...

רפמא קוחו רבס ויב קוח :יטנגמה הדשה ירצוי ־ 11... ־רבס ויב קוח .ילמשח םרז לש העונת ´

by user

on
Category: Documents
10

views

Report

Comments

Transcript

רפמא קוחו רבס ויב קוח :יטנגמה הדשה ירצוי ־ 11... ־רבס ויב קוח .ילמשח םרז לש העונת ´
‫תרגול ‪ 11‬־ יוצרי השדה המגנטי‪ :‬חוק ביו סבר וחוק אמפר‬
‫חוק ביו סבר־ חוק זה נותן לנו ביטוי מפורש לשדה המגנטי במרחב בעקבות‬
‫תנועה של זרם חשמלי‪.‬‬
‫~‬
‫~(×‪I dl‬‬
‫~‪r −‬‬
‫) ‪r0‬‬
‫~|‬
‫~‪r −‬‬
‫‪r 0 |3‬‬
‫‪H‬‬
‫‪m‬‬
‫´‬
‫‪µ0‬‬
‫‪4π‬‬
‫= ~‬
‫‪(1) B‬‬
‫= ] ‪ [µ0‬כאשר ‪ H‬זה יחידת הנרי‬
‫‪µ0‬־ מקדם הפרמאביליות של הריק‬
‫‪ I‬־ זרם חשמלי‬
‫~‬
‫‪B‬־ השדה המגנטי ; יחידות ‪T − T esla‬‬
‫‪~r‬־ וקטור שמצביע מהראשית לנקודה שבו נמדד השדה‬
‫‪~r0‬־ וקטור שמצביע מהראשית לאלמנט אורך ~‬
‫‪dl‬‬
‫~‬
‫‪dl‬־ אלמנט אורך בכיוון המקביל לכיוון הזרם בהגדרה החיובית שלו‬
‫חוק אמפר־ איננטגרל מסילתי סגור על השדה המגנטי שווה לסה״כ הזרמים שהצלחנו‬
‫לחבוק אותם‪.‬‬
‫¸‬
‫‪~ = µ0 Ienclosed‬‬
‫‪~ dl‬‬
‫‪(2) B‬‬
‫בדומה למשפט גאוס ניתן מהמשפט לבטא שני דברים‪:‬‬
‫‪ (1‬באופן טריוואלי בהינתן שדה מגנטי במרחב ניתן לחשב‪,‬‬
‫את הזרם הנמצא בכל לולאה סגורה‪.‬‬
‫‪ (2‬בהינתן התפלגות זרם מסויימת‪ ,‬כאשר ניתן להניח מתוך שיקולי סימטריה כי ישנו‬
‫קווים שווי שדה במבנה של טבעת סגורה‪ ,‬אזי ניתן לחלץ את השדה המגנטי‪.‬‬
‫כלומר באופן פורמלי אם נניח כי השדה קבוע לאורך קווים מסויימים של מסילות אזי‪:‬‬
‫‪~ ~l = Σ|B~i | · Li (lˆi · n̂i ) = µ0 Ienclosed‬‬
‫‪Bd‬‬
‫¸‬
‫)‪(3‬‬
‫ואז נצליח לקבוע בקלות את גודל וכיוון השדה המגנטי‪,‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪Li‬־ אורך קטע ‪i‬‬
‫‪B‬־ השדה המגנטי על הקטע ‪ i‬בכיוון מקביל ל ‪ˆli‬‬
‫‪~i‬‬
‫‪n̂i‬־ כיוון השדה המגנטי ‪i‬‬
‫‪ˆli‬־ כיוון המקביל לקטע ‪Li‬‬
‫בהאתם למערכות הקוארדינטות שלנו כך גם יהיו השיקולי הסימטריה שנבסס אותם כדי‬
‫להשתמש במשפט בכיוון השני שלו‪.‬‬
‫מקרים נפוצים‪:‬‬
‫א( תייל דק‪/‬תייל עבה אינסופי עם צפיפות זרם משתנה לפי ‪ r‬בלבד‪,‬‬
‫כאשר הזורם בכיוון ̂‪.z‬‬
‫ב( משטחים‪/‬לוחות עבים אינסופיים עם צפיפות זרם משתנה לפי גובה ‪,z‬‬
‫כאשר הזרם זורם בכיוונים ̂‪ x‬ו ̂‪ y‬של הלוח בלבד‪.‬‬
‫ג( סלילים‪/‬גלילים מסתובבים חלולים או מלאים אנסופיים עם צפיפות זרם משתנה לפי ‪r‬‬
‫המרחק הגלילי בלבד‪ ,‬כאשר הזרם זורם בכיוון ̂‪ϕ‬‬
‫ד( טורוס ריבועי )סליל שסגרו אותו במעגל(‪.‬‬
‫בכל המקרים האלא ניתן להשתמש חוק אמפר כדי למצוא את השדה המגנטי שיוצרים‬
‫הגופים המולכים במרחב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7309‬‬
‫זרם זורם בגיאומטריה הבאה )ראה ציור(‪ .‬מה צריכה להיות הזווית בשביל שבמרכז‬
‫הקשת )הנקודה ‪ (P‬השדה המגנטי יתאפס ?‬
‫פתרון ־‬
‫נפרק את הבעיה לפי עקרון סופרפוזציה לשלוש‪ ,‬שניי תיילים וקשת‪.‬‬
‫חוק ביו סבר‪:‬‬
‫´‬
‫~‬
‫~(×‪I dl‬‬
‫~‪r −‬‬
‫) ‪r0‬‬
‫~|‬
‫~‪r −‬‬
‫‪r 0 |3‬‬
‫‪µ0‬‬
‫‪4π‬‬
‫= ~‬
‫‪(1) B‬‬
‫עבור חצי הקשת נשים את הנקדוה ‪ P‬בראשית הצירים‪:‬‬
‫‪(2) ~r = 0‬‬
‫̂‪(3) ~r0 = R(cosϕ, sinϕ, 0) = Rr‬‬
‫̂‪~ = −R(−sinϕ, cosϕ, 0)dϕ = −Rdϕϕ‬‬
‫‪(4) dl‬‬
‫נפתור את המכפלה הווקטורית בנפרד‪:‬‬
‫̂‪~ × (~r − ~r0 ) = −R2 dϕz‬‬
‫‪(5) dl‬‬
‫‪Iµ0‬‬
‫‪= − 4πR‬‬
‫̂‪θz‬‬
‫‪R2 I‬‬
‫̂‪R3 dϕz‬‬
‫‪θ/2‬‬
‫´‬
‫‪−θ/2‬‬
‫‪~ = − µ0‬‬
‫‪(6) B‬‬
‫‪4π‬‬
‫נפתור עבור תייל זשורם מימין לשמאל אחד ונציב אותו ככה שהוא יהיה מונח על ציר ‪.x‬‬
‫̂‪(7) ~r = Ry‬‬
‫̂‪(8) ~r0 = xx‬‬
‫̂‪~ = dxx‬‬
‫‪(9) dl‬‬
‫נפתור את המכפלה הווקטורית בנפרד‪:‬‬
‫̂‪~ × (~r − ~r0 ) = Rdxz‬‬
‫‪(10) dl‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪RIdx‬‬
‫̂‪z‬‬
‫‪(x2 +R2 )3/2‬‬
‫∞‬
‫´‬
‫‪0‬‬
‫‪µ0‬‬
‫‪4π‬‬
‫= ~‬
‫‪(11) B‬‬
‫החלפת משתנים‬
‫‪x‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪ψ‬‬
‫‪Iµ0‬‬
‫̂‪4πR z‬‬
‫∞‬
‫= ̂‪· z‬‬
‫‪0‬‬
‫‪√ ψ2‬‬
‫‬
‫‪ψ +1‬‬
‫‪Iµ0‬‬
‫‪4πR‬‬
‫=‬
‫‪dψ‬‬
‫̂‪z‬‬
‫‪(1+ψ 2 )3/2‬‬
‫∞‬
‫´‬
‫‪0‬‬
‫‪Iµ0‬‬
‫‪4πR‬‬
‫= ~‬
‫‪(12) B‬‬
‫נראה כי אם נזיז את למערכת צירים מסובבת נקבל אותה התשובה לכן גם עבור‬
‫התייל השני נקבל בדיוק אותה התוצאה לכן‪:‬‬
‫̂‪− θ)z‬‬
‫‪Iµ0‬‬
‫‪4πR (2‬‬
‫= ̂‪+ 1 − θ)z‬‬
‫‪Iµ0‬‬
‫‪4πR (1‬‬
‫= ‪~ total‬‬
‫‪(13) B‬‬
‫כדי לקבל אפס זאם בנקודה ‪ P‬על הזויות להיות ]‪ θ = 2[rad‬בראדינאנים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫טבעת מסתובבת‬
‫הבעיה‬
‫‪dθ‬‬
‫‪dt‬‬
‫טבעת מבודדת ברדיוס ‪ R‬טעונה באופן אחיד במטען כולל ‪ .Q‬הטבעת מסתובבת סביב צירה במהירות זוויתית‬
‫=‪ω‬‬
‫מהו השדה המגנטי במרכז הטבעת?‬
‫הפתרון‬
‫‪Q‬‬
‫‪2πR‬‬
‫=‪λ‬‬
‫אם המטען הכולל הוא ‪ ,Q‬אז צפיפות המטען האורכית היא‪:‬‬
‫אלמנט המטען הוא‪dq = λdS = λRdθ :‬‬
‫ולכן הזרם הוא‪:‬‬
‫‪λRdθ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Qω‬‬
‫‪dq‬‬
‫=‬
‫= ‪= λRω‬‬
‫= ‪Rω‬‬
‫=‪I‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2πR‬‬
‫‪2π‬‬
‫והשדה הוא‪:‬‬
‫‪µ0 Qω‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪2π‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪4πR‬‬
‫‪2R‬‬
‫ואם נציב את המספרים נקבל‪:‬‬
‫‪1 C‬‬
‫‪= 4 · 10−7 Tesla‬‬
‫‪πm·s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= µ0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C16 1s‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2 · 4m‬‬
‫‪B = µ0‬‬
Fly UP