(תוריהמב תולת ,ןמזב תולת) תוחוכ ־ #6 לוגרת יטרואית עקר

‫תרגול ‪ #6‬־ כוחות )תלות בזמן‪ ,‬תלות במהירות(‬
‫‪ 27‬בנובמבר ‪2013‬‬
‫רקע תיאורטי‬
‫כח משתנה כתלות בזמן‬
‫‪ F‬תלוי בזמן‪ .‬למשל‪ F~ = F~0 cos (ωt) :‬כאשר ‪ ω‬היא התדירות‪.‬‬
‫כח המשתנה כתלות במהירות‬
‫כח גרר )‪ (Drag force‬הינו כח המתנגד לתנועת גוף מוצק בתווך שהוא זורם )נוזל או גז(‪,‬‬
‫כלומר מנוגד לכיוון מהירותו‪ .‬שלא כמו כוחות התנגדות אחרים‪ ,‬כגון כח החיכוך‪ ,‬כוח הגרר‬
‫תלוי בגודל מהירותו של הגוף‪ .‬כח הגרר תמיד מקטין את גודל מהירותו של הגוף )ביחס‬
‫לתווך כמובן(‪.‬‬
‫הכח פרופורציוני למהירות בצורה כלשהי )ליניארי‪ ,‬ריבועי(‪:‬‬
‫• במהירויות נמוכות‪F~drag = −γ~v :‬‬
‫• במהירויות גבוהות‪F~drag = −βv 2 v̂ :‬‬
‫)למשל‪ ,‬הנוסחה עבור כח גרר הפועל על כנף מטוס‪:‬‬
‫מקדם‪ A ,‬שטח הכנף ו־ ‪ ρ‬צפיפות הזורם‪/‬התווך(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 DAρv‬‬
‫= ‪ Fdrag‬כאשר‪D :‬‬
‫ניקח לדוגמא מקרה בו הכח היחיד הפועל על הגוף הוא כח גרר במהירויות נמוכות ונרשום‬
‫משוואת כוחות‪ .‬מתוך משוואת הכוחות נקבל משוואת תנועה )מיקום‪/‬מהירות כפונקציה של‬
‫הזמן(‪:‬‬
‫‪d~v‬‬
‫‪= −γ~v‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪= m‬‬
‫‪m~a‬‬
‫אם התנועה היא במימד אחד )אחרת יש לפרק לרכיבים(‪:‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪m‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪= − dt‬‬
‫‪m‬‬
‫ ‬
‫‪v‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪= ln‬‬
‫) ‪= − (t − t0‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪= −‬‬
‫‪γ‬‬
‫) ‪= v0 e− m (t−t0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ln v − ln v0‬‬
‫‪v‬‬
‫מה עושים אם ישנו כח כבידה? מדובר בתוספת של קבוע אל תוך משוואת הכוחות‪:‬‬
‫‪d~v‬‬
‫‪= −γ~v + m~g‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪m~a = m‬‬
‫שוב‪ ,‬נניח לשם פשטות שמדובר בנפילה חופשית ומדובר בתנועה במימד אחד‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪γ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪v− g‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪m‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪ ṽ = v − m‬ואם גוזרים לפי הזמן מקבלים‬
‫ואז ישנו טריק‪ ,‬מגדירים משתנה חדש ‪γ g‬‬
‫‪ .‬הצבה במשוואה לעיל תיתן‪:‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dt‬‬
‫=‬
‫̃‪dv‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪γ‬‬
‫̃‪dv‬‬
‫̃‪= − v‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪m‬‬
‫וזו משוואה שאת הפתרון שלה מצאנו במקרה הקודם‪:‬‬
‫‪γ‬‬
‫) ‪ṽ = v˜0 e− m (t−t0‬‬
‫כמובן שכדי לקבל את המהירות בכל רגע )‪ v (t‬ולא את המשתנה החדש שהגדרנו )‪,ṽ (t‬‬
‫נצטרך לחזור למשתנה המקורי‪:‬‬
‫‪γ‬‬
‫) ‪v˜0 e− m (t−t0‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪m‬‬
‫) ‪g + v˜0 e− m (t−t0‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪v0 − g‬‬
‫‪γ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪γ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫) ‪g + v0 − g e− m (t−t0‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫=‬
‫‪m‬‬
‫‪g‬‬
‫‪γ‬‬
‫=‬
‫)‪v (t‬‬
‫=‬
‫‪ṽ0‬‬
‫=‬
‫)‪v (t‬‬
‫‪v−‬‬
‫‪γ‬‬
‫בעיקרון‪ ,‬כח גרר שתלוי ליניארית במהירות יראה מהצורה של אקספוננט דועך ) ‪,e− m (t−t0‬‬
‫שפועלים על הגוף וכן‬
‫נוספים‬
‫‬
‫אולם משוואת התנועה עשויה להיראות טיפה שונה עבור כוחות ‬
‫‪− γt‬‬
‫‪m‬‬
‫‪.v (t) = mg‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪e‬‬
‫עבור תנאי התחלה שונים‪ .‬למשל‪ ,‬בכיתה ראיתם ביטוי מהצורה‬
‫‪γ‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה ‪ 1 3301‬־ כח תלוי בזמן‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫על גוף בעל מסה ‪ m‬פועל כח ‪ F‬בכיוון ציר ‪ ,x‬על פי הנוסחה הבאה‪.F (t) = F0 1 − T :‬‬
‫בזמן ‪ t = 0‬הגוף חוצה את הראשית )‪ (x = 0‬במהירות ‪ v0‬בכיוון ‪ x‬החיובי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו את מהירות הגוף בזמן ‪.t = T‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את מיקום הגוף בזמן ‪.t = T‬‬
‫פתרון‬
‫חוק שני של ניוטון יתן לנו ביטוי עבור התאוצה‪:‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪m~a‬‬
‫‪F0 1 −‬‬
‫‪F‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫~‪F‬‬
‫‪a‬‬
‫א‪ .‬מצאו את מהירות הגוף בזמן ‪.t = T‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ˆ‬
‫‪F0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪F0‬‬
‫‪1 t2‬‬
‫= ‪a dt‬‬
‫‪1−‬‬
‫= ‪dt‬‬
‫‪t−‬‬
‫‪+C‬‬
‫‪m‬‬
‫‪T‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪0 + C = v0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 t2‬‬
‫‪F0‬‬
‫‪t−‬‬
‫‪+ v0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2T‬‬
‫=‬
‫‪v‬‬
‫=‬
‫)‪v (t = 0‬‬
‫=‬
‫)‪v (t‬‬
‫נציב ‪:t = T‬‬
‫‪F0‬‬
‫= ‪+ v0‬‬
‫‪T + v0‬‬
‫‪2m‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪T− T‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪F0‬‬
‫= ) ‪v (T‬‬
‫‪m‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את מיקום הגוף בזמן ‪.t = T‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫ ˆ‬
‫‪F0‬‬
‫‪1 t2‬‬
‫‪F0 2 F0 3‬‬
‫= ‪v dt‬‬
‫‪t−‬‬
‫= ‪+ v0 dt‬‬
‫‪t −‬‬
‫‪t + v0 t + D‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪6T‬‬
‫‬
‫‬
‫‪F0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪t2 + v0 t + D‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪0+0+D =0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪F0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪t2 + v0 t‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪3T‬‬
‫קבוע האינטגרציה מתאפס בגלל נתוני ההתחלה ‪ . x0 = 0‬נציב ‪:t = T‬‬
‫‬
‫‬
‫‪F0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F0 2‬‬
‫= ) ‪x (T‬‬
‫‪1−‬‬
‫= ‪T 2 + v0 T‬‬
‫‪T + v0 T‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3m‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪x (t = 0‬‬
‫=‬
‫)‪x (t‬‬
‫שאלה ‪ 1 3307‬־ כוח גרר‬
‫במהירויות גבוהות‪ ,‬גודל כח הגרר שמפעיל האוויר על כדור הוא מהצורה ‪.Fd = bv 2‬‬
‫א‪ .‬מצאו את המהירות הסופית ‪ vT‬של כדור הנופל מגובה רב )אין צורך לפתור משוואה‬
‫דיפרנציאלית(‪.‬‬
‫זורקים כדור כלפי למעלה במהירות התחלתית ‪:v0 = vT‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית כאשר הכדור בדרכו‬
‫למעלה?‬
‫ג‪ .‬מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית‪ ,‬כאשר הכדור בדרכו‬
‫למטה?‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬מצאו את המהירות הסופית של כדור הנופל מגובה רב‪.‬‬
‫נניח והגוף משוחרר ממנוחה‪ ,‬אז כח הכבידה ברגע ‪ t = 0‬הוא הכח היחיד הפועל עליו כלפי‬
‫מטה ויש לגוף תאוצה ‪ g‬כלפי מטה אשר מגדילה את מהירותו בכיוון זה‪ .‬ברגע שלגוף יש‬
‫מהירות פועל עליו כח גרר שגודלו ‪ Fd = bv 2‬וכיוונו מנוגד למהירות‪ ,‬כלומר כיוונו כלפי‬
‫מעלה‪ .‬משוואת הכוחות )בכל רגע( היא‪:‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪Ftotal = mg − bv 2 = ma = m‬‬
‫כח הגרר הולך וגדל כיוון שמהירות הגוף הולכת וגדלה עד אשר כח הגרר משתווה לכח‬
‫הכבידה‪ .‬שקול הכוחות עליו ברגע זה הוא אפס והגוף ממשיך בתנועתו עם מהירות קבועה‬
‫)מהירות סופית(‪ .‬לכן‪ ,‬אין לנו צורך בלפתור משוואה דיפרנציאלית‪ ,‬כל שעלינו לעשות הוא‬
‫למצוא את המהירות בה הכוחות מאזנים אחד את השני‪:‬‬
‫‪= bv 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪mg‬‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫‪mg‬‬
‫‪vT‬‬
‫זורקים כדור ישר למעלה במהירות התחלתית השווה למהירות הסופית מסעיף א‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית כאשר הכדור בדרך‬
‫למעלה?‬
‫כעת‪ ,‬הגוף נע כלפי מעלה‪ .‬במצב זה כח הכובד וכח הגרר פועלים באותו כיוון )כלפי מטה(‪,‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪= mg + bv 2 = ma‬‬
‫‪b‬‬
‫‪= g + v2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Ftotal‬‬
‫‪a‬‬
‫התאוצה כאשר המהירות קטנה ל־‬
‫הצבה‪:‬‬
‫‪p mg‬‬
‫‪4b‬‬
‫= ‪ v = 12 vT‬בזמן עלייתו תתקבל פשוט על ידי‬
‫‪b mg‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪=g+ g= g‬‬
‫‪m 4b‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a=g+‬‬
‫ג‪ .‬מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית‪ ,‬כאשר הכדור בדרך‬
‫למטה?‬
‫כעת אנו רוצים לחשב בזמן ירידתו‪ .‬במצב זה כח הכובד וכח הגרר פועלים באותו כיוון‬
‫)כלפי מטה(‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪= mg − bv 2 = ma‬‬
‫‪b‬‬
‫‪= g − v2‬‬
‫‪m‬‬
‫התאוצה כאשר המהירות שוב שווה ל־‬
‫ידי הצבה‪:‬‬
‫‪p mg‬‬
‫‪4b‬‬
‫‪Ftotal‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪ v = 12 vT‬בזמן ירידתו‪ ,‬תתקבל פשוט על‬
‫‪b mg‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪=g− g= g‬‬
‫‪m 4b‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a=g−‬‬
‫שאלה ‪ 1 3402‬־ דלי עם מים‬
‫מסובבים דלי מים קשור בחבל שאורכו ‪ R = 1.2 m‬בצורה אנכית‪ .‬מהי המהירות המינימלית‬
‫של הדלי בנקודת הפסגה כך שהמים לא ישפכו?‬
‫פתרון‬
‫הכוחות הפועלים על הדלי הוא כח הכבידה כלפי מטה‪ ,‬כח המתיחות ‪ T‬לאורך החוט ואל‬
‫מרכזו‪ ,‬אולם אנו מתעניינים במה שמתרחש עבור המים‪ .‬על המים פועלים כח כבידה וכח‬
‫נורמל שמפעילים דפנות הדלי על המים‪ .‬הדלי מבצע תנועה מעגלית ולכן יהיה לנו נח‬
‫לכתוב משוואת כוחות עבור הרכיב הרדיאלי והרכיב המשיקי‪ .‬ביקשו מאיתנו את המהירות‬
‫המינימלית בנקודת הפסגה עבורה המים לא ישפכו‪ .‬נסתפק במשוואת הכוחות עבור נקודה‬
‫זו‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Fr,i = mar‬‬
‫‪i‬‬
‫‪mv 2‬‬
‫= ‪= mar‬‬
‫‪ 2 R‬‬
‫‪v‬‬
‫‪= m‬‬
‫‪−g‬‬
‫‪R‬‬
‫‪5‬‬
‫‪N + mg sin θ‬‬
‫‪N‬‬
‫שימו לב שעבור מהירויות שונות בנקודת הפסגה‪ ,‬כח הנורמל הפועל על המים יהא שונה‪.‬‬
‫למעשה‪ ,‬ככל שהמהירות יותר גבוהה כך כח הנורמל יהיה גדול יותר‪.‬‬
‫כח הנורמל גדול או שווה לאפס ‪ .N ≥ 0‬כאשר המים מתנתקים‪ ,‬למעשה הם אינם עוד‬
‫במגע עם הדלי ולא פועל כח נורמל‪ .‬כלומר‪ ,‬התנאי הוא ש־ ‪:N = 0‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‬
‫‪vmin‬‬
‫‪0 = m‬‬
‫‪−g‬‬
‫‪R‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪gR = 9.8 · 1.2 = 3.43 m/s‬‬
‫= ‪vmin‬‬
‫‪6‬‬