x - Matematicamente

Sessione Ordinaria in America 2004
Soluzioni di Nicola De Rosa
MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA
SCUOLE ITALIANE ALL’ESTERO (Americhe)
ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
Sessione Ordinaria 2004
SECONDA PROVA SCRITTA
Tema di Matematica
Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.
PROBLEMA 1
Tra i coni circolari retti inscritti in una sfera di raggio 10 cm, si determini:
1. il cono C di volume massimo e il valore, espresso in litri, di tale volume massimo.
2. il valore approssimato, in gradi sessagesimali, dell’angolo del settore circolare che risulta dallo
sviluppo piano della superficie laterale di C;
3. il raggio della sfera inscritta nel cono C e la percentuale del volume del cono che essa occupa.
PROBLEMA 2
Sia f la funzione definita da:
f (x ) =
x+a
bx + cx + 2
2
(1)
1) Si determinino i valori dei parametri che figurano nell’equazione (1) disponendo delle seguenti
informazioni:
a) i valori di a, b, c sono 0 o 1;
b) il grafico G di f passa per (-1, 0);
c) la retta y=1 è un asintoto di f.
2) Si disegni G.
3) Si calcoli l’area della regione finita di piano del primo quadrante degli assi cartesiani compresa
tra l’asintoto orizzontale, il grafico G e le rette x = 0, x = 2
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1
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Soluzioni di Nicola De Rosa
QUESTIONARIO
1. La coppia (1, 2) è la soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Quale può
essere il sistema?
2. Sia α tale che la funzione f ( x ) = αx −
x3
9
risulti crescente. Provare che α ≥
2
8
1+ x
3. Mostrare che le tangenti alla curva y =
π sin ( x )
x
in x = π e x = - π si intersecano ad angolo retto.
4. Nei saldi di fine stagione, un negozio ha diminuito del 30% il prezzo di listino di tutti gli articoli.
Se il prezzo scontato di un abito è di 275 euro quale era il suo prezzo di listino?
5. Calcolare:
π
∫e
x
cos( x )dx
0
6. Si dica quante sono le soluzioni reali dell’equazione
x
= sin ( x ) e si indichi per ciascuna di esse
10
un intervallo numerico che la comprende.
7. Se tgα e tgβ sono radici di x 2 − px + q = 0 e ctgα e ctgβ sono radici di x 2 − rx + s = 0 , quanto
vale il prodotto rs espresso in funzione di p e q?
8. Un professore interroga i suoi alunni a due per volta. Stabilire quante possibili coppie diverse può
interrogare, sapendo che la classe è di 20 studenti.
___________________________
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.
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PROBLEMA 1
Tra i coni circolari retti inscritti in una sfera di raggio 10 cm, si determini:
Punto 1
Il cono C di volume massimo e il valore, espresso in litri, di tale volume massimo.
Consideriamo la figura sottostante rappresentante la sezione di un cono inscritto in una sfera:
Poniamo VH = x, con 0 < x < 20 . Con queste assunzioni HD = 20 − x e poiché il triangolo VDB è
rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza, per il teorema di Euclide
HB = VH ⋅ HD = x ⋅ (20 − x ) . Il volume del cono è V ( x ) =
2
(
)
2
1
π
π ⋅ HB ⋅ VH = ⋅ x 2 ⋅ (20 − x ) con
3
3
[
]
0 < x < 20 . La massimizzazione del volume la effettuiamo attraverso le derivate:
V ' (x ) =
π
V ' ' (x ) =
π
3
3
[
⋅ 40 x − 3 x 2
]
⋅ [40 − 6 x ]
Si ha:
V ' (x ) =
π
V ' (x ) =
π
3
3
[
]
[
]
⋅ 40 x − 3 x 2 > 0 ⇒ 0 < x <
⋅ 40 x − 3 x 2 < 0 ⇒
Inoltre V ' ' ( x ) =
π
3
40
 40 
⇒ V ( x ) strettamente crescente in  0, 
3
 3 
40
 40

< x < 20 ⇒ V ( x ) strettamente decrescente in  ,20 
3
 3

⋅ [40 − 6 x ]x = 40 = −
3
40π
40
< 0 , per cui il volume è massimo per x =
e vale
3
3
2
40  32000π
 40  π  40  
V   = ⋅   ⋅  20 −  =
cm 3 . Ma 1 cm 3 = 10 -3 dm 3 = 10 -3 [litri] per cui il
3
3
3
3
81
 

  
[ ]
[ ]
[
]
 40  32π
volume massimo il litri è V   =
[litri] ≅ 1.241[litri]
 3  81
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Punto 2
Il valore approssimato, in gradi sessagesimali, dell’angolo del settore circolare che risulta
dallo sviluppo piano della superficie laterale di C;
Lo sviluppo piano della superficie laterale del cono determina il settore circolare di raggio pari
2
800 1600 20 6
+
=
rappresentato in figura.
9
9
3
2
all’apotema del cono VB = HB + VH =
La lunghezza dell’arco AB è pari alla misura della circonferenza della base del cono
40 2
π
40 2
2π
3
2π ⋅ HB =
π , pertanto la misura in radianti dell’angolo α è α =
=
≅ 3.627 rad e
3
20 6
3
3
in gradi sessagesimali è α ° =
2
3
⋅ 180° ≅ (207.84 )° = 207°50'24' ' .
Punto 3
Il raggio della sfera inscritta nel cono C e la percentuale del volume del cono che essa occupa.
Riferendosi sempre alla figura del triangolo inscritto nella circonferenza, il raggio della
circonferenza inscritta nel triangolo VAB è dato da r =
dell’area
di
VAB
2 pVAB = 2VB + AB =
ed
il
suo
40 6 40 2 40
+
=
3
3
3
(
perimetro.
)
2SVAB
cioè dal rapporto tra il doppio
2 pVAB
Il
perimetro
6 + 2 mentre l’area è SVAB =
di
VAB
è
VH ⋅ AB 800 2
=
per
2
9
1600 2
2 SVAB
40
20 3 − 1
32π
9
[litri]
cui r =
=
=
=
. Il volume del cono è VCono =
2 pVAB 40
3
81
3
3
+
1
6+ 2
3
(
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) (
)
(
)
4
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mentre quello della sfera è VSfera
cono che essa occupa è p % =
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(
)
3
4πr 3 32 3 − 1 π
=
=
[litri] per cui la percentuale del volume del
3
81
VSfera
VCono
(
)
3
32 3 − 1 π
81
=
=
32π
81
(
) (
3
)
3 − 1 = 6 3 − 10 ≅ 39.2%
5
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PROBLEMA 2
Sia f la funzione definita da:
f (x ) =
x+a
bx + cx + 2
2
(1)
Punto 1
Si determinino i valori dei parametri che figurano nell’equazione (1) disponendo delle
seguenti informazioni:
a) i valori di a, b, c sono 0 o 1;
b) il grafico G di f passa per (− 1,0) ;
c) la retta y=1 è un asintoto di f.
La funzione f ( x ) =
x+a
è una funzione razionale fratta, per cui essa presenta un asintoto
bx + cx + 2
2
orizzontale qualora il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore ed in tal caso la retta
asintoto orizzontale è la retta parallela all’asse delle ascisse pari al rapporto tra i coefficienti di
grado massimo del numeratore e denominatore della funzione stessa. Nel caso di
b = 0
la retta y = 1 è asintoto orizzontale se e solo se 
; inoltre il passaggio di
c = 1
f (x ) =
x+a
bx + cx + 2
f (x ) =
x+a
per (− 1,0) comporta a = 1 . In conclusione la funzione che soddisfa i requisiti è
bx + cx + 2
f (x ) =
x +1
.
x+2
2
2
Punto 2
Si disegni G.
La funzione f ( x ) =
x +1
è la nota funzione omografica di asintoto verticale x = −2 ed asintoto
x+2
 1
orizzontale y = 1 ; essa interseca l’asse delle ascisse in (− 1,0) e quello delle ordinate in  0,  , è
 2
positiva in (− ∞,−2) ∪ (− 1,+∞ ) ed è sempre crescente non presentando estremi relativi ne flessi. Il
grafico è di seguito presentato:
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6
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Punto 3
Si calcoli l’area della regione finita di piano del primo quadrante degli assi cartesiani
compresa tra l’asintoto orizzontale, il grafico G e le rette x = 0 , x = 2
L’area da calcolare è raffigurata in verde nella figura sottostante:
L’area vale:
x +1 
2

 1 
S = ∫ 1 −
dx = ∫ 
dx = [ln x + 2 ]0 = (ln 4 ) − (ln 2) = 2 ln 2 − ln 2 = ln 2
x+ 2
x+ 2
0
0
2
2
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QUESTIONARIO
Quesito 1
La coppia (1, 2) è la soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Quale
può essere il sistema?
Una delle possibili coppie di equazioni che, messe a sistema, danno come soluzione la coppia
(x, y ) ≡ (1,2) possono essere
x + y = 3
.

 x − y = −1
Quesito 2
Sia α tale che la funzione f ( x ) = αx −
La
derivata
f ' (x ) = α −
(
prima
)
3x 2 1 + x 2 − x 3 (2 x )
(1 + x )
2 2
x3
9
risulti crescente. Provare che α ≥
2
8
1+ x
della
=α −
funzione
(
).
x2 x2 + 3
(1 + x )
2 2
crescente si deve imporre f ' ( x ) ≥ 0 e cioè α −
f ( x ) = αx −
Affinché la funzione
(
x3
1+ x2
f ( x ) = αx −
è
x3
sia
1+ x2
) ≥ 0 : bisogna quindi trovare la condizione
x2 x2 + 3
(1 + x )
x (x + 3)
x (x + 3)
su α che soddisfa la disequazione α −
≥ 0 ∀x ∈ R . La disequazione α −
≥0 ,
(1 + x )
(1 + x )
(1 + x ) ≥ 0 ∀x ∈ R ,
equivale
poiché
[α (1 + x ) − x (x + 3)] ≥ 0 ⇔ x (α − 1) + x (2α − 3) + α ≥ 0 . Si tratta di una disequazione
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
4
2
biquadratica risolvibile ponendo z = x 2 : in tal modo la disequazione diventa di secondo grado
z 2 (α − 1) + z (2α − 3) + α ≥ 0 . Essa è sempre verificata se il delta è non positivo (negativo o uguale a
zero)
e
il
coefficiente
di
grado
massimo
è
strettamente
positivo,
quindi
se
∆ = (2α − 3)2 − 4α (α − 1) = 9 − 8α ≤ 0 8α − 9 ≥ 0
9
da cui si ricava α ≥
come volevasi
→

α
>
1
8
α
(
−
1
)
>
0


dimostrare.
Quesito 3
Mostrare che le tangenti alla curva y =
π sin ( x )
x
in x = π e x = - π si intersecano ad angolo
retto.
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Le rette tangenti in (± π ,0) hanno equazione y = m± ( x ± π ) . La derivata prima di y =
y' =
π [x cos( x ) − sin (x )]
x
2
π sin ( x )
x
è
m+ = y ' (π ) = −1
per cui 
; il prodotto tra i coefficienti angolari delle
m− = y ' (− π ) = 1
tangenti è m+ ⋅ m− = −1 , ergo le tangenti sono perpendicolari.
Quesito 4
Nei saldi di fine stagione, un negozio ha diminuito del 30% il prezzo di listino di tutti gli
articoli. Se il prezzo scontato di un abito è di 275 euro quale era il suo prezzo di listino?
Il
prezzo
di
listino
p=
275 2750
=
≅ 392.86 euro .
0 .7
7
p
si
ricava
dall’equazione
p − 0.3 p = 275
da
cui
Quesito 5
Calcolare:
π
∫e
x
cos( x )dx
0
Si calcola innanzitutto l’integrale indefinito integrando due volte per parti:
∫e
x
cos( x )dx =e x cos( x ) + ∫ e x sin ( x )dx =
= e x cos(x ) + e x sin ( x ) − ∫ e x cos( x )dx ⇒
2 ∫ e x cos( x )dx =e x cos( x ) + e x sin ( x ) ⇒ ∫ e x cos( x )dx =
ex
[cos(x ) + sin (x )] + k
2
π
π
ex

 eπ + 1 
eπ
1

Quindi ∫ e cos( x )dx =  [cos( x ) + sin ( x )] =
⋅ (− 1) − ⋅ (1) = −
2
2
2
0
 2 
0
x
Quesito 6
Si dica quante sono le soluzioni reali dell’equazione
x
= sin ( x ) e si indichi per ciascuna di
10
esse un intervallo numerico che la comprende.
Osserviamo innanzitutto che l’equazione
x
= sin ( x ) :
10
1. presenta come soluzione banale x = 0 ;
2. ha soluzioni reali se e solo se − 10 ≤ x ≤ 10 in quanto la funzione seno è una funzione
limitata in [− 1,1] ;
3. presenta, qualora ve ne fossero, soluzioni simmetriche, in quanto se x è soluzione anche
(− x )
lo è in quanto
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(− x ) = − sin (x ) = sin (− x )
10
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Dalle considerazioni di cui sopra deduciamo che lo studio degli zeri di
x
= sin ( x ) può essere
10
effettuato nell’intervallo (0,10] , dal momento che le soluzioni in [− 10,0) si ricavano da quelle
trovate in (0,10] cambiandole di segno.
Lo studio delle soluzioni dell’equazione
funzione y = sin ( x ) −
x
= sin ( x ) in (0,10] equivale allo studio degli zeri della
10
x
x
in (0,10] . Vediamo innanzitutto dove la funzione y = sin ( x ) −
è
10
10
crescente . La derivata prima è y ' = cos( x ) −
1
per cui
10
y ' > 0 → cos( x ) >
1
1
1
⇒ 2kπ < x < arccos  + 2kπ ∨ 2π − arccos  + 2kπ < x < 2π + 2kπ
10
 10 
 10 
y ' < 0 → cos( x ) <
1
1
1
⇒ arccos  + 2kπ < x < 2π − arccos  + 2kπ
10
 10 
 10 
y ' = 0 → cos( x ) =
1
1
1
⇒ x = arccos  + 2kπ ∨ x = 2π − arccos  + 2kπ
10
 10 
 10 
Nell’intervallo (0,10] si deduce che:
y ' > 0 → cos( x ) >
1
1
1
1
⇒ 0 < x < arccos  ∨ 2π − arccos  < x < 2π ∨ 2π < x < 2π + arccos 
10
 10 
 10 
 10 
1
1
1
y ' < 0 → arccos  < x < 2π − arccos  ∨ 2π + arccos  < x ≤ 10
 10 
 10 
 10 
1
1
1
y ' = 0 → x = arccos  ∨ x = 2π − arccos  ∨ x = 2π + arccos 
 10 
 10 
 10 
1
1
In particolare x = arccos  e x = 2π + arccos  sono ascisse di massimo relativo mentre
 10 
 10 
1
x = 2π − arccos 
 10 
Ora
in
π 3π 
 2 , 2 
è
la
funzione
ascissa
y = sin ( x ) −
di
x
10
minimo
è
strettamente
relativo.
decrescente
e
π
3π
π 
 3π 
y  = 1 −
> 0, y  = −1 −
< 0 per cui per il primo teorema degli zeri esiste uno zero
20
20
 2
 2 
della funzione y = sin ( x ) −
x
x
 π 3π 
 3π 5π 
in  ,  ; analogamente in  ,  la funzione y = sin ( x ) −
10
10
2 2 
2 2 
3π
π
 3π 
 5π 
è strettamente crescente e y  = −1 −
< 0, y  = 1 − > 0 per cui per il primo teorema
20
4
 2 
 2 
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10
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degli zeri esiste uno zero della funzione y = sin ( x ) −
funzione y = sin ( x ) −
x
 3π 5π 
in  ,  ; analogamente in
10
 2 2 
x
è strettamente decrescente e
10
 5π
y
 2
 5π

 2 ,10 la
π

 = 1 − > 0, y (10 ) = sin (10 ) − 1 < 0 per
4

cui per il primo teorema degli zeri esiste uno zero della funzione y = sin ( x ) −
x
 5π

in  ,10  .
10
 2

 π π
Nell’intervallo  − ,  si può applicare il teorema degli zeri e otteniamo la soluzione banale
 2 2
x = 0.
In conclusione gli zeri dell’equazione
x
= sin ( x ) sono 7:
10
 π π
x1 = 0 ∈  − ,  ,
 2 2
 π 3π 
 3π 5π 
 5π

x 2 ∈  ,  , x3 ∈  ,  , x 4 ∈  ,10  ,
2 2 
 2 2 
 2

 3π π 
 5π 3π
x5 ∈  −
,−  , x 6 ∈  −
,−
2
2
 2
 2
Il grafico sottostante della funzione y = sin ( x ) −
5π 


 , x7 ∈  − 10,− 
2 


x
mostra quanto affermato.
10
Quesito 7
Se tan (α ) e tan (β ) sono radici di x 2 − px + q = 0 e cot g (α ) e cot g (β ) sono radici di
x 2 − rx + s = 0 , quanto vale il prodotto rs espresso in funzione di p e q?
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 p = tan (α ) + tan (β )
Se tan (α ) e tan (β ) sono radici di x 2 − px + q = 0 si ha 
mentre se cot g (α ) e
q = tan (α ) ⋅ tan (β )
r = cot g (α ) + cot g (β )
cot g (β ) sono radici di x 2 − rx + s = 0 si ha 
.
s = cot g (α ) ⋅ cot g (β )
tan (α ) + tan (β ) 

r=
r =

tan (α ) ⋅ tan (β )
r = cot g (α ) + cot g (β )


Il sistema 
equivale a 
→
1
s = cot g (α ) ⋅ cot g (β )
s =
s =


tan (α ) ⋅ tan (β )
p
q
p
⇒ r⋅s = 2
1
q
q
Quesito 8
Un professore interroga i suoi alunni a due per volta. Stabilire quante possibili coppie diverse
può interrogare, sapendo che la classe è di 20 studenti.
 20 
20! 19 ⋅ 20
Il numero di coppie diverse è dato da   =
=
= 190 .
2
 2  2!⋅18!
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