ישילש עובש • תיסחי העונת

‫שבוע שלישי‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫תנועה יחסית‪ ,‬טרנספורמציית גלילאו למערכות אינרציאליות‬
‫כוח ומסה‪ ,‬חוקי ניוטון‬
‫מערכות של גופים‬
‫היחס בין כיוון המהירות לתאוצה‬
‫גוף הנע במישור )‪ (x,y‬מתואר ע"י ‪ vx (t ) = − Aω sin(ωt ) :‬ו‪. v y (t ) = Aω cos(ωt ) -‬‬
‫א‪ .‬מהו הביטוי המתאר את וקטורי המיקום והתאוצה של הגוף?‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק מראשית הצירים ומהם גדלי המהירות והתאוצה? )מרחק קבוע‪ ,‬גודל המהירות קבוע‪-‬‬
‫אבל יש תאוצה‪(....‬‬
‫ג‪ .‬מהי הזווית בין וקטור המהירות לווקטור התאוצה?‬
‫‪r‬‬
‫)) ‪r (t ) = ( A cos(wt ), A sin (wt‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪a (t ) = − Aw 2 cos(wt ),− Aw 2 sin (wt‬‬
‫משוואת התנועה של הגוף‪:‬‬
‫)‬
‫ווקטור התאוצה‪:‬‬
‫‪A 2 cos 2 (wt ) + A 2 sin 2 (wt ) = A‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪r (t‬‬
‫‪A 2 w 2 sin 2 (wt ) + A 2 w 2 cos 2 (wt ) = Aw‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪v (t‬‬
‫גודל וקטור המיקום‪:‬‬
‫גודל וקטור המהירות‪:‬‬
‫(‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪a (t‬‬
‫‪A 2 w 4 cos 2 (wt ) + A 2 w 4 sin 2 (wt ) = Aw 2‬‬
‫גודל וקטור התאוצה‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪a ⋅v‬‬
‫‪cos(α ) = r r = 0 → a ⊥ v‬‬
‫הזווית בין וקטור המהירות לוקטור התאוצה‪:‬‬
‫‪av‬‬
‫באופן כללי‪,‬‬
‫ניתן לרשום כל וקטור תאוצה כסכום של וקטור מאונך למהירות‪ ,‬ווקטור שמקביל למהירות‪.‬‬
‫רכיב התאוצה שמקביל למהירות משנה את גודל המהירות‪ ,‬ולא משנה את כיוון המהירות‪.‬‬
‫רכיב התאוצה שמאונך למהירות משנה את כיוון המהירות‪ ,‬ולא משנה את גודל המהירות‪.‬‬
‫נחשב אותם‪:‬‬
‫ההיטל של התאוצה על המהירות‬
‫רכיב התאוצה המקביל למהירות‬
‫רכיב התאוצה המאונך למהירות‬
‫‪r r‬‬
‫הראנו שבכל זמן‪ a ⊥ v :‬ולכן‬
‫‪r r‬‬
‫‪a ⋅v‬‬
‫‪r‬‬
‫‪v‬‬
‫‪r r r‬‬
‫‪r‬‬
‫(‬
‫‪a ⋅ v )⋅ v‬‬
‫= ‪aT‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪a N = a − aT‬‬
‫‪r r r‬‬
‫‪(a ⋅v ) ⋅ v‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪aT‬‬
‫‪r2 =0‬‬
‫‪v‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪aN = a − aT = a‬‬
‫מהירות יחסית ‪-‬טרנספורמציית גליליי‬
‫הגדרת מערכת יחוס – מערכת צירים שכלפיה נוכל למדוד את הגדלים הפיסיקליים הרלוונטיים כמו מרחקים‬
‫מהירויות ותאוצות‪ .‬מערכת היחוס אינה דבר מוחלט‪ ,‬וכל אחד רשאי לבחור אותה כרצונו‪ .‬נהוג לתאר צופה‬
‫דמיוני בראשית הצירים של כל מערכת יחוס‪ ,‬אשר מודד את הגדלים הפיסיקליים ביחס לעצמו כדי לפשט את‬
‫המעבר בין מערכות יחוס שונות‪.‬‬
‫מערכת יחוס אינרציאלית – מערכת הנעה במהירות קבועה‪ ,‬כלומר חסרת תאוצה‪.‬‬
‫טרנספורמציית גליליי – כלי המאפשר לנו מעבר בין מערכות יחוס אינרציאליות שונות על ידי חישוב‬
‫המיקום‪ ,‬המהירות והתאוצה ביחס אליהן‪.‬‬
‫דוגמא חד ממדית –‬
‫אוטובוס נע במהירות קבועה וחולף על פני אדם שעומד לצד הכביש‪ .‬האדם‪ ,‬צופה נייח במערכת הייחוס שלו‪,‬‬
‫טוען כי האוטובוס נע במהירות של ‪ .10 m/sec‬במערכת הייחוס של הנהג‪ ,‬האוטובוס הוא כמובן נייח ואילו‬
‫האדם שנמצא לצד הדרך נע במהירות של ‪:-10 m/sec‬‬
‫נסמן את מערכת הייחוס של האדם שלצד הדרך ב‪S -‬‬
‫נסמן את מערכת הייחוס של האוטובוס ב‪S’ -‬‬
‫המהירות של מערכת יחוס ’‪ S‬ביחס למערכת יחוס ‪ S‬היא ‪.V = 10 m/sec‬‬
‫איש נוסף הולך באוטובוס מחלקו האחורי לכיוון הנהג במהירות של ‪ .1 m/sec‬מהי מהירותו בשתי מערכות‬
‫הייחוס ‪ ?S’ ,S‬ב‪ S’ -‬מהירותו כמובן ‪ v’ = 1 m/sec‬ובמערכת ‪ S‬מהירותו‪.v = v’ + V = 11 m/sec :‬‬
‫טרנספורמציית גליליי – ווקטורית‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪r (t ) = R(t ) + r ′(t‬‬
‫נגזור בזמן ונקבל את טרנספורמציית המהירויות‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪v (t ) = V (t ) + v ′(t‬‬
‫מאחר והמערכות אינרציאליות‪ ,‬גזירה‬
‫‪r r‬‬
‫נוספת מיד מראה כי‪:‬‬
‫‪a = a′‬‬
‫כלומר התאוצה היא אינווריאנטית‬
‫לטרנספורמציית גליליי‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הטרנספורמצייה הנ"ל עובדת כאשר ישנן שתי מערכות ייחוס‪ .‬אם ישנן יותר מערכות‪ ,‬פותרים את‬
‫הבעיה בדירוג‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נוסע ברכבת רואה את טיפות הגשם נופלות בזווית של ْ‪ 30‬ביחס לאנך לאופק ובכוון הפוך מכיוון נסיעת‬
‫הרכבת‪ .‬מהירות הרכבת ביחס לאדמה היא ‪ .36 km/hr‬אם לצופה נייח )ביחס לאדמה( הטיפות נראות נופלות‬
‫אנכית לאופק‪,‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הטיפות ביחס לארץ?‬
‫ב‪ .‬מהו גודל מהירות הטיפות ביחס לרכבת?‬
‫נבחר מערכות יחוס‪ S ,‬מערכת האדמה ו‪ S’ -‬מערכת הרכבת‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S‬‬
‫’‪S‬‬
‫‪V = 10‬‬
‫מהירות הטיפות ב‪:S’ -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫נרשום את טרנספורמציית המהירויות עבור הטיפות‪:‬‬
‫‪r r r‬‬
‫) ‪v = V + v ′ ⇒ (0, v y ) = (10,0 ) + (v ′x , v ′y‬‬
‫’‪S‬‬
‫]‪v ′x = −10[m / sec‬‬
‫‪‬‬
‫‪v ′y = v y‬‬
‫‪‬‬
‫ْ‪30‬‬
‫נשתמש בנתון לגבי הזווית במערכת ’‪:S‬‬
‫‪v ′y‬‬
‫‪m‬‬
‫‪→ v ′y = 3 ⋅ 10 = 17  ‬‬
‫‪v ′x‬‬
‫‪ sec ‬‬
‫= )‪tan (30‬‬
‫ווקטור המהירות של הטיפות במערכת האדמה‪:‬‬
‫ווקטור מהירות הטיפות ביחס למערכת הרכבת ’‪:S‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪v = (0, v y ) = (0,17 ) ‬‬
‫‪ sec ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪v ′ = (v ′x , v ′y ) = (− 10,17 ) ‬‬
‫‪ sec ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪v ′ = 10 2 + 17 2 = 19.2  ‬‬
‫‪ sec ‬‬
‫דוגמא נוספת ‪ -‬תנועה יחסית‬
‫שתי רכבות נוסעות במהירות ]‪ 72 [Km/s‬על מסילות מקבילות ובכיוונים הפוכים‪ .‬צופה ברכבת הראשונה‬
‫)רכבת א( מבחין במטוס הנראה חוצה את המסילה בניצב לה על מישור ‪ xy‬ונוסק בזווית ‪ 30o‬מעל האופק‪.‬‬
‫צופה ברכבת השנייה )רכבת ב( מבחין באותו מטוס חולף בזווית של ‪ 45o‬ביחס למסילה על מישור ‪.xy‬‬
‫א‪ .‬מהו ווקטור מהירות המטוס ביחס לארץ?‬
‫ב‪ .‬האם צופה ב' ימדוד את אותה זווית נסיקה מעל‬
‫האופק? אם לא מהי הזווית שימדוד?‬
‫‪y‬‬
‫'‪z‬‬
‫צופה נייח ‪S -‬‬
‫'‪S‬‬
‫'‪y‬‬
‫'‪x‬‬
‫''‪z‬‬
‫''‪S‬‬
‫''‪y‬‬
‫''‪x‬‬
‫מאחר שמהירות הרכבות מתוארת ביחס למערכת הארץ נסמן את מערכת הארץ ב ‪ S‬והרכבות יהיו '‪ S‬ו "‪. S‬‬
‫מאחר שיש לנו שלושה צופים שונים‪ ,‬קרקע ושתי רכבות נפתור את השאלה בשני שלבים‪ .‬תחילה נרשום‬
‫טרנספורמציה בין מערכת הארץ ורכבת )א(‪ .‬אחר כך בין הארץ ורכבת )ב(‪.‬‬
‫טרנספורמציה א'‬
‫נשתמש בטרנספורמציית גליליי‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪v = (v x , v y , v z ) = V + v ′ = (0 ,20 ,0 ) + (v ′x ,0 ,v ′z‬‬
‫‪v x = v ′x‬‬
‫נקבל מערכת משוואות‪:‬‬
‫]‪v y = 20[m / sec‬‬
‫‪v z = v ′z‬‬
‫טרנספורמציה ב'‬
‫נשתמש שוב בטרנספורמציית גליליי‪:‬‬
‫ונקבל את המשוואות‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪v = (v x , v y , v z ) = V + v ′′ = (0 ,−20 ,0 ) + (v ′x′ , v ′y′ , v ′z′′‬‬
‫‪v x = v ′x′‬‬
‫]‪v y = v ′y′ − 20 = 20[m / sec ] → v ′y′ = 40[m / sec‬‬
‫‪v z = v ′z′ = v ′z‬‬
‫בגלל שהזווית בה רואה צופה במערכת ''‪ S‬את המטוס חולף במישור ‪ xy‬היא ‪:45o‬‬
‫]‪v ′x′ = v ′y′ = 40[m / sec‬‬
‫] ‪v x = v ′x = v ′x′ = 40[m / sec‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪v z = v ′z = v ′z′‬‬
‫מאחר ו‪-‬‬
‫נוכל לחשב את מהירות המטוס בציר ‪ z‬בעזרת הזווית עם המישור במערכת '‪:S‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪v ′ = (40 ,0 ,v ′z‬‬
‫‪v ′z‬‬
‫‪vz‬‬
‫]‪= tan(α ) → v ′z = v ′x tan(30 ) = 23.1[m / sec‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v ′x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪α‬‬
‫ואילו במערכת ''‪S‬‬
‫) ‪v ′ = (40 ,−20 ,v ′z′‬‬
‫‪vy‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫גודל המהירות במישור ‪ xy‬הוא‪v xy′ = 40 + 20 = 44.7 [m / sec] :‬‬
‫כך שזווית הנסיקה ביחס למישור היא‪:‬‬
‫‪v ′z′‬‬
‫‪= tan(β ) → β = 27.3 o‬‬
‫‪v ′x′‬‬
‫חוקי התנועה של ניוטון‬
‫ניוטון ניסח שלושה חוקי תנועה‪ .‬החוק הראשון היה חזרה על עיקרון ההתמדה של גלילאו‪ ,‬שקבע בשנת‬
‫‪ 1600‬לערך‪ ,‬כי גוף נע שאין פועלים עליו כוחות ימשיך בתנועתו ללא שינוי בגודל המהירות או בכיוונה‪.‬‬
‫חשוב להדגיש שאין שום יחוד במצב של "מנוחה"‪ ,‬כלומר מהירות שווה לאפס‪ ,‬ומצב זה שקול לתנועה‬
‫במהירות קבועה )כפי שיראה במערכת אינרציאלית שונה(‪ .‬החוק השני קובע כי היחס בין כוח חיצוני שפועל‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫על גוף לבין התאוצה שלו הוא קבוע ושווה למסה של הגוף ‪ . F = ma‬החוק השלישי‪ ,‬חוק הפעולה והתגובה‪,‬‬
‫קובע שכל הכוחות בטבע אינם בודדים‪ .‬הפעלת כוח מצד גוף אחד על גוף שני גוררת מיד הפעלת כוח נגדי‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫מצד הגוף השני כך שמתקיים התנאי ‪. F12 + F21 = 0 -‬‬
‫המסה )‪ - (m‬גודל סקלרי אשר מבטא שתי תכונות של גוף‪ ,‬יכולת ההתמד שלו ומידת משיכתו למסות‬
‫נוספות‪ .‬תכונות אלה אינן שקולות אך נמצא בדיוק רב מאד כי ה"מסה האינרציאלית" המבטאת את התכונה‬
‫הראשונה והמסה הכובדית המבטאת את השנייה זהות בערכן‪ .‬ב‪ ,SI -‬מערכת היחידות הנהוגה בקורס‪ ,‬המסה‬
‫נמדדת ביחידות של קילוגרם‪.‬‬
‫‪ Kg ⋅ m ‬‬
‫ניוטון – מלבד החוקים הקרואים על שמו‪ ,‬גם היחידה הסטנדרטית לכוח קרואה כך‪[ N ] =  2  :‬‬
‫‪ s ‬‬
‫שקול הכוחות – במסגרת מודל הגוף הנקודתי אותו אנו מאמצים בשלב זה כל גוף תופס נקודה אחת במרחב‪.‬‬
‫הכוחות הפועלים על הגוף פועלים עליו בנקודה זו כמובן‪ .‬שקול הכוחות הוא הסכום הוקטורי של כל הכוחות‬
‫‪r r‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫‪F4 F1‬‬
‫‪r r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪∑ F = F1 + F2 + F3 + F4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪F3‬‬
‫‪F2‬‬
‫שיווי משקל‬
‫על פי החוק הראשון של ניוטון גוף ששקול הכוחות הפועלים עליו שווה לאפס ימשיך במצבו‪ .‬במצב זה הגוף נמצא‬
‫ב"שיווי משקל"‪ .‬ישנם שלושה מצבי שיווי משקל‪ :‬יציב‪ ,‬אדיש ורופף ובכולם שקול הכוחות הוא אפס‪ .‬ההבדל בין‬
‫המצבים מתגלה כאשר מפרים )על ידי שינוי קטן במצב הגוף( את שיווי המשקל‪ .‬קל לתאר זאת על ידי דוגמה של‬
‫כדור קטן המונח על משטחים שונים‪:‬‬
‫שיווי משקל יציב‬
‫שיווי משקל אדיש‬
‫שיווי משקל רופף‬
‫בשלושת המקרים ניתן לייצב את הכדור בנקודה‪ .‬כך שהוא יתמיד במצבו – נמצא בשיווי משקל‪ .‬ההבדל בין‬
‫שלושת המקרים מתגלה כאשר מסיטים את הגוף מעט ממצב שיווי המשקל‪ .‬כאשר שיווי המשקל הוא רופף‬
‫תזוזה קטנה תגרום ל"קריסת" שיווי המשקל‪ .‬כאשר שיווי המשקל הוא יציב‪ ,‬תזוזה קטנה תגרום להתעוררות‬
‫כוחות אשר יחזירו את הכדור לנקודת שיווי המשקל‪ .‬כאשר שיווי המשקל הוא אדיש‪ ,‬תזוזה קטנה ממצב שיווי‬
‫משקל לא תגרור כל תגובה של המערכת‪ .‬זאת משום שכל הסביבה מורכבת מנקודות שיווי משקל‪.‬‬
‫סוגי כוחות‬
‫כוח נורמל – זהו כוח תגובה לכוח המופעל על גוף קשיח‪ .‬כוח זה הוא כוח שגודלו משתנה בהתאם לכוח שגרם‬
‫לו וכיוונו תמיד כלפי חוץ בניצב למשטח החיצוני של הגוף הקשיח )כיוון הנורמל למשטח(‪ .‬סימונו בד"כ באות‬
‫‪.N‬‬
‫‪r‬‬
‫כוח הכובד – ראינו כי תאוצת הכובד זהה לכל הגופים ושווה בקירוב ]‪ . g = 9.8[m / sec‬כלומר‪ ,‬על פי החוק‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫השני של ניוטון כוח הכובד הפועל על גוף שמסתו ‪ m‬הוא‪ F = mg :‬וכיוונו הוא כמובן כלפי מרכז כדור‬
‫הארץ‪ .‬כוח זה קרוי גם משקל‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫אדם שמסתו ‪ 80 kg‬עומד על מאזניים בתוך מעלית‪ .‬מהו הכוח שיראו המאזניים‬
‫א‪ .‬כאשר המעלית במנוחה?‬
‫ב‪ .‬כאשר המעלית עולה בתאוצה של ‪? 5 m/sec‬‬
‫ג‪ .‬כאשר המעלית יורדת בתאוצה השווה לתאוצת הכובד?‬
‫פתרון‬
‫‪N‬‬
‫א‪.‬‬
‫] ‪N = 80 ⋅ 9.8 = 784[N‬‬
‫ב‪.‬‬
‫] ‪N = 80(9.8 + 5) = 1184[N‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪N =0‬‬
‫‪mg‬‬
‫דוגמא נוספת‪:‬‬
‫המערכת הנתונה בשרטוט נעה בתאוצה ‪ a‬שמאלה‬
‫מהם הכוחות על הכדור בהנחה שאין חיכוך?‬
‫‪α‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שקול הכוחות על הכדור צריך להיות‪:‬‬
‫‪= N1 − N 2 sin (α ) = ma x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= N 2 cos(α ) − mg = 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪mg‬‬
‫) ‪cos(α‬‬
‫‪∑F‬‬
‫‪∑F‬‬
‫= ‪N2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪∑ F = ma = m(a x ,0‬‬
‫‪N2‬‬
‫‪N1‬‬
‫‪mg‬‬
‫‪mg‬‬
‫‪sin (α ) + ma x‬‬
‫) ‪cos(α‬‬
‫= ‪N1‬‬
‫מתיחות בחבל‬
‫חבל ‪ -‬מכשיר המתווך כוח למשיכה בלבד‬
‫כאשר מפעילים כוח על קצה אחד של חבל כוח זה יפעל על גוף אשר קשור לקצה השני של החבל‪.‬‬
‫במסגרת המודל שלנו נעבוד )כמעט תמיד( עם חבלים אידיאלים‪ .‬תכונותיו של חבל אידיאלי‪:‬‬
‫‪ o‬חסר מסה‬
‫‪ o‬אורכו קבוע תחת כל עומס ‪ -‬אינו נמתח או מתכווץ‬
‫‪ o‬גמיש לחלוטין וניתן לכיפוף בכל רדיוס רצוי‬
‫לכוח שהחבל מתווך אנחנו קוראים מתיחות‪ .‬נסמן כוח זה על ידי האות ‪ T‬עבור ‪ .Tension‬כיוון הפעולה של‬
‫כוח זה הוא במקביל לחבל‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫שני אנשים מתחרים במשיכת חבל‪ .‬במצב של תיקו‪ ,‬כל אחד מהאנשים מושך בחבל בכוח ‪ .F‬מהי המתיחות‬
‫בחבל?‬
‫‪F‬‬
‫המתיחות היא כמובן‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪) T = F‬ולא ‪ 2F‬כמו שניתן אולי לנחש אינטואיטבית(‪.‬‬