב צירה במהירות זוויתית =ω מהו השדה המגנטי במרכז הטבעת? הפתרון Q 2πR =λ אם המטען הכולל הוא ,Qאז צפיפות המטען האורכית היא: אלמנט המטען הואdq = λdS = λRdθ : ולכן הזרם הוא: λRdθ Q Qω dq = = = λRω = Rω =I dt dt 2πR 2π והשדה הוא: µ0 Qω µ0 I 2π = 2π =B 4πR 2R ואם נציב את המספרים נקבל: 1 C = 4 · 10−7 Tesla πm·s 1 = µ0 1 C16 1s 2π 2 · 4m B = µ0