ליגרת ןורתפ 7

‫פתרון תרגיל ‪7‬‬
‫‪ .1‬מהירות בריחה‬
‫כוח הכבידה הפועל בין שני גופים הוא‪:‬‬
‫𝑚𝑀𝐺‬
‫‪𝑟2‬‬
‫‪𝐹=−‬‬
‫כאשר 𝑟 הוא המרחק בין הגופים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מה הסיבה לסימן מינוס‪.‬‬
‫מצא את השינוי באנרגיה על‪-‬ידי חישוב העבודה‪ .‬בצע את האינטגרציה ביחס לנקודה‬
‫באינסוף‪ ,‬כלומר גבולות האינטגרציה הם בין 𝑟 כלשהו ל∞ = 𝑟‪ .‬הראה שפוטנציאל האנרגיה‬
‫הוא‪:‬‬
‫𝑚𝑀𝐺‬
‫‪𝑈=−‬‬
‫𝑟‬
‫שרטט גרף של הפוטנציאל כפונקציה של המרחק בין המסות‪.‬‬
‫הנח שהגוף נמצא ב 𝑅 כלשהוא‪ .‬מה צריכה להיות מהירותו על‪-‬מנת שיוכל להימלט מהכוכב‪,‬‬
‫כלומר להגיע ל∞ = 𝑟‪ .‬מה בגרף מעיד על האנרגיה הקינטית שצריכה להיות לו‪.‬‬
‫א‪ .‬זהו כח משיכה‬
‫ב‪.‬‬
‫𝑚𝑀𝐺‬
‫‪𝑟0‬‬
‫‪=−‬‬
‫𝑚𝑀𝐺 ∞‬
‫‪∫𝑟 − 𝑟2‬‬
‫‪0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪ .‬על מנת להמלט הוא צריך להגיע מאנרגיה פוטנציאלית 𝑅‪ 𝑈 = −𝐺𝑀𝑚/‬לאנרגיה‬
‫פוטנציאלית ‪= 0‬‬
‫𝑚𝑀𝐺‬
‫∞‬
‫‪ .𝑈 = −‬כלומר הוא יצטרך אנרגיה קינטית‪.𝐾 = 𝐺𝑀𝑚/𝑅 :‬‬
‫‪ .1‬אנרגיה פוטנציאלית של שני קפיצים‬
‫מערכת של שני קפיצים כל אחד בעל אורך 𝑎 בשיווי משקל וקבוע קפיץ 𝐾‪ .‬הקפיצים מחוברים זה לזה‬
‫ומקובעים בקצה האחר בנקודות )‪ (−𝑎, 0‬ו‪ .(𝑎, 0) -‬הניחו שהקפיצים יכולים להתכווץ או להתרחב‪,‬‬
‫אך לא להתכופף‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הראה שהפוטנציאל של המערכת‪ ,‬עבור העברת נקודת החיבור מ)‪ (0,0‬ל)𝑦 ‪ ,(𝑥,‬הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝐾‬
‫𝐾‬
‫]𝑎 ‪𝑈 = [√(𝑥 + 𝑎)2 + 𝑦 2 − 𝑎] + [√(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦 2 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כיוון שהפוטנציאל תלוי ב‪ 𝑥-‬וב‪ ,𝑦 -‬נצטרך להשתמש בנגזרות חלקיות על מנת למצוא את‬
‫הכוחות‪ .‬זכור שנגזרת חלקית של פונקציה )𝑦 ‪ 𝑓(𝑥,‬מוגדרת בעזרת הנגזרת המלאה כך‪:‬‬
‫)𝑡𝑛𝑎𝑡𝑠𝑛𝑜𝑐 = 𝑦 ‪𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑓(𝑥,‬‬
‫)𝑦 ‪𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑓(𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡,‬‬
‫=‬
‫=‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝑑‬
‫מצא את הכח 𝑥𝐹 והראה שעבור ‪ 𝑟 = 0‬מתקיים ‪.𝐹𝑥 = 0‬‬
‫מצא את 𝑦𝐹 עבור ‪ .𝑥 = 0‬בדוק שסימן התוצאה (חיובית או שלילית) היא הגיונית‪.‬‬
‫סרטט גרף של האנרגיה הפוטנציאלית כפונקציה של 𝑟 במישור 𝑦 ‪ .𝑥 −‬מצא בגרף את‬
‫נקודת שיווי המשקל‪.‬‬
‫א‪ .‬מיקום הקצות החדש של הקפיץ השמאלי הוא‪:‬‬
‫)𝑦 ‪𝐴 = (−𝑎, 0) 𝐵 = (𝑥,‬‬
‫אורך הקפיץ‪:‬‬
‫‪𝑑 = |𝐵 − 𝐴| = |(𝑥 − 𝑎, 𝑦)| = √(𝑥 + 𝑎)2 + 𝑦 2‬‬
‫התארכות הקפיץ משיווי משקל היא‪:‬‬
‫𝑎 ‪Δ𝑑 = 𝑑 − 𝑎 = √(𝑥 + 𝑎)2 + 𝑦 2 −‬‬
‫והאנרגיה עבור התארכות הקפיץ היא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐾‬
‫]𝑎 ‪𝐾(Δ𝑑)2 = [√(𝑥 + 𝑎)2 + 𝑦 2 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫חישוב זהה עבור האנרגיה של הקפיץ השני ייתן לנו את התשובה הרצויה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הכוח בכיוון ‪X‬‬
‫)𝑦 ‪𝜕𝑈(𝑥,‬‬
‫‪𝐹𝑥 = −‬‬
‫=‬
‫𝑥𝜕‬
‫עבור ההצבה ‪ y=x=0‬נקבל תוצאה אפס‪ .‬כלומר אם הוא היה מונח בראשית הצירים הוא‬
‫נמצא בנקודת שיווי משקל‪.‬‬
‫ג‪ .‬הכוח בכיוון ‪Y‬‬
‫)𝑦 ‪𝜕𝑈(𝑥,‬‬
‫‪𝐹𝑦 = −‬‬
‫=‬
‫𝑦𝜕‬
‫ועבור ‪:X=0‬‬
‫כלומר הכח מנוגד לכיוון הגידול ב‪ .Y‬אם אנחנו משנים את מיקום נקודת החיבור ביחס לשיווי‬
‫המשקל שלה הקפיץ ישאף להחזיר אותנו לנקודת שיווי המשקל‪ .‬נקודה כזאת נקראת נקודת‬
‫שיווי משקל יציבה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ניתן לראות שנקודת שיווי המשקל בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ .2‬מרכז המסה של מייצב מצלמה‬
‫ציר האחיזה של מייצב המצלמה צריך להיות במרכז המסה (כך נמנע תנודות ותנועות סיבוב של‬
‫המערכת)‪ .‬הזנח את משקל המוטות‪ .‬מרכז המסה של מצלמה נמצא במרחק של 𝑚𝑐 ‪ 10‬מציר‬
‫האחיזה מעל ציר האחיזה ומשקלה 𝑔𝑘‪ .2‬איפה צריך למקם את הבטריה אם משקלה הוא 𝑔𝑘‪?1‬‬
‫‪𝑚1 𝑟1 = −𝑚2 𝑟2‬‬
‫‪2 ∗ 0.1 = −1 ∗ 𝑟2‬‬
‫𝑚‪𝑟2 = −0.2‬‬
‫כלומר הבטרייה צריכה להיות מהצד השני במרחק ‪ 20‬סנטימטר‪.‬‬
‫‪ .3‬תנועה ביחס למרכז המסה‬
‫סירה במנוחה במשקל ‪ 1000‬ק"ג ובאורך ‪ 10‬מטר מאונכת לחוף ומרכזה נמצא ‪ 10‬מטר מקו‬
‫החוף (החלק הקרוב ‪ 5‬מטר מהחוף והרחוק ‪ 15‬מטר)‪ .‬בקצה הרחוק נמצא אדם במשקל ‪ 10‬ק"ג‬
‫ומתחיל לנוע לכיוון הקצה הקרוב‪ .‬האדם נע במהירות של ‪ 0.5‬מטר בשנייה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו מרכז המסה?‬
‫ב‪ .‬מה המרחק של האדם מהחוף לאחר ‪ 10‬שניות? הזנח חיכוך בין המים לסירה‪.‬‬
‫מרכז המסה ביחס לקו החוף‪:‬‬
‫𝑚 ‪1100 ∗ 𝑟𝑐𝑚 = 1000 ∗ 10 + 100 ∗ 15 ⇒ 𝑟𝑐𝑚 = 10.45‬‬
‫לאחר ‪ 10‬שניות האדם נע ‪ 5‬מטר על הסירה‪ ,‬נמצא במרכז הסירה‪ ,‬אבל מיקום מרכז המסה‬
‫לא השתנה‪ .‬כיוון שהאדם נמצא בסוף התנועה במרכז הסירה‪ ,‬הוא נמצא גם במרכז המסה‬
‫שלה‪ .‬מכאן שהאדם נמצא במרחק של ‪ 10.45‬מטר מהחוף‪.‬‬