RLC circuit

RLC circuit
Submitted by: I.D. 066072570
The problem:
For the given RLC circle:
1. find the law of connecting inductances in series and in parallel in general.
What is the total induction of the given circle?
2. The switch is on the right hand side for 3τsec and after is moved to the left side.
• Find the resonance frequency of the system.
• find the current through the resistor as a function of time.
The solution:
a. inductance in series:
I1 = I2 ⇒ ε = (L1 + L2 )I˙1 = Lef f I˙ ⇒ L1 + L2 = Lef f
(1)
inductance in parallel:
I1 + I2 =
ε
ε
ε(L1 + L2 )
ε
L1 L2
1
1
1
+
=
⇒
=
= Lef f ⇒
=
+
L1 L2
L1 L2
I1 + I2
L1 + L2
Lef f
L1 L2
(2)
in our case:
Lef f =
(L1 + L2 ) · L3
L1 + L2 + L3
(3)
after 3τ (RC) we get:
−t
V = ε(1 − e Rc ) = ε(1 − e−3 ) ≈ 4.75v
(4)
and the equation of the circuit is:
q
q
+ IR + LI˙ = 0 ⇒ + Rq̇ + Lq̈ = 0
c
c
(5)
we shall start analysis with the simplest case- R=0, in this case we have:
q̈ = −
1
q
Lc
(6)
1
and the solution is:
q = Aeiω0 t
(7)
where
s
ω0 =
2
1
= 8 · 106 Hrz
Lef f c
3
(8)
substitute q = Aeiωt in the equation we get:
r
iR
Γ2
i
2
2
−ω +
ω + ω0 = 0 ⇒ ω = Γ ± ω02 −
L
2
4
(9)
where
Γ=
R
L
(10)
the solution is
i
h
0 i
q = Re Aei(ω + 2 Γ)t
(11)
where
r
0
ω =
ω02 −
Γ2
4
(12)
substitute
q(t = 0) = c · v(3τ )
(13)
we get
A = 4.75 · 10−9
(14)
to find the curent:
Γ
i
Γ
0 i
I = q̇ = RE i(ω 0 + Γ)Aei(ω + 2 Γ)t = −Ae− 2 t · ( cos(ω 0 t) + ω 0 sin(ω 0 t))
2
2
eventually substitute the given parameters we get:
2
2
2
I = −4.75 · 10−9 e−37509t 37509 · cos(8 · 106 t) + 8 · 106 sin(8 · 106 t)
3
3
3
Amper
(15)
(16)
The first plot presents a voltage on the resistor R and on the second one the current through it as
a function of time.
2
3
‫משרן ונגד במקביל‬
‫נתון מעגל ‪ RL‬מקבילי כמתואר באיור‪ .‬ישנו מקור מתח חילופין בעל תדירות זוויתית ‪ω‬‬
‫ואמפליטודה ‪ ,V0‬אשר מחובר במקביל לנגד ‪ R‬ולמשרן ‪.L‬‬
‫מצאו את היחס בין אמפליטודת הזרם במעגל לאמפליטודת המתח‪ ,‬ומצאו את הפרש הפאזה בין‬
‫הזרם למתח ‪.‬‬
‫מכיוון שהרכיבים מחוברים במקביל‪ ,‬המתח עליהם תמיד אותו דבר‪.‬‬
‫עבור הנגד אנחנו יודעים‪:‬‬
‫‪V = IR‬‬
‫ולכן כאשר המתח מקסימלי גם הזרם דרכו מקסימלי‪ ,‬וכאשר המתח מינימלי הזרם מינימלי‪ .‬לעומת‬
‫זאת‪ ,‬אצל המשרן‪ ,‬הקשר בין המתח לזרם שונה‪:‬‬
‫)‪I(t) = I0 cos(ωt‬‬
‫(‬
‫)‪π‬‬
‫˙‬
‫‪V (t) = −LI = ωLI0 sin(ωt) = ωLI0 cos ωt −‬‬
‫‪2‬‬
‫כך שהזרם גבוה כשהמתח נמוך‪ .‬על מנת להבין את משמעות הזרם הכולל‪ ,‬נשתמש בדיאגרמת פאזות‪:‬‬
‫א‬
‫משרן ונגד במקביל‬
‫‪Imaginary‬‬
‫‪Imaginary‬‬
‫‪VR VL IR‬‬
‫‪IL+IR‬‬
‫‪Real‬‬
‫‪V‬‬
‫‪Real‬‬
‫‪IL‬‬
‫‪ωt‬‬
‫איור א‪ :‬מימין‪ ,‬מוסברת הדיאגרמה באופן כללי‪ .‬אפשר להסתכל על המתח כעל היטל על ציר ה‪x‬‬
‫של וקטור שמסתובב במעגל‪ .‬כך הוא עולה ויורד באופן סינוסואידלי‪ .‬משמאל מצויר המעגל המסוים‬
‫שלנו‪ .‬המתחים כולם זהים ומסתובבים יחד‪ .‬הזרם על הנגד זז יחד איתם )גודלו שונה כמובן‪ ,‬אפילו‬
‫ביחידות(‪ .‬לעומת זאת הזרם שעובר בנגד מסתובב ב"איחור" של רבע מעגל‪ .‬הסכום שלהם מסתובב‬
‫איפהשהוא ביניהם‪ ,‬באותו הקצב‪.‬‬
‫על מנת לקבל את הזרם הכולל צריך לבצע סכום וקטורי של שני הזרמים‪ .‬אמפליטודת הזרם תהיה‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I = IL2 + IR2 = R2 V02 + 2 2 V02 = V0 R2 + 2 2‬‬
‫‪ω L‬‬
‫‪ω L‬‬
‫הפרש הפאזה יהיה ‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪IL‬‬
‫=‬
‫‪IR‬‬
‫‪ωL‬‬
‫= )‪tan(φ‬‬
‫יכולנו לפתור את כל התרגיל פשוט כחיבור בתחום המרוכב‪ ,‬ולרעיון הזה קוראים עכבה‪.‬‬
‫ב‬
‫מנורה עם השראה‬
‫בידכם נורת ליבון שרשום עליה ‪ .120V 60W‬מה גודל המשרן שעליכם לחבר על מנת להפעילה‬
‫במתח חילופין של ‪? 220V 50Hz‬‬
‫יש לנו מעגל של מקור מתח‪ ,‬משרן ‪ L‬ונורה שמחוברים בטור‪ .‬נתייחס לנורה כאל נגד עם התנגדות‬
‫‪.R‬‬
‫ננצל את התרגיל הזה בשביל כמה הבהרות בקשר לרשת החשמל‪ .‬נתון המתח שקיבלנו‪220V ,‬‬
‫הוא אינו האמפליטודה‪ ,‬אלא ערך ה ‪ .RMS - Root Mean Square‬הממוצע של מתח חילופין סטנדרטי‬
‫הוא אפס‪ ,‬ולכן משתמשים בממוצע של הריבוע‪ .‬במקרה של גל סינוסואידלי‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫√‬
‫‪∫ T‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= > ⟩ ‪VRMS ≡ ⟨V‬‬
‫‪(V0 sin(ωt))2 = √ V0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 T‬‬
‫כלומר במקרה שלנו‪:‬‬
‫‪2VRMS ≈ 310 V‬‬
‫√‬
‫= ‪V0‬‬
‫במקרה של מתח ‪ DC‬ערך ה ‪ RMS‬שווה למתח עצמו‪ .‬שימו לב שההגדרה שימושית גם למתחים שאינם‬
‫סינוסואידלים‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬ההספק הממוצע על נגד הוא‪:‬‬
‫⟩‪⟨ 2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V2‬‬
‫= ⟩ ‪⟨P‬‬
‫‪= RMS‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫וזו אחת הסיבות שמשתמשים ב ‪ .RMS‬דבר נוסף שצריך לזכור הוא שאנחנו משתמשים בדרך כלל‬
‫בתדירות הזוויתית ופה קיבלנו את התדירות הרגילה‪ .‬נמיר את הנתון‪:‬‬
‫‪ω = 2πf = π(2 · 50 Hz) ≈ 314 Hz‬‬
‫מכיוון שמדובר במעגל טורי‪ ,‬העכבה שלו הוא פשוט חיבור העכבות‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪Z = R + iωL‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪|Z| = Z ⋆ Z = R2 + ω 2 L2‬‬
‫ה ‪RMS‬של הזרם שעובר במעגל הוא‪:‬‬
‫‪VRMS‬‬
‫|‪|Z‬‬
‫= ‪IRMS‬‬
‫נחלץ את ההשראות הדרושה מההספק על הנורה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪VRMS‬‬
‫‪R‬‬
‫‪VRMS‬‬
‫=‬
‫‪R= 2‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪|Z‬‬
‫‪R + ω 2 L2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪IRMS‬‬
‫‪2‬‬
‫‪VRMS‬‬
‫‪R‬‬
‫‪− R2‬‬
‫‪P‬‬
‫√‬
‫= ‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪L‬‬
‫‪ω‬‬
‫רק חסרה לנו ההתנגדות‪ ,‬אותה ניתן להסיק מההספק והמתח המקוריים‪:‬‬
‫‪Vi2‬‬
‫√‪P‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪1 VRMS‬‬
‫‪Vi‬‬
‫‪Vi2 Vi4‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪L‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪VRMS‬‬
‫‪− Vi2 ≈ 1.19H‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪P2‬‬
‫‪P2‬‬
‫‪ωP‬‬
‫=‪R‬‬
‫א‬