Comments
Transcript
('א דעומ) תיטילנא הקינכמ ןוסדוד ןרהא 'פורפ
מכניקה אנליטית )מועד א'( • ענה על שלוש מתוך ארבע השאלות. • אין להשתמש בחומר עזר; דף נוסחאות מצורף. תאריך22.1.2010 : מרצה :פרופ' אהרן דודסון שאלה 1 טבעת קטנה ) (m, rמולחמת אל טבעת גדולה ) (M, Rכמתואר בתרשים .מערכת הטבעות מאולצת להמצא במישור אנכי )תאוצת הכובד ,(gונעה לאורך קו ישר על רצפה אופקית. • בנה את הלגרנג'יאן למקרה בו הגלגול על הרצפה מתבצע ללא החלקה. • חשב את תדירותן של התנודות הקטנות. • חשב את כוח החיכוך שמונע את ההחלקה. • בנה את הלגרנג'יאן למקרה שונה ,בו נעה מערכת הטבעות על רצפה חלקה. • מהי תדירות התנודות הקטנות במקרה זה? שאלה 2 ) מערכת סגורה מתוארת בעזרת הלגרנג'יאן 1 2 1 2 2 ẋ + ω x 2 2 ( ̇.L1 (x, ẋ, y, ẏ) = y • מצא את קבועי התנועה ,ופתור את משואות התנועה. • בנה את הלגרנג'יאן האפקטיבי ) L2 (x, ẋ, tעבור המערכת הפתוחה החילופית. • הוכח כי ההמילטוניאן המתאים ל L2 -הוא ) ,H2 (x, p, t) = P (x, p, t)Q(x, p, tכאשר ( ) ( ) √ √ 1 p 1 p √ √ √ =Q √ = + ωf (t)x , P − ωf (t)x )ωf (t )ωf (t 2 2 עבור ) f (tמתאימה. • הוכח כי הטרנספורמציה ) (x, p) −→ (Q, Pהיא קנונית .מצא את הפונקציה היוצרת ,וחשב בעזרתה את ההמילטוניאן החדש ).H′ (P, Q, t שאלה 3 חלקיק נקודתי שמסתו mמתפזר מאזור חצי-כדורי ברדיוס ,Rראה תרשים ,המאופין ע''י פוטנציאל קבוע .V0 אנרגית החלקיק היא ,Eופרמטר ההתנגשות הוא .b • צייר )איכותית( מסלולי פיזור אפשריים עבור המקרים V0 < 0ו.V0 > 0 - • צייר )במדויק( את המסלולים עבור המקרים הפרטיים ∞.V0 → ± • עבור ,V0 > 0חשב את חתך הפעולה לפיזור קשיח .האם התשובה יכולה להתאפס? ( )π • עבור ,V0 < 0חשב את חתך הפעולה לפיזור קדמי < . 0 < θהאם התשובה יכולה להתאפס? 2 שאלה 4 חרוז קטן שמסתו Mמושחל על מעגל אנכי קבוע שרדיוסו .Rהחרוז מחובר לקפיץ אידיאלי ,בעל קבוע K ואורך רפוי ,ℓהמעוגן בפסגת המעגל .נתונה תאוצת הכובד .g • רשום את הלגרנג'יאן של המערכת. • נתח את כל סוגי התנועה האפשריים. • מהו התנאי לקיום תנודות קטנות סביב קרקעית המעגל? חשב את תדירותן. • כיצד ישפיע על חישוביך סיבוב המערכת במהירות זויתית קבועה ωסביב הציר האנכי? בהצלחה! 1 Fig. 1 Fig. 3 Fig. 4