• La classificazione delle particelle • La simmetria SU(3) di sapore • I

• La classificazione delle particelle
• La simmetria SU(3) di sapore
• I quark
q
• Costruzione grafica dei mesoni e dei barioni.
• Mescolamento dei mesoni con I3=0 e Y=0. • Regola
R l di OZI
• Massa dei quark
Classificazione delle p
particelle
y Negli anni ‘50 furono scoperte nuove particelle e risonanze
i
che
h vennero considerate esse
id
stesse come nuove particelle.
y Si cercò
Si ò di classificare
di l ifi
t tt queste
tutte
t particelle
ti ll in un i modo tale da rivelarne la loro vera natura (un lavoro
simile fu fatto da Rydberg che trovò la formula per descrivere gli spettri atomici, oppure da Mendeleiev)
y Una p
prima simmetria trovata fu associata allo spin p
isotopico; le particelle con lo stesso isospin sono
esattamente la stessa particella per le interazioni forti, ma le interazioni
l i t
i i e.m. rompono
l i
la simmetria
t i e provocano una differenza di massa di qualche % tra le particelle dello stesso multipletto.
Classificazione delle p
particelle
y Per estendere la simmetria si cercò di raggruppare
diversi multipletti di isospin in un gruppo più grande
che avesse stesso spin e parità ma con diversa stranezza
(
(o ipercarica).
)
y Vi sono altre possibili scelte a priori, ad esempio stessa
stranezza ma spin e parità diverse, ma queste non funzionano.
y I componenti dei multipletti di isospin vengono
rappresentati come punti spaziati di un’unità sull’asse
orizzontale
i
l I3. Ad esempio
I Ad i per la Δ(1232) abbiamo:
l Δ(
) bbi
1
Q = I3 + (B+S )
2
Barioni
+
(1/2)
y Si conoscevano 8 barioni di spin ½ e parità + ai tempi in cui la classificazione fu proposta (1961: Gell
(1961: Gell‐Mann e Mann e Ne’emann)
Se la simmetria SU(3) fosse esatta, per le interazioni forti ,p
le 8 particelle dovrebbero essere identiche, avere ad esempio la stessa massa. Dato che non è così, allora la simmetria è “rotta”.
N.B. gli antibarioni occupano un altro ottetto di SU(3): 8 Barioni
+
((3/2)
/ )
Δm ≈ 150 MeV
Δm ≈ 150 MeV
Δm ≈ 150 MeV
Ai tempi della formulazione del modello, l’Ω
Ai i d ll f
l i
d l d ll l’Ω- non era stata
trovata. Gell-Mann ipotizzò l’esistenza di una particella di stranezza
-3,
3 di carica -1,
1 che decadeva debole ed avesse una massa intorno a
1680 MeV. Questa particella fu scoperta nel 1964 da Samios.
Febbraio
ebb a o 1964: la scoperta
96 a scope ta de
dell’ Ω‐
Camera a bolle di Brookhaven ; 80 000 foto.
mΩ− = 1672.45
1672 45 MeV
τ = 82 ps
0 −
− 0
→ ΛK (68%), Ξ π (24%), Ξ π (9%)
K − p → Ω−K +K 0
Ω− → Ξ0π −
Ξ0 → Λπ 0
Λ → pπ −
Mesoni
‐
0
mη = 547
547.7
7 MeV
mη ' = 958 MeV
Il mesone η fu predetto dal
modello e fu trovato nel 1961 da
Alvarez.
N.B. Nei mesoni particelle e antiparticelle compaiono nello stesso multipletto perché hanno tutte B=0.
In ogni multipletto ci sono 9 particelle, tuttavia le rappresentazioni irriducibili di SU(3) sono 8+1 quindi una delle 3 particelle con Y=0 I3=0 appartiene al singoletto.
SU(3) sono 8+1, quindi una delle 3 particelle con Y=0, I3=0
appartiene al singoletto
In realtà vi è un mixing tra il singoletto e lo stato dell’ottetto con I=0, I3=0 e Y=0.
Mesoni
‐
1
N.B. ρ0, ω e φ hanno gli stessi numeri quantici del fotone.
→ Vector
V
D i
Dominance
M d l per spiegare
Model
i
le
l interazioni
i
i i adroniche
d i h (1960)
e-
q
e+
q
Formule di massa di Gell‐Mann ‐ Okubo y Per spiegare lo splitting di massa tra gli stati con diversa stranezza, Gell
stranezza Gell‐Mann e Okubo proposero
Mann e Okubo proposero
che l’Hamiltoniana forte di decomponesse in una
parte H0 simmetrica, più
p
, p una p
parte H’ “mediamente forte” che rompeva la simmetria
SU(3).
y In questo
q
modo essi trovarono delle formule
empiriche per spiegare lo splitting di massa.
y Oggi queste relazioni vengono viste come delle
formule empiriche
p
senza nessun contenuto “fisico”.
Formule di massa di Gell‐Mann ‐ Okubo 1
⎡
⎤
m=m0 + m1Y + m2 ⎢I ( I+1) - Y2 ⎥
4 ⎦
⎣
• Barioni: Esempio: nel decupletto si ha Y = B+S = 2(I-1)
3
⎛
⎞
m= (m0 + 2m2 ) + Y ⎜ m1+ m2 ⎟
2
⎝
⎠
Δm=costante ≈ 150 MeV (sperimentale)
2mΛ +2mΞ0 = mΣ0 +3mΛ
Esempio: nell
ottetto ½ + si ha: Esempio: nell’ottetto
↓
4515 MeV
M
i • Mesoni: ↓
4539 MeV
1
⎡
⎤
m2=m20 + m12Y + m22 ⎢I ( I+1) - Y2 ⎥
4 ⎦
⎣
Nel caso dei mesoni occorre considerare il quadrato delle masse. L
masse L’accordo
accordo con i dati speri
speri‐
mentali risulta peggiorato dal mixing tra il singoletto di SU(3) ed il singoletto dell’ottetto.
2m2K 0 +2m2K 0 =4m2K 0 = mπ2 0 + 3mη2
Esempio: ↓
0.988 GeV2
↓
0.924 GeV2
La simmetria SU(3) « esatta » implica che tutte le particelle di uno stesso
multipletto devono avere la stessa massa. π-
0-
140 MeV
π0
0-
135
K±
0-
494
K0 ,
K0
0-
498
η
0-
η’
p
½+
938
MeV
n
½+
940
Λ
½+
1160
Σ+
½+
1189
549
Σ0
½+
1192
0-
958
Σ-
½+
1197
ρ ±, ρ 0
1-
770
Ξ0
½+
1315
ω
1-
783
Ξ-
½+
1321
K*
1-
892
Ω
3/2+
φ
1-
1020
1672
E questo non è il caso….
masse (MeV) Hhad = H0,f + δHf
baryons(JP)≠
mésons (JP)
1400
4
Ξ
1200
baryon
1000
non étranges ≠étranges
1/2+, B=1
Σ
Λ
Ν
+ δHelm
la charge électrique !
Ξ−
Ξ0
Σ−, Σ0, Σ+
0
n Λ
p
800
η
600
400
méson
Κ
0‐, B=0
π
200
SU(3) exacte
η0
Κ+
Κ0
π±
SU(2) exacte SU(3) π0
brisée
SU(2) brisée
I quark
Domanda: perché 3 ⊗ 3 e 3 ⊗ 3 ⊗ 3 ?
y Nel 1964 Gell‐Mann, ed in maniera indipendente Zweig, associò ad ogni autovettore del tripletto fondamentale di
SU(3) una particella elementare che chiamò quark.
quark
y
⎛1 ⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
up
;
⎛0⎞
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
1
;
⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝0⎠
⎝1 ⎠
strange
down
y I quark sono fermioni di spin ½ .
y In questo
I modo:
d
Barioni: 3 ⊗ 3 ⊗ 3
⇒ qqq
(sono composti da 3 quark)
mesoni: 3 ⊗ 3
⇒
(sono composti da un quark ed un antiquark)
qq
Numeri quantici dei quark
y Si ottengono applicando gli operatori I3 e Y ai tre tripletti:
s
quark: B= 1/3
Y
Y
1/3
d
u
1/2
‐1/2
S (u, d) = 0
S(s) = -1
anti‐quark: B=‐1/3
‐1/2
I3
I3
S (u, d) = 0
u
s
1/2
d
S(s) = 1
‐2/3
Y
2
Q=I3+
y Applicando la formula si
può trovare la carica:
Qu=
2
1
; Qd=Qs = −
3
3
;
Qu=-
2
1
; Qd=Qs =
3
3
I quark sono un “giochetto” matematico o esistono davvero?
Mesoni 0‐
y I mesoni sono una combinazione di quark‐antiquark.
y Consideriamo quelli in onda S (L=0, energia più bassa) e con spin
opposti, allora J=0 e parità P=‐1.
(ricorda: l operatore parità cambia il segno delle coordinate; la parte (ricorda: l’operatore parità cambia il segno delle coordinate; la parte spaziale della funzione d’onda va come (‐1)L, mentre la parte di spin non è cambiata dall’operazione di parità. Inoltre fermioni e antifermioni hanno parità intrinseca opposta quindi i mesoni hanno parità ( 1)L+1. parità intrinseca opposta, quindi i mesoni hanno parità (‐1)
y I mesoni possono essere costruiti con un metodo grafico.
p
g
Ad esempio nel caso dell’isospin si ha:
1(A)+3(S)
‐1/2
1/2
‐1/2
1/2
‐1/2
1/2
I3 è un numero quantico additivo
Questo diagramma è ottenuto sovrapponendo il centro di gravità del multipletto
degli antiquark in ciascun posto dove c’è un quark.
Y
Y
d
2/3
1/3
s
u
I3
1/2
I3
1
d
s
u
Y
2/3
I3
1/2
ABC
A,B,C
1
Y
Y
d
2/3
1/3
s
u
I3
1/2
I3
1
d
s
0
K = ds
Y
u
us = K +
2/3
Con che cosa si id tifi
l 3
identificano le 3
coppie uu, dd, ss
che hanno i numeri quantici 0 0?
quantici 0,
π - = du
I3
1/2
1 ud = π
ABC
A,B,C
-
K = su
sd = K 0
+
3 ⊗ 3=1 ⊕ 8
Mesoni
‐
0
y I tre stati A, B, C aventi I3=0 e Y=0 sono delle combinazioni lineari
ortogonali degli stati uū + dđ + sš
y Indichiamo uno stato con dove n è la dimensione
della
{n, | I , I3 〉}
rappresentazione.
y Il singoletto di SU(3) dovrà contenere, per simmetria, tutti
contenere per simmetria tutti e tre gli
stati con lo stesso peso: η1 = {1, | 0,0 〉} =
1
uu + dd + ss )
(
3
y Uno degli altri due stati con I3=0 deve far parte del tripletto con p
q
può essere ricavato con gli
p
g operatori
p
ladder, cioè con isospin=1, quindi
gli operatori di innalzamento e abbassamento della carica.
Coniugazione di carica dei nucleoni
y Per comodità ricordiamo come si comportano alcuni nucleoni per coniugazione di carica. Compaiono alcuni segni “meno” in accordo con l la convenzione
i
di C d Sh l
di Condon‐Shortley.
I3
1
2
1
−
2
+
| p〉
| n〉
| u〉
| d〉
| n〉
- | p〉
| d〉
- | u〉
⎧⎪I− | d 〉 =| −u 〉
⎛ d⎞
⎛u ⎞
⎜ ⎟ e ⎜ ⎟ ⇒⎨ +
⎝d ⎠
⎝ −u ⎠
⎪⎩I | u 〉 =| −d 〉
I
±
:
operatore di shift di isospin
(innalzamento e abbassamento della carica)
y N.B. Il quark s è un singoletto di isospin, quindi quando lo si aggiunge
ad un doppietto di isospin non ne cambia le proprietà:
⎛ us = K + ⎞
⎛ sd = K 0 ⎞
⎜
⎟ e ⎜
⎟
⎜ ds = K 0 ⎟
⎜ − su = −K − ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
y Combinando d con ū (o viceversa) possiamo avere I=0 oppure I=1
Funzione d’onda
0
del π
y Applichiamo l’operatore di shift di isospin che ha la proprietà seguente:
I± | Ψ(I , I3 )〉 =
I (I + 1) − I3(I3 ± 1) | Ψ(I , I3 ± 1)〉
y Se lo applichiamo ad un quark otteniamo:
y Inoltre:
⎧⎪I+ | d 〉 =| u〉 ; I+ | u 〉 =| −d 〉
⎨ +
+
⎪⎩I | u 〉 = I | d 〉 = 0
⎧I− | Ψ(1,1)〉 = I + | Ψ(1, −1)〉 = 2 | Ψ(1,0)〉
⎪⎪
+
−
⎨ I | Ψ(1,0)〉 = 2 | Ψ(1,1)〉 ; I | Ψ(1,0)〉 = 2 | Ψ(1, −1)〉
⎪ +
−
⎪⎩ I | Ψ(1,1)〉 = I | Ψ(1, −1)〉 = 0
y Per convenzione la funzione d’onda del π0 è: ‐dū
( )
( )
⎛ 1
⎞
I+ | π − 〉 = I+ | −du 〉 =| − ⎡ I+ d u + d I+u ⎤〉 =| −uu + dd 〉 = 2 ⎜
| −uu + dd 〉 ⎟ = 2 |π 0 〉
⎣
⎦
⎝ 2
⎠
y Il π0 viene identificato con lo stato: π 0 = 1 dd − uu
(
)
2
y Infatti:
I+ | π 0 〉 = I+
| dd − du 〉
2
=
| ud + 0 − 0 − ud 〉
2
= 2 | ud 〉 = 2 |π + 〉
;
Identificazione delle funzioni d’onda
con gli stati fisici (particelle)
8 | 0,0
0 0 〉} bisogna trovare la y Per trovare il singoletto dell
dell’ottetto
ottetto η8 = {8,
0:
η1 = {1, | 0,0 〉}
combinazione ortogonale a e al π
1
uu + dd − 2ss )
(
6
η8 = {8, | 0,0 〉} =
y
N.B. I ± | η 8 〉 = 0
Gli stati fisici η e η’ sono una combinazione lineare di η1 e η8, ma dato
che
h l’angolo
l’
l di mixing è piccolo (~11
di i i è i l ( 11o), si
) i può
ò fare l’identificazione
f l’id ifi i
η8 ≡ η
;
mη =548 MeV
η1 ≡ η '
;
mη '=958 MeV
Mesoni 1‐
y I mesoni vettori 1‐ hanno la stessa composizione in quark dei mesoni 0-, si trovano in onda S ma i due quark (quark‐antiquark) si trovano in onda S ma i due quark (quark antiquark) hanno gli spin paralleli.
y Vi sono tre mesoni con I3=0 e Y=0; uno di essi fa parte del tripletto di isospin ρ : ρ+, ρ‐, ρ0. y ρ0 ha la stessa funzione d
d’onda
onda del π0 (a parte un fattore “‐1”):
‐1 ):
ρ0 =
1
2
(uu − dd )
y Il singoletto di SU(3) φ1 e il singoletto di isospin dell’ottetto φ8 si
mescolano tra loro per dare gli autostati di massa φ e ω: ω = φ1 cos ϑ + φ8 sin ϑ
φ = φ1 sin ϑ − φ8 cos ϑ
y N.B. in questo caso l’angolo di mescolamento θ~35o
Esercizio accademico: calcolo di θ
y Assumiamo che l’elemento di matrice dell’Hamiltoniana tra due stati diversi
dia il valore della “massa” al quadrato:
2
Mω2 = 〈ω | H | ω 〉 = M12 cos2 ϑ + M82 sin2 ϑ + 2M18
sin ϑ cos ϑ
2
Mφ2 = 〈φ | H | φ 〉 = M12 sin2 ϑ + M82 cos2 ϑ − 2M18
sin ϑ cos ϑ
y Dato
D
che
h ω e φ
φ sono due autostati
d i di massa, essi
di i sono ortogonali:
li
(
)
(
2
2
Mωφ
= 〈φ | H | ω 〉 = 0 = M12 − M82 sin ϑ cos ϑ + M18
sin2 ϑ − cos2 ϑ
)
2
y Eliminando M18 e M1 da queste tre equazioni si ottiene: tan ϑ =
Mφ2 − M82
M82 − Mω2
y Utilizzando la formula di massa di Gell‐Mann –
di Gell Mann Okubo si ha:
M82 =
(
1
4MK2 ∗ − Mρ2
3
)
Mρ = 776 MeV
y Mettendo nella formula i valori misurati delle masse si ha:
MK ∗ = 892 MeV
Mω = 783 MeV
Mφ = 1020 MeV
ϑ ≈ 40o
N.B. sin ϑ=
1
3
se ϑ ≈ 35o
Mesoni 1‐
y Se utilizziamo sin ϑ=
y Dato che: φ1 =
φ8 =
y Abbiamo: 1
3
si ha:
ω=
φ=
1
3
1
3
(φ
8
+ 2φ1
(φ
1
− 2φ8
)
)
1
uu + dd + ss )
(
3
1
uu + dd − 2ss )
(
6
1
φ = ss ; ω =
uu + dd
2
(
)
• In questo caso di “mixing ideale”, che è quasi vero in pratica, la φ è composta interamente da quark s e l
quark s e l’ω
ω da u e d
• Questo comporta che la massa dell’ω dovrebbe essere simile q
della ρ0 e la massa della φ p
più g
grande, come osservato
a quella
sperimentalmente.
Riassunto del mescolamento
y Per gli stati con I=0
y η,η’ sono delle combinazioni lineari di η1, η8 che possono mescolarsi dato
che hanno gli stessi numeri quantici: (I
quantici: (I=II3=S=0)
S 0)
y La stessa cosa avviene per gli stati fisici ω et φ che sono il risultato del
mescolamento di φ1 et φ8
Bisogna introdurre altri parametri : gli
angoli di mixing degli stati.
ω =
1
uu + dd
2
(
φ = ss
stato puro ss
)
η =
1
uu + dd − 2ss
6
(
1
η' =
uu + dd + ss
3
(
)
)
Quasi esatto, c’è un piccolo mescolamento
p
Contenuto in quark dei
q
Mesoni leggeri
gg
C
Costruzione grafica dei barioni
i
fi d i b i i
y Usiamo la stessa tecnica per realizzare la costruzione grafica dei barioni, che ricordiamo sono costituiti da 3 quark.
y Ricordiamo che:
3 ⊗ 3=6 ⊕ 3
6 ⊗ 3=10 ⊕ 8
3 ⊗ 3=1 ⊕ 8
3 ⊗ 3 ⊗ 3=1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10
3
Y
d
3
Y
2/3 u
1/3
d
I3
1/2
/
s
⊗
Y
2/3 u
1/3
I3
1/2
/
s
‐2/3
2/3
6
=
3
2/3
1/3
I3
1/2
+
‐2/3
‐2/3
2/3
10
6
3
⊗
8
=
=
+
1
8
⊗
3
=
3
=
+
Contenuto in quark dei
q
Barioni “strani”
Regola di OZI
y La composizione in quark della Φ, insieme con la regola di OZI (Okubo,
Zweig, Iizuka) permette di capire meglio i suoi decadimenti:
→ K + K − ⎫⎪
φ(1020)
⎬ 84%
0 0
→ K K ⎪⎭
→ π +π −π 0 15%
φ
u
+
φ →K K
u
K+
s
s
−
u
K−
s
s
Lo spazio delle fasi favorisce il decadimento della Φ in 3π (Q ~ 600 MeV) rispetto al
Q ~ 24 MeV del decadimento in KK
s
π+
d
d
φ
d
π0
d
s
+ − 0
φ →π π π
u
π−
REGOLA di OZI: quando ci sono delle linee di quark non connesse vi è una
soppressione di questi
d
d
diagrammi
La regola di OZI si può spiegare facendo ricorso alla QCD ed allo scambio di gluoni.
gluoni
Importante per spiegare la lunga vita media della J/Ψ e della Υ
Masse dei quark
q
y Utilizzando un “semplice” modello nel quale la massa dell’adrone
deriva dalla massa dei quark e dalle loro interazioni iperfini, facendo d
i d ll d i k d ll l i
i i i fi i f
d dei fit opportuni al valore misurato delle particelle adroniche (vedere i dettagli sul Burcham and Jobes) si ricava il valore della massa “efficace” d i dei quark.
k
quark
q
Massa “libera” (MeV)
Massa efficace
Mesoni (MeV)
Massa efficace
Barioni (MeV)
u
5.6
1.1
310
363
d
99
9.9
11
1.1
310
363
s
199
33
483
538
y Diversa energia di legame tra mesoni e barioni.
y La massa La massa “libera” è valutata alla scala di 1
libera è valutata alla scala di 1 GeV/c2
Masse dei quark
q
y La massa efficace è diversa dalla massa “libera” (vera!) dei quark.
y D’altra parte, che cosa è la massa di una particella? p
,
p
Non potete metterla su una bilancia :
y
F =G
mM
r2
E2 − p2 = m2 ? (ma non esistono quark liberi!)
y polo del propagatore?
y parte reale del propagatore?
y In ogni caso nella Lagrangiana che descrive le interazioni dei quark (Modello Standard + QCD) va considerata la massa “libera” dei quark e (Modello Standard + QCD) va considerata la massa libera dei quark e non la massa efficace:
L = muuu + md dd + ms ss
La scala di massa tipica della QCD è ΛQCD=200 MeV. La simmetria di isospin quasi esatta deriva dal fatto che mu~md «ΛQCD ; mentre SU(3) è solo una simmetria approssimata perché ms~ ΛQCD .