Comments
Description
Transcript
x φ R θ
1.מצא פוטנציאל בין שני מישורים מקבילים x = 0ו x = Lאם φ(x = 0) = 0ו | .φ(x = L) = φ0 | sin kyאין מטען בין המישורים. 2.משטח כדורי בעל רדיוס Rטעון בצפיפות פנים של מטען σ = σ0 cos θ בקואורדינטות כדוריות .הכדור מסתובב במהירות זוויתית קבועה ω סביב ציר .zמצא שדה מגנטי. 3.על פני גליל חלול אינסופי מקביל לציר zזורם זרם עם צפיפות פנים I = I0 ẑ cos(ωt − kz), 0 < ϕ < π, = −I0 ẑ cos(ωt − kz), π < ϕ < 2π מצא שדות מחוץ לגליל. 4.חלקיק q, mנע במישור xyבשדה מגנטי אחיד ̂ B = B0 zושדה חשמלי משתנה E = E1 x̂ cos ωt + E2 ŷ sin ωt מצא התפלגות זוויתית וקיטוב של קרינה דיפולית. 1 אםx = L וx = 0 מצא פוטנציאל בין שני מישורים מקבילים1. . אין מטען בין המישורים.φ(x = L) = φ0 | sin ky| וφ(x = 0) = 0 | הינה זוגית ומחזוריתsin ky| פונקציה | sin k(y + 2π/2k)| = | sin ky| לכן | sin ky| = An | sin ky| = 1 X An cos(2kny) n=0 π/2k Z 2 cos (2kny)dy = −π/2k 1 X Z π/2k −π/2k | sin ky| cos(2kny)dy ⇒ 2 4 + cos(2kny) π n=1 π(1 − 4n2 ) מחפשים פתרון של משוואת לפלאס בין המישורים בצורה,בהתאם φ(x, y) = C0 x + 1 X Cn (x) cos(2kny), n=1 2 d Cn = (2kn)2 Cn , 2 dx הואx = 0 הפתרון המקיים תנאי שפה על Cn = Ln sinh(2knx) נמצאx = L ב 1 1 X 2 X 4 φ0 [ + cos(2kny)] = a0 L + Ln sinh(2knL) cos(2kny), π n=1 π(1 − 4n2 ) n=1 2φ0 , πL 4φ0 Ln = sinh−1 (2knL) 2 π(1 − 4n ) a0 = 2 טעון בצפיפות פנים של מטעןR משטח כדורי בעל רדיוס2. σ = σ0 cos θ ω הכדור מסתובב במהירות זוויתית קבועה.בקואורדינטות כדוריות . מצא שדה מגנטי.z סביב ציר צפיפות פנים של הזרם היא J = σ0 ωR sin θ cos θϕ̂ = σ0 ωR sin θ cos θ[−x̂ sin ϕ + ŷ cos ϕ] = σ0 ωR sin θ cos θ[(ŷ + ix̂)eiϕ + (ŷ − ix̂)e−iϕ ] r 8π = σ0 ωR[(ŷ + ix̂)Y2,1 − (ŷ − ix̂)Y2,−1 ] 15 :הדרך המהירה ביותר להשתמש בפתרון באמצעות פונקצית גרין Z 1 j(r0 )dV 0 A= c |r − r0 | Z 1 l l 1 X X 4π r< ∗ = Ylm (θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ)J 0 dS 0 l+1 c 2l + 1 r> l=0 m=−l A(r A(r A(r A(r A(r 1 l 1 X X 4π rl < R) = Ylm (θ, ϕ) c 2l + 1 Rl+1 l=0 m=−l r Z 8π ∗ · sin θ0 dθ0 dϕ0 Ylm (θ0 , ϕ0 ) σ0 ωR 15 · [(ŷ + ix̂)Y2,1 (θ0 , ϕ0 ) − (ŷ − ix̂)Y2,−1 (θ0 , ϕ0 )]R2 r 2 1 4π 8π 3r < R) = σ0 ωR 3 [(ŷ + ix̂)Y2,1 (θ, ϕ) − (ŷ − ix̂)Y2,−1 (θ, ϕ)] c 5 r 15 R 2 1 4π 8π 3R > R) = σ0 ωR 3 [(ŷ + ix̂)Y2,1 (θ, ϕ) − (ŷ − ix̂)Y2,−1 (θ, ϕ)] c 5 15 r 2 8πσ0 ωr < R) = sin θ cos θϕ̂, 5c 8πσ0 ωR5 > R) = sin θ cos θϕ̂ 5cr3 3 3.על פני גליל חלול אינסופי מקביל לציר zזורם זרם עם צפיפות פנים I = I0 ẑ cos(ωt − kz), 0 < ϕ < π, = −I0 ẑ cos(ωt − kz), π < ϕ < 2π מצא שדות מחוץ לגליל. נמצא קודם את צפיפות פנים של המטען: @σ @ = − Iz = kI sin(ωt − kz), @t @z ])I = I0 [H(ϕ)H(π − ϕ) − H(ϕ − π)H(2π − ϕ )σ = −(k/ω)I cos(ωt − kz את הזרם ואת צפיפות במטען אפשר לבטא באמצעות טור פורייה: pm eimϕ , 1 X m=−1 = )H(ϕ)H(π − ϕ) − H(ϕ − π)H(2π − ϕ [H(ϕ)H(π − ϕ) − H(ϕ − π)H(2π − ϕ)]e−imϕ dϕ 2π Z 0 1 2π = pm i =− (1 − e−imπ ), m 6= 0, mπ 2i =− , p2n = 0 (2n + 1)π יש לפתור משואות §A = −(4π/c)j, §φ = −4πρ כאשר נבחר כיול לורנץ @1 φ=0 c @t 4 div A + p2n+1 מכיוון ש ̂ j k zנסתפק ב Azונחפש פתרונות בחוץ ובפנים בנפרד בצורה X = Az Am (r)eikz+imϕ−iωt , Cm (r)eikz+imϕ−iωt m X =φ m כאשר הכיול דורש Cm = (kc/ω)Am הצבה של Azלמשואת דאלאמבר נותנת 1d d m2 2 r Am + [K − 2 ]Am = 0, r dr dr r 2 2 2 2 K = ω /c − k אם K 2 = 0אז הפתרונות הם Am (r) = Bm rm , r < R Am (r) = Dm r−m , r > R אם K 2 > 0הפתרונות הם r<R r>R Am (r) = Bm Jm (Kr), )(1 Am (r) = Dm Hm (Kr), אם K 2 = −s2 < 0הפתרונות הם r<R r>R Am (r) = Bm Jm (isr), )(1 Am (r) = Dm Hm (isr), נטפל רק במקרה K 2 > 0 את השדה המגנטי מקבלים כדלקמן Am imeikz+imϕ−iωt 5 X1 r m = Br Bϕ = − Bz = 0 X @Am m @r eikz+imϕ−iωt את השדה החשמלי נקבל מ 1 @A − grad φ ⇒ c @t X @Am Er = −(kc/ω) eikz+imϕ−iωt @r m X 1 Eϕ = − (kc/ω) Am imeikz+imϕ−iωt r m X Ez = −i(ω/c + k 2 c2 /ω 2 ) Am eikz+imϕ−iωt E=− m נותנתAz רציפות של (1) Bm Jm (KR) = Dm Hm (KR) .Br , Eϕ , Ez ומבטיחה גם רציפות של קפיצה בשדה מגנטי היא 0 (1) −KDm Hm (KR) + KBm Jm 0 (KR) = 4π I0 pm c מהמשואות שהתקבלו נמצא. מביאה לאותה משואהEr קפיצה של .Bm , Dm 6 ושדהB = B0 ẑ בשדה מגנטי אחידxy נע במישורq, m חלקיק4. חשמלי משתנה E = E1 x̂ cos ωt + E2 ŷ sin ωt .מצא התפלגות זוויתית וקיטוב של קרינה דיפולית משואות.מה שמענייו אותנו זו תנועה של החלקיק בהשפעת כוח מאלץ התנועה הינו q qB E1 cos ωt + vy , m mc q qB v̇y = E2 sin ωt − vx m mc v̇x = בונים משואות ל v+ = vx + ivy , v− = vx − ivy q v̇+ + isv+ = (E1 cos ωt + iE2 sin ωt), m q v̇− − isv− = (E1 cos ωt − iE2 sin ωt), m qB s= mc או q [(E1 + E2 )eiωt + (E1 − E2 )e−iωt ], 2m q v̇− − isv− = [(E1 − E2 )eiωt + (E1 + E2 )e−iωt ] 2m מחפשים פתרון בצורה v̇+ + isv+ = v+ = B1 eiωt + B2 e−iωt , v− = C1 eiωt + C2 e−iωt , q i(ω + s)B1 = (E1 + E2 ), 2m q i(−ω + s)B2 = (E1 − E2 ), 2m 7 q (E1 − E2 ), 2m q i(−ω − s)C2 = (E1 + E2 ), 2m i(ω − s)C1 = אחרי ההצבות iq iq (E1 + E2 )eiωt + (E1 − E2 )e−iωt , 2m(ω + s) 2m(ω − s) q q vx = Re v+ = [ (E1 + E2 ) + (E1 − E2 )] sin ωt, 2m(ω + s) 2m(ω − s) q q vy = Im v+ = [− (E1 + E2 ) + (E1 − E2 )] cos ωt, 2m(ω + s) 2m(ω − s) v+ = − וd˙ = qv עכשיו q 2 ω E1 + E2 E1 − E2 ¨ dx = [ + ] cos ωt, 2m ω + s ω−s q 2 ω E1 + E2 E1 − E2 ¨ dy = [ − ] sin ωt, 2m ω + s ω−s המתנדנדים,רואים שישנם שני דיפולים מאונכים זה לזה ולא שווים נבחר.π/2 בהפרש פזה של n̂ = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ונציב לביטוי dP 1 ¨ 2 = |d⊥ | d≠ 4πc3 כאשר ¨ d¨⊥ = d¨ − n̂(n̂ · d) .וקובע גם את הקיטוב 8