( ) ∫ ∫ ( ) ( )

‫להגשה עד ‪01.12.05‬‬
‫מכניקה קלאסית – תרגיל ‪.2‬‬
‫‪ .1‬צפיפות לגרנז'יאן‪.‬‬
‫א‪ .‬הראו שעבור פעולה מהצורה‪:‬‬
‫‪t2 x2‬‬
‫) ) ‪S = ∫ ∫ dtdxL ( t , x, y ( x, t ) , y,t ( x, t ) , y, x ( x, t‬‬
‫‪t1 x1‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫≡ ) ‪y ( x, t ) & y, x ( x, t‬‬
‫)כאשר‪y ( x,t ) :‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂x‬‬
‫משוואות אויילר‪-‬לגרנז' )התנאי למינימאליות הפעולה( נראות כך‪:‬‬
‫‪∂L d ∂L d ∂L‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪∂y dx ∂y, x dt ∂y,t‬‬
‫)‪ 10‬נק'(‬
‫ב‪ .‬בנו לגרנז'יאן )מהצורה של סעיף א( למיתר מתנודד )ראה איור( בעל צפיפות מסה ליחידת אורך‬
‫)‪. ρ ( x‬‬
‫≡ ) ‪( y,t ( x, t‬‬
‫‪2‬‬
‫⎞ ‪T ⎛ ∂y‬‬
‫רמז‪ :‬אנרגיה פוטנציאלית של מיתר בקירוב של תנודות קטנות היא‪ , ∫ ⎜ ⎟ dx :‬כאשר ‪T‬‬
‫⎠ ‪2 ⎝ ∂x‬‬
‫מאפיין את מתיחות המיתר‪.‬‬
‫ג‪ .‬רשמו את משוואות התנועה עבור בלגרנז'יאן שמצאתם בסעיף ב‪ .‬הראו שבהנחה ש ) ‪ρ ( x‬‬
‫קבוע‪ ,‬המיתר מקיים משוואות גלים‪ .‬מה היא מהירות הגלים במיתר? )‪ 5‬נק'(‬
‫‪ .2‬חלקיק על ספרה‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את הלגרנז'יאן של חלקיק בעל מסה ‪ m‬בקואורדינאטות כדוריות כאשר יש כוח משיכה‬
‫קבוע ‪ 5) .g‬נק'(‬
‫ב‪ .‬כעת החלקיק מאולץ לנוע על ספרה ברדיוס ‪ .R‬מהו כוח האילוץ כפונקציה של ‪ θ‬ו‪ ?φ-‬פתרו את‬
‫משוואות התנועה במקרים הפרטיים של ‪ θ = const‬ו‪ 10) ϕ = const -‬נק'(‬
‫‪ .3‬מיתר תלוי‪.‬‬
‫א‪ .‬מיתר בעל צפיפות מסה אורכית )מסה ליחידת אורך( קבועה ‪ ,ρ‬תלוי בין נקודות בגובה אחיד‪.‬‬
‫המרחק בין נקודות התליה הוא ‪ ,D‬אורך המיתר הוא ‪ .( L > D ) L‬מהי צורת המיתר? )‪ 15‬נק'(‬
‫ב‪ .‬במיתר מהסעיף הקודם‪ ,‬מהו כוח המתיחות על המיתר? )‪ 10‬נק'(‬
‫ג‪ .‬בונוס‪ :‬אותה בעיה‪ ,‬רק שעכשיו המיתר הוא אלסטי‪ ,‬בעל קבוע קפיץ ‪) k‬אורך המיתר במצב‬
‫הרפוי הוא ‪ .(L‬מה היא צורת המיתר עכשיו‪ ,‬הראו שבגבול ∞ → ‪ , k‬נקבל את התוצאה של א‪.‬‬
‫הערה‪ :‬שימו לב שיש סיבה שהסעיף הזה הוא בונוס‪ ,‬צורת הפעולה כאן היא מסוג שכמותו לא‬
‫למדנו לפתור בכיתה‪ ,‬יהיה עליכם לחשוב טוב‪ ,‬בהצלחה‪ 200) .‬נק'(‬
‫‪ .4‬אוסצילטור הרמוני דועך ומאולץ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪m γt 2‬‬
‫נתון הלגרנז'יאן‪e x − ω 2 x 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫מתארות אוסצילטור הרמוני דועך או מאולץ‪ ,‬בהתאם לסימן של ‪ 5) .γ‬נק'(‬
‫מצאו את האנרגיה של המערכת‪ .‬האם היא נשמרת? )‪ 5‬נק'(‬
‫האם ניתן לתאר את המערכת הנ"ל ע"י לגרנז'יאן שאינו תלוי בזמן? אם כן רשמו אותו‪ .‬אם לא‪,‬‬
‫מדוע? )‪ 10‬נק'(‬
‫מצאו את הטרנספורמציה ) ‪ , x → q ( x, t‬שתחתה הלגרנז'יאן מתאר אוסצילטור הרמוני‪ .‬מה‬
‫= ‪ , L‬מצאו את משוואות התנועה‪ .‬הראו שמשוואות אלו‬
‫היא תדירותו? )‪ 15‬נק'(‬
‫ה‪ .‬מצאו את הגודל הנשמר במערכת‪ ,‬מהי משמעותו‪ 10) .‬נק'(‬