Comments
Description
Transcript
−p · ∇δ ρ r )
1.הראה שצפיפות המטען ) ρ = −p · ∇δ(r − r0 מתארת דיפול נקודתי הנמצא בנקודה .r0 ישנן שתי דרכים :אפשר לחשב ישירות את המומנט הדיפולי Z Z @ 0 0 xi ρ(r ) = −pj x0i 0 δ(r − r0 )dV 0 = pi @xj אפשר לחשב את הפוטנציאל Z ρ(r0 )dV 0 =φ | |r − r0 Z 1 @ = −pj δ(r − r0 )dV 0 0 0 |r − r | @xj ∂ Z µ @ 1 = pj δ(r − r0 )dV 0 | @x0j |r − r0 ∂ Z µ @ 1 = −pj δ(r − r0 )dV 0 0 | @xj |r − r @ 1 1 = −pj )∇ · = −(p | @xj |r − r0 | |r − r0 הביטוי האחרון הינו פוטנציאל של דיפול נקודתי. 2.מספר מטענים נקודתיים qiנמצאים עך ציר .zמצא משוואה של קווי שדה חשמלי. בגלל הסימטריה המשוואה תהיה מסוג .f (r, z) = constניקח קוו שדה אשר ונסובב אותו סביב ציר .zהמשטח יהיה בנוי מקווי שדה .נבחר zמסטיים ונחשב את השטף החשמלי שעבור דרך החתך של המשטח שקיבלנו משמאל לימין .אם zi < zאז השטף הוא qi ≠i כאשר ≠iהינהpזווית מרחבית שחותך מעגל בעל רדיוס ) r(zמתוך הספרה בעלת רדיוס .Ri = r2 + (z − zi )2תוודאו ש µ ∂ z − zi ≠i = 2π 1 − Ri אם zi > zהשטף יהיה µ ∂ z − zi 2πqi −1 − Ri 1 אם נתקדם לאורך ציר zביחד עם קוו השדה ,אז כל פעם כאשר z = ziהשטף קופץ ב ,4πqiאבל ) X qi (z − zi = const Ri i ביטוי זה הינו משוואה של קו השדה. 3.צפיפות המטען ρ1יוצרת פוטנציאל ,φ1צפיפות המטען ρ2יוצרת פוטנציאל .φ2 מצא את האנרגיות .U11 , U22 , U12 בהתאם לביטוי הכללי Z 1 =U φρdV 2 Z 1 = (φ1 + φ2 )(ρ1 + ρ2 )dV 2 Z 1 = U11 φ1 ρ1 dV, 2 Z 1 = U22 φ1 ρ2 dV, 2 Z 1 = U12 (ρ1 φ2 + ρ2 φ1 )dV 2 Z Z = ρ1 φ2 dV = ρ2 φ1 dV 4.הוכח שמערכת המטענים לא יכולה להיות במצב שיווי יציב אם כל הכוחות הינם כוחות אלקטרוסטטיים. א( אם נזיז מטען משיווי משקל אז בכל מקודה סמוכה הכוח חייב לפעול בכיוון הנקודה שממנה הזזנו את המטען .לכן I I F · dS = q E · dS < 0 שלא יכול להיות כי בנקודה זו אין מטען )חוץ ממטען שהזזנו אבל הוא לא פועל על עצמו(. ב( בשיווי צשקל יציב כל הנגזרות @2φ @2φ @2φ , , @x2 @y 2 @z 2 חייבות להיות באותו סימן )כולן חיוביות או כולן שליליות( .אבל זה לא יכול להיות כי @2φ @2φ @2φ + + 2 =0 @x2 @y 2 @z 2 5.מערכת מורכבת מדיפולים נקודתיים .נגדיר קיטוב כ P = np כאשר nהינו ריכוז הדיפולים )תלוי במיקום( .מהי צפיפות המטען השקולה ? כל נפח dV 0הינו בעל מומנט דיפולי P (r0 )dV 0ויוצר פוטנציאל 1 | |r − r0 dφ = −(P (r0 )dV 0 ) gradr בכל נקודה .r 6= r0הפוטנמיאל הכולל יהיה Z 1 φ = − (P (r0 )dV 0 ) gradr | |r − r0 Z 1 = (P (r0 )dV 0 ) gradr0 | |r − r0 Z I 1 1 0 0 0 P (r ))dV + =− (div P · n̂dS r 0 | |r − r0 | 1 |r − r אם האינטגרל השני מתכנס ,מה שקורה כאשר P r3 → 0 אז Z 1 (divr0 P (r0 ))dV 0 | |r − r0 1 ⇒ ρ(r0 )dV 0 | |r − r0 ρ = − div P φ=− Z = 6.מערכת מטענים קטנה נמצאת בשדה חשמלי חיצוני שמשתנה לאט במרחב. לפתח ביטויים כלליים לאנרגיה ,כוח ומומנט הכוח .להסתפק במומנט קוודרופולי. נבחר - Rנקודת הייחוס מתוך המערכת ,אז r = R + r0או xi = Xi + x0iו @φ 1 @2φ + x0i x0j @Xj 2 @Xi @Xj @ 1 @2 Ei (r) = Ei (R) + x0j Ei + x0j x0k Ei @Xj 2 @Xj @Xk φ(r) = φ(R) + x0j אנרגיה @φ 1 @2φ + x0i x0j )dV 0 @Xj 2 @Xi @Xj ρ0 (r0 )(φ(R) + x0j 3 Z = ρ(r)φ(r)dV Z =U Z @ 1 @2 = qφ + pj φ + ( x0i x0j ρ0 dV 0 ) )φ @Xj 2 @Xi @Xj Z 1 x0i x0j ρ0 dV 0 = Dij + Aδij , 3 Z 1 2 A= r0 ρ0 dV 0 , 3 @ 1 @2 A @2 U = qφ + pj φ + Dij )φ + )φ @Xj 6 @Xi @Xj 2 @Xi @Xi אבל @2 )φ = 4φ = 0 @Xi @Xi לכן,עבור השדה החיצוני U = qφ + pj @ 1 @2 φ + Dij )φ @Xj 6 @Xi @Xj בדומה לזה @ 1 @2 Ei + Djk Ei , @Xj 6 @Xk @Xk 1 @ τi = ≤ijk pj Ek + ≤ijk Djl Ek 3 @Xl Fi = qEi + pj מהו הכוח.R רדיוס הכדור.ρ כדור מלא טעון באופן אחיד בצפיפות המטען7. ? הפועל על חצי כדור .( )מרכז הכדור בראשית הקואורדינטותz > 0 נחשב את הכוח אשא פועל עך החצי הכוח יהיה I Fi = Tij nj dS Tij = Fz = Tzj = 1 1 Ei Ej − E 2 δij 4π 8π I לכןFz 6= 0 מטעמי סימטריה רק Tzj nj dS 1 1 Ez Ej − E 2 δzj 4π 8π 4 בנוסף משפט גאוס נותן 4πρr ̂r 3 בבסיס במשטח כדורי = Er · 4πr2 = 4π(4πr3 /3)ρ ⇒ E 1 4πρr 2 = ( ) 8π 3 n̂ = −ẑ ⇒ Tzj nj = −Tzz 1 1 = n̂ = r̂ ⇒ Tzj nj ̂Ez Er − Er2 r̂ · z 4π 8π 1 4πρR 2 = Tzj nj ( ) cos θ 8π 3 האינטגרל R Z 1 4πρr 2 ( ) rdr 3 0 8π Z π/2 1 4πρR 2 + 2π ( ) cos θR2 sin θdθ 8π 3 0 = π 2 ρ2 R4 /3 Fz = 2π 8.משטח כדורי בעל רדיוס Rטעון באופן אחיד בצפיפות מטען פנים .σמצא את אנרגית המשטח. Z 1 =U φdq 2 φ = q/R Z 1 q2 = U = (q/R) dq 2 2R 9.משטח של חרוט בעל רדיוס הבסיס Rוזווית הפתיחה θ0טעון בצפיפות פנים של מטען σאחידה .הקודקוד של החרוט נמצא בראשית הקואורדינטות ,וצירו נמצא על החצי החיובי של ציר .zמצא את צפיפות המטען בקואורדינטות כדוריות ומומנט דיפולי. בקואורדינטות כדוריות צפיפות המטען אינה אפס רק ב 0 < φ < 2π ,θ = θ0ו ,r < l = R/ sin θ0לכן )ρ = Aδ(θ − θ0 )H(l − r את המקדם נקבל מהתנאי σdS = ρdV 5 σ )δ(θ − θ0 )H(l − r r ⇒ σr sin θ0 drdϕ = ρr2 dr sin θdθdϕ =ρ מומנט דיפולי 2π 3 σl sin θ0 cos θ0 3 l = r cos θ0 σr sin θ0 dr Z zdq = 2π 0 Z = pz 10.כדור מלא בעל רדיוס R1ומטען ) Qהתפלגות אחידה( נמצא בתוך כדור בעל רדיוס R2הטעון בצפיפות מטען אחידה .ρהמרחק בין המרכזים הינו .R1 + l < R2 ,l מצא את הכוח הפועל על הכדור הקטן. אם נוציא את הכדור הקון ישאר חור כדורי שבתוכו שדה חשמלי שווה .E = 4πρl/3 )הבעיה זאת נמפתרה בקורס פיסיקה .(2לכן הכוח הינו .F = 4πρQl/3 11.מה הוא מומנט הכוח הפועל על נפח אינפיניטזימלי ? נפח סופי ? @ @ dτi = ≤ijk xj fj dV = ≤ijk xj = Tkl dV (≤ijk xj Tkl )dV @xl I @xl Z @ = τi (≤ijk xj Tkl )dV = ≤ijk xj Tkl nl dS @xl 12.נתון n Y ) ρ = q (ai · ∇)δ(r − r0 i=1 מצא .φ Z 1 dV 0 | |r − r0 Z n Y 1 = q (ai · ∇r0 )δ(r0 − r0 )dV 0 0 |r − r | i=1 Z Y n 1 ) = q [ (−ai · ∇r0 ]δ(r0 − r0 )dV 0 |0 |r − r i=1 Z Y n 1 ) = q [ (ai · ∇r ]δ(r0 − r0 )dV 0 |0 |r − r i=1 ) ρ(r0 1 | |r − r0 6 n Y ) (ai · ∇r i=1 =φ =q 13.בלון בעל מתח פנים ̃ σטעון במטען .qמסת הבלון .mמצא אדיוס בשיווי מקל ותדירות תנודות רדיאליות. q2 + 4πσ̃R2 , 2R E = mṘ2 /2 + q2 ⇒ + 8πσ̃R, 2R2 = (q 2 /16πσ̃)1/3 , q2 ̃= 3 + 8πσ̃ = 24πσ R = 24πσ̃/m =0⇒− dU dR Rc d2 U dR2 ω2 14.משטח גלילי אינסופי טעון בצפיפות פנים של מטען .σמצא את הלחץ על המשטח הגלילי. הלחץ הינו כוח נורמלי ליחידת שטח ,ז"א 1 2 1 = p = Trr = Er (4πσ)2 = 2πσ 2 8π 8π 15.מצא את צפיפות המטען של קוודרופול נקודתי. (3xi xj − r2 δij )ρdV, Z = Dij Dii = Dij δij = 0, 1 xi xj φ = Dij 5 2 r 1 1 @2 1 [ = Dij ] + Aδij 2 | 3 @xi @xj |r − r0 1 @2 1 = Dij 6 | @xi @xj |r − r0 Z 1 @2 1 = Dij δ(r0 − r0 )dV 0 6 | @xi @xj |r − r0 Z 1 @2 1 = Dij 0 0 δ(r0 − r0 )dV 0 6 | @xi @xj |r − r0 Z 1 1 @2 = Dij [ δ(r0 − r0 )]dV 0 6 |r − r0 | @x0i @x0j 1 @2 ρ = Dij ) δ(r − r0 6 @xi @xj 7