9/6/03 - Lecture Notes

‫‪11/06/2003‬‬
‫הכינו ערכו ועמלו‪:‬‬
‫רון פרידמן ‪036245983‬‬
‫שימי מחלוף ‪034883876‬‬
‫‪Lecture Notes-9/6/03‬‬
‫נושאים למבחן‪:‬‬
‫‪ ‬בעיות סטטיות באלקטרודינמיקה (נוימן‪ ,‬דירכלט)‬
‫‪( P,E,D ‬בעיות קיטוב)‬
‫‪ ‬יחסות‪ -‬חוק שימור תנע‪p1  p2  p3  p4 :‬‬
‫‪‬‬
‫חוק שימור האנרגיה ‪p 2  m 2 c 2 :‬‬
‫דופלר‬‫ שדה חשמלי לא וקטור אם מבצעים לורנץ ואם מבצעים רוטציה הוא וקטור‪ .‬טרנספורמציית‬‫‪ 2 , F ‬אינווריאנטים‪ ,‬טנזורים‪.‬‬
‫משוואת הגלים ‪ - A  J ‬לדעת איך מגיעים למשוואת גלים(כיול לורנץ)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F  A  A‬‬
‫‪   A     A   A   (  A )  J ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫||‬
‫||‬
‫לפלסיאן‬
‫‪( 0‬בגלל כיול לורנץ)‬
‫להקפיד על סימנים (וקטור‪,‬סקלר‪ ,‬גרדיאנט‪,‬דיבירגנט‪ ,)...‬להכיר את פיתוח משוואת הגלים‬
‫(‪)retarted potential‬‬
‫‪ *   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ S ‬‬
‫‪Re E  H ; S  E  H - Pointing vector‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמאות מהכיתה – כדור מסתובב ומשטח‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫מומנט מגנטי ‪m  1  [r  j ]d 3 r‬‬
‫‪2‬‬
‫לדעת מתי המומנט המגנטי פרופוציונלי לצפיפות המסה‪ ( x )  M ( x ) -‬‬
‫‪ ( x )  e m M ( x )  e |  ( x ) |2‬‬
‫להכיר איך מגיעים למומנט מגנטי‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪  B ‬זהו מומנט מגנטי של אלקטרון להכיר את הדרך בה הגענו אליו‪.‬‬
‫בור מגנטון‪-‬‬
‫‪2mc‬‬
‫הסבר‪ :‬אם נציב בביטוי של המומנט המגנטי תנע זויתי במקום ‪ J‬נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪L‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ [r  v ]d r  e 2m  M ( x )[ r  v ]d r  e 2m  M ( x )[ r   ( x )]d r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ m ‬וזהו בור מגנטון!‬
‫אם ‪ L‬מקוונט לרשום (במקרה ונשתמש ביחידות של ‪)Gaussian‬‬
‫‪2mc‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P   r  ( x )d 3 x -Electric Dipole‬‬
‫‪l‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Ylm , Plm‬פיתוח שלהם )`ˆ‪    l 1 Pl ( rˆr‬‬
‫|` ‪| r  r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪e  ikr‬‬
‫משוואת הלמהולץ והפרופוגטור‪ (   k )     ( r  r `)4 -‬לעבור על תרגילים‬
‫|` ‪| r  r‬‬
‫שעשינו עם הפרופוטור‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫לדעת ולהוכיח ‪ Pl (aˆbˆ)Pk (bˆcˆ)  2l  1  kl P(aˆcˆ) -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫)`‪  ( x  x‬ראה דוגמא (תרגיל ‪ 4‬דף ‪:)9‬‬
‫)) ‪ ( x  x`)  1 2 R ( ( x0 ` x0  R )   ( x0  x0 ` R‬‬
‫)` ‪N  ( x  x‬‬
‫‪ ( f ( x ))  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f‬‬
‫) ‪( xi‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪f ( x )  ( x  a )( x  b)  x 2  (b  a ) x  ax‬‬
‫| )‪ ( x 2  (b  a ) x  ax )   ( x  a )   ( x  b) | f `( a ) |  | f `( b‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x0 `)  ( x  x`) 2  ( x0 ` x0 ) 2  | x ` x |2  ( x0 ` x0 ) 2  R 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫|` ‪R | x  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫| ) ‪| f `( a‬‬
‫| )‪| f `( b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪z‬‬
‫אפסים של הפונקציה יהיו כאשר‪f ( x 0 `)  0 :‬‬
‫נחשב את הנגזרת ונחלק בערך המוחלט‪:‬‬
‫‪f‬‬
‫) ‪ 2( x`0  x0‬‬
‫‪x`0‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ 2 | x ,  0  x0 | 2 R‬‬
‫‪x`0‬‬
‫שאלות שיכולות להופיע במבחן‪:‬‬
‫* סליל אינסופי‪ ,‬מהו השדה המגנטי מחוץ ובתוך הסליל?‬
‫‪‬‬
‫ כיוון השדה המגנטי בתוך הסליל ‪ Bin‬הוא בכיוון ‪z‬‬‫‪‬‬
‫‪ -‬מחוץ לסליל השדה המגנטי הוא אפס ‪Bout  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Bin‬‬
‫‪  ‬‬
‫* נסתכל על לולאה מרובעת מחוץ לסליל שבה ‪ rotB  0 J‬בכיוון ציר ‪ x‬וציר ‪ y‬השדות מבטלים‬
‫‪4‬‬
‫אחד את השני‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לפי חוק סטוקס ‪ rotBds   Bdl  l ( B2  B1 )  40  Jds  0 :‬‬
‫יוצא אפס מפני אנו מחוץ לסליל והזרם שם הרי הוא ‪.0‬‬
‫הוכחנו ש ‪ B‬לא משתנה בכיוון ‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ B‬באינסוף הוא ‪ 0‬ולכן ‪ Bout  0‬ובתוך הסליל ‪Bin  nI0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪dl‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪J ( r `)  ( r  r `) 3‬‬
‫‪B‬‬
‫* חוק ביו‪-‬סבר ‪d r‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪| r  r `|3‬‬
‫להשתמש בחוק ביו‪-‬סבר הנ"ל על מנת למצוא את השדה המגנטי באמצעות האינטגרל במרכז הסליל (על‬
‫ציר ה‪ )z-‬השדה לא ישתנה כפונקציה של ‪ z‬ולכן הכי נוח לבצע אינטגרל ב‪. r=0 -‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪11/6/03‬‬
‫דיפול מגנטי‪:‬‬
‫טבעת מסתובבת‬
‫דיפול חשמלי‪:‬‬
‫אם המטענים עולים ויורדים‬
‫ניצר דיפול חשמלי‬
‫‪+‬‬
‫‪-‬‬
‫תרגיל‪ :‬למצוא צפיפות מטען של צלחת שתתן שדה מגנטי כמו של כדור‪.‬‬
‫קרינה מדיפול‬
‫‪ div( x J )d r   x J  ds  0‬‬
‫‪3‬‬
‫נוכיח‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫(כאשר ‪ J  0‬על המעטפת)‬
‫‪div( xi J )  xi divJ  J gradxi  xi divJ  J i‬‬
‫‪gradxi  xˆi‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B1‬‬
:‫ מימדים‬3-‫ב‬
 Jd r   rdivJd r   r '
3
3
 (t ', r ') 3
d
d
d r   r  (r )d 3r  P(t )
t
dt
dt
d
‫ על השפה‬J  0 ‫אם‬
‫ דיפול‬ P
 Jd r  dt P(t )
3
A(r , t ) 
0
4

J (r , tret ) 3
d r
R
0
4

J (r , tret )
r r'
d 3r 
0
R
J (r , t  )d 3r

4 r
c
 0 d P (tr )
4 r dt
R  rr'
tR  t 
rr'
c
t
r
: tr
c
r  r '
B
R  r r'
0


rot P  Pgrad 0  0 rot P
4 r
4 r 4 r
B  rot A
grad
‫ אבל אפשר להזניח כי‬r‘-‫ תלוי ב‬t ‫לכן‬
0
1
 2 0
4 r r
0
0 
r
rot P (t  )  
r  P
2 

4 r
c
4 cr
 rot P   
ijk

i
Pk (t  r )
c   tr P (t )   ( 1 ) r P (t )  1  x j P (t )  1  r  P 
ijk
k r
ijk
k r
ijk
k r
i
x j
x j
c x j
c
r
cr 
 ijk a j Pk   a  P 
i
P  Pzˆ
p  Pzˆ
z

r
r  rrˆ
Brad 
4
0

P  rˆ  zˆ   0 P(tr )sin ˆ
4 cr
4 cr
Pointing Vector :
S  EH 
1
EB
0
2
2
c 2
c 
c0
1
E rad  B rad  0 Brad
rˆ  0 ( 0 )2 P(tr ) sin 2  rˆ 
P(tr ) sin 2  rˆ
2 2 4
0
0
0 4 cr
16 r c  0
E rad
 B rad
c0
E rad  B rad
:‫גרף של הקרינה‬
z

Power Radiated:
ˆ 2d  
P   S  rr
2
2
cr0
c0
P(tr )  sin 2  d  
P(tr )
2 4
4
16 c  0
6 c  0
8
3
:‫מודל‬
P (t )  P0 cos( t ) zˆ
P (t )   2 P0 cos( t ) zˆ
P
c0
 4 p02 cos 2  (t  r c ) 
4


6 c  0
Pt
c0
 4 p02
4
12 c  0
 4 - ‫דיפול‬
:‫תרגיל‬
J  k (t ) xˆ  E (t )  k (t ) xˆ
5
A J
Ax  J x (t ) ( z )
Ax ( z , t ) 

0
4

J (r ', tr )
r r'
 0 k (t  R c )
2

R
d 3r 
c  0
RdR 
2
 0 k (tr ) ( z ')
 0 k (t  R c )

'
d

'
dz
'
d


2

 'd  ' 
4 
R
4 
R
t R

c
k ( y )dy  A( z , t )
0
r  r '  zzˆ   ' ˆ  z 2   '2  R
dR  '

  ' d  '  RdR
d ' R
t  R  y  dR  cdy
c
z
R
E (r , t )  
 A c 0

k (t  R ) xˆ
c
t
2
 (t  R c )
- k ‫בבעיה שפתרנו בתרגיל עם פולס יש במקום‬
A c 0

 (t  R c )
t
2
c
A   0   (t  R ) 
c
2

6
 (t  R c )