Comments
Transcript
ךילומ טומ l L .(המודכו דבוכ ומכ םיפסונ תוחוכ הלאשב
מוט מוליך מוט מוליך בעל מסה mואורך lיכול לנוע לאורך שתי מסילות מוליכות .ישנו שדה מגנטי אחיד Bבניצב למישור המסילות .המעגל סגור באמצעות משרן .Lמצא את תדירות הזרם במעגל) .אין בשאלה כוחות נוספים כמו כובד וכדומה(. השטף דרך המסגרת ברגע מסוים: Φ = Blx ולכן הכא"מ: 1 1 ε = − Φ̇ = − Blv c c נשווה את הכא"מ והמתח של המשרן: ˙ε = −LI 1 ˙Blv = LI c )(1 נשתמש בחוק שני של ניוטון יחד עם הביטוי של הכוח המגנטי על המוט. 1 ⃗ m⃗v˙ = − I⃗l × B c 1 ˙mv̈ = − lB I c B 2 l2 v̈ = − 2 v mc L כאשר בין השורה הראשונה לשניה גזרנו את הביטוי )כי ידועה לנו רק הנגזרת של הזרם( ,ובין השניה לשלישית הצבנו את נגזרת הזרם מביטוי ).(1 קיבלנו שהמהירות מתנהגת כאוסילטור הרמוני עם תדירות: B 2 l2 = ω mc2 L 2 מכיוון שנגזרת הזרם פרופורציונלית למהירות ,זו תהיה תדירותו גם כן. 1 מעגל ,RLבחינה 2002 נתון המעגל שמופיע באיור ,בתחילה המפסק Sסגור מזה זמן רב .בזמן t=0המפסק Sנפתח. .1מהו הזרם על כל נגד כאשר המפסק סגור והמעגל נמצא בשיווי משקל? .2מהו הזרם על הנגדים R1, R2כפונקציה של הזמן לאחר פתיחת המפסק? תאר כמשוואה וכגרף. .3מהו הפרש הפוטנציאלים על הנגדים R1,R2כפונקציה של הזמן לאחר פתיחת המפסק? .1כאשר המפסק סגור והזרם התייצב L ,מתפקד כקצר ,הנגדים R1,R2מחוברים במקביל ולהם נגד שקול . RTהזרם R1 ε = Iוכן I1 R1 = I 2 R2כאשר במעגל הינו R1 + R2 RT I 2 ) I 2 = Iהינו הזרם דרך הנגד ,(R2המתח על הנגד R2 הינו . ∆V2 = I 2 R2באופן דומה ניתן למצוא את הערכים עבור ,R1הזרם דרך R1הוא גם הזרם במשרן הפרש המתחים על המשרן הינו .0 .2לאחר פתיחת המפסק ,מקור המתח בבעיה משתנה ועתה הנגדים מחוברים בטור ,נחשב נגד שקול חדש RTTבהתאם .עבור מעגל RLידוע פתרון המשוואה הדיפרנציאלית: ) L ( EXP − tR ε RTT = ) , I (tזהו הזרם שיוצר המשרן וכן הזרם דרך שני הנגדים. איור סכמטי לפריקת משרן מוצג משמאל. .3מפל המתחים על הנגד R2עתה הוא ∆V2 = I (t ) R2ובאופן דומה עבור .R1 מעגל RL נתון מעגל RLשבאיור ,ברגע Tמפסק S1שהיה סגור זמן רב נפתח ומפסק S2שהיה פתוח נסגר. .1מצאו את האנרגיה במעגל ה ,RL-המתח והזרם על המשרן והנגד ברגע .t=T .2מהו כיוון הזרם במשרן Lברגע ?T=0האם כיוונו ישתנה עבור ?t>T .3מהו הביטוי המתמטי לזרם כפונקציה של הזמן עבור t<Tוכן עבור ?t>Tמה נגזרת הזרם כפונקציה של הזמן? .4מצאו את האנרגיה במעגל ה RLבזמן .t>T .5כיצד יראה מעגל חשמלי בו יוחלף המשרן במקור מתח משתנה בזמן? פתרון: .1ברגע t=Tהזרם במעגל הוא: 2 1 2 1 ε LI = L 2 2 R ε R = , Iלכן האנרגיה במעגל ה RL-הינה של המשרן בלבד: = . U Bהמתח על המשרן הוא 0מכוון שמדובר בתיל אידיאלי )חסר התנגדות( ,הזרם דרכו קבוע ε בזמן ושווה ל . Iהמתח על הנגד הוא R = −ε R בלולאה סגורה יהיה ,0בדומה לתרגילים בנושא חוקי קירכהוף. ∆V = −כפי שניתן היה לצפות מהדרישה לכך שסך המתחים .2ברגל החלפת המפסקים הזרם שנע בכיוון השעון עד עתה מפסיק ,יווצר זרם מושרה בכיוון הפוך – .CWכיוון הזרם לא ישתנה. .3בזמן t<Tהזרם קבוע ונסמנו כ , I 0 -נגזרתו לפי הזמן היא .0בזמן t>Tננסח את המשוואה הדיפרנציאלית: dI R dI =0 − IR − Lננסח בצורץ משוואת פרדה= − dt : dt I L .פתרון משוואה זו הינו: R − t R L R ln( I ) = − t → I (t ) = I 0 e Lנהוג לסמן את = t ,τ L R L τ −t בתור t τ ,אז הזרם כפונקציה של הזמן הינו . I (t ) = I 0 eגרף שמציג את תלות הזרם בזמן מוצג באיור .1 איור 1תאור סכמטי של הזרם של פריקת משרן. ) dI (t 1 −t נגזרת הזרם בזמן הינה= − I 0 e τ : dt τ . .4האנרגיה של מעגל ה RLאינה קבועה בזמן ,ההספק של שני הרכיבים במעגל ניתן לתאור על ידי שימוש בחוק dI , ΣIε = I 2 R + LIביטויים עבור ערכים אלו נפתרו בסעיפים קודמים. אוהם וב EMFהמושרה במעגל: dt dI .5ניתן לתאר את המשרן כמקור מתח תלוי זמן dt המתח יהיו מסודרים כך שההדק החיובי )הארוך( יהיה כלפי מטה. . ε L (t ) = Lמכוון שכיוון הזרם בזמן t>Tהינו CWהדקי מקור RMS RLC נתון מעגל RLCטורי – R = 2000Ω , C = 1µF , L = 0.5mHהמחובר לשקע ).(V 220, 50 Hz .1מהי עכבת המעגל? .2מהו הזרם האפקטיבי ?)(rms .3מהו ההספק המבוזבז במעגל? .4מהו המתח האפקטיבי ) (rmsהנופל על כ"א מהרכיבים? .1מכיוון שזה מעגל טורי כל שעלינו לעשות הוא לחבר את העכבות של כל אחד מהרכיבים -נגד 1 iωCומשרן .iωL Rקבל 1 + iωL iωC Z =R+ צריך לזכור להמיר את התדירות לתדירות זוויתית: ω = 2πf = π(2 · 50 Hz) ≈ 314 Hz ולהציב הכל: ) −3 + 314 Hz · 0.5 · 10 H ( Z = 2000Ω + i − 1 314 Hz · 10−6 F ≈ (2.0 + 3.2i) kΩ שימו לב שבמקרה זה העכבה של הקבל הייתה גדולה בהרבה מזו של המשרן. .2 VRMS 220 V ≈ ≈ 58 mA ||Z 3.8kΩ = IRMS .3ההספק הממוצע הוא 2 P = IRMS R = 2000Ω(58 mA)2 ≈ 6.7 W .4על הנגד: VRMS = IRMS R = (58 mA)2000Ω ≈ 116 V על המשרן: VRMS = IRMS ωL = (58 mA)0.5 mH ≈ 9.1 mV ועל הקבל: 1 1 )= (58 mA ≈ 185 V ωC 314 Hz · 10−6 F 1 VRMS = IRMS נגד שרוף נתון המעגל הבא: נתונים: )ε = ε0 cos(ωt ε0 = 12V , f = 50 Hz , R = 20Ω , C1 = 25µF , C2 = 10µF , L = 125mH מתג Sפתוח. א .מצא/י את העכבה במעגל. ב .מהו הספק המעגל? ג .כעת מתג Sסגור. נתון כי הנגד Rנשרף בספקים הגבוהים מ .0.15Wמהו גודלו של קבל C2כך שנגד Rלא יישרף? א .יש לנו מעגל טורי ולכן פשוט עלינו לחבר עכבות ):(ω ≈ 314Hz 1 Z = R + iωL + = 20Ω + i (39Ω − 127Ω) = (20 − 88i)Ω iωC √ √ |Z| = Z ∗ Z = 202 + 882 Ω ≈ 90Ω ב .ההספק הוא בנגד .בשביל הספק בנגד צריך את הזרם דרכו: 12V V0 = ≈ 0.13 A ||Z 90Ω 2 R = 2I02 R ≈ 0.68W P = IRMS = I0 ג .ההבדל הוא בעכבה .המשרן וקבל C2מחוברים במקביל ,ולכן העכבה שלהם יחד: ( ( )−1 )−1 1 1 = i −ωC2 + ZLC2 = iωC2 − i ωL ωL ( )−1 1 i + i −ωC2 + Z =R− ωC ωL ( ( )−1 )2 1 1 |Z|2 = R2 + − + −ωC2 + ωC ωL א נגד שרוף 2V02 R = |Z|2 2V02 R ( ( 1 R2 + − ωC + −ωC2 + ( ( )−1 )2 1 1 2V02 R = R2 P + − + −ωC2 + P ωC ωL √ ( )−1 2V02 R − R2 P 1 1 + = −ωC2 + P ωC ωL (√ )−1 1 2V02 R − R2 P 1 1 C2 = 2 − + ω L ω P ωC 2 P = IRMS R= C2 ≈ 74µF ב ) )2 1 −1 ωL מדינת LEARSI במדינת לארשי הכל הפוך .אספקת החשמל במדינה היא במתח חילופין של 50 Vותדירות של 220 Hz ב .רשום/י ביטוי עבור המתח כפונקציה של הזמן .ג .בביתו של נשיא המדינה דגן-לבק מחובר המעגל המופיע בשרטוט לרשת החשמל .חשב/י את זווית הפאזה בין הזרם למתח במעגל ,את הספק המעגל ואת המתח על כל אחד מרכיבי המעגל. א .מהי אמפליטודת המתח בלארשי? ב .רשום/י ביטוי עבור המתח כפונקציה של הזמן. ג .בביתו של נשיא המדינה דגן-לבק מחובר המעגל המופיע בשרטוט לרשת החשמל .חשב/י את זווית הפאזה בין הזרם למתח במעגל ,את הספק המעגל ואת המתח על כל אחד מרכיבי המעגל. א .בהגדרה √ ⟩ = ⟨V 2 VRMS במקרה של מתח חילופין ,ACיוצא: √ ∫ √ 1 T 2 1 2 = ⟩ VRMS = ⟨V V0 cos2 (ωt)dt = √ V0 T 0 2 √ √ V0 = 2 · VRMS = 2 · 50 V ≈ 71 V ב .נזכור שקיבלנו תדירות רגילה ולא זוויתית .לכן: ω = 2πf = 2π · 220 Hz ≈ 1.4 kHz )V = V0 cos(ωt) = (71 V) · cos(t · 1.4 kHz ג. ( ) i 1 Z =R− ≫R ωC ωC ( ) ( ) 1/ωC 1 φ = arg[Z] = − arctan = − arctan ≈ − arctan (0.007) ≈ 0.007 R ωCR √ 1 |Z| = R2 + 2 2 ≈ R = 2kΩ ω C VRMS = IRMS ||Z V2 R V2 2 R = 2 RMS 2 2 ≈ RMS ≈ 2.5W P = IRMS R +ω C R א מעגל RLC תון מעגל RLCטורי המחובר אל מקור מתח חילופין בעל תדירות fומתח הדקים אפקטיבי של .220vראה/י תרשים. R = 400Ω , C = 0.8µF , L = 2.5H א .מהי תדירות התהודה )רזוננס( של המעגל? ב .מהו הזרם האפקטיבי העובר במעגל במצב תהודה? ג .מהו המתח האפקטיבי על כל רכיב במעגל )נגד ,קבל וסליל( במצב תהודה? ד .שרטט/י דיאגרמת פאזורים של המתחים והזרם במצב תהודה .ציין ערכים מספריים .מהי זווית הפאזה בין הזרם למתח המקור? א .תדירות הרזוננס היא התדירות העצמית במעגל ללא נגד .שימו לב שזו לא התדירות בה היה המעגל נע ללא מקור ,היות ושם יש תיקון של ריסון .במקרה של מקור מתח הריסון לא מאיט את התנודה ,רק משנה את אמפליטודת הזרם. אם נרשום משוואת מתחים על הלולאה )ללא מקור מתח וללא נגד( ,נקבל: 1 Q=0 C 1 I¨ + I=0 LC LI˙ + ולכן תדירות התהודה היא: 1 LC √ = ω0 ב .בשביל הזרם נחשב את העכבה ,ונציב את תדירות התהודה. 1 √ωC Z = R + iωL − i L LC √ Z0 = R + i =R −i C LC וקיבלנו את התוצאה שבתדירות התהודה העכבה שווה להתנגדות) .אפשר לומר שהמשרן והקבל חסרי עכבה( .הזרם הוא: VRMS VRMS = ||Z R א = IRMS מעגל RLC ג .מכיוון שזה מעגל טורי הזרם שווה לכל אורכו ,ולכן המתחים הם מכפלות הזרם בעכבה של כל רכיב: L C L C √ √ VR = IR = VRMS IRMS = VC = IRMS ωC VL = IRMS ωL = IRMS קיבלנו שמתח ה RMSעל המשרן והקבל זהים ,אבל בגלל הפרש הסימן אנחנו מבינים שבכל רגע נתון המתח על המשרן שווה מינוס המתח על הקבל ,וכך כל מפל המתח הוא על הנגד. ד .במצב תהודה מתחי המשרן והקבל מבטלים אחד את השני ,ולכן זווית המופע היא ) 0אפשר למעשה להגדיר כך את מצב התהודה(. אפשר לצייר את מתח הנגד בדיוק ימינה ,מתח המשרן בדיוק למעלה ומתח הקבל בדיוק למטה, כאשר גדלי שני האחרונים זהים. למעשה למדנו שמצב תהודה הוא קסום ומעניין. ב