הקיסיפ 3 א 20312391

‫פיסיקה ‪3‬א ‪20312391‬‬
‫מועד ב‬
‫‪1.3.16‬‬
‫מרצה‪ :‬יעקב כליאורין‬
‫מתרגלים‪ :‬טל וייס‪ ,‬עומר צוק‬
‫יש לענות על כל השאלות‪ .‬חשוב לרשום תשובה סופית על טופס הבחינה ליד כל שאלה‪ .‬חשוב‬
‫לוודא שהתשובות הסופיות מבוטאות בעזרת הנתונים בשאלה‪.‬‬
‫‪ .1‬נתון מחסום פוטנציאל המתואר על ידי‪:‬‬
‫המגיע מצד שמאל עם אנרגיה ‪) ,E‬ניתן להניח נירמול גלובלי לפונקציה‬
‫נתון חלקיק בעל מסה‬
‫"‪ "A‬שאין צורך למצוא אותו(‬
‫א‪ 7).‬נק'( מהי פונקציית הגל לאורך כל התחום )‬
‫)כולל למצוא מקדמי ‪(r,t‬‬
‫( במקרה ש‬
‫ב‪ 7).‬נק'( מהי פונקציית הגל לאורך כל התחום )‬
‫)כולל למצוא מקדמי ‪(r,t‬‬
‫( במקרה ש‬
‫ג‪ 6).‬נק'( מהי הסתברות להחזרה של החלקיק מהמחסום עבור כל אחד מהמקרים?‬
‫ד‪ 7).‬נק'( מהי צפיפות זרם ההסתברות בכל ‪ x‬עבור המקרה‬
‫?‬
‫ה‪ 7).‬נק'( מהי צפיפות זרם ההסתברות בכל ‪ x‬עבור המקרה‬
‫‪.2‬חלקיק ללא ספין בעל מסה‬
‫‪ m‬עם אנרגיה‬
‫‪ E‬נמצא על טבעת הנמצאת באזור‬
‫?‬
‫]‪ . [−a /2, a /2‬על הטבעת שוררת אנרגיה פוטנציאלית המוגדרת על פי הביטוי הבא‪:‬‬
‫) ‪V ( x)= g δ ( x‬‬
‫א‪ 15) .‬נק'( מהם המצבים העצמיים על המערכת הזו?)כולל נרמול(‬
‫ב‪ 5) .‬נק'( מהן האנרגיות העצמיות על המערכת הזו? שימו לב‪ ,‬חשוב לציין גם את תחום‬
‫המספרים הקוונטים המותרים‪.‬‬
‫ג‪ 8) .‬נק'( אם מכינים את החלקיק במצב המעורר הראשון מעל רמת היסוד‪ .‬מהם‬
‫התנעים האפשריים במדידה‪ ,‬ומה ההסתברות למדוד כל אחד מהם?‬
‫ד‪ 5) .‬נק'( ממלאים ‪ 4‬חלקיקים חסרי ספין לתוך המערכת הזו‪ ,‬מהי האנרגיה הכוללת?‬
‫‪ .3‬נתונה מערכת חד מימדית של ‪ N‬אתרים‪ ,‬במרחק ‪ a‬אחד מהשני‪ ,‬על טבעת‪ .‬נגדיר אופרטור‬
‫הזזה‪:‬‬
‫‪+‬‬
‫^‬
‫^‬
‫^‬
‫^‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ H=ϵ I +t D+ t D‬כאשר ‪ I‬זו‬
‫⟩ ‪ . D|i ⟩=|i−1 ⟩ , D|1 ⟩=|N‬ההמילטוניאן של המערכת הוא‬
‫מטריצת היחידה‪ ϵ, t ,‬הם גדלי ממשיים עם יחידות של אנרגיה‪.‬‬
‫א‪ 13).‬נק'( מהם המצבים והערכים העצמיים של אופרטור ^‬
‫‪ ? D‬הדרכה‪ :‬יש לבטא מצב‬
‫כללי כקומבינציה ליניארית של מצבי בסיס המקום ולבדוק מתי המצב מהווה מצב עצמי‬
‫של האופרטור‪.‬‬
‫ב‪ 5) .‬נק'(מהם מצבי וערכי האנרגיה במערכת? רמז‪ :‬החישוב קצר‪.‬‬
‫ג‪ 5) .‬נק'(האם משפט בלוך מתקיים? )אם כן‪ ,‬מהם תנעי הסריג המותרים?(‪.‬‬
‫ציירו את הפס בתוך אזור ברילוואן הראשון )אנרגיה כפונקציה של תנע סריג(‪.‬‬
‫כמה מצבים שונים )כולל ספין( ישנם בתוך הפס?‬
‫ד‪ 5) .‬נק'(מהי המסה האפקטיבית עבור כל מצב תנע סריג )‪?(k‬‬
‫ה‪ 5) .‬נק'(מכניסים לתוך הפס‪ :‬מספר אלקטרונים‪ ,‬הקטן ב ‪ 2‬מהמספר המקסימלי בפס‪.‬‬
‫‪ .‬רמז‪ :‬זה‬
‫מהי המוליכות? נתון ‪) τ‬זמן בין התנגשויות בסריג( וניתן להניח "נפח" ‪V‬‬
‫דומה לחצי מוליך מסוג ‪P-type‬‬
‫פתרון לתרגיל ‪:1‬‬
‫הפוטנציאל הוא‬
‫א‪ .‬בתחום‬
‫‪ ,‬ולכן משוואת שרדינגר היא‬
‫כאשר‬
‫והפתרונות הן‬
‫בתחום‬
‫הפוטנציאל הוא‬
‫‪ ,‬ומשוואת שרדינגר היא‬
‫כאשר‬
‫והפתרונות הן‬
‫מכיוון שלקחנו חלקיק המגיע מצד שמאל‪ ,‬אין סיבתיות לגל שמגיע מימין‪ ,‬ולכן ניקח את המקדם‬
‫‪ ,‬כאפס‪ ,‬ולכן‬
‫של הגל שמגיע מימין ומתקדם לעבר המחסום –‬
‫ב‪ .‬בתחום‬
‫הפוטנציאל הוא‬
‫‪ ,‬ולכן משוואת שרדינגר היא‬
‫כאשר‬
‫והפתרונות הן‬
‫בתחום‬
‫הפוטנציאל הוא‬
‫‪ ,‬ומשוואת שרדינגר היא‬
‫כאשר‬
‫והפתרונות הן‬
‫מכיוון שאנו מחפשים פתרונות ניתנים לנרמול‪ ,‬אנחנו לוקחים את החלק אשר שואף לאינסוף‬
‫‪ ,‬ונישארים עם הפתרון‬
‫כאשר‬
‫ג‪ .‬בעבור‬
‫‪ ,‬ניקח את התנאי רציפות של הפונקציה ונגזרתה ב‬
‫‪:‬‬
‫מכאן ניתן לחלץ את מקדם ההחזרה ‪-‬‬
‫בעבור‬
‫‪ ,‬ניקח את התנאי רציפות של הפונקציה ונגזרתה ב‬
‫‪:‬‬
‫מכאן ניתן לחלץ את מקדם ההחזרה ‪-‬‬
‫ד‪ .‬זרם ההסתברות בכל ‪ x‬עבור המקרה‬
‫בתחום‬
‫‪:‬‬
‫כך שזרם ההסתברות הוא‬
‫כאשר‬
‫בתחום‬
‫‪:‬‬
‫כך שזרם ההסתברות הוא‬
‫ה‪ .‬זרם ההסתברות בכל ‪ x‬עבור המקרה‬
‫‪:‬‬
‫בתחום‬
‫ניתן לנו ע"י חישוב‬
‫כך שזרם ההסתברות הוא‬
‫‪ :‬מכיוון שיש לנו חוק שימור הזרם יוצא שגם בתחום זה זרם צפיפות ההסתברות‬
‫בתחום‬
‫הוא אפס‪.‬‬
‫ניתן גם לחשב‪:‬‬
‫‪:‬‬
‫בתחום‬
‫כך שזרם ההסתברות הוא‬
‫כאשר‬
‫‪ ,‬מכיוון ש‬
‫ו‬
‫הם גדלים ממשיים‪ ,‬אז‬
‫‪ ,‬ולכן‬
‫‪ ,‬כך שזרם ההסתברות יוצא‬
‫פתרון תרגיל ‪2‬ן‪:‬‬
‫√‬
‫‪2mE‬‬
‫א‪ ψ( x)=Ae ikx + Be−ikx .‬כאשר‬
‫‪2‬‬
‫‪ℏ‬‬
‫אם נזיז את הטבעת ל ]‪) [0 , a‬הזזת מערכת צירים שזה פשוט‪ ,‬בגלל המחזוריות‪ ,‬אם כי לא‬
‫הכרחי( נקבל‪:‬‬
‫=‪k‬‬
‫)‪ψ( 0)=ψ(a‬‬
‫‪2mg‬‬
‫)‪ψ' (0)−ψ ' (a )= 2 ψ(0‬‬
‫‪ℏ‬‬
‫בהצבת תנאי השפה נקבל‪:‬‬
‫‪ika‬‬
‫‪−ika‬‬
‫‪A+ B= Ae + Be‬‬
‫‪2 mg‬‬
‫‪ika‬‬
‫‪−ika‬‬
‫)‪(ik )( A−B− Ae + Be )= 2 ( A + B‬‬
‫‪ℏ‬‬
‫מתוך תנאי השפה הראשון ניתן לראות ש‬
‫‪2πn‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪ . k n‬קימת האופציה גם ל‬
‫‪ A= Be−ika‬אך זו‬
‫לא מקיימת גם את תנאי השפה השני‪.‬‬
‫אחרי הצבה במשוואה השניייה מקבלים‪:‬‬
‫‪2mg‬‬
‫)‪( A+ B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kℏ‬‬
‫זו מתקיימת כאשר ‪ A=−B‬ו ‪ k‬שונה מאפס על מנת שלא יהיה מצב ש"אין חלקיק" )שלא‬
‫כמו בחלקיק על טבעת'(‬
‫ולכן פונקציית הגל במצב זה תהיה‪:‬‬
‫) ‪ψ( x)=Ae ikx−Ae−ikx=C sin (kx‬‬
‫כאשר ‪ C‬קבוע כלשהו‪.‬‬
‫לאחר נירמול נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2πn‬‬
‫(‪ ψn= sin‬כאשר ‪ n‬יכול לקבל רק ערכים טבעיים )שלא כמו טבעת רגילה( כי המצב‬
‫)‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫של ‪ n‬חיוביים ושליליים הוא אותו מצב‪.‬‬
‫=‪0‬‬
‫√‬
‫‪ℏ 2 k 2 2 ℏ 2 π2 n 2‬‬
‫=‬
‫=‪ En‬כאשר ‪ n‬יכול לקבל רק ערכים טבעיים )שלא כמו טבעת‬
‫ב‪ .‬אנרגיה תתן‬
‫‪2m‬‬
‫‪m a2‬‬
‫רגילה( כי המצב של ‪ n‬חיוביים ושליליים הוא אותו מצב‪.‬‬
‫‪ n=2‬נקבל את אפשרויות‬
‫ג‪ .‬רמת היסוד היא כאשר ‪ . n=1‬ברמה המעוררת הראשונה‪,‬‬
‫‪−4 π ℏ‬‬
‫‪4π ℏ‬‬
‫=‪) p=−ℏ k 2‬בפירוק של הסינוס לאקספוננטים שהם‬
‫=‪ p=ℏ k 2‬ו‬
‫התנע הבאות‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫מצבי התנע(‪ ,‬כל אחד בהסתברות של ‪50%‬‬
‫ד‪ .‬כל רמת אנרגיה יש בתוכה מרום לחלקיק אחד‪ ,‬ולכן‬
‫‪2 ℏ2 π2 2 2 2 2 60 ℏ 2 π 2‬‬
‫= ‪Etot =E 1+ E 2+ E3 + E4‬‬
‫=) ‪(1 + 2 +3 + 4‬‬
‫‪m a2‬‬
‫‪m a2‬‬
‫פתרון לתרגיל ‪:3‬‬
‫‪N‬‬
‫⟩ ‪ , |ϕ ⟩=∑ c n|n‬נפעיל עליו את ‪ ,D‬ונבקש לחזור לאותו מצב‪:‬‬
‫א‪ .‬מצב כללי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫⟩ ‪^ ⟩=∑ c n|n−1 ⟩+ c 1|N ⟩=λ ∑ c n|n‬‬
‫‪ , D|ϕ‬אז מקבלים תנאי ראשון על ‪:c‬‬
‫‪ c n+1=λ c n‬שניתן‬
‫‪N−1‬‬
‫‪ . c N =λ‬כעת נוסיף את התנאי השני‬
‫להרחיבו בצורה רקורסיבית ‪ c n+ s=λ c n‬ואז נקבל ‪c1‬‬
‫מהמשוואה מקורית‪ c 1=λ c N :‬כלומר ‪ . c N =λ N c N‬כעת הערך העצמי בחזקת ‪ N‬שווה בעצם ל‬
‫‪:1‬‬
‫‪2 π m i/ N‬‬
‫‪ m . λ m=e‬להיות כל מספר מ ‪ 1‬עד ‪.N‬‬
‫מה שנותן לנו גם את המצבים העצמיים המתאימים לכל ערך עצמי ע"י כך שנבחר את ‪ c1‬להיות‬
‫‪:1‬‬
‫‪N‬‬
‫⟩ ‪|ϕm ⟩=∑ e 2 π m ni / N |n‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬גם לצמוד של ‪ D‬יש אותם מצבים עצמיים עם ערכים עצמיים צמודים‪ .‬ברור שלאופרטור כל‬
‫בסיס הוא עצמי ולען בסה"כ הבסיס העצמי של ההמילטוניאן הוא הבסיס העצמי של ‪ D‬עם הערך‬
‫העצמי‪:‬‬
‫)‪ , Em =ϵ+t e2 π m i / N +t e−2 π mi / N =ϵ+2 t cos( k m a), k m=2 π m/(Na‬כאשר אנחנו מזהים משהו שדומה‬
‫לטבעת בגודל ‪.Na=L‬‬
‫ג‪ .‬יש ‪ N‬ערכים שונים ש ‪ m‬יכול לקבל‪ ,‬שאם נוסיף לכך ‪ 2‬ספינים לכל מצב נקבל ‪ 2N‬מצבים‬
‫בפס‪.‬‬
‫אנחנו רואים כי משפט בלוך אכן מתקיים עם תנעי סריג כפי שמצאנו בסעיף קודם‪ .‬הפס באזור‬
‫ברילוואן הראשון הוא פשוט קוסינוס באזור ]‪ [−π , π‬שמוזז למעלה ב ‪. ϵ‬‬
‫ד‪ .‬מסה אפקטיבית מחושבת כ‪:‬‬
‫))‪=ℏ /(d 2 E /dk 2)=−ℏ2 /( 2t a2 cos(k a‬‬
‫שלילית )זהו האזור של ה"חורים"(‬
‫‪2‬‬
‫∗‬
‫‪ m‬כאשר אנו רואים שעבור קוסינוס חיובי נקבל מסה‬
‫ה‪ .‬אם נוריד ‪ 2‬אלקטרונים עליונים ביותר‪ ,‬יהיה להם תנע סריג ‪ 0‬ולכן המסה שלהם היא‬
‫)‪ m ∗ =−ℏ2 /(2 t a2‬ולכן לפי הנוסחא נקבל כי המוליכות היא מוליכות אפס )פס מלא( פחות‬
‫מוליכות של שתי המסות הללו‪:‬‬
‫) ‪ σ=0−∑ e 2 τ (1 /m ∗ )=e 2 τ (4 t a2 /ℏ2‬וזה נתן תרומה בדיוק כמו שזוג אלקטרונים בפס ריק‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫היו נותנים‪ ,‬מכאן הדמיון בין המושג אלקטרון לחור‪.‬‬